反证法学案
八年级数学上册《反证法》教案、教学设计
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。
反证法 学案
反证法(1)反证法的定义是什么？有什么特点？(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？1．反证法的定义及证题的关键[点睛]对反证法概念的理解(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．用反证法证明否定性命题[典例] 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．当点B 在W 上且不是W 的顶点时，求证：四边形OABC 不可能为菱形．[证明] 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2， 设AC 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k. 因为k ·⎝⎛⎭⎪⎫－14k≠－1， 所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾． 所以四边形OABC 不可能是菱形．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤用反证法证明“至多”“至少”问题，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，⇒－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．[一题多变]1．[变条件，变设问]将本例改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围．解：若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4(3－4a )＜0，(a －1)2－4a 2＜0，4a 2＋8a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，即－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)．2．[变条件，变设问]将本例条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a 2≥0，(2a )2＋4×2a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a －3≥0，3a 2＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－32或a ≥12，－1≤a ≤13，a ≤－2或a ≥0.即a ∈∅.所以实数a 的取值范围为实数R.3．[变条件，变设问]已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1， ∴ac ＋bd ＋bc ＋ad ＝1.而ac ＋bd ＋bc ＋ad ＞ac ＋bd ＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．用反证法证明唯一性命题[典例] 设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a .证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．[证明]因为a>1，所以f(0)＝1－a<0，f(ln a)＝(1＋ln2a)e ln a－a＝a ln2a>0，所以f(0)·f(ln a)<0，由零点存在性定理可知f(x)在(0，ln a)内存在零点．假设至少有2个零点，则f(x)在(－∞，＋∞)上不单调．由已知得f′(x)＝(1＋x2)′e x＋(1＋x2)(e x)′＝(1＋x)2e x≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，矛盾，∴假设不成立，则f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．。
《反证法》 教学设计
《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能够运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力、推理能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性，激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。
二、教学重难点1、教学重点反证法的概念和证明步骤，以及如何正确地提出反设和推出矛盾。
2、教学难点理解反证法的逻辑原理，如何在证明过程中寻找矛盾，以及反证法的应用。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过一个有趣的推理故事引入反证法的概念。
例如：有一天，一个小偷被警察抓住了。
警察问小偷：“你偷东西了吗？”小偷说：“我没偷。
”警察说：“那好，假设你没偷，但是我们在现场发现了你的脚印和指纹，这怎么解释？”小偷无言以对。
这个故事中，警察就是运用了一种特殊的推理方法——反证法。
2、讲解反证法的概念反证法是一种间接证明的方法，先假设命题的结论不成立，然后通过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立。
3、反证法的证明步骤（1）提出反设：假设命题的结论不成立。
（2）推出矛盾：从反设出发，通过推理，得出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结果。
（3）得出结论：由于推出了矛盾，所以反设不成立，从而原命题的结论成立。
以“在一个三角形中，最多只能有一个直角”为例进行讲解。
假设在一个三角形中有两个直角，设∠A ＝∠B ＝ 90°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＝ 90°＋ 90°＋∠C ＞ 180°，这与三角形内角和为 180°相矛盾，所以假设不成立，即在一个三角形中，最多只能有一个直角。
4、反证法的应用（1）证明“根号 2 是无理数”假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ p ／ q（p、q 为互质的正整数），则 2 ＝ p^2 ／ q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
反证法授导型教案
反证法授导型教案第一章：反证法的概念引入1.1 教学目标让学生理解反证法的定义和基本思想。
能够识别和应用反证法解决简单问题。
1.2 教学内容反证法的定义和基本思想介绍。
举例说明反证法的应用。
1.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解反证法的概念。
提供练习题，让学生应用反证法解决问题。
1.4 教学评估检查学生对反证法概念的理解程度。
评估学生应用反证法解决问题的能力。
第二章：反证法的基本步骤2.1 教学目标让学生掌握反证法的基本步骤。
能够独立完成反证法的应用。
