模拟退火算法基本原理介绍
模拟退火算法解决优化问题
模拟退火算法解决优化问题模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种基于模拟固体退火过程的全局优化算法，被广泛应用于解决各种优化问题。
它的基本思想源于固体退火过程中的原子热运动，通过模拟原子在退火过程中的状态变化，寻找全局最优解。
本文将介绍模拟退火算法的基本原理、算法流程以及在解决优化问题中的应用。
一、模拟退火算法的基本原理模拟退火算法的基本原理来自于固体物理学中的固体退火过程。
在固体退火过程中，固体在高温下加热后逐渐冷却，原子会随着温度的降低而逐渐趋于稳定状态。
类比到优化问题中，算法在搜索过程中允许一定概率接受比当前解更差的解，以避免陷入局部最优解，最终达到全局最优解。
二、模拟退火算法的基本步骤1. 初始化：随机生成初始解，并设定初始温度和终止条件。
2. 选择邻域解：根据当前解生成邻域解。
3. 接受准则：根据一定概率接受邻域解，更新当前解。
4. 降温策略：根据降温策略逐渐降低温度。
5. 终止条件：达到终止条件时停止搜索，输出最优解。
三、模拟退火算法的应用模拟退火算法在解决各种优化问题中都有广泛的应用，包括组合优化、函数优化、图像处理等领域。
下面以组合优化问题为例，介绍模拟退火算法的具体应用。
1. 旅行商问题（TSP）：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条最短路径经过所有城市并回到起点。
模拟退火算法可以通过不断调整路径来寻找最优解。
2. 排课问题：在学校排课过程中，需要合理安排老师和班级的上课时间，避免冲突和空闲时间过长。
模拟退火算法可以优化排课方案，使得课程安排更加合理。
3. 装箱问题：在物流领域中，需要将不同大小的物品合理装箱，使得装箱空间利用率最大化。
模拟退火算法可以帮助优化装箱方案，减少空间浪费。
四、总结模拟退火算法作为一种全局优化算法，具有较好的全局搜索能力和收敛性。
通过模拟退火算法，可以有效解决各种优化问题，得到较优的解决方案。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点调整算法参数和策略，进一步提高算法的效率和准确性。
matlab模拟退火算法
matlab模拟退火算法Matlab模拟退火算法一、什么是模拟退火算法？模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种全局优化算法，可以用于求解复杂的优化问题。
它最初是由Metropolis等人在1953年提出的，后来由Kirkpatrick等人在1983年正式命名并发扬光大。
模拟退火算法的思想来源于固体物理学中的“退火”过程，即将高温下的固体材料慢慢冷却至室温，使其内部结构逐渐趋于平衡状态。
二、模拟退火算法原理模拟退火算法是一种基于随机搜索的优化方法。
它通过引入一个“温度”参数来控制搜索过程中的随机性和跳出局部极值。
具体来说，模拟退火算法包含以下三个主要步骤：1.初始化：设定初始状态和初始温度。
2.迭代搜索：在当前状态附近进行随机搜索，并以一定概率接受劣解。
3.降温策略：逐步降低温度，并调整接受劣解的概率。
其中，在迭代搜索阶段，我们需要定义一个能量函数（目标函数），用来评价每个状态的优劣程度。
在搜索过程中，我们随机生成一个新状态，并计算其能量差（ΔE）与当前状态的能量差（E）。
如果ΔE<0，则接受新状态；否则以一定概率接受劣解，概率与ΔE和当前温度有关。
三、Matlab实现模拟退火算法在Matlab中，我们可以通过编写程序来实现模拟退火算法。
下面是一个简单的例子，用来求解函数f(x)=x^2的最小值：1.定义能量函数：function E = energy(x)E = x^2;2.初始化参数：x0 = 10; % 初始状态T0 = 100; % 初始温度alpha = 0.99; % 降温系数kmax = 1000; % 最大迭代次数3.迭代搜索：x = x0;T = T0;for k=1:kmax% 随机生成新状态xn = x + randn(1);% 计算能量差dE = energy(xn) - energy(x); % 接受劣解的概率p = exp(-dE/T);if dE<0 || rand()<px = xn;end% 降温策略T = alpha*T;end4.输出结果：fprintf('最小值：%f\n', energy(x)); fprintf('最优解：%f\n', x);通过运行上述程序，我们可以得到最小值为0，最优解为0。
模拟退火算法简单易懂的例子
模拟退火算法简单易懂的例子
