九年级奥数：抛物线的平移、翻折与旋转
抛物线的图形变化
查询，编制一两道关于抛物线变 换的问题
y
旋转变换 抛物线的旋转
y
=2(x+2)2
-1
P1 (2, 1)
x
转 化
点的旋转
P (-2,-1)
y
=-2(x+2)2 -1
ห้องสมุดไป่ตู้
y =-2(x-2)2 +1
y=a（x+m）2+k 平移变换
轴对称变换
a 不变
顶点（－m，k） 变
（－m，－k） （m，k） （－m，k） （m，－k）
x轴 y轴
绕顶点 （1800） 绕原点 （1800）
则平移后的抛物线
再向上平移1个单位 _____________________________
经过原点
3.已知二次函数 y = x2 2x 3 .
D
y
(0,3)
x
(0,-3)
4.已知二次函数 y=2（x+3）2－1 .
(1) 将图象绕原点旋转 180°后得到的函数图 y=－2（x-3）2+1 象的解析式为______________. (2)将图象绕点（0,1）旋转180°后得到的函 y=2（x-3）2+3 数图象的解析式为______________.
y
平移变换 抛物线的平移
y =2(x+2)2 -1
y =2(x-3)2 -1
x
转 化
点的平移
P (-2,-1)
(3,-1)
y
轴对称变换 抛物线的轴对称
y
=2(x+2)2
-1
(-2,1)
P1
y =2(x-2)2 -1
x
函数中的图形平移、旋转、折叠问题及其解法
函数中的图形平移、旋转、折叠问题及其解法一、函数中的图形平移问题[例1]（2003年 上海）已知一条直线经过点A （0，4）、点B （2，0）（如图1），将这条直线向左平移与x 轴负半轴，y 轴负半轴分别交于点C 、点D ，使DB=DC 。
求以直线CD 为图象的函数解析式。
[思路分析]因为直线经过A （0，4）、B （2，0）两点，所以可得以直线AB 为图象的一次函数解析式为y=-2x+4.由于DC//AB ，设以直线CD 为图象的一次函数解析式为y=-2x+b ，由于DB=DC ，所以DB=DC ，DO ⊥BC,所以OB=OC ，点C 的坐标是（-2，0），得b=-4，所以以直线CD 为图象的一次函数解析式为y=-2x-4【点拨】（1）直线平行则斜率k 相同（2）注意函数题目中几何图形的发现、几何性质的应用，（如等腰△BDC 三线合一），而这一点在解这类问题时都要注意。
[例2]（2005年 卢湾23）已知抛物线y=x 2-2x-8,若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （点A 在点B 的左侧），且它的顶点为P 1）求t g ∠PAB 的值2）如果要使∠PAB=45需将抛物线向上平移几个单位？[思路分析]1）由抛物线的解析式可以求出点A （-2，0）、B （4，0）、P （1，-9）， 由点A 、B 、P 的坐标可以求出等腰△PAB 的底边长及底边上的高PH ，从而求出t g ∠PAB 的值为3。
2)设抛物线向上平移k 个单位，平移后的解析式为y=x 2-2x-8+k,此时AB=212214)(x x x x -+=)8(44--k =2k -9（k ﹤9）, PH=9-k,由△PAB 是等腰直角三角形（如图2），可得AB=2PH ，即2k -9 =2（9-k ） , 解得k 1=8,k 2=9(舍去)，所以需要将抛物线向上平移8个单位。
【点拨】（1）抛物线上下平移时，解析式y=ax 2+bx+c 中a,b 不变。
二次函数--抛物线的平移、翻折、旋转
22.1.4(5)---抛物线的平移、翻折、旋转
一．【知识要点】
1.抛物线的平移、翻折、旋转：图像平移.口诀：左加右减，上加下减.
二．【经典例题】
1.①将抛物线223y x x =-+向左平移3个单位,再向下平移5个单位后所得抛物线的解析式为________.