2.2 教学内容介绍反证法的基本步骤：假设反面、推导矛盾、得出结论。
提供具体的例题，讲解每一步的运用。
2.3 教学方法通过讲解和示例，让学生熟悉反证法的步骤。
分组讨论和练习，让学生互相学习和巩固。
2.4 教学评估检查学生对反证法步骤的理解和应用能力。
提供练习题，评估学生的独立解决问题的能力。
第三章：反证法在几何中的应用3.1 教学目标让学生了解反证法在几何中的应用。
能够运用反证法证明几何命题。
3.2 教学内容介绍反证法在几何中的典型应用案例。
讲解如何运用反证法证明几何命题。
3.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解反证法在几何中的应用。
提供练习题，让学生运用反证法证明几何命题。
3.4 教学评估检查学生对反证法在几何中应用的理解程度。
评估学生运用反证法证明几何命题的能力。
第四章：反证法在代数中的应用4.1 教学目标让学生了解反证法在代数中的应用。
能够运用反证法解决代数问题。
4.2 教学内容介绍反证法在代数中的典型应用案例。
讲解如何运用反证法解决代数问题。
4.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解反证法在代数中的应用。
提供练习题，让学生运用反证法解决代数问题。
4.4 教学评估检查学生对反证法在代数中应用的理解程度。
评估学生运用反证法解决代数问题的能力。
第五章：反证法的拓展与应用5.1 教学目标让学生了解反证法的拓展与应用。
能够运用反证法解决更复杂的问题。
2.2.1反证法学案
第8课时 2.2.1反证法学习目标了解反证法的定义，知道用反证法证明的思想和步骤，能利用反证法进行证明，培养学生的逻辑思维能力。
学习过程一、学前准备1、反证法是指假设_____________不成立（即在______________下，____________不成立），经过_____________，最后得出矛盾，因此说明________________从而证明__________________的方法。
2、反证法的关键是______________________。
这个矛盾可以是_________________________________ _____________________________________________________________________________________。
二、新课导学◆探究新知（预习教材P42～P43，找出疑惑之处） 问题1：把9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球都是同色的，你能证明这个结论吗？说说你的道理。
反证法的定义：反证法是指假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的方法。
◆应用示例例1已知0a ≠，证明关于x 的方程ax b =有且只有一个根。
解：例2．已知直线,a b 和平面α，如果a α⊄，b α⊂，且//a b ，求证：//a α。
◆反馈练习1．证明在ABC 中，若C ∠是直角，则B ∠一定是锐角。
2三、总结提升 ◆本节小结1．本节学习了哪些内容？ 答：学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（ ） A ．很好 B ．较好 C ． 一般 D ．较差新课标第一网系列资料 - 16 -二、当堂检测 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用（ ）。
（1）结论相反的判断，即假设；（2）原命题的条件； （3）公理、定理、定义等； （4）原结论 A 、（1）（2） B 、（1）（2）（4） C 、（1）（2）（3） D 、（2）（3）2.已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，用反证法求证0a >，0b >，0c >时的假设为___________________________。
反证法 （25张PPT）学案
4.6反证法导学案班级姓名学习目标：1、了解反证法的含义。
2、了解反证法的基本步骤。
3、会利用反证法证明简单命题。
4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。
学习重点：反证法的含义和步骤。
学习难点：用两种方法完成平行线的传递性的证明。
一．课前预学根据路边的李树上结满了成熟的果子，有人推断这棵树上李子的味道一定是苦的，你认为有道理吗？为什么？二、课中导学中国古代有一个《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?【思考】假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的.【总结归纳】王戎的推理方法是:提出假设推理论证得出矛盾结论成立【例】小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了，小华对小明说：“昨天晚上下雨了。
”你能对小华的判断说出理由吗？小华的理由吗：假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
反证法定义：在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.【知识拓展】用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．【例】求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角．已知：四边形ABCD.求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．【总结归纳】反证法的步骤一、提出假设：__________________________________二、推理论证：_______________________________三、得出矛盾:_______________________________四、结论成立：_______________________________求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.(1)你首先会选择哪一种证明方法?(2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?【总结归纳】用反证法证题时，应注意的事项 :（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.三、课后延学1．“a<b”的反面应是（）A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交3．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．4．如下图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______________________”矛盾，所以假设不成立，则______________．5．完成下列证明．如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是_________或_________．