材料力学第七章小结
材料力学第7章讲解
根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横
衡方程： Fx 0
-FR + F2 F1 0
A
1 B 2C
FR=F2-F1=50-20=30kN
（2）计算各段轴力，研究AB段，假想
FR
1
2
F F N1
N2
F2
1-1截面将杆件分为两部分，取左端为研
A
究对象，画受力图，列方程：
1
2C
Fx 0 FN1-FR=0 FN1=FR=30kN
30kN
再研究BC段，假想2-2截面将杆件分为两部分， 取右端为研究对象，画受力图，列方程：
8
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
例题 试作此杆的轴力图。
40KN
55KN 25KN
20KN
解： 1、为求轴力方便，先求
出约束力 ∑Fx=0
-FR-F1+F2-F3+F4=0 FR=10KN
FR
取横截面1－1左边为分
A 600
B
C
300
500
D
E
400
1800 1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN
截面法求内力 1）假想沿 m-m 横截面将杆切开，如图a。
2）杆件横截面 m-m 上的内力是一个分布的力系，其合力为 FN
3）由于外力的作用线沿杆的轴线，同二力平衡公理，FN的作用线 也必定沿杆的作用线。
4） FN 为杆件在横截面 m-m 上的轴力。取左半部分为研究对象图b。
Fx 0
FN F
FN F 0 图a F
§7-3 轴向拉（压）时横截面及斜截面上的应力 （1）轴向拉（压）时横截面上的应力
材料力学教材第七章(孙国钧)上交版
τ
τ
图 7－8
d3 ≥
16T 16 × (1.5 × 103 N ⋅ m) = = 0.1273 × 10−3 m3 ， π [τ ] π (60 × 106 Pa)
即要求 d ≥ 50.3mm ，取 d=51mm。对于空心圆轴，要求其外径满足
16T 16 × (1.5 × 103 N ⋅ m) = = 0.2156 × 10−3 m3 ， 4 4 6 π (1 − α )[τ ] π (1 − 0.8 )(60 × 10 Pa) 即要求 d o ≥ 59.97mm 。取do=60mm，di=48mm。 空心轴与实心轴的材料用量比即空心轴的截面积Ah和实心轴的截面积AS之比 Ah (d o 2 − di 2 ) (602 − 482 )mm 2 = = = 0.498 As d2 512 mm 2 do3 ≥
（7－8）
（7－9）
很明显，圆轴扭转时的最大切应力发生在横截面的圆周上。上式中令 r=R 得到 M R τ max = x （7－10） Ip 最大切应力也可表示为 M τ max = x Wp 式中 （7－11）
（7－12） R 称为抗扭截面系数。它是截面的几何参数。Wp越大，则τmax越小，表示圆轴能承受的扭矩 也越大。这个参数表示截面的抗扭能力。对于直径为D的实心圆截面，其极惯性矩
Δx Δx T
T (b) 180° η T A
o T B
A (a)
B
C T (c) η
B o
C
图 7－1
T
能形成连续的圆轴。所以可以断定，圆轴扭转变形后所有的横截面都保持为平面，并且垂 直于轴线。 我们还可以对扭转时截面所在平面内的变形作进一步的推断。由于圆轴的轴对称性， 每一半径在变形后的形状应该是一样的。 如图 7－2a所示， 假定B端面上的半径oa变形后成 为曲线oa′，那么所有的半径都应该有相同的形状。将AB段圆轴绕 oη 轴旋转 180°，A端面
材料力学笔记(第七章)
材料力学（土）笔记第七章 应力状态和强度理论1．概 述在轴向拉压、圆杆扭转和对称弯曲各章中，构件的强度条件为max []σσ≤或max []ττ≤工作应力由相关的应力计算公式计算材料的许用应力是通过直接试验，测得材料相应的极限应力在受力构件的同一截面上，各点处的应力一般是不同的通过受力受力构件同一点处，不同方位截面上的应力一般也是不同的在一般情况下，受力构件截面内的一点处既有正应力、又有切应力若需对这类点的应力进行强度计算则不能分别按正应力和切应力来建立强度条件，而需综合考虑正应力和切应力的影响 一方面要研究通过该点各不同方位截面上应力的变化规律从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合即通过一点所有不同方位截面上应力的全部状况，称为一点处的应力状态关于材料破坏规律的假设，称为强度理论2．