相对运动牵连运动绝对运动
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理论力学 第八章
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
理论力学(第6章)
t 已知：O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm ， 18 t2 求： va , aa s BM
π
加速度合成定理的矢量形式向 直角坐标轴x、y上投影，得：
π aax a a cos 6.67cm / s 2 6 π n n aay ar ae sin 20cm / s 2 6
绝对：大圆周（半径R）
相对：沿OA的直线运动 牵连：定轴转动（绕o轴）
2.速度分析 v a ve 大小 ? 方向 √
ve va 2Rω cos
vr
OM√?√ Nhomakorabeavr ve tan 2 R ω sin ω t
6.3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理
点的加速度合成定理：
解：（1） 动点：取顶杆AB的A点 动系：固连在凸轮上。 绝对运动：沿AB竖直方向 的平移。 相对运动：A点沿凸轮边 缘的圆周运动。 牵连运动：动系凸轮沿水 平面向右平移。
已知:
v0
30
2.速度分析
va ve vr
由几何关系可以得到：
3 vB vA v tan 30 v 3
例6-5 平面机构中直杆O1A、O2B平行且等长，分别 绕O1、O2轴转动，直杆的A、B连接半圆形平板，动 点M沿半圆形平板ABD边缘运动，起点为点B。已知 π t， O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm ， 18 t2 。 s BM
求：当 t 3s 时， 动点M的绝对速度 和绝对加速度。
方向竖直向上
例6-2 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固 定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距 离OO1=l。 B 求： O ① 曲柄在水平位 A 置时摇杆的角 速度 1 。 ② 滑块A对于摇 杆 的相对角 O1 速度
8理论力学
线运动.
D
动系的牵连运动—沿x轴的直线平动. vD
va= ve + vr va = r ve = vD= v
v 解得: va sin
v r sin
16
例题8-7.平底凸轮机构如图
示. 凸轮 O 的半径为R,偏心 距OA = e,以匀角速度 绕 B O 转动,并带动平底从动杆 BCD运动. 试求该瞬时杆 BCD的速度.
动系O—x´y´
e x´
y´
A的绝对运动—以B为中心 l 为 半径的园运动.
x A的相对运动—沿凸轮O边缘的曲线运动.
牵连运动—动系随凸轮O且角速度为的定轴转动.
牵连点—凸轮O上被AB杆的A端盖住的A´点且随凸轮
O作角速度为的定轴转动.
va= ve + vr va = l AB
解得:
AB
e l
22
ve = rsin
将它表示成转角的函数.
B
D
C e O A
26
解:取偏心园凸轮的 B
D
中心C为动点.
建立静系O—x y和 动系A—x´y´
y
ve va
C e vr
O
A
y´
x
x´
C的绝对运动—以O为中心为e半径的园运动.
C的相对运动—平行于 y´ 轴的直线运动.
牵连运动—动系沿水平直线作往复平动.
va= ve + vr
长 r,以匀角速1转动.试分析滑
O2
块A的运动.
