周炳坤激光原理与技术课件第二章 光学谐振腔

设光线往返m次后逸出腔外，则有：
2 β L + 6 β L + ... + 2 ( 2m − 1) β L ≈ D
2 β L ⎡1 + 3 + 5 + ... + ( 2m − 1) ⎤ ≈ D ⎣ ⎦
其中 D ——平面腔横向尺寸（直径） 解得:
D m= 2β L
(2.1.26)
往返一次需要的时间为：t0 = 2L ,则腔内光子平均寿命： c
(2.2.9)
(2.2.10)
T = TR1TL TR2 TL
⎛ 1 =⎜ 2 ⎜− ⎜ R ⎝ 1
⎛ r1 ⎞ ⎛ r1 ⎞ = TR1 TL TR2 TL ⎜ ⎟ = T ⎜ ⎟ ⎝ θ1 ⎠ ⎝ θ1 ⎠
0⎞ ⎟ ⎛ r2 ⎞ = T ⎛ r2 ⎞ ⎟ R2 ⎜ 1 ⎟ ⎜ θ2 ⎟ ⎝ θ2 ⎠ ⎟⎝ ⎠ ⎠
（2.2.8）
⎛ r3 ⎞ ⎛ r4 ⎞ ⎛ 1 L ⎞ ⎛ r3 ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ θ ⎟ = TL ⎜ θ ⎟ ⎝ θ4 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ 0⎞ ⎛ 1 ⎛ r5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ r4 ⎞ = T ⎛ r4 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − 2 1⎟⎜ ⎟ ⎟ R1 ⎜ ⎝ θ4 ⎠ ⎝ θ5 ⎠ ⎜ R ⎟ ⎝ θ4 ⎠ ⎝ 1 ⎠
⎛ 1 TR = ⎜ 2 ⎜− ⎝ R
0⎞ ⎟ ⎛ ri ⎞ = T ⎛ ri ⎞ ⎟ R ⎜ ⎟ ⎜ θi ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⎝ θi ⎠ ⎠
0⎞ ⎟ 1⎟ ⎟ ⎠
（2.2.6）
0⎞ ⎛ 1 ⎟=⎜ 1 1⎟ ⎜− ⎜ ⎠ ⎝ f
（2.2.7）
于是可以列出下列光线传递公式：
⎛ 1 ⎛ r3 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ = ⎜- 2 ⎝ θ3 ⎠ ⎜ R ⎝ 2
β ≤ 2 ×10−6 rad ≈ 0.4''
——平行平面腔所能允许的不平行度.调整精度要求极高.
(3)衍射损耗
孔阑传输等效于孔径为 2a 的平面开腔.按夫琅和费衍射， 第一极小值处衍射角:
θ = 1.22
λ
2a
= 0.61
λ
a
假设：忽略第一暗纹外的光，中央亮斑内光强均匀分布. 则：第二个孔径外的光能与总能量之比等于该孔阑被中央 所照亮的孔外面积与总面积之比:
'
λ0 q
2
=q
η λq
2
c c νq = q ' = q 2L 2η L
(2.1.3) (2.1.4) (2.1.5)
L = q
λq
2
λq =

λ0q
q 为腔内驻波的波节数， 不同的 ν q 就形成腔内纵向
场分布.
η
为介质中的波长.
λ
2
L
２.纵模
由整数 q 所表征的腔内纵向场分布就称为腔的纵模. 腔内相临两个纵模的频率差 Δν q 称为纵模间隔：
ri β= R r α = β − θi = i − θi R ri 2 ⎛ ⎞ θ 0 = − ⎜ θi + 2 − 2θi ⎟ = − ri + θi R R ⎝ ⎠
因此：
r0 = ri 2 θ 0 = − r + θi R
（2.2.5）
⎛ 1 矩阵表示：r0 ⎞ ⎜ ⎛ ⎜ ⎟=⎜ 2 ⎝ θ0 ⎠ ⎝ R
§２.2
共轴球面腔的稳定条件
——光学谐振腔的几何光学分析方法
一.腔内光线往返传播的矩阵表示
光线在由 M 1 ( R1 ) M 2 ( R2 ) 组成的共轴球腔中的传输如图：
r 光线在腔镜上的坐标： , θ 往下传输 θ 为负.