平面应力状态的应力分析·主应力为研究受力构件内任一点处的应力状态，可围绕该点截取一单元体 由于单元体各边长均为无穷小量故单元体各表面上的应力可视为均匀分布，且任意的一对平行的平面上的应力相等平面应力状态：若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内当其他两对平面上的正应力和切应力均不等于零时，为平面应力状态的普遍形式研究在普遍形式的平面应力状态下的应力分析即由单元体各面上的已知应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量并从而确定该点处的最大正应力及其所在截面的方位2.1 斜截面上的应力设一平面应力状态单元体上的应力为x σ、x τ和y σ、y τ前、后两平面上的应力为零，可将该单元体用平面图形表示为求该单元体与前、后两平面垂直的任一斜截面上的应力，应用截面法设斜截面ef 的外法线n 与x 轴间的夹角（方位角）为αα截面上的应力分量用ασ和ατ表示正应力以拉应力为正，压应力为负切应力以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负假想地沿斜截面ef 将单元体截分为二，取左边部分edf 为研究对象 设斜截面ef 的面积为dA ，斜截面上的应力ασ和ατ均为正值考虑体元平衡，以斜截面的法线n 和切线t 作为参考轴由平衡方程，得0n F =∑，(cos )sin (cos )cos (sin )cos (sin )sin 0x x y y dA dA dA dA dA ασταασααταασαα+-+-= 0tF =∑， (cos )cos (cos )sin (sin )sin (sin )cos 0x x y y dA dA dA dA dA ατταασααταασαα--++=由切应力互等定理可知，x τ和y τ的数值相等据此，可得平面应力状态下任斜截面（α截面）上的应力分量为cos 2sin 222x yx y x ασσσσσατα+-=+- sin 2cos 22x y x ασστατα-=+上面两个式子就是平面应力状态下，任一α截面上应力ασ和ατ的计算公式反映了在平面应力状态下，一点不同方位斜截面上的应力（ασ和ατ）随α角而变化的规律 即一点处的应力状态2.2 应力圆由上述两式可见，当已知一平面应力状态单元体上的应力x σ、x τ和y σ、()y x ττ=时 任一α截面上的应力ασ和ατ均以2α为参变量，从上两式小区参变量2α后，即得2222()()22x yx yx αασσσσσττ+--+=+ 由上式可见，当斜截面随方位角α变化时其上的应力ασ和ατ在στ-直角坐标系内的轨迹是一个圆其圆心位于横坐标轴（σ轴）上，其横坐标为2x yσσ+该圆习惯上称为应力圆，或称为莫尔应力圆下面根据所研究单元体上的已知应力x σ、x τ和y σ、()y x ττ=作出相应的应力圆，并确定α截面上应力ασ和ατ连接1和2两点的直线与轴交于点 以C 点为圆心，1CD 或2CD 为半径作圆该圆圆心的横坐标为2x yσσ+，半径1CD 或2CD 因而该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆由于D 的点坐标为(,)στ，因而，D 代表单元体x 平面上的应力CE就代表α截面上应力ασ和ατ证明如下（略）——教材P215应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标单元体上任意A ，B 两个面的外法向之间的夹角若为β，则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为2β，且两者转向一致应力圆直观地反映了一点处平面应力状态下任意斜截面上应力随截面方位角而变化的规律 以及一点处应力状态的特征实际应用中，可利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征，或分析一点处应力状态2.3 主应力与主平面由应力圆所示，1A 和2A 两点的横坐标分别为该单元体垂直于xy 平面的各截面上正应力中的最大值和最小值，在该两截面上的切应力均等于零 一点处切应力等于零的截面称为主平面主平面上的正应力称为主应力主应力是过一点处不同方位截面上正应力的极值可以证明，必存在这样一个单元体，其三个相互垂直的面均为主平面三个相互垂直的主应力分别记为1σ、2σ和3σ且规定按代数值大小的顺序排列，即123σσσ≥≥研究如何确定该单元体的主平面位置和主应力数值1A 和2A 两点的纵坐标均等于零，而横坐标分别为主应力1σ和2σ 由图可见，1A 和2A 两点的横坐标分别为 11OA OC CA =+，21OA OC CA =-式中，OC 为应力圆圆心横坐标，1CA 为应力圆半径则可得两主应力值为11()2x y σσσ=+11()2x y σσσ=+圆上的1D 点对应x 平面，圆上的1A 点对应1σ主平面 1102D CA α∠=为上述两平面夹角0α的两倍 所示单元体上从x 平面转到1σ主平面的转角为顺时针方向按规定应为负值，由应力圆可得1101tan(2)1()2x x y B D CB τασσ-==- 从而解得表示主应力1σ所在主平面位置的方位角 022arctan x xy τασσ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由于12A A 为应力圆直径，因而，2σ主平面与1σ主平面相互垂直3．