模拟退火算法是一种基于概率的算法，来源于固体退火原理。
下面以一个简单的例子来说明模拟退火算法：
想象一个有十个元素的数组，代表一个能量状态，每个元素都有一个能量值。
开始时，所有元素都处于最高能量状态。
我们的目标是找到最低能量的状态，即最优解。
模拟退火算法的工作原理如下：
1. 从最高温度开始，逐渐降低温度。
在每个温度下，算法会尝试各种元素的组合方式，并计算其能量。
2. 在温度较高时，算法会尝试各种组合，并接受能量增加的“移动”，因为这些增加的能量对应于更高的温度，所以被接受的概率更大。
3. 随着温度的降低，算法开始更多地考虑能量的减少。
如果一个状态比前一个状态的能量更低，那么它一定会被接受。
但如果一个状态的能量比前一个状态的能量高，那么它会被以一定概率接受。
这个概率随着温度的降低而减小。
4. 重复上述过程，直到达到终止温度。
这时，算法已经找到了最低能量的状态。
模拟退火算法可以找到全局最优解，而不是局部最优解。
这是因为算法在搜索过程中会接受一些次优解（即能量增加的“移动”），以便跳出局部最优解，探索更广阔的解空间。
以上内容仅供参考，如果需要更多信息，建议查阅相关文献或咨询专业人士。
模拟退火算法原理
模拟退火算法原理模拟退火算法是一种基于统计力学原理的全局优化算法，它模拟了固体物质退火过程中的原子热运动，通过不断降低系统能量来寻找全局最优解。
该算法最初由Kirkpatrick等人于1983年提出，被广泛应用于组合优化、神经网络训练、图像处理等领域。
模拟退火算法的原理基于一个基本的思想，在搜索过程中允许一定概率接受劣解，以避免陷入局部最优解。
其核心思想是通过随机扰动和接受概率来逐渐减小系统能量，从而逼近全局最优解。
算法流程如下：1. 初始化温度T和初始解x；2. 在当前温度下，对当前解进行随机扰动，得到新解x'；3. 计算新解的能量差ΔE=E(x')-E(x)；4. 若ΔE<0，则接受新解x'作为当前解；5. 若ΔE>0，则以一定概率P=exp(-ΔE/T)接受新解x'；6. 降低温度T，重复步骤2-5，直至满足停止条件。
在模拟退火算法中，温度T起着至关重要的作用。
初始时，温度较高，接受劣解的概率较大，有利于跳出局部最优解；随着迭代次数的增加，温度逐渐降低，接受劣解的概率减小，最终收敛到全局最优解。
模拟退火算法的关键参数包括初始温度、降温速度、停止条件等。
这些参数的选择对算法的性能和收敛速度有着重要影响，需要根据具体问题进行调整。
总的来说，模拟退火算法通过模拟物质退火过程，以一定概率接受劣解的方式，避免了陷入局部最优解，能够有效地寻找全局最优解。
它在解决组合优化、参数优化等问题上表现出了很好的性能，成为了一种重要的全局优化算法。
通过对模拟退火算法原理的深入理解，我们可以更好地应用该算法解决实际问题，同时也可以为算法的改进和优化提供理论基础。
希望本文的介绍能够对大家有所帮助。
模拟退火算法基本原理介绍(可编辑修改word版)
模拟退火算法一、模拟退火算法概念模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。
根据Metropolis 准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E 为温度T 时的内能，ΔE 为其改变量，k 为Boltzmann 常数。
用固体退火模拟组合优化问题，将内能E 模拟为目标函数值f，温度T 演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i 和控制参数初值t 开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。
退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t 及其衰减因子Δt、每个t 值时的迭代次数L 和停止条件S。
二、模拟退火算法的模型模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
模拟退火的基本思想:(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T 值的迭代次数L(2) 对k=1，……，L 做第(3)至第6 步：(3)产生新解S′(4)计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5)若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7)T 逐渐减少，且T->0，然后转第2 步。