5
O
例题8-3.曲柄导杆机构
的运动由滑块 A带动,已
B
C
知OA= r且转动的角速
A
度为.试分析滑块 A的
理论力学第八章点的合成运动和例题讲解
MM ' 为绝对位移 M1M ' 为相对位移
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
理学理论力学点的合成运动土木
用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两 个参考系，区分三种运动： (1) 动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动； (2) 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动； (3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
8.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
8.2 点的速度合成定理
通常选动点和动系主要有以下几种情况： 1. 有一个很明显的动点，在题中很容易发现； 2. 有一个不变的接触点，可选该点为动点； 3. 没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确 定的点为动点；
4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系； 6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
r rr
va ve vr
A
sin ve
u
va
va
ve
s in
u
s in
M
r
O ve
vr B va
例4 求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与θ已知，且设
OA=a, AC＝b。
解：取套筒A为动点，动系与
vC
OC固连，分析A点速度，有
r rr va ve vr
ve va sinq v sinq
cotq
gOA e OA
e
B
vr
va
q
A
ve
q
C
O
e
例2 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为，通过滑块
A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角
速度1。
B
解： 应选取滑块A作为研究的动点，把
8.1 相对运动·牵连运动·绝对运动
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
8.2 点的速度合成定理
通常选动点和动系主要有以下几种情况： 1. 有一个很明显的动点，在题中很容易发现； 2. 有一个不变的接触点，可选该点为动点； 3. 没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确 定的点为动点；
4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系； 6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
r rr
va ve vr
A
sin ve
u
va
va
ve
s in
u
s in
M
r
O ve
vr B va
例4 求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与θ已知，且设
OA=a, AC＝b。
解：取套筒A为动点，动系与
vC
OC固连，分析A点速度，有
r rr va ve vr
ve va sinq v sinq
cotq
gOA e OA
e
B
vr
va
q
A
ve
q
C
O
e
例2 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为，通过滑块
A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角
速度1。
B
解： 应选取滑块A作为研究的动点，把
点的合成运动
绝对运动、 绝对运动、相对运动 与牵连运动
大梁不动时 定参考系？ 定参考系？ 动参考系？ 动参考系？ 绝对运动？ 绝对运动？ 相对运动？ 相对运动？ 牵连运动？ 牵连运动？
绝对运动、 绝对运动、相对运动 与牵连运动
定参考系？ 定参考系？ 动参考系？ 动参考系？ 绝对运动？ 绝对运动？ 相对运动？ 相对运动？ 牵连运动？ 牵连运动？
2 a 2
va ve
vr
M
O R
ar ae aa
ω
ae
ar
aa ≠ ae + ar
由速度的定义，知： 由速度的定义，
z
其中： 其中：
drA vA = =ω × rA e dt
rA = k′ + rO′
drO′ vO′ = =ω × rO′ e dt
ωe
O
A
rA
rO′
y
drO′ dk′ drA + = dt dt dt
ve = vr = va = 0.4m /s
vBC = ve = 0.4m /s
aa = ae + a + a
τ r
2
n r
2
ω
O
A
R O1 C
ϕ
B
aa = OA⋅ω =1.6m/ s
arn = vr2 / R =1.6m/ s2
将上式向 Ay 轴投影
y
a
ae
n r
A
τ r n r
aa cos 60 = ae cos 30 − a
例 题 11
已知：OA＝r；ω=const 已知：OA＝ 杆的速度和加速度 求：CD 杆的速度和加速度
D
解：取CD杆C点为动点 CD杆 三角板ABC为动系 三角板ABC为动系