空间应力状态的概念对于受力物体内一点处的应力状态最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力和切应力切应力可分解为沿坐标轴方向的两个分量 如x 平面上，有正应力x σ、切应力xy τ和xz τ切应力的两个下标中，第一个下标表示切应力所在平面，第二个下标表示切应力方向 在y 平面上有正应力y σ、切应力yx τ和yz τ；在z 平面上有正应力z σ、切应力zx τ和zy τ 这种应力状态称为一般的空间应力状态在一般的空间应力状态的9个应力分量中，根据切应力互等定理在数值上有xy yx ττ=、yz zy ττ=和zx xz ττ=因而独立的应力分量是6个，即x σ、y σ、z σ、xy τ、yz τ、zx τ可以证明，在受力物体内的任一点处一定可以找到一个主应力单元体其三对相互垂直的平面均为主平面，三对主平面上的主应力分别为1σ、2σ、3σ 空间应力状态时一点处应力状态中最为一般的情况仅一个主应力不等于零的应力状态，称为单轴应力状态对于危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算，通常需确定最大正应力和切应力 当受力物体内某一点处的三个主应力1σ、2σ和3σ均为已知时利用应力圆，可以确定该点处的最大正应力和最大切应力首先，研究与其中一个主平面（例如3σ平面）垂直的斜截面上的应力 应用截面法，沿该斜截面将单元体截分为二，研究其左边部分的平衡由于主应力3σ所在的两平面上是一对自相平衡的力，则该斜截面上的应力σ、τ与3σ无关 于是，这类斜截面上的应力可由1σ和2σ作出的应力圆上的点来表示而该应力圆上的最大和最小正应力分别为1σ和2σ同理，在与2σ（或1σ）主平面垂直的斜截面上的应力σ和τ可用由1σ和3σ（或2σ和3σ）作出的应力圆上的点来表示表示与三个主平面斜交的任意斜截面上应力σ和τ的D 点，必位于上述三个应力圆所围成的阴影范围内在空间应力状态下，该点处的最大正应力（代数值）等于最大的应力圆上A 点的横坐标max 1σσ=最大切应力等于最大的应力圆上B 点的纵坐标，为max 131()2τσσ=- 由B 点的位置可知，最大切应力所在截面与2σ主平面相垂直，并与1σ和3σ主平面互成45°角上述两公式同样适用于平面应力状态（其中有一个主应力等于零）或单轴应力状态（其中有两个主应力等于零），只需将具体问题中的主应力求出，并按代数值123σσσ≥≥排列4．应力与应变间的关系在一般的空间应力状态下有6个独立的应力分量与之相应的有6个独立的应变分量x ε、y ε、z ε、xy γ、yz γ、zx γ讨论在线弹性、小变形条件下，空间应力状态下应力分量与应变分量的物理关系通常称为广义胡克定律4.1 各向同性材料的广义胡克定律一般空间应力状态下单元体的6个独立应力分量中，3个正应力分量的正负号规定同前 而3个切应力分量的正负号规定如下：若正面（外法线与坐标轴正向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴正向一致或负面（外法线与坐标轴负向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴负向一致则该切应力为正，反之为负线应变以伸长为正，缩短为负切应变均以使直角减小者为正，增大者为负对于各项同性材料，沿各方向的弹性常数E 、G 、ν均分别相同由于各向同性材料沿任一方向对于其弹性常数都具有对称性因而，在线弹性、小变形条件下，沿坐标轴（或应力矢）方向正应力只引起线应变，而切应力只引起同一平面内的切应变线应变与正应力之间的关系可用叠加原理求得在x σ、y σ、z σ分别单独存在时，x 方向的线应变x ε依次分别为'x x E σε=，''y x E σευ=-，'''zx E σευ=-则在x σ、y σ、z σ同时存在时，可得x 方向的线应变同理可得，y 和z 方向线应变，分别为1[()]x x y z Eεσυσσ=-+ 1[()]y y z x Eεσυσσ=-+ 1[()]z z x y E εσυσσ=-+ 切应变与切应力之间的关系分别为xy xy G τγ=yzyz Gτγ= zx zx Gτγ= 上式即为一般空间应力状态下，在弹性、小变形下各向同性材料的广义胡克定律若已知空间应力状态下单元体的三个主应力，则沿主应力方向只有个线应变，无切应变 与主应力1σ、2σ、3σ相应的线应变1ε、2ε、3ε，称为主应变主应变为一点处各方位线应变中的最大与最小值 广义胡克定律可用主应力与主应变表示为11231[()]Eεσυσσ=-+ 22311[()]Eεσυσσ=-+ 33121[()]E εσυσσ=-+ 材料的三个弹性常数存在着如下关系2(1)E G υ=+4.2 各向异性材料的广义胡克定律木材、玻璃钢纤维增强复合材料的力学性能是与受力方向有关即是各向异性材料每一个应力分量将引起所有的6个应变分量4.3 各向同性材料的体应变构件在受力变形后，通常引起体积变化每单位体积的体积变化，称为体应变，用θ表示12312()Eυθσσσ-=++ 任一点处的体应变与该点处的三个主应力之和成正比5．