算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
模拟退火原理
模拟退火原理引言：模拟退火是一种基于物理退火过程的优化算法，常用于解决复杂的优化问题。
它通过模拟固体物质退火时的晶体结构变化，寻找全局最优解。
本文将介绍模拟退火原理及其应用领域。
一、模拟退火原理1. 模拟退火的概念模拟退火算法是一种基于模拟固体物质退火过程的优化算法。
物理退火是将物质加热至高温后缓慢冷却，使得其晶体结构逐渐达到最低能量状态。
同样地，模拟退火算法通过随机搜索和接受概率来避免陷入局部最优解，从而寻找全局最优解。
2. 算法步骤模拟退火算法包括初始化、状态更新和接受概率三个主要步骤：（1）初始化：确定问题的初始解及初始温度。
（2）状态更新：通过随机扰动当前解，生成一个新解。
新解可以是更优解、劣解或相同解。
（3）接受概率：根据Metropolis准则，确定是否接受新解。
接受劣解的概率随着温度的降低而逐渐减小。
（4）温度更新：降低温度，减小接受劣解的概率，逐渐趋向于全局最优解。
二、模拟退火的应用领域1. 组合优化问题模拟退火算法可以用于解决组合优化问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过不断更新状态，模拟退火算法能够搜索到接近最优解的解空间。
2. VLSI物理设计在Very Large Scale Integration（VLSI）物理设计中，模拟退火算法可以用于解决芯片布局问题。
通过优化芯片上各个模块的布局，可以提高芯片性能和功耗。
3. 机器学习模拟退火算法在机器学习领域也有广泛应用。
例如，在神经网络训练中，可以利用模拟退火算法调整网络参数，以提高模型的泛化能力。
4. 图像处理图像处理中的一些问题，如图像分割、图像匹配等，可以通过模拟退火算法求解。
通过不断调整参数，可以得到更好的图像处理效果。
5. 物流优化模拟退火算法可以应用于物流优化问题，如货物配送路径规划、仓库布局等。
通过优化路径和布局，可以降低物流成本、提高运输效率。
结论：模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法，通过模拟固体物质的退火过程，寻找全局最优解。
模拟退火算法
模拟退火算法（Simulated Annealing）是一种随机优化算法，其基本思想是将问题转化为能量最小化问题，在解空间中以概率形式进行搜索空间，从而达到全局优化的目的。
一、算法原理的原理源于冶金学中的“模拟退火”过程。
在冶金学中，模拟退火是一种将材料加热到足够高的温度，使得原子以无序方式排列，并随着温度逐渐下降，原子逐渐重新排列成为有序状态的过程。
类似地，在算法中，模拟退火过程由三个参数组成：初始温度、降温速率和停止温度。
算法从一个初始解开始，随机产生新解，并计算新解与当前解之间的能量差。
如果新解的能量小于当前解的能量，则直接接受新解，如果新解的能量大于当前解的能量，则以一定的概率接受新解，以避免过早陷入局部最优解。
通过不断降温的过程，在搜索空间中进行随机跳跃，并慢慢收敛到全局最优解。
二、算法流程的流程如下：1. 设定初始温度、降温速率和停止温度。
2. 随机生成一个初始解，并计算其能量。
3. 生成一个新解，并计算新解与当前解之间的能量差。
4. 如果新解的能量小于当前解的能量，则接受新解。
5. 如果新解的能量大于当前解的能量，则以一定的概率接受新解。
6. 降温，更新温度。
7. 判断算法是否收敛，如果未收敛则返回步骤2。
三、应用场景广泛应用于组合优化问题、图论问题、生产调度问题等领域。
例如：1. 旅行商问题：在旅行商问题中，可以通过搜索空间中随机跳跃的方式找到最短路径，从而达到全局最优解。
2. 排课问题：在学校的排课问题中，可以帮助学校最优化考虑不同的课程安排，得到最优化的课程表。
3. 生产调度问题：在生产调度问题中，可以帮助生产企业在限制资源的条件下找到最优化的生产方案，提高生产效率。
四、优缺点作为一种优化算法，具有以下优点：1. 全局搜索能力强：能够在搜索空间中进行全局搜索，并趋向于全局最优解。
2. 算法收敛性好：在算法搜索到解后，能够很快地达到最优解，收敛速度较快。
3. 收敛到局部最优解的可能性较小：由于算法在跳跃过程中具有随机性，因此收敛到局部最优解的可能性较小。
《模拟退火算法》课件
03
可能陷入局部最优 解
在某些情况下，模拟退火算法可 能无法跳出局部最优解，导致无 法找到全局最优解。
未来研究的方向和挑战
要点一
算法改进
针对模拟退火算法的缺陷，研究改进算法以提高其性能和 适用性。
要点二
并行化与分布式实现
研究如何利用并行计算和分布式技术加速模拟退火算法的 执行。
