线性微分方程通解的结构.ppt
y
p( x) p( x)
y y
q( x) y q( x) y
ci fi (1x )
fi
(x) (6.2)
程的情形.
的解，其中c1 , c2 ,, cn均为常数.
例2
已知
y1
x sin 2
x
和
y2
1 cos 3x分别 8
是方程：y y cos x,
性质2 若 y( x)是方程(6.1)的解，y( x)是方程(6.2) 的解，则 y( x) y( x)必是方程(6.2)的解.
性质3 若 y1( x), y2( x)均是非齐次线性方程(6.2)的 解，则 y1( x) y2( x)必是齐次线性方程(6.1)的解.
性质4 (非齐次线性方程解的叠加原理)
是否有类似的结论？
问题2
的解，y C1 y1 C2 y2一定是(6.1)的通解吗？
答: 不一定.
例如：
是某二阶齐次线性方程的解, 则
也是齐次线性方程的解
但是
并不是通解. 为解决通解的判别问题, 还需引入
函数的线性相关与线性无关概念.
定义12.1 设 y1( x), y2( x),, yn( x) 是定义在 区间 I 上的n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
y y cos 3x 的解，试求 y y cos xcos 2x 的一个特解.
解 cos x cos 2x 1 (cos x cos 3x) 2
y1 满足：y y cos x,
y2 满足：y y cos 3x,
y
1 2
(
y1
y2 )
y2 ( y2 (
x) x)
0,
x I.
1.齐次线性微分方程解的结构
定理 12.1 (齐次线性方程(6.1)的通解结构)
如果 y1(x) 与 y2(x) 是方程(6.1)的两个线性无关的 特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(6.1)的通解.
推论 设 yi ( x) (i 1, 2, , n)是n阶齐次线性微分 方程： y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0 n个线性无关的特解，则此方程的通解为
证 y p( x) y q( x) y
(C1 y1 C2 y2 ) p( x)(C1 y1 C2 y2 ) q( x)(C1 y1 C2 y2 )
C1[ y1y p(px()xy1) y q(qx()xy)1y]C02[ y2 p((6x.1))y2 q( x) y2] 0 y yC1py0(1x) yC 2 yq2( x是) y方 程f ((x6).1)的(60.解2).
第六节
第十二章
线性微分方程解的结构
二、二阶线性微分方程解的性质 三、二阶线性微分方程解的结构
二、二阶线性微分方程解的性质
二阶线性微分方程解的性质
y p( x) y q( x) y 0
(6.1)
y p( x) y q( x) y f ( x) (6.2)
性质 1 (齐次线性方程解的叠加原理) 若函数 y1( x) 与 y2( x) 是方程(6.1)的两个 解,则 y C1 y1 C2 y2 也是(6.1)的解. (C1, C2是任意常数）
x sin 4
x
1 cos 3x为所求特解. 16
三、二阶线性微分方程解的结构
回顾： y p( x) y 0
(6.3)
y p( x) y q( x) (6.4)
若 Y为(6.3)的通解，y是(6.4)的一个特解, 则 Y y 是(6.4)的通解.
问题1 对于方程
y p( x) y q( x) y f ( x) (6.2)
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为 线性无关.
例3 下列各函数组在给定区间上是线性相关
还是线性无关？
(1) e x，e x , e2x ( x (,)); 线性无关
解 若 k1e x k2e x k3e2x 0, 则 k1e x k2e x 2k3e2x 0, k1e x k2ex 4k3e2x 0,
“d” dx
令 x 0,
得
kk11
k2 k2
k3 0 2k3 0
k1 k2 4k3 0
求解得 k1 k2 k3 0.
(2) 1 , cos2 x , sin2 x , ( x (,)); 解 不全为零的常数C1 1, C2 C3 1,
例如： sin x tan x 常数 cos x
sin x, cos x在任何区间上线性无关.
注 可以证明：
设 y1( x), y2( x)是二阶齐次线性方程(6.1) 在 I [a,b]的两个解，则
y1( x), y2( x)在 I [a,b]上线性无关
w(x)
y1( x) y1 ( x)
, x I (,) 故该函数组在任何区间 I 上都线性相关;
特别地,对于两个函数的情形：
定理 设 y1( x), y2( x)在 I [a,b] 上连续，若
y1( x) 常数或 y2( x) 常数
y2( x)
y1( x)
则函数 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在 I 上线性无关.
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x) 其中 C1，C2， ，Cn为任意常数.
例5 验证：y1 cos x, y2 sin x 均是方程 y y 0 的解，并求此方程的通解.