空间应力状态下的应变能密度物体受外力作用而产生弹性变形时在物体内部将积蓄有应变能，每单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度在单轴应力状态下，物体内所积蓄的应变能密度为221222E v E εσσεε=== 对于在在线弹性、小变形条件下受力的物体所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值，而与加力的顺序无关设一单元体处于空间应力状态，三个主应力按比例加载方式同时由零增至最终值1σ、2σ、3σ对应于每一个主应力，其应变能密度可以视作该主应力在与之相应的主应变上所作的功 而其他两个主应力在该主应变上并不做功 因此，单元体的应变能密度为1122331()2v εσεσεσε=++ 经整理化简后， 2221231223311(2())2v Eεσσσυσσσσσσ=++-++ 一般情况下，单元体将同时发生体积改变和形状改变1231()3m σσσσ=++其中，m σ称为平均应力将主应力单元体分解为两种单元体的叠加在平均应力的作用下，单元体形状不变，仅发生体积改变 且三个主应力之和与原三个主应力之和相等故其应变能密度就等于原单元体的体积改变能密度，即 2222221(2())2V m m m m m m v Eσσσυσσσ=++-++ 21233(12)12()26m E E υυσσσσ--==++ 分解剩下的单元体的三个主应力和为零，故体积不变，仅发生形状改变其应变能密度就等于原单元体的形状改变能密度化简后可得2221223311[()()()]6d v Eυσσσσσσ+=-+-+- 可以证明，应变能密度=体积改变能密度+形状改变能密度V d v v v ε=+对于一般空间应力状态下的单元体，其应变能密度可用6个应力分量来表达在小变形条件下，对应每个应力分量的应变能均等于该应力分量与相应的应变分量乘积之半1(+)2x x y y z z xy xy yz yz zx zx v εσεσεσετγτγτγ=++++6．强度理论及其相当应力关于材料破坏或失效的假设，称为强度理论材料破坏或失效的基本形式有两种类型：一类是在没有明显的塑性变形情况下发生突然断裂，称为脆性破坏一类是材料产生显著的塑性变形而使构件丧失正常的工作能力，称为塑性屈服第一类强度理论是以脆性断裂作为破坏标志的其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论①最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论假设：最大拉应力t σ是引起材料脆性断裂的因素认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大拉应力t σ（即1σ）达到材料的极限应力u σ材料就会发生脆性断裂至于材料的极限应力u σ，则可通过单轴拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定按照这一强度理论，脆性断裂的判据是1u σσ=将式右边的极限应力除以安全系数，就得到材料的许用拉应力[]σ按照第一强度理论所建立的强度条件为1[]σσ≤上式中的1σ为拉应力在没有拉应力的三轴压缩应力状态下，不能采用第一强度理论来建立强度条件式中的[]σ为试样发生脆性断裂的许用拉应力不可能通过拉伸试验测得材料发生脆性断裂的极限应力u σ不能单纯地理解为材料在单轴拉伸时的许用应力②最大伸长线应变理论（第二强度理论）这一理论假设：最大伸长线应变t ε是引起材料脆性断裂的因素认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大伸长线应变t ε（即1ε）达到材料的极限值u ε材料就发生脆性断裂同理，材料的极限值同样可通过单轴拉伸试验发生的脆性断裂试验来确定若材料直到发生脆性断裂都可近似地看作线弹性，即服从胡克定律u u E σε=式中u σ及时单轴拉伸试样在拉断时其横截面上的正应力脆性断裂的判据为 1uu E σεε==由广义胡克定律可知，在线弹性范围内工作的构件处于空间应力状态下一点处的最大伸长线应变为11231[()]Eεσυσσ=-+ 上式可改写为 1231[()]u E Eσσυσσ-+= 或 123[()]u συσσσ-+= 将上式右边的u σ除以安全因数记得材料的许用拉应力u σ按第二强度理论所建立的强度条件为123[()][]συσσσ-+≤以上分析中引用了广义胡克定律，所以按照这一强度理论所建立的强度条件只适用于构件直到脆断前都服从胡克定律的情况第二类强度理论是以出现塑性屈服或发生显著的塑性变形作为失效标志的其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论③最大切应力理论（第三强度理论）这一理论假设：最大切应力max