未来研究的方向和挑战
总结词
优化分类和聚类
详细描述
模拟退火算法在机器学习中用于优化分类和聚类算法的性能，通过优化参数和搜索空间 ，提高分类和聚类的准确性和稳定性。
06
总结与展望
Chapter
模拟退火算法的优势与局限性
全局优化
模拟退火算法在搜索过程中能够跳出局部最 优解，寻找全局最优解。
适用范围广
模拟退火算法适用于解决连续和离散优化问 题，尤其在处理大规模、复杂问题时表现出 色。
模拟退火算法的优势与局限性
• 灵活性高：算法参数可根据具体 问题进行调整，以适应不同场景 的需求。
模拟退火算法的优势与局限性
01
计算量大
模拟退火算法需要大量的计算资 源，尤其在问题规模较大时更为 明显。
02
参数设置困难
算法参数如初始温度、降温速率 等对算法性能影响较大，但合理 设置这些参数较为困难。
算法的参数敏感性分析
初始温度
模拟退火算法的初始温度对算法的性能有很大影响。初始温度过高可能导致算法陷入局部最优解，而初始温度过低则 可能导致算法收敛速度过慢。因此，需要根据问题特性和需求合理设置初始温度。
冷却率
冷却率决定了算法在退火过程中的温度下降速度。冷却率过高可能导致算法在最优解附近“振荡”，而冷却率过低则 可能导致算法收敛速度过慢。因此，需要根据问题特性和需求合理设置冷却率。
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模拟退火算法一、模拟退火算法概念模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。
根据Metropolis准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann 常数。
用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。
退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
二、模拟退火算法的模型模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
模拟退火的基本思想:(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：(3) 产生新解S′(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
第二步是计算与新解所对应的目标函数差。
因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。
事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。
此时，当前解实现了一次迭代。
可在此基础上开始下一轮试验。
而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
三、模拟退火算法的应用领域模拟退火算法是解NP完全组合优化问题的有效近似算法,将该算法应用于路径优化问题,利用该算法对类似货郎担问题的路径问题进行求解;针对城市道路行走不同的目标条件(路径最短、时间最短)进行优化,选择最佳行走路径;并将用该算法优化得到的计算结果与树形算法进行比较,显示该算法能够克服传统优化算法易陷入局部极值的缺点,同时表明该算法在解类似货郎担交通路径方面的问题时有较高的精确性。
因而该算法在解决城市道路交通问题方面具有一定的实用价值。
在企业运营与管理中,管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其优势,从而降低成本,提高效益.例如,某公司需完成m项任务,恰好有n名员工可承担这些任务(n≥m);每项任务只能由一名员工来做,每名员工也只能做一项任务;不同的员工完成各项任务的成本不同.这样就可采用模拟退火算法将企业的人员分配做到最佳的分配。
四、具体案例C#数值计算之模拟退火法简介摘要本文简介了模拟退火的基本思想，以于模拟时的主要参数的选择根据，然后给出一个求二维函数极值的具体问题和解法,并给出C#源代码。
l 概述在管理科学、计算机科学、分子物理学和生物学以及超大规模集成电路设计、代码设计、图像处理和电子工程等科技领域中，存在大量组合优化瓿。
其中许多问题如货郎担问题、图着色问题、设备布局问题以及布线问题等，至今没有找到有效的多项式时间算法。
这些问题已被证明是NP完全问题。
1982年,KirkPatrick将退火思想引入组合优化领域，提出一种解大规模组合优化问题的算法，对NP完全组合优化问题尤其有效。