当∠B是_______时，则____________________，这与__________________________矛盾；当∠B是_______时，则__________________，这与___________________________矛盾．综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角．6.用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角．7.（中考•温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（） A．a=-2B．a=-1C．a=1D．a=28.（中考•通化）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°答案：1.D2.D3.（1）d是非正数（2）a<0（3）a≥54.两有且只有一条直线原命题成立5.直角钝角直角∠A+∠B+∠C>•180°三角形的内角和等于180°钝角∠A+∠B+∠C>•180°三角形的内角和等于180°6.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角.已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B、∠C是直角或钝角.∵AB=AC , ∴∠B=∠C .∵∠B、∠C是直角或钝角 , ∴∠A+∠B+∠C≥1800 .这与三角形内角和180°矛盾，所以假设不成立，原命题正确.7.A8.C。
反证法学案
《反证法》教案教材分析反证法又称归谬法。
用它来证明命题的基本过程分以下三个步骤：（1）做待证命题的否命题；（2）根据所做出的否命题，结合已知条件或已知的其他的真命题推导出和已知条件或已知的真命题相矛盾的地方；（3）否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性。
反证的批判思想有助于学生正确的认识客观世界。
中学阶段，是一个人形成价值观的重要阶段。
这些信息在学生头脑中留下各种是或非的印象，如何取其精华，去其糟粕？学生可以利用反证法。
我们现行的教材中，许多的内容可以说是矛盾的，学生如果能正确的分析问题，不是被动的接受书本或是教师的灌输，对其今后的学习、工作，无疑将有很大的帮助。
在教学过程中，我们重视的不是学生如何解决矛盾，而是非常高兴地看到学生利用反证法对客观世界的认识提出了自己的问题，正是反证法教学所要教给学生的。
这些正是学生学习数学应该学会的能力.教学目标(1)结合实例了解“反证法”，明确反证法证明命题的思路和步骤．(2)能应用反证法证明一些简单的数学命题。
（3）知道证明一个命题除用直接证法外，还有间接证法，开拓学生的视野，发展逻辑思维能力。
教学重点和难点重点：对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．难点：反证法证题中在推理过程中发现矛盾．教学过程设计（一）故事导入/Article/view/124411(二)复习回顾问题（1）：是有理数吗？/question/318987579.html(三)自主学习：问题（2）：为什么在直角三角形中只能有一个内角是直角？你会证明吗？通过以上实例归纳出定义：（四）自主探究：1、结合例1，探索“反证法”的三个步骤：(1)(2)(3)2、分析例2证明过程中的三个步骤：（五）精讲点拨：已知：直线a是直线c的垂线，直线b是直线c的斜线．求证：a与b必相交．（六）练一练：1、“a ＜ b”的反面应是（）A a ≠ bB a ＞ bC a = bD a = b 和a ＞ b2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角”时，应假设：3、用反证法证明：三角形最大的内角不能小于60°。
反证法高中数学教案
反证法高中数学教案
主题：反证法
教学目标：
1. 理解反证法的基本原理和应用方法；
2. 掌握运用反证法证明数学定理的能力；
3. 提高逻辑推理能力，培养思维严谨的数学思维。
教学内容：
1. 反证法的基本原理；
2. 反证法在证明数学定理中的应用；
3. 经典反证法例题分析。
教学步骤：
1. 引入反证法的概念，解释其基本原理；
2. 通过一个简单的例子，让学生体会反证法的思维过程；
3. 结合具体数学定理，教授学生如何运用反证法进行证明；
4. 给学生分发若干反证法相关的练习题，让他们在课堂上进行实践训练；
5. 教师梳理反证法的应用技巧和注意事项，强化学生的学习效果；
6. 结束课堂，布置反证法相关的家庭作业。
教学评估：
1. 基于课堂练习题，检查学生对反证法的理解和掌握情况；
2. 评判学生在应用反证法进行证明时的逻辑推理是否严谨；
3. 针对学生的反证法运用能力进行评估，给予相应的指导和补充。
教学延伸：
1. 拓展反证法在其他领域的应用，如物理学、哲学等；
2. 鼓励学生自主尝试应用反证法解决数学难题；
3. 组织讨论会，分享学生在反证法中的心得体会。
以上是一份反证法高中数学教案范本，希望能够帮助教师更好地设计和开展相关教学工作。
祝教学顺利！。
反证法教案初中
反证法教案初中教学目标：1. 理解反证法的概念和基本步骤；2. 能够运用反证法证明一些简单的数学命题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 反证法的概念和基本步骤；2. 运用反证法证明数学命题的方法。
教学难点：1. 反证法的理解和运用；2. 逻辑思维能力的培养。
教学准备：1. 反证法的教案和PPT；2. 相关的数学问题和解答。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的直接证明方法，如综合法、分析法等；2. 提问：有没有什么方法可以用来证明一个命题的否定呢？3. 引入反证法的概念。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解反证法的定义和基本步骤；2. 通过PPT展示反证法的证明过程；3. 举例讲解如何运用反证法证明一个命题的否定。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些简单的反证法练习题；2. 引导学生思考如何运用反证法解决实际问题。
四、巩固提高（15分钟）1. 让学生分组讨论，互相讲解如何运用反证法证明命题的否定；2. 教师选取一些学生的解答进行点评和指导。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结反证法的概念和步骤；2. 强调反证法在数学证明中的重要性和应用价值。
教学反思：本节课通过讲解反证法的概念和基本步骤，让学生掌握了运用反证法证明命题的否定的方法。
在课堂练习环节，学生能够独立完成一些简单的反证法练习题，对于如何运用反证法解决实际问题也有了更深入的思考。
然而，反证法的理解和运用仍需加强，学生在解决复杂问题时可能会遇到困难。
在今后的教学中，可以结合更多的实际例子和练习题，让学生更好地掌握反证法，并提高他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
数学学案：课前导引反证法
2。
3 反证法与放缩法
2.3.1 反证法
课前导引
情景导入
有这么一个故事：古时候，希腊国王想把俘虏来的囚犯处死，他决定让囚犯自己选择死法:囚犯可以任意说出一句话来,而且能立即知道这句话是真还是假,如果囚犯说的是真话，就处绞刑;如果说的是假话，就砍头.