τ是引起材料塑性屈服的因素即认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大切应力max τ达到了材料屈服时的极限值u τ该点处的材料就发生屈服材料屈服时切应力的极限值u τ，同样可以通过单轴拉伸试样发生屈服的试验来确定 对于像低碳钢这一类的塑性材料，在单轴拉伸试验时材料就是沿最大切应力所在的45°斜截面发生滑移而出现明显的屈服现象的这时试样在横截面上的正应力就是材料的屈服极限s σ对于这一类材料，可得材料屈服时切应力的极限值u τ为2s u στ=按照这一强度理论，屈服判据为 max 2s u σττ==在复杂应力状态下一点处的最大切应力为 max 131()2τσσ=-式中，1σ和3σ分别为该应力状态中的最大和最小主应力屈服判据可改写为 1311()22s σσσ-= 或 13()s σσσ-= 将上式右边的s σ除以安全因数即得材料的许用拉应力[]σ故按第三强度理论所建立的强度条件为 13()[]σσσ-≤在上式右边采用了材料在单轴拉伸时的许用拉应力这只对于在单轴拉伸时发生屈服的材料才适用脆性材料，不可能通过单轴拉伸试验的到材料屈服时的极限值u τ对于这类材料在三轴不等值压缩的应力状态下发生塑性变形时式子右边的[]σ就不能选用材料在单轴拉伸时的许用拉力④形状改变能密度理论（第四强度理论）这一理论假设：形状改变能密度d v 是引起材料屈服的因素认为不论处于什么样的应力状态只要构件内一点处的形状改变能密度d v 达到了材料的极限值du v该点处的材料就发生塑性屈服对于像低碳钢一类的塑性材料因为在拉伸试验时当正应力达到s σ就会出现明显的屈服现象故可通过拉伸试验来确定材料的du v 值，可用2221223311[()()()]6d v Eυσσσσσσ+=-+-+- 将1s σσ=，230σσ==代入上式，从而求得材料的极限值du v 为2126du s v Eυσ+=⨯ 按照这一强度理论，屈服判据d du v v =可改写为222212233111[()()()]266s E Eυυσσσσσσσ++-+-+-=⨯ 可化简为s σ= 再将上式右边得s σ除以安全因数得到材料的许用拉应力[]σ于是按第四强度理论所建立的强度条件为[]σ 式中，1σ、2σ和3σ是构件危险点的三个主应力式子右边采用材料在单轴拉伸时的许用拉应力因而，只对在单轴拉伸时发生屈服的材料适用试验表明，在平面应力状态下一般地说，形状改变能密度理论较最大切应力理论更符合实验结果由于最大切应力理论是偏于安全的，且较为简单，实践中应用较为广泛四个强度理论所建立的强度条件可统一写作[]r σσ≤式中，r σ是根据不同强度理论所得到的构件危险点处三个主应力的某些组合按某一强度理论的相当应力对于危险点处于复杂应力状态的构件进行强度校核时一方面要保证所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应另一方面要求以确定许用应力[]σ的极限应力，也必须与该破坏形式相对应7．莫尔强度理论及其相当应力8．各种强度理论的应用根据试验资料，各种强度理论的适用范围归纳如下①强度理论均仅适用于常温，静荷载条件下的匀质、连续、各向同性的材料对于高温、冲击荷载下或材料带有初始裂纹时的材料强度不适用②不论是脆性或塑性材料，在三轴拉伸应力状态下，都会发生脆性断裂宜采用最大拉应力理论，但对于塑性材料，由于单轴拉伸试验不可能发生脆性断裂所以在按最大拉应力理论进行强度校核时，右边的[]σ不能取用单轴拉伸时的许用拉应力值 而应用发生脆断时的最大主应力1σ除以安全因数 ③对于脆性材料，在二轴拉伸应力状态下应采用最大拉应力理论在复杂应力状态的最大和最小主应力分别为拉应力和压应力的情况下由于材料的许用拉、压应力不等，宜采用莫尔强度理论④对于低碳钢一类的塑性材料，除三轴拉伸应力状态外各种复杂应力状态下都会发生屈服现象，一般以采用形状改变能密度理论为宜但最大切应力理论的物理概念比较直观，计算简捷，计算结果偏于安全因而常用最大切应力理论⑤在三轴应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材料通常都发生屈曲失效，故一般采用形状改变能密度理论但脆性材料的单轴拉伸试验不可能发生塑性屈服所以，许用应力[]σ也不能用脆性材料在单轴拉伸时的许用拉应力值根据强度理论可从材料在单轴拉伸时的许用拉应力[]σ来推知材料在纯剪切应力状态下的许用应力 在纯剪切应力状态下，一点处的三个主应力分别为123,0,στσστ===-对于低碳钢一类的塑性材料在纯剪切和单轴拉伸两种应力状态下，材料均发生屈服失效。
材料力学第18讲 Chapter7-2第七章 应力状态(应力圆)
x
y
2
R cos[180o
(2
20 )]
xy
x
2
y
R cos(2
20 )