这源于固体的退火过程，即先将温度加到很高,再缓慢降温(即退火)，使达到能量最低点。
如果急速降温(即为淬火)则不能达到最低点.。
即：模拟退火算法是一种能应用到求最小值问题或基本先前的更新的学习过程（随机或决定性的）。
在此过程中，每一步更新过程的长度都与相应的参数成正比，这些参数扮演着温度的角色。
然后，与金属退火原理相类似，在开始阶段为了更快地最小化或学习，温度被升得很高，然后才（慢慢）降温以求稳定。
模拟退火算法的主要思想就函数最小值问题来说，模拟退火的主要思想是：在搜索区间（二维平面中）随机游走（即随机选择点），再以Metropolis抽样准则，使随机游走逐渐收敛于局部最优解。
而温度即是Metropolis算法中的一个重要控制参数，可以认为这个参数的大小控制了随时过程向局部或全局最优解移动的快慢。
冷却参数表、领域结构和新解产生器、接受准则和随机数产生器（即Metropolis算法）一起构成算法的三大支柱。
重点抽样与Metroplis算法：Metropolis是一种有效的重点抽样法，其算法为：系统从能量一个状态变化到另一个状态时，相应的能量从E1变化到E2，概率为p = exp[ - (E2- E1)/kT ]。
如果E2 < E1，系统接收此状态，否则，以一个随机的概率接收此或丢弃此状态。
这种经常一定次数的迭代，系统会逐渐趋于一引稳定的分布状态。
重点抽样时，新状态下如果向下则接受（局部最优），若向上（全局搜索），以一定机率接受。
模拟退火方法从某个初始解出发,经过大量解的变换后,可以求得给定控制参数值时组合优化问题的相对最优解。
然后减小控制参数T的值，重复执行Metropolis算法，就可以在控制参数T趋于零时，最终求得组合优化问题的整体最优解。
控制参数的值必须缓慢衰减。
其中温度是一个Metropolis的重要控制参数，模拟退火可视为递减控制参数什时Metroplis 算法的迭代。
开始T值大，可能接受较差的恶化解，随着T的减小，只能接受较好的恶化解，最后在T趋于0时，就不再接受任何恶化解了。
在无限高温时，系统立即均匀分布，接受所有提出的变换。
T的衰减越小，T到达终点的时间越长；但可使马可夫链越小，到达准平衡分布的时间越短，参数的选择：我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表。
它控制参数T的初值及其衰减函数，对应的MARKOV链长度和停止条件，非常重要。
一个冷却进度表应当规定下述参数：1．控制参数t的初值t0;2．控制参数t的衰减函数；3．马尔可夫链的长度Lk。
（即每一次随机游走过程，要迭代多少次，才能趋于一个准平衡分布，即一个局部收敛解位置）4．结束条件的选择有效的冷却进度表判据：一．算法的收敛：主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择二．算法的实验性能：最终解的质量和CPU的时间参数的选择：一）控制参数初值T0的选取一般要求初始值t0的值要充分大，即一开始即处于高温状态，且Metropolis的接收率约为1。
二）衰减函数的选取衰减函数用于控制温度的退火速度，一个常用的函数为：T(n + 1) = K*T(n)，其中K是一个非常接近于1的常数。
三）马可夫链长度L的选取原则是：在衰减参数T的衰减函数已选定的前提下，L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡。
四）终止条件有很多种终止条件的选择，各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响，本文只介绍一个常用的终止条件。
即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差，即可停止此次马尔可夫链的迭代。
以上说明可能太过于抽象，下一节将以一个实际的例子来说明，其中所有的源码已贴出，可以从中了解到很多细节。
使用模拟退火法求函数f(x,y) = 5sin(xy) + x2 + y2的最小值解：根据题意，我们设计冷却表进度表为：即初始温度为100衰减参数为0.95马可夫链长度为10000Metropolis的步长为0.02结束条件为根据上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差。