三．【题库】
【A 】
1．抛物线y=﹣x 2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（ ）
A ．y=﹣（x+1）2
B ．y=﹣（x ﹣1）2
C ．y=﹣x 2+1
D ．y=﹣x 2﹣1
【B 】
【C 】
1．将抛物线y=（x ﹣1）2+3关于y 轴对称后所得抛物线的表达式为（ ）
A ．y=-（x+1）2 +3
B ．y=（x+1）2+3
C ．y=-（x-1）2-3
D ．y=（x+1）2-3
【D 】
1．如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣2，0）和C，O 为坐标原点．
（1）求抛物线解析式；
（2）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．。
人教版九年级数学上册23.1《平移翻折旋转》说课稿
4.使用多媒体教学手段，如动画演示、虚拟现实等，增加课堂的趣味性和直观性，帮助学生更好地理解和记忆几何变换的概念和性质。
5.鼓励学生分享自己的发现和思考，培养他们的表达能力和自信心。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
本节课我将采用以下主要教学方法：
选择这些方法的理论依据是，它们能够充分调动学生的主观能动性，促进学生的思维发展和能力提升，符合学生认知发展的规律，同时也能够满足课程标准对学生的要求。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源或技术工具来辅助教学：
1.白板和黑板：用于板书和展示解题过程。
2.多媒体投影仪：播放教学视频、动画演示等，帮助学生直观理解几何变换。
人教版九年级数学上册23.1《平移翻折旋转》说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课的内容是《平移翻折旋转》，是人教版九年级数学上册第二章“图形的相似”中的重要组成部分。本章主要研究平面几何中图形的变换，而本节课则是对平移、翻折和旋转这三种基本变换的初步认识。在整个课程体系中，它起到了承前启后的作用，为后续学习图形的对称、相似等知识打下基础。
（五）作业布置
课后作业将包括以下内容：
1.完成教材上的练习题，以巩固课堂所学知识。
2.设计一个简单的几何变换问题，让学生运用所学知识解决，并撰写解题过程。
3.收集生活中的几何变换实例，分析其数学原理，并准备在下一节课上分享。
作业的目的是巩固学生对课堂所学知识的理解和应用，培养他们的独立思考和解决问题的能力，同时激发他们对数学的兴趣和好奇心。
主要知识点包括：
1.平移变换：定义、性质及坐标表示。
抛物线的平移复习
抛物线的平移、翻折、旋转复习一、抛物线平移思考题1. 把抛物线22x y =向左平移3个单位得到抛物线2. 把抛物线22x y =向上平移2个单位得到抛物线3. 把抛物线22x y =向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线4. 抛物线2)1(22-+=x y 可由抛物线1)2(22+-=x y 作怎样的平移得到？5. 抛物线122+-=x x y 可由抛物线122-+=x x y 作怎样的平移得到？二、抛物线翻折思考题1. 把抛物线C ：322--=x x y 沿x 轴对折后得到抛物线C 1，求抛物线C 1的解析式。
2. 把抛物线C ：322--=x x y 沿y 轴对折后得到抛物线C 2，求抛物线C 2的解析式。
三、抛物线旋转思考题1.把抛物线C ：22-+=x x y 绕原点旋转180°后得到抛物线C 1，求抛物线C 1的解析式。
2.把抛物线C ：22-+=x x y 绕点（2，1）旋转180°后得到抛物线C 2，求抛物线C 2的解析式。
四、中考摘要训练题1. 作抛物线C 关于x 轴对称后得到抛物线C 1,再将C 1向左平移2个单位，向上平移1个单位得到的抛物线是1)1(22-+=x y ，则抛物线C 的解析式为 。
2.抛物线c bx x y ++=2的顶点为M ，当M 在直线47-=x y 上移动时，求c 最小时，点M 的坐标。
3.抛物线22-+=x x y 只把x 轴下方的部分沿x 轴对折到x 轴上方得到一个新图像，当直线y=x+b 与新图像只有两个公共点时，求b 的取值范围。
4.抛物线C: 22-+=x x y 与直线AB ：y=x+2相交于A 、B 两点,把抛物线C 绕对称轴上一点P 旋转180°后得到抛物线C 1，抛物线C 1与线段AB 有公共点， 求点P 的纵坐标y p 的取值范围。
二次函数几何变换
注意问题：
1.是否可取等号问题 2.解析式是否发生变化 3.是否考虑全面
练1.二次函数 y = x2 + bx + c 的顶点坐标为M（1，-4）.