O
xy
x
y
2
R(cos 2
cos 20
sin 2
sin 20 )
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin
2
D
A ( x , xy )
y R 2 20
E
C
x
B ( y , xy )
13
单元体与应力圆的对应关系
y y
y
10
a
64103 110103 3.206107 1012
219.6MPa
200
b
64103 100103 3.206107 1012
199.6MPa
10
c
64103 0 3.206107 1012
0.0MPa
120
10
c z
b a y
30
(Fs 160kN; M 64kN m)
xy
（3）以C 为圆心，AC为半径画圆
—应力圆或莫尔圆
O
xy
y
y
xy x
Ox
A ( x , xy )
y C
B ( y , xy )
x
10
3、单元体公式与应力圆的关系
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价 换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
x
x
x
0
y 1
材料力学各章重点内容总结
材料力学各章重点内容总结第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章 轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。
二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F Aσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。
五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F A σσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F A σσ=≤一定要有结论 2.设计截面[],maxN F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤七、线应变l l ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA∆= 注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。
会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。
九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l l lδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。
十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。
FXQ-材料力学-第7章
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无裂纹体
含裂纹体
7
强度失效判据与设计准则概述
屈服准则 最大切应力准则 形状改变比能准则 断裂准则 无裂纹体的断裂准则—最大拉应力准则 应用举例
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7
屈服准则
最大切应力准则
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刚度失效
7
构件失效概念与失效分类
失效分类
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屈曲失效 —由于平衡构形的突然转 变而引起的失效.
7
构件失效概念与失效分类
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构件失效概念与失效分类
7
失效分类
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第7章 强度失效分析与设计准则
构件失效概念与失效分类 强度失效判据与设计准则概述
屈服准则
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断裂准则
强度失效判据与设计准则的应用 结论与讨论
7
第7章 强度失效分析与设计准则
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构件失效概念与失效分类
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7
失效—由于材料的力学行为而使 构件丧失正常功能的现象.