若 yi ( x)是方程:
y p( x) y q( x) y fi ( x) (i 1,2,, n)
n
的解，则 ci yi ( x) 是方程：
i 1
y p( x) y q( x) y 0n
注 性质1 ~ 性 质4可推广到n (6.1) 阶线性微分方
y
p( x) p( x)
y y
q( x) y q( x) y
ci fi (1x )
fi
(x) (6.2)
程的情形.
的解，其中c1 , c2 ,, cn均为常数.
例2
已知
y1
x sin 2
x
和
y2
1 cos 3x分别 8
是方程：y y cos x,
性质2 若 y( x)是方程(6.1)的解，y( x)是方程(6.2) 的解，则 y( x) y( x)必是方程(6.2)的解.
性质3 若 y1( x), y2( x)均是非齐次线性方程(6.2)的 解，则 y1( x) y2( x)必是齐次线性方程(6.1)的解.
性质4 (非齐次线性方程解的叠加原理)
是否有类似的结论？
问题2
的解，y C1 y1 C2 y2一定是(6.1)的通解吗？
答: 不一定.
例如：
是某二阶齐次线性方程的解, 则
也是齐次线性方程的解
但是
并不是通解. 为解决通解的判别问题, 还需引入
函数的线性相关与线性无关概念.
定义12.1 设 y1( x), y2( x),, yn( x) 是定义在 区间 I 上的n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
y y cos 3x 的解，试求 y y cos xcos 2x 的一个特解.
解 cos x cos 2x 1 (cos x cos 3x) 2
y1 满足：y y cos x,
y2 满足：y y cos 3x,
y
1 2
(
y1
y2 )
y2 ( y2 (
x) x)
0,
x I.
1.齐次线性微分方程解的结构
定理 12.1 (齐次线性方程(6.1)的通解结构)
如果 y1(x) 与 y2(x) 是方程(6.1)的两个线性无关的 特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(6.1)的通解.
推论 设 yi ( x) (i 1, 2, , n)是n阶齐次线性微分 方程： y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0 n个线性无关的特解，则此方程的通解为
证 y p( x) y q( x) y
(C1 y1 C2 y2 ) p( x)(C1 y1 C2 y2 ) q( x)(C1 y1 C2 y2 )
C1[ y1y p(px()xy1) y q(qx()xy)1y]C02[ y2 p((6x.1))y2 q( x) y2] 0 y yC1py0(1x) yC 2 yq2( x是) y方 程f ((x6).1)的(60.解2).
第六节
第十二章
线性微分方程解的结构
二、二阶线性微分方程解的性质 三、二阶线性微分方程解的结构
二、二阶线性微分方程解的性质
二阶线性微分方程解的性质
y p( x) y q( x) y 0
(6.1)
y p( x) y q( x) y f ( x) (6.2)
性质 1 (齐次线性方程解的叠加原理) 若函数 y1( x) 与 y2( x) 是方程(6.1)的两个 解,则 y C1 y1 C2 y2 也是(6.1)的解. (C1, C2是任意常数）
x sin 4
x
1 cos 3x为所求特解. 16
三、二阶线性微分方程解的结构
回顾： y p( x) y 0
(6.3)
y p( x) y q( x) (6.4)
若 Y为(6.3)的通解，y是(6.4)的一个特解, 则 Y y 是(6.4)的通解.
问题1 对于方程
y p( x) y q( x) y f ( x) (6.2)
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为 线性无关.
例3 下列各函数组在给定区间上是线性相关
还是线性无关？
(1) e x，e x , e2x ( x (,)); 线性无关
解 若 k1e x k2e x k3e2x 0, 则 k1e x k2e x 2k3e2x 0, k1e x k2ex 4k3e2x 0,
“d” dx
令 x 0,
得
kk11
k2 k2
k3 0 2k3 0
k1 k2 4k3 0
求解得 k1 k2 k3 0.
(2) 1 , cos2 x , sin2 x , ( x (,)); 解 不全为零的常数C1 1, C2 C3 1,
例如： sin x tan x 常数 cos x
sin x, cos x在任何区间上线性无关.
注 可以证明：
设 y1( x), y2( x)是二阶齐次线性方程(6.1) 在 I [a,b]的两个解，则
y1( x), y2( x)在 I [a,b]上线性无关
w(x)
y1( x) y1 ( x)
, x I (,) 故该函数组在任何区间 I 上都线性相关;
特别地,对于两个函数的情形：
定理 设 y1( x), y2( x)在 I [a,b] 上连续，若
y1( x) 常数或 y2( x) 常数
y2( x)
y1( x)
则函数 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在 I 上线性无关.
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x) 其中 C1，C2， ，Cn为任意常数.