， 往上传输 θ 为正，
考察两种情况，就能列出一次往返的传递： 傍轴近似： r 情况一： r1 , θ1
情况二： r2 , θ 2 ) → ( 入射光参数为
( r3 ,θ3 )
：由入射光线变为反射光线
ri ,θi
，反射光参数为 r0 , θ 0
——镜面法线与腔轴的夹角 由几何关系可得：
α β
——镜面法线与入射光或反射光的夹角
r0 = ri
β = θi + α θ 0 = − ( β + α ) = − (θi + 2α )
(2.1.9)
I1 = I 0 e
∑ δi
(2.1.8)
= I 0 e −2 δ1 • e −2 δ 2 • e −2 δ 3 ... = I 0 e −2 δ
2.光子在腔内的平均寿命
以总的损耗因子来计算光强经过m次往返后的光强： −2 mδ （2.1.11） I =I e
m 0
t 用时间表示，
= 0 时之光强为 I 0 .m次往返所需时间为t ，
谐振腔：由两片镀有反射膜的反射镜组成 由多片反射镜构成的折叠腔和环型腔
１．谐振腔分类
闭腔 稳定腔 光学谐振腔 开腔 非稳腔 临界腔 气体波导腔
２.常用谐振腔（开腔）形式
(1)平行平面镜腔 (2)双凹球面镜腔 当 R1 =R2 = L 时，称共焦球 面镜腔或对称共焦腔 当 R1 + R2 = L时，称共心腔 (3)平凹腔 当 R = 2 L 时，称半共焦腔
'
t 时刻的光强为：2δ −
L' τR =
当t
t 2mL 即 m= ' t= 2L C C
t 2 L' C
（2.1.12）
− t
I (t ) = I 0
Cδ
= I 0e
τR
（2.1.13） （2.1.14）
=τR
τ τ R ——光子在腔内的平均寿命.损耗越小，R
腔内光子的平均寿命愈长.
时， (t ) = I
2 L' τ β = mt0 = C D η = 2β L C 2D βL
'
则相应的损耗： βL L' δβ = = τβC 2D
(2.1.27)
例： D = 1cm, L = 1m
若要保持 δ β
β=
若要保持 δ β
2 Dδ β 2 L
< 0.1 ，则：
≤ 2 × 10−4 rad ≈ 41''
< 0.01 ，则：
(4)凹凸腔与双凹腔
3.谐振腔的作用
(1)提供光学正反馈，维持“自激”振荡 谐振腔光学反馈作用取决于两个因素： a.构成腔的两个反射镜的反射率，反射率越高，反馈 能力越强； b.反射镜的几何形状及其间的组合方式； (2)对振荡光束的控制作用：限制激光的频率和光束方向 a.控制腔内的振荡模式数量，提高光子简并度，进而 提高单色性和相干性 b.控制激光束的横向分布特性，光斑大小以及发散角 c.控制腔内光束的损耗，从而控制激光束的输出功率
镜面反射不完全引起的损耗因子
当
r1 ≈ 1, r2 ≈ 1 时 1 δ r ≈ [(1 − r1 ) + (1 − r2 )] 2
（2.2.25）
(2)腔镜倾斜时的几何损耗 一镜倾斜 β 角，开始入射为垂 直入射，则来回反射之入射 光与反射光之夹角 θ i 分别为：
2 β , 4 β , 6 β ,8β ......
<< L
镜
(
) → ( r2 ,θ 2 ) r2 = r1 + Lθ1 θ 2 = θ1
：光线有 M 1 镜传递到
M2
(2.2.1)
矩阵表示：
⎡ r2 ⎤ ⎡1 L ⎤ ⎡ r1 ⎤ ⎡ r1 ⎤ (2.2.2) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = TL ⎢ ⎥ ⎢θ ⎥ 01 θ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣θ1 ⎦ ⎡1 L ⎤ TL = ⎢ ⎥ (2.2.3) ⎣01 ⎦ 结论：情况一可以矩阵 TL 将( r2 , θ 2 ) 与( r1 ,θ1 ) 联系起来.
2
π ( a + Lθ ) −π a2 2Lθ ΔS1 W 1 1 = = ≈ = 2 （2.1.29） 2 W +W 0 ΔS1 +ΔS0 a a π ( a + Lθ ) 1 Lλ
W0 ——第二个孔径内的光能
当衍射损耗不太大时，单程能量损耗百分比 δd 应与平均 单程指数衍射损耗因子δd 相等. W 1 1 ' 1 δα ≈ δd = = 2 = (2.1.30) W +W01 a N Lλ 其中， a2 N= (2.1.31) Lλ ——菲涅尔系数：衍射特征参数，表征 衍射损耗大小，N大则损耗小.
cδ Δν R = = 2πτ R 2π L' 1
图2.1.3中 Δν c 即为无源腔的线宽. 此处 Δν R 即为模式 谱线宽度.由上式和（2.1.22）式可以得到：
ν Q= Δν R
所以无源的Q值等于谐振腔振荡频率和线宽的比值. Q值越高意味着腔的储能性好，损耗小，腔内光子寿命长， 线宽Δν R 窄.
dt
N = N 0e dN ( t ) N0 − tτ e =−
−
t
τR
R
=−
N
4.无源腔的线宽
由（2.1.13）式表示的光强公式可以得到光场的振幅公式： 光场可表示为：
A(t ) = A0 e
− t
τR
u (t ) = A(t )e − iωt = A0 e
−
t
τR
e − iωt
对上式进行傅立叶变换可得到光场的有限的频率宽度：
I (τ R ) =
I0
e
愈大，
3.无源腔的Q值
谐振腔的品质因数Q表征腔损耗大小的特征量.
E E Q = ω = 2πν P p
E ——腔内储存的总能量 P ——单位时间内谐振腔损耗的能量 腔内振荡光束体积 V ,腔内光子数密度 N ，则
dE ( t ) dN ( t ) P=− = − hν V dt dt