论质点的绝对运动、相对运动、牵连运动
论质点的绝对运动、相对运动、牵连运动
质点的运动是物理学中的一个重要概念，它可以分为绝对运动、相对运动和牵连运动。
绝对运动是指质点在某一参考系中的运动，它的运动轨迹是相对于参考系而言的，而不是相对于其他物体而言的。
例如，一辆汽车在马路上行驶，它的运动是相对于马路而言的，
而不是相对于其他汽车而言的。
相对运动是指质点在另一个参考系中的运动，它的运动轨迹是相对于另一个参考系而言的，而不是相对于另一个物体而言的。
例如，一辆汽车在马路上行驶，它的运动是相对于另一辆汽车而言的，而不是相对于马路而言的。
牵连运动是指质点在一个物体中的运动，它的运动轨迹是相对于该物体而言的，而不是相对于参考系而言的。
例如，一辆汽车在马路上行驶，它的运动是相对于汽车本身而言的，而不是相对于马路而言的。
总之，质点的运动可以分为绝对运动、相对运动和牵连运动，它们都有其独特的特点，在物理学中都有重要的意义。
理论力学第三章冯维明主编
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3.2 点的速度合成定理 由合成定理有
例 题
式中三个矢量具有六个要素,已知四个,可作速度平行四边 形,如图所示,则求得
vA va ve cot v cot 30 3v
v θ v θ
v
其方向铅直向上。
v
Theoretical Mechanics
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3.2 点的速度合成定理
v
由正弦定理
ve vr sin sin 60
v
与 v r 间的夹角为 va
v
Theoretical Mechanics
2
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第三章 点的合成运动
§3.3 牵连运动为平动时 点的加速度合成定理
Theoretical Mechanics
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3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
Theoretical Mechanics
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3.2 点的速度合成定理
3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度
牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动坐标 系上的点。
讨 论
动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动 空间，除动坐标系作平移外，动坐标系上各点的运 动状态是不相同的。在任意瞬时，只有牵连点的运 动能够给动点以直接的影响。为此，定义某瞬时， 与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于 静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度 。
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3.2 点的速度合成定理
3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度 3.2.2 速度合成定理
Theoretical Mechanics
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3.2 点的速度合成定理
3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度
《工程力学》点的合成运动
y
a
n a
ae aa
ar
x
由加速度合成定理
即 a ae ar
aa aan ae ar
aan
ae aa
ar
x投影： y投影：
aan sin aa cos ar
aan cos aa sin ae
将 aan 2 OA 代入上式可解出 ar和 ae
aa OA
例7-7 设OA＝O1B＝r，斜面倾角为1，O2D＝l, D
点可以在斜面上滑动，A、B为铰链连接。 图示位置时OA、O1B铅垂，AB、O2D为水
平，已知此瞬时OA转动的角速度为，角
加速度为零，试求此时O2D绕O2转动的角速 度和角加速度。
解：以三角斜面为 动坐标系，D点为 动点
dz dt
dk) dt
ar
( dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k )
ar r
其中 ac 2 r
科氏加速度
aa ae ar 2 r
点的加速度合成定理
实例：
在北半球，河水向北流动时，科氏加速 度向西，有右岸对水向左的力，由作用力 与反作用力，河水必对右岸有反作用力。 故右岸有明显的冲刷。
北
r
西 ac
东
南
例7-8
如图所示，点M在杆OA上按规律x=20+30t2运动（其 中t以s计；x以mm计），同时杆OA绕轴O以 = 2t rad的规律转动。求当t=1s时，点M的加速度大小。
取点M在动点，动系建在杆OA上，把x=20+30t2对时 间求导，得vr=60t, ar=60mm/s2
相对运动绝对运动牵连运动
相对运动（有关相对速度的求解）导数的补充例题1在一直線的高速公路上，有甲乙兩車正以等速度行駛。