例5 验证：y1 cos x, y2 sin x 均是方程 y y 0 的解，并求此方程的通解.
若 yi ( x)是方程:
y p( x) y q( x) y fi ( x) (i 1,2,, n)
n
的解，则 ci yi ( x) 是方程：
i 1
y p( x) y q( x) y 0n
注 性质1 ~ 性 质4可推广到n (6.1) 阶线性微分方
y
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第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】
其中 k按 i 不是特征根,是单根依次取0,1.
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
2.线性微分方程解的结构
推广 yi(： x)(i 若 1 ,2, .n)是 n阶齐线性微
y ( n ) p 1 ( x ) y ( n 1 ) p n 1 ( x ) y p n ( x ) y 0 ..( .2 ..) .
n
的解，则它们的线性组合 y(x) ciyi(x) 也是方程 (2) 的解。 i1
当且 c1c 仅 20时 当， c 1 y 1 (x 才 ) c 2 y 2 ( 有 x ) 0 ,x I， 则 y1(x)与 y2(x)在区 I上 间线性无关。
定义: 设 y 1 ( x ) y 2 ( , x ) , , y n ( x ) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k1,k2, ,kn,使得
由e x 函 的数 e 特 x (e x ) 点 (e x ) ： ， 即 可
例 1 .求(x 方 1 )y x 程 y y 0 的通解。
解： (x 1 因 ) x 1 为 0 ，所以，
yex是原方程的一个解。
又容易看出：yx 也是原方程的一个解。
利用y： 1(x) y2(x)
常数 y1(x)、 y2(x)线性无关
( 2 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个; 特解 ( 3 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个 ; 特
(4 )若 h (x ) p (x ) q (x ) 0 ，则方程
h ( x ) y p ( x ) y q ( x ) y 0 , 则yex是它的一个; 特解
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
高阶线性微分方程的一般理论
线性微分方程解的结构
c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) ≡ 0 x∈I ，
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
线性微分方程解的结构
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解 取平衡时物体的位置为坐标原点,
如图建立坐标系. 设时刻 t 物体位移为x = x(t).
物体所受的力有: 1. 弹性恢复力
o x
2. 阻力
x
据牛顿第二定律得
c 令 2 n , k , 则得有阻尼自由振动方程: m m d2 x dx 2n k 2 x 0. dt d t2
Y C1 cos x C2 sin x ,
因此该方程的通解为
例1 已知 e x , e x 为二阶线性齐次方程y y 0 的两个解 , 又 y x 为 y y x 的一个特解, 求 y y x 的通解.
y x C1e C2e
三、已知 y1 ( x ) e x 是齐次线性方程 ( 2 x 1) y ( 2 x 1) y 2 y 0 的一个解,求此方程 的通解 . 四、已知齐次线性方程 x 2 y xy y 0 的通解为 Y ( x ) c1 x c 2 x ln x ,求非齐次线性方程 x 2 y xy y x 的通解 .
2
* y1* y 2 就是原方程的特解. 的特解, 那么
(非齐次方程之解的叠加原理)
n 阶线性微分方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:
定理 设 y 是 n 阶非齐次线性方程
y3 y2 e x , y2 y1 x 2 是对应齐次方程的解,
y3 y2 e 2 常数 y2 y1 x
x
文学研究一二阶线性微分方程解的结构课件
y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)，
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
齐次线性微分方程的通解
齐次线性微分方程的通解
一阶齐次、非齐次线性微分方程的解的特点与解的结构也是类似的。
解的特点：一阶齐次：两个解的和还是解，一个解乘以一个常数还是解。
一阶非齐次：两个解的差是齐次方程的解，非齐次方程的一个解加上齐次方程的一个解还是非齐次方程的解。
通解的结构：一阶齐次：y＝Cy1，y1是齐次方程的一个非零解。
一阶非齐次：y＝y＋Cy1，其中y是非齐次方程的一个特解，y1是相应的齐次方程的一个非零特解。
这与直接套用公式得到的一阶线性方程的通解是一样的。
4.2常系数线性微分方程的解法
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
第二步: 计算方程(4.19)相应的解
(a) 对每一个实单根 k , 方程有解 ekt ; (b) 对每一个 m 1重实根k ,方程有m个解;
ekt , tekt , t 2ekt ,, t m1ekt ;
(
A(2) 0
A1(2)t
A t )e (2) k2 1 2t k2 1
(
A(m) 0
A1(m)t
A t )e (m) km 1 mt km 1
0
P1(t)e1t P2 (t)e2t Pm (t)emt 0
(4.27)
假定多项式 Pm (t) 至少有一个系数不为零，则 Pm (t)
不恒为零，
dnx
d n1x
d k1 x
dt n a1 dt n1 ank1 dt k1 0
显然 1, t, t 2 ,, t k11 是方程的 k1 个线性无关的解，
方程(4.19)有 k1 重零特征根
方程恰有 k1 个线性无关的解 1, t, t 2 ,, t k11
II. 设 1 0 是 k1 重特征根
L[e(1)t ] L[e te1t ]
e1t L1[e t ] e(1)tG( )
F( 1) G()
F ( j) (1) 0, j 1,2,, k1 1 F (k1) (1) 0,
dF
j ( d
j
1 )
dG j () d j
,
j 1,2,, k1
(4.19)的 k1重特征根 1
k1, k2 ,, km 重数 k1 k2 km n, ki 1
I. 设 1 0 是 k1 重特征根
3 高阶线性微分方程解的结构
情形2. 仅知③的齐次方程的一个非零特解 y1(x).