（1）求二次函数的解析式 （2）将二次函数的图象在X轴下方的部分沿X轴翻折，图象的 其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答： 当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围
△△△ >0 =0 <0 21无 个个交 交交点 点点
3 与非平行于坐标轴的直线交点
y
y=kx+b
x
基础练习
(1)判断直线y x 1
y 与x抛2 物3x线 1
交点情况？
如果有交点，请求y 出交x 点1 坐标。 解：联立 y x2 3x 1
x2 2x 0
得
△ =4 >0
所以有两个交点，交点坐标为（0，1）和（2，-1）
平移后的抛物线与 直线联立，根据判 别式来进行确定。
n=0
解题思路：
1 列出平移后的函数 解析式。 y=4x+6+n B(-1-n,0) C(3-n,0)
二次函数 几何变换与交点问题
新东方初中数学组 张志安
平移 旋转 翻折
一 平移
抛物线平移问题
例1.将抛物线 y = 2x2 + 4x - 3 向右平移3个单位， 再向上平移5个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
方法一：顶点平移
y = 2x2 + 4x - 3 = 2(x +1)2 - 5
顶点坐标为（－1，－5）
y 2x2 - 4x - 2
练1：
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的计算及应用
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的计算及应用初中数学知识归纳：平移、旋转和翻折的计算及应用数学是一门综合性的科学学科，在初中阶段，学生们逐渐接触和学习各种数学知识，其中包括平移、旋转和翻折等几何变换的计算和应用。
本文将对初中数学中平移、旋转和翻折的相关知识进行归纳和探讨。
一、平移的计算和应用平移是指将图形按照指定的方向和距离在平面上等距移动的几何变换。
在计算平移时，首先需要确定平移的向量，然后将图形上的每个点沿着该向量进行移动，最终得到平移后的图形。
平移的计算中，常用的方法是矩阵表示法。
设平移的向量为(t, u)，对于坐标为(x, y)的点，平移后的坐标可表示为(x+t, y+u)。
通过这个方法，我们可以方便地计算出平移后的图形。
平移的应用很广泛，常见的有地图标记、图像移动等。
例如，在地图上标记某个地点时，可以通过平移地图将该地点移至视野中心，使得标记更加清晰明了。
二、旋转的计算和应用旋转是指将图形绕着一个点进行转动的几何变换。
在计算旋转时，需要确定旋转的中心和旋转的角度，然后将图形上的每个点绕着中心按照指定的角度进行旋转，最终得到旋转后的图形。
旋转的计算可以通过矩阵表示法来进行。
设旋转的中心为(A, B)，旋转的角度为θ，对于坐标为(x, y)的点，旋转后的坐标可表示为：x' = A + (x - A)cosθ - (y - B)sinθy' = B + (x - A)sinθ + (y - B)cosθ通过这个公式，我们可以方便地计算出旋转后的坐标。
旋转也有很多应用场景。
例如，在建筑设计中，可以通过旋转模型来展示不同角度的建筑效果，帮助人们更好地了解建筑物的外观和结构。
三、翻折的计算和应用翻折是指将图形按照一条直线进行折叠的几何变换。
在计算翻折时，需要确定折叠的直线，然后将图形上的每个点沿着该直线进行折叠，最终得到翻折后的图形。
翻折的计算相对简单，只需将每个点关于折叠线进行对称，即可得到翻折后的坐标。
初三数学几何三大变换（旋转、平移、翻折）知识点汇总
初三数学几何三大变换（旋转、平移、翻折）知识点汇总初三数学——几何变换平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。
所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。
旋转一、旋转的定义二、常见的几种模型三、旋转类型题目1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。
3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
平移1、平移的定义把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。
2、平移的两个要素：（1)平移方向；（2）平移距离。
3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。
4、平移方向和距离的确定（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？A. 若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。
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九年级奥数：抛物线的平移、翻折与旋转
阅读思考
类似平面几何，在直角坐标系中，我们可以对抛物线实施平移、翻折与旋转等变换．抛物线在变换中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变．解与此相关问题的关键是：确定变换前后顶点坐标及开口方向．
