【卓越学案】高考理科数学新课标一轮复习练习：7.3二元一次不等式(组)(含答案解析)

一、选择题1．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥2x ≤1，则2x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4 D.52[导学号35950495]解析：选C.作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，先作出直线y ＝－2x ，将此直线在可行域内平移，则由图可知当直线过点A (1,2)时截距z 最大，且z max ＝2×1＋2＝4，即2x ＋y 的最大值为4.2．在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x －1|y ≤x ＋1，所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2 B.83 C.223D ．2[导学号35950496] 解析：选B.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易得 A ⎝⎛⎭⎫13，43，B (3,4)，C (1,0)，D (－1,0)，故S △ABC ＝12×CD ×⎝⎛⎭⎫4－43＝12×2×83＝83，故选B.3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x ＋y ＋1≥0－1≤x ≤1，则x ＋2y 的取值范围为( )A ．[－3,3]B ．[－3,0]C ．[0,3]D ．[3，＋∞)[导学号35950497] 解析：选A.作出可行域如图中阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，易知当直线y ＝－12x ＋z2过点(1，－2)时z 取得最小值，过点(－1,2)时z 取得最大值．∴(x ＋2y )min ＝z min ＝1＋2×(－2)＝－3，(x ＋2y )max ＝z max ＝－1＋2×2＝3.4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ≤02x －y ＋1≥0y －1≥0，若目标函数z ＝x －y 的最小值是－2，则此目标函数的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5[导学号35950498] 解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，可解得交点坐标分别为A (0,1)，B (m －1,1)，C ⎝⎛⎭⎫m －13，2m ＋13，当平移直线x －y ＝0经过点C时，z 有最小值，此时有m －13－2m ＋13＝－2，解得m ＝4.当平移直线x －y ＝0经过点B (3,1)时，z 有最大值z max ＝3－1＝2.故选A.5．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域内一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12[导学号35950499] 解析：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13，故选C.6．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a >0)仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，13 B.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫0，12 [导学号35950500] 解析：选C.如图，由约束条件得可行域为图中的三角形区域．目标函数可化为y ＝－1a x ＋za ，当z最大时，z a 最大，根据图形可知要使z ＝x ＋ay 在点(2,2)处取得最大值，只要－1a >k AB ＝－3，即a >13即可．故选C.7．如果实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0x ＋y －1≥0，x ≤1若直线y ＝k (x －1)将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[导学号35950501] 解析：选A.作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，直线y ＝k (x －1)过定点(1,0)，要使其平分可行域的面积，该直线只需过线段BC 的中点(0,3)即可，故k ＝－3，故选A.8．已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2.上的一个动点，则|OA →＋OM →|的最小值为( )A. 5B.13 C ．22D ．322[导学号35950502]解析：选D.由题意得，OA →＋OM →＝(x ＋1，y )，|OA →＋OM →|＝x ＋2＋y 2可视为点(x ，y )到点(－1,0)的距离，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 (如图中阴影部分所示)，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x ＋y ＝2引垂线的垂足到点(－1, 0)的距离最小，因此|OA →＋OM →|的最小值是|－1＋0－2|2＝322，故选D.9．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0x ＋m <0y －m >0，表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 [导学号35950503]解析：选C.问题等价于直线x －2y ＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m ，m )不可能在第一和第三象限，而直线x －2y ＝2经过第一、三、四象限，则点(－m ，m )只能在第四象限，可得m <0.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x －2y ＝2与阴影部分有公共点，则点(－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方，由于坐标原点使得x －2y －2<0.故－m －2m －2>0，即m <－23.10．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线与圆x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 6C ．2 5D ．4[导学号35950504]解析：选D.当P 点同时满足①P 为AB 的中点；②P 点到O 点的距离最大时，AB 取得最小值．点P 的可行域如图中阴影部分所示，因为直线y ＝x 和直线x ＋y ＝4垂直，故当点P 的坐标是(1,3)时，|OP |最大，为10，又圆的半径为14，所以|AB |的最小值为4，故选D. 二、填空题11．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≥0，x －y ＋2≥0.所表示的平面区域的面积为________．[导学号35950505] 解析：作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知△ABC 为直角三角形，且易知AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12·AB ·BC ＝12×3×3＝92.答案：9212．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．[导学号35950506] 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (1,1)，B ⎝⎛⎭⎫0，43，C (0，4)．经过点A 时，目标函数z 达到最小值． ∴z min ＝－1＋1＝0. 答案：013．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a 的值为________．[导学号35950507] 解析：根据题意作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．令y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义是直线y ＝－x ＋z 的纵截距，故欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大即可．因为a >1，所以直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1.故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点⎝⎛⎭⎫71＋3a ，211＋3a 时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4， 解得a ＝2. 答案：214．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值2 5 时，a 2＋b 2的最小值为________．[导学号35950508] 解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.答案：4 三、解答题15．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，问：应做怎样的组合投资，可使获利最大？[导学号35950509] 解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百吨，利润为S 百万元，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y .作出可行域如图所示，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，将l 0向上平移时，S ＝3x ＋2y 随之增大，当它经过直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点⎝⎛⎭⎫134，52时，S 最大，此时，S max ＝3×134＋2×52＝14.75. 因此，生产A 产品325吨，生产B 产品250吨，利润最大，为1 475万元．16．雾霾天气严重影响人们生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.6万元．(1)若投资人用x 万元投资甲项目，y 万元投资乙项目，试写出x ，y 所满足的条件，并在平面直角坐标系内做出表示x ，y 范围的图形；(2)根据(1)的规划，投资公司对甲、乙两个项目投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[导学号35950510] 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.2x ＋0.1y ≤1.6，x ≥0，y ≥0，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)．(2)根据(1)的规划和题设条件，可知目标函数为z ＝x ＋0.6y ，作直线l 0：x ＋0.6y ＝0，当直线l 0经平移过直线x ＋y ＝10与0.2x ＋0.1y ＝1.6的交点A 时，其纵截距最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝10，0.2x ＋0.1y ＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，即A (6,4)， 此时z ＝6＋0.6×4＝8.4(万元)， ∴当x ＝6，y ＝4时，z 取得最大值．即投资人用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过1.6万元，且使可能的利润最大．。