令 y u(x) y1(x), 代入 ③ 化简得 y1 u (2y1 P y1)u ( y1 P y1 Q y1)u f 令 z u
y1 z (2 y1 P y1) z f (一阶线性方程)
三、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
y1(x) k2 y2 (x) k1
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 ( x)
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
解得 v1 1, v2 x ex , 积分得 v1 C1 x, v2 C2 (x 1) ex
故所求通解为 y C1x C2 ex (x2 x 1) C1x C2ex (x2 1)
例6. 求方程 x2 y (x 2) (x y y) x4的通解.
定义: 设 y1(x), y2 (x),, yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
7.5二阶线性微分方程解的结构
(2)
若能求得（2）的一个特解 y1 ,
则可按以下步骤求得（1）的通解：
（1）由刘维尔公式求出（2）的另一个特解 y2 ，
从而得到齐次方程（2）的通解： Y C1 y1 C2 y2
（2）由常数变易法求出（1）的一个特解：
y* u1 y1 u2 y2
（3）写出方程（1）的通解
y Y y * C1 y1 C2 y2 y *
7.5 二阶线性微分方 程解的结构
• 掌握并灵活运用线性微分方程的解的结构
一、概念
二阶线性微分方程
d 2 y P( x) dy Q( x) y f ( x)
dx 2
dx
当 f ( x) 0时， 二阶线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程 y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn ( x) y f ( x).
(1)
如果对应的齐次线性方程
y P(x) y Q(x) y 0
(2)
有通解: Y C1 y1 C2 y2,
则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：
y* u1 y1 u2 y2 y* u1 y1 u2 y2 y1u1 y2u2 补充条件: y1u1 y2u2 0
y P(x) y Q(x) y f (x)
记为
y2 f ( x) w( x)
u2
y1 f ( x) y1 y2 y2 y1
记为
y1 f ( x) w( x)
y P(x可设（1）有如下形式的特解：
y* u1 y1 u2 y2
u1
y2 f ( x) y1 y2 y2 y1
记为
解的叠加原理 • 定理 4 通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理 • 定理 4 同样可以推广到 n 阶非齐次方程的情形
5二阶线性微分方程解的结构与通解性质
y 1 z ( 2 y 1 P y 1 ) z f (一阶线性方程)
设其通解为 z C 2 Z (x ) z (x )
积分得
u C 1 C 2 U (x ) u (x )
kk11
2k2 4k2
0 0
x ex
C,
x,ex 线性无 . 关
只有零解。
故得齐次方程的两个线性无关的特解， 非齐方程的通解为：
y x ( x 1 ) 2 C 1 ( x e x ) C 2 ( 2 x 4 e x )
y(0)0 0 1 C 1 4 C 2
二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构
设有二阶线性齐次微分方程
d d2y 2xa(x)d dx y b(x)y0
(2)
关于(2)的解，我们有：
定理1 若y1(x),y2(x)是方(2程 )的解，则它们 的任意组合
y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )
都是方程(2)的解，其中C1,C2 为任意常数。 线性齐次方程的解具有可叠加性。
将yy1Y代入非齐次方 ，程 得的 ：左端 ( y 1 Y ) a ( x ) y 1 Y ( ) b ( x ) y 1 Y ( )
( Y a ( x ) Y b ( x ) Y ) ( y 1 a ( x ) y 1 b ( x ) y 1 ) 0f(x) f(x) 即yy1Y是非齐次方程的 由解 于 Y， 是又 对应 齐次方程的通解 两， 个含 独有 立的任意 所常数 以y中含有两个独立 故常 为数 通， 解。
y y 1 ( x )v1(x) y 2 ( x )v2(x) 只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一