甲車的速度為80km／h，乙車落在甲車之後5.0公里處，正以90km／h的速度追趕甲車，試求乙車何時可追上甲車？例2、一列火车以10Km/h的速率向东行使时，相对于地面竖直下落的雨滴在列车的窗子上形成的雨迹偏离窗上竖直方向30o,求雨滴相对于地面的速率和雨滴相对于火车的速率。
例3、某人骑自行车以速率 1 m/s 向北行驶，感觉风从正西吹来，将速率增加到 2.73m/s 时，则感觉风从北偏西300 的方向吹来。
求风速和风向。
例4、一个带篷子的卡车，篷高为h=2 m ，当它停在马路边时，雨滴可落入车内达d=1 m ，而当它以15 km/h 的速率运动时，雨滴恰好不能落入车中作业练习1.练习求导数 已知 xyx y xy x x x y ∆∆==-+-= 求c o s s i n 12723232.相对运动与力学的综合传送带以恒定的速度V 1=3m/s 运动，且传送带足够的长；在传送带上方有一固定光滑的轨道巢，方向与传送带方向垂直；轨道巢中有一个工件m=5Kg ，该工件左右部分与轨道接触，底面与皮带接触u=0.3；现用一个与轨道平行的推力F 使得工件以V 2=4m/s 开始做匀速运动。
求F=？3.相对运动与功能关系的结合有两个大小相同的光滑小球，最开始如图1紧靠在光滑的墙角里，由于受到轻微的扰动将开始运动；当运动到如图2所示时刻，圆心连线与竖直方向成30度角。
已知两球半径均为r ，求此时两球的速度分别为多少？附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意见)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。
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V = u +V ' du a= + a' dt
上面的4个公式是有相对运动的坐标系间满足的变 上面的 个公式是有相对运动的坐标系间满足的变 换关系。 换关系。
5
相对运动问题分析步骤 1、确定研究对象。 、确定研究对象。 2、选定参考系s及s’。 、选定参考系 及 。
4、画出各量矢量示意图，根据几何关系解出待求量。 、画出各量矢量示意图，根据几何关系解出待求量。
第一章：质点运动学 第一章：
相对运动
1
二 相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
2
基本概念及 概念及位移变换公式 一. 基本概念及位移变换公式
1、基本概念 、 一个动点 二个参照系 绝对参照系s ，相对参照系s' 三种运动 绝对、 绝对、相对和牵连运动 — 牵连运动 — 相对运动 — 绝对运动
7
的速率向东行使时， 例2、一列火车以 、一列火车以10Km/h的速率向东行使时，相对于地 的速率向东行使时 面竖直下落的雨滴在列车的窗子上形成的雨迹偏离窗上 竖直方向30 求雨滴相对于地面的速率和雨滴相对于火 竖直方向 o,求雨滴相对于地面的速率和雨滴相对于火 车的速率。 车的速率。
V = u +V '
车速u V 雨 速 V’ 雨 300 迹
tg 30
0
u = V
10 V= = 3 × 10km / h 0 tg 30
u sin 30 = V'
0
V '=
u = 2 ×10 = 20km / h 0 sin 30
8
向北行驶， 例3、某人骑自行车以速率 1 m/s 向北行驶，感觉风 、 从正西吹来， 从正西吹来，将速率增加到 2.73m/s 时，则感觉风从 的方向吹来。求风速和风向。 北偏西 300 的方向吹来。求风速和风向。 解： V’ u 人
●
P
相对于s的位矢 相对于s’的位矢
X’ X
r r’
r
R
0 Z Z’
r'
O’
O’相对于s的原点 位矢 R
（1）
4
r = R + r'
位置矢量间的关系 经过△t后 经过 后，位移为 对2式两端求导 式两端求导 对3式两端求导 式两端求导
r = R + r'
∆r = ∆ R + ∆r '
（1） （2） (3) （4）
6
在一直線的高速公路上， 例1 在一直線的高速公路上，有甲乙 兩車正以等速度行駛。 兩車正以等速度行駛。甲車的速度為 80km／ 乙車落在甲車之後5.0 5.0公里 80km／h，乙車落在甲車之後5.0公里 正以90km 90km／ 的速度追趕甲車， 處，正以90km／h的速度追趕甲車， 試求乙車何時可追上甲車？ 試求乙車何時可追上甲車？
速
V = u +V '
由条件 1 知风速向北的分量为 1m/s 由条件 2 知风速向 风速为： 风速为： 的分量为 1m/s， ，
风 速
v po = 1 + 1 = 1.414m / s
风向为 西 。
9
V
一个带篷子的卡车， 例 一个带篷子的卡车，篷高为h=2 m ，当它停在马路 4 边时，雨滴可落入车内达 d=1 m ，而当它以15 边时， 而当它以15 的速率运动时，雨滴恰好不能落入车中。 km/h 的速率运动时，雨滴恰好不能落入车中。
3
(研究对象) 研究对象)
• s‘ 系相对于s 系的运动： 系的运动： • 点相对于s‘ 系的运动： 系的运动： • 点相对于s 系的运动： 系的运动：
相对运动
2-1、伽利略变换和相对性原理 、
1、相对运动：从有相对运动的两不同的参照系观察一个运 、相对运动：
动时，两个观察结果的相互关系。（以平动为例。） 动时，两个观察结果的相互关系。（以平动为例。） 。（以平动为例 Y S 相对于s 运动。 设：s’ 相对于 运动。考虑位 处的一质点： 于P处的一质点： 处的一质点 Y’ S’
雨滴的速度矢量。 求 雨滴的速度矢量。 解 研究对象 雨滴
绝对参照系 地面 相对参照系 运动的车 画出各量矢量示意图， 画出各量矢量示意图， 根据几何关系解出待求量。 根据几何关系解出待求量。
10
三个矢 量应该 满足矢 量运算 三角形 根据题目条件
11