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强度失效
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1989年，前苏联乌拉尔山，输气管爆裂，死伤 1024人
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构件失效概念与失效分类
失效—由于材料的力学行为而使
构件丧失正常功能的现象.
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构件失效概念与失效分类
材料力学小结
。
目录
第七章 小 结
1.压杆的稳定性 保持原有直线平衡状态的能力。 压杆临界稳定时所承受的压力。 2.压杆的临界压力 FCr
欧拉公式
μ：长度系数
Fcr
EI
2
( l )
2
压杆两端固定 0.5 压杆两端铰支
压杆一端铰支，一端固定 0.7 压杆一端固定，一端自由 惯性半径 i
b
2. 塑性材料的弹性范围
σ≤σe
3. 塑性材料的塑性指标 断后伸长率 ；断面收缩率 。 4.脆性材料的强度特征值 抗拉强度 b；抗压强度 b c 。 5. 极限应力的确定 塑性材料
0
s p 0.2 。
0
0 脆性材料拉伸 b ；脆性材料压缩
bc 。
建立补充方程
11 21 ... n1
12 22 n2
...
... ... ... ...
1n X 1 2n X 2
1F 2 F ... ... 0 ... nn X n nF
I A
1
2
3. 柔度（长细比） 4.临界应力
l
i
大柔度杆 P 中柔度杆 P s 小柔度杆 s
cr
E
2
cr a b
欧拉公式 直线公式 强度问题
目录
2
cr s
第八章 小结
一、强度条件 最大应力小于或等于许用值 强度校核； 截面设计； 确定许用载荷。 三类强度计算问题： （一）基本变形 1.拉压
材料力学总结
比能（应变能密度）：单位体积内的应变能，用u 表示。轴向拉压杆弹性比能：
第2章 剪切
2.1、工程中的剪切问题
在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：螺栓、铆钉、键、销等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。
受力特点：作用在构件两个相对侧面的横向外力的合力大小相等、方向相反、作用线相距很近。
塑性材料：曲线主要部分与拉伸曲线重合，弹性模量E、屈服点 相同，屈服阶段过后开始逐渐分叉。
脆性材料：抗压能力远比抗拉能力强。
1.6、轴向拉伸和压缩时的强度计算
（1）许用应力、极限应力、安全系数
许用应力：
极限应力：
安全系数：n
a）主观设定条件与客观实际之间的差距：如材料强度离散性、荷载估计不充分、计算公式近似、其他影响强度的因素。
变形规律分析：横截面上无正应力，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力t ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致，剪应力合力与外扭矩平衡。
（2）薄壁圆筒剪应力t 和应变
（3）剪应力（切应力）互等定理
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
横截面上的应力：设横截面积为A，则有拉伸（或压缩）正应力：
1.4、拉压变形与胡克定律
（1）拉（压）杆的轴向变形
杆件的轴向变形为 , ,式中 、 分别为变形前、后杆的长度。当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形。
纵向变形的胡克定律：
在比例极限内，杆的纵向变形△l与轴力N、杆长l成正比，与乘积EA成反比。乘积EA，称为杆的抗拉压刚度，其中E为材料的弹性模量。变形的正负号以伸长为正，缩短为负。
四、材料力学基本假设
《材料力学》第七章课后习题参考答案
题目二
说明杆件在拉伸或压缩时，其 应力与应变的关系。
题目三
一矩形截面梁，长度为L，截面 积为A，弹性模量为E，泊松比 为v，求梁的临界截面转角。
题目四
一圆截面杆，直径为D，弹性模 量为E，泊松比为v，求杆的临 界截面转角。
答案
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
答案一
材料力学的研究对象是 固体，特别是金属和复 合材料等工程材料。其 基本假设包括连续性假 设、均匀性假设、各向 同性假设和小变形假设 。
解析四
圆截面杆的临界截面转角是指杆在受到扭矩作用 时发生弯曲变形的角度。通过弹性力学和材料力 学的知识，我们可以计算出这个角度的值。其中 ，D表示杆的直径，E表示杆的弹性模量，v表示 杆的泊松比。
03
习题三答案及解析
题目
• 题目：一矩形截面简支梁，其长度为L，截面高为h，宽度为b，且h/b=2，梁上作用的均布载荷q=100N/m，试求梁上最大 弯矩值Mmax。
解释了材料力学的基本假设，包括连续性假设、 均匀性假设、各向同性假设和线性弹性假设。这 些假设是材料力学中常用的基本概念，对于简化 复杂的实际问题、建立数学模型以及进行实验研 究具有重要的意义。
题目二解析
强调了材料力学在工程实践中的重要性，说明了 它为各种工程结构的设计、制造、使用和维护提 供了理论基础和实验依据，能够保证工程结构的 可靠性和安全性。这表明了材料力学在工程实践 中的实际应用价值。
题目四解析
解释了材料力学中的应力和应变概念，说明了应 力表示单位面积上的内力，应变表示材料在受力 过程中发生的变形程度。这些概念是材料力学中 的基本概念，对于理解和分析材料的力学行为具 有重要的意义。
