机器人学数学基础ppt课件

Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics:
Choose these angles!
4
研究的两类问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节角矢量，求操 作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐 次变换问题）。
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关
n
o
a
i
节变量空间之间的关系
3
运动学研究的问题
Where is my hand?
15
由 August Ferdinand Möbius 提出的齐次坐标（Homogeneous coordinates）让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理， 齐次坐标用 N + 1个分量来描述 N 维坐标。比如，2D 齐次坐标 是在笛卡尔坐标(X, Y)的基础上增加一个新分量 w，变成(x, y, w)，其中笛卡尔坐标系中的大X，Y 与齐次坐标中的小x，y有如 下对应关系：
运动学逆问题---已知操作机杆件的几何参数，给定操作 机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位 置），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？ 如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的 条件？
杆件参数
关节角
运动学正问题 杆件参数
末端执行器
关节角
运动学正问题
5
研究的对象
• 机器人从机构形式上分为两种，一种是关节式 串联机器人，另外一种是并联机器人。
PUMA560
Fanuc manipulator
Hexapo6 d
这两种机器人有所不同： – 串联机器人：工作空间大，灵活，刚度差，负载小，误 差累积并放大。 – 并联机器人：刚性好，负载大，误差不积累，工作空间 小，姿态范围不大。 –本章讲解以串联机器人为主。
7
8
9
D-H方法基本思想
• 给每个关节指定一个参考坐 标系，然后，确定从一个关 节到下一个关节（一个坐标 系到下一个坐标系）来进行 变换的步骤。如果将从基座 到第一个关节，再从第一个 关节到第二个关节直至到最 后一个关节的所有变换结合 起来，就得到了机器人的总 变换矩阵。
14
在欧几里得（或称笛卡尔）空间里描 述2D/3D 几何物体是很理想的，但在投 影空间里面却并不见得。
我们用 (x, y) 表示笛卡尔空间中的一 个 2D 点，而处于无限远处的点 (∞,∞) 在 笛卡尔空间里是没有意义的。投影空间 里的两条平行线会在无限远处相交于一 点，但笛卡尔空间里面无法搞定这个问 题（因为无限远处的点在笛卡尔空间里 是没有意义的），因此数学家想出齐次 坐标这个点子来了。
（ 2.3）
a×b =
ijk
ax ay az bx by bz
（2.4）
12
2.2 点齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v
ai
bj
ck
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
X = x/w Y = y/w
笛卡尔坐标中的点 (1, 2) 在齐次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果这 点移动到无限远(∞,∞)处，在齐次坐标中就是 (1, 2, 0) ，这样我 们就避免了用没意义的"∞" 来描述无限远处的点。
• D-H模型表示了对机器人连 杆和关节进行建模的一种非 常简单的方法，可用于任何 机器人构型，而不管机器人 的结构顺序和复杂程度如何。 它也可用于表示已经讨论过 的在任何坐标中的变换，例 如直角坐标、圆柱坐标、球 坐标、欧拉角坐标及RPY坐 标等。另外，它也可以用于 表示全旋转的链式机器人、 SCARA机器人或任何可能的 关节和连杆组合。
10
数学基础 — 齐次坐标和齐次变换
点向量（Point vectors）
点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空 间位置。同一个点在不同坐标系的描述及位置向 量的值也不同。如图2.1中，点p在E坐标系上表示 为 Ev，在H坐标系上表示为 Hu，且v ≠ u。一个点
z
p
c
•
E
v
0
x by
向量可表示为
a
向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即
（2.1）
a ·b = ax bx + ay by + az bz
（2.2 ）
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“×” 表示叉积，即
a × b = ( ay bz ¯az by ) i + ( az bx ¯ax bz ) j + ( ax by ¯ay by ) k 可用行列式表示为
列矩阵 x
a= x
y
, b=
z , c=
，w为比例系数
w ww
V
y z
x
y
z
wT
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=113。
为什么引入齐次坐标？
在欧几里得几何空间 里，两条平行线永远 都不会相交。但是在 投影空间中，如右图 中的两条铁轨在地平 线处却是会相交的， 因为在无限远处它们 看起来相交于一点。
u
H y
v = ai + bj + ck
x
通常用一个（n + 再加一个比例因子 w ，
z
0
图2.1 点向量的描述
即
v = [ x y z w ]T
其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。
11
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k
机器人运动学
数学基础
1
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
• 2.1 位置和姿态的表示 • 2.2 坐标变换 • 2.3 齐次坐标变换 • 2.4 旋转矩阵
2
2.1 机器人位置和姿态的描述
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成