使用METROPOLIS接受准则进行模拟, 程序如下/** 模拟退火法求函数f(x,y) = 5sin(xy) + x^2 + y^2的最小值* 结束条件为两次最优解之差小于某小量*/using System;namespace SimulateAnnealing{class Class1{// 要求最优值的目标函数static double ObjectFunction( double x, double y ) {double z = 0.0;z = 5.0 * Math.Sin(x*y) + x*x + y*y;return z;}[STA Thread]static void Main(string[] args){// 搜索的最大区间const double XMAX = 4;const double YMAX = 4;// 冷却表参数int MarkovLength = 10000; // 马可夫链长度double DecayScale = 0.95; // 衰减参数double StepFactor = 0.02; // 步长因子double Temperature = 100; // 初始温度double Tolerance = 1e-8; // 容差double PreX,NextX; // prior and next value of xdouble PreY,NextY; // prior and next value of ydouble PreBestX, PreBestY; // 上一个最优解double BestX,BestY; // 最终解double AcceptPoints = 0.0; // Metropolis过程中总接受点Random rnd = new Random();// 随机选点PreX = -XMAX * rnd.NextDouble() ;PreY = -YMAX * rnd.NextDouble();PreBestX = BestX = PreX;PreBestY = BestY = PreY;// 每迭代一次退火一次(降温), 直到满足迭代条件为止do{Temperature *=DecayScale;AcceptPoints = 0.0;// 在当前温度T下迭代loop(即MARKOV链长度)次for (int i=0;i<MarkovLength;i++){// 1) 在此点附近随机选下一点do{NextX = PreX + StepFactor*XMAX*(rnd.NextDouble()-0.5);NextY = PreY + StepFactor*YMAX*(rnd.NextDouble()-0.5);}while ( !(NextX >= -XMAX && NextX <= XMAX && NextY >= -YMAX && NextY <= YMAX) );// 2) 是否全局最优解if (ObjectFunction(BestX,BestY) > ObjectFunction(NextX,NextY)){// 保留上一个最优解PreBestX =BestX;PreBestY = BestY;// 此为新的最优解BestX=NextX;BestY=NextY;}// 3) Metropolis过程if( ObjectFunction(PreX,PreY) - ObjectFunction(NextX,NextY) > 0 ){// 接受, 此处lastPoint即下一个迭代的点以新接受的点开始PreX=NextX;PreY=NextY;AcceptPoints++;}else{double change = -1 * ( ObjectFunction(NextX,NextY) - ObjectFunction(PreX,PreY) ) / Temperature ;if( Math.Exp(change) > rnd.NextDouble() ){PreX=NextX;PreY=NextY;AcceptPoints++;}// 不接受, 保存原解}}Console.WriteLine("{0},{1},{2},{3}",PreX, PreY, ObjectFunction ( PreX, PreY ), Temperature);}while( Math.Abs( ObjectFunction( BestX,BestY) –ObjectFunction (PreBestX, PreBestY)) > Tolerance );Console.WriteLine("最小值在点:{0},{1}",BestX, BestY);Console.WriteLine( "最小值为:{0}",ObjectFunction(BestX, BestY) );}}}结果：最小值在点:-1.07678129318956,1.07669421564618最小值为:-2.26401670947686后记：一开始在网上搜索模拟退火的资料并想作为C＃数值计算的一个例子，找不到现成的源码。