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材料力学第5版(孙训方编)第七章详解
由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以
2为参变量的求 斜截面上应力，的公式：
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
12
第七章 应力状态和强度理论
Ⅱ. 应力圆
为便于求得， ，也为了便于直观地了解平面应力
状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力 圆(莫尔圆)(Mohr’s circle for stresses)来表示。
7
第七章 应力状态和强度理论
(a)
(b) (c)
对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横 截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立 体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面 应力状态。
8
第七章 应力状态和强度理论
平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先 分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的 应力。
6
第七章 应力状态和强度理论
§7-2 平面应力状态的应力分析·主应力
平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不 同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对 平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应 力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪 切应力状态就属于平面应力状态(参见§3-4的“Ⅱ.斜截面 上的应力”)。受拉压时和圆截面 杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出： 一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处 的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根 据从该点处取出的微小正六面体── 单元体的三对相互 垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状 态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力 来表示。
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第七章 弯曲
四个重点：（1）利用截面法计算弯曲内力，会用内力方程和微分关系绘制弯矩、剪力图；
（2）计算横截面上一点的正应力计算公式，掌握横截面上正应力的分布规律
（3）掌握矩形杆件横截面上切应力的分布规律和横截面上一点的计算公式，
（4）弯曲变形条件：边界条件、连续条件
本章要点：
1．平面弯曲：梁的挠曲线与外力所在平面相重合
2．常用梁的模型：一端是固定铰支约束，另一端可动铰支约束，为简支梁；
一端为固定约束，另一端自由，即没有约束，为悬臂梁
3．务必掌握用截面法求弯曲内力分量：剪力、弯矩，注意其正负号的规定，可以引申出以下内容：
剪力F Sy ：作用线平行于横截面；大小等于该截面左侧或右侧（保留部分）梁上所有横向外力的合力值；正负号：使杆件发生逆时针转动的趋势为正，反之为负。
弯矩Mz ：矩失沿z 轴；其值等于该截面左侧或右侧（保留部分）梁上所有外力向截面形心取矩的代数和；正负号：使杆件下部受拉为正，反之为负。
建议：求截面F S 和M z 时，均按规定正向假设
4．掌握内力方程的计算：
内力方程：梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的，描述这种变化的数学表达式
并会用内力方程绘制内力图；
5．用弯矩、剪力、与外力均布荷载的微分关系绘制内力图：
()()()()()(),,,22x q dx
x dM x F dx x dM x q dx x dF z sy z sy ＝＝＝-- 6 .掌握横截面上正应力的分布规律和横截面上一点计算公式：z
I My =
σ 掌握矩形杆件横截面上一点切应力的分布规律和计算公式。
22()24
sy xy z F h y I τ=-，max 32sy F A τ= 7．理解并掌握 中性轴、中性层、截面惯性矩、静矩、弯曲中心的概念，掌握平行移轴公式，会计算组合图形的形心，截面惯性矩，
8．了解工子行型钢的横截面的切应力分布
9．弯曲变形中挠度、转角的定义
10．利用z
EI M =ρ1
推导梁的挠曲线近似微分方程， v EI M z z ''= 转角方程：C x EI x M x v x z z +==
⎰d )(d d )(θ 挠度方程：D Cx x x EI x M x v z z ++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎰⎰d d )()( 利用变形条件（边界条件和连续条件）计算常数C 、D 会写出构件边界条件和连续条件的表达式。
11． 理解叠加法原理计算变形。