结果,有一个囚犯说出了一句异常巧妙的话，使国王左右为难，既不能将他绞死，也不能将他砍头，你知道他说了句什么话吗?
他说:“要对我砍头。
”如果真的砍他的头,那么证明他说的是真话,就应该被绞死;如果不砍他的头，说明他说的是假话，就应砍他的头.无论处以绞刑,还是砍头,都没有办法执行国王原来的决定.于是这名囚犯被国王释放了.
反证法不仅用于生活中，它在证明不等式等问题中也应用广泛。
知识预览
假设结论不成立，经过推理,得到矛盾，从而否定假设得出所证的结论一定成立,这种证题方法叫反证法。
反证法是一种肯定题设而否定其结论,从而导出矛盾的一种推理方法,其步骤为:
（1)反设:作出与命题结论相反的假设；
（2）归谬:由作出的假设出发通过正确的推理导出矛盾；
（3）判断：断定产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的，从而肯定原命题是正确的。
反证法不同于“由因导果”的综合法,更不是“执果索因”的分析法，它的主要特征是“导出矛盾"，因此又叫“归谬法”.。
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§2.2.2 反证法
学习目标：1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点;
3. 会用反证法证明一些简单的问题.
一、课前准备（预习教材文P 42~ P 43，理P 89~ P 91找出疑惑之处）
复习1：直接证明的两种方法: 和 ;
复习2： 是间接证明的一种基本方法.
二、新课导学
探究任务：反证法
将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,如何证明这个结论?
1.概念：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .
2.反证法的理论依据：原命题__________和逆否命题_________同真假
2.步骤：大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
即：（1）假设结论不成立 （2）从假设出发，经过推理得出和假设的结论矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾（3）得出假设不成立，即原命题成立。
3.一些常见词语的否定形式：
是______；一定是______存在_______；平行于_______；垂直于_______；等于_______；大(小)于/______都是_______；至少有一个_______；至少有n 个_______；至多有一个_______；唯一_______ p 或q_______ p 且q_______对所有x 成立_______对任意x 不成立_______
4.导出的矛盾常见几种类型：（1）与已知条件矛盾；（2）与已知的公理、定义、定理、公式 矛盾；（3）与假设矛盾；（4）自相矛盾。
5.适用题型：(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论；（3）结论中含有“至多”，“至少”，“唯一”“不”、“不是”、“不可能”、“存在”，“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
练习：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）.
A ．假设三内角都不大于60︒
B ．假设三内角都大于60︒
C ．假设三内角至多有一个大于60︒
D ．假设三内角至多有两个大于60︒
2. 实数a,b,c 不全为0等价于为（ ）.
A ．a,b,c 均不为0
B ．a,b,c 中至多有一个为0
C ．a,b,c 中至少有一个为0
D ．a,b,c 中至少有一个不为0
3. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .
4. 用反证法证明命题“如果a>b,那么33b a >”的反设为 . 典型例题
例1： 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.
变式：（1）证明在ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.
（2）证明5,3,2不可能成等差数列.
例2.已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。
变式训练：求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
例3:求证：2不是有理数（理科）
例4：设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于
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变式训练1. 已知,0x y >,且2x y +>.试证:
11,x y y x ++中至少有一个小于2.
变式训练2.设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a
+++（ ）. A ．都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 课后作业 ：用反证法证明：若233=+b a ，求证.2≤+b a。