问题解决
例1 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线则平移
前抛物线的解析式为_____________．
例2 有3个二次函数，甲：丙：．则下列叙述
中正确的是（ ）．
A ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合
B ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合
C ．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合
D ．甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合
例3 如图，抛物线E ：y =x 2+4x +3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点。
抛物线E 关于y
轴
对称的抛物线F 交x 轴于C 、D 两点．
（1）求F 的解析式；
（2）在x 轴上方的抛物线F 或E 上是否存在一点N ，使以A 、C 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由；，
（3）若将抛物线E 的解析式改为，试探索问题（2）．
例 4 对于任意两个二次函数，当
时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有记过三点的二次函数抛物线为“C □□□”（“□□□”填写相应三个点的字母）． ,422x x y +-=;1:;122+-=-=x y x y 乙122-+=x x y c bx ax y ++=
2)0(,212222211211=/++=++=a a c x b x a y c x b x a y 21|||a a =)0,1(),0,1(,B A ABM -∆
（1）若已知M （0，1），△ABM ≌△ABN （图1），请通过计算判断C ABM 与C ABN 是否为全等抛物线；
（2）在图2中，以A 、B 、M 三点为顶点，画出平行四边形．
①若已知M （0，n ），求抛物线C ABM 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线解析式．
②若已知M （m ，n ），当m ，n 满足什么条件时，存在抛物线C ABM ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C □□□”；若不存在，请说明理由．
例5 已知二次函数的图象是c 1
（1）求c 1关于R （1，0）成中心对称的图象c 1的函数解析式；
（2）设曲线c 1 、c 2与y 轴的交点分别为A ，B ，当AB =18时，求a 的值．
数学冲浪
1． 抛物线如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式为_________．
2．已知抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y =x 2，
则b 与c 的值分别为_____________．
3．如图，将抛物线沿x 轴翻转到虚线的位置，那么，所得到的抛物线的解析式为（ ）．
A 、
B 、
C 、
D 、
4．作抛物线c 1关于x 轴对称的抛物线c 2，再将抛物线c 2向左平移2个单位，向上平移1个
单位，得到的抛物线c 的函数解析式是y =2（x +1）2-1，则抛物线c 1所对应的函数解析式是
（ ）．
A 、
B 、
1442-++=a ax ax y c bx x y ++=2αc bx x y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++-=2c bx ax y +--=2c bx ax y ---=2c bx ax y -+-=
22)1(22-+-=x y 2)1(22++-=x y
C 、
D 、
5．已知抛物线，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得 到一条新的抛物线．
（1）求平移后的抛物线的解析式；
（2）若直线与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m 的取值范围；
（3）若将已知的抛物线解析式改为，并将此抛物线沿x 轴
方向向左平移个单位长度，试探索问题（2）．
6．如图，已知抛物线如：．y =x 2-4的图象与x 轴交于A 、C 两点．
（1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式；
（2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D ，求证：D 点在l 2上；
（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图象上，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．
2)1(22---=x y 2)1(22+--=x y 142+-=x x y m y =)0,0(2<>++=b a c bx ax y a
b
-。