几种常见函数的导数
几种常见函数的导数
§ 3.2 几种常见函数的导数课时安排1课时从容说课本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.(1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是xx x x x x f x x f nn ∆-∆+=∆-∆+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-⋅+-+-=-- ，1112110)1()1(------++-⋅-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.(2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim0=→∆xx x ，根据学生的情况可以补充证明.第五课时课 题§ 3.2 几种常见函数的导数教学目标一、教学知识点1.公式1 C ′=0(C 为常数)2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q )3.公式3 (sin x )′=cos x4.公式4 (cos x )′=-sin x5.变化率二、能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.三、德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力.教学重点四种常见函数的导数:C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n -1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x .教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.教学方法建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.1.y =C (C 是常数)，求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=C ，∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0,xy ∆∆=0. y ′=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0,∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=x n ,∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=(x +Δx )n -x nn n n n n n n n n x x C x x C x x C x -∆⋅++∆+∆+=--)()(22211n n n n n n n x C x x C x x C )()(22211∆⋅++∆+∆=--12211)(---∆++∆+=∆∆n n n n n n n x C x x C x C xy ∴y ′=(x n )′1111221100)(lim lim -----→∆→∆==∆++∆+=∆∆=n n n n n n n n n n x x nx x C x C x x C x C x y . ∴y ′=nx n -1.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：Δy =(x +Δx )-n -x -nnn n n n n n n n n n n n n n n n n nn nn nn x x x x C x x C x C x y x x x x C x x C x C x x x x x x x x x )()()()()()()(1)(11221122211∆+∆++∆+-=∆∆∆+∆++∆+-=∆+∆+-=-∆+=----- ∴xy y x ∆∆='→∆0lim n n n n n n n n n n n n n x x x xC xx x x C x x C x C ⋅-=∆+∆++∆+-=----→∆11122110])()([lim=-nx -n -1.∴y ′=-nx -n -1.※4.y =sin x ,求y ′.(叫两位同学做)［学生板演］［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )-sin x=sin x cos Δx +cos x sin Δx -sin x ,xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , ∴xy y x ∆∆='→∆0lim x x x x x xx x x x x xx x x x xxx x x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim22002000+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=∆-∆+∆=→∆→∆→∆→∆→∆ =-2sin x ·1·0+cos x =cos x .∴y ′=cos x .［生乙］Δy =sin(x +Δx )-sin x=2cos(x +2x ∆)sin 2x ∆，xx y ∆=∆∆22, ∴xy y x ∆∆='→∆0lim 22sin lim )2cos(lim 22sin )2cos(lim 2sin )2cos(2lim 0000xx x x xx x x xx x x x x x x ∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆∆+=→∆→∆→∆→∆ =cos x .∴y ′=cos x .(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)※5.y =cos x ,求y ′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )-cos x=cos x cos Δx -sin x sin Δx -cos x ,x x x x x x x yy x x ∆-∆-∆=∆∆='→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim00 1sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim2200200⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆x x x x x xx x x x x xxx x x x x x x =-2cos x ·1·0-sin x =-sin x ,∴y ′=-sin x .［生乙］解：x x x x x ∆-∆+→∆cos )cos(lim22sin )2sin(lim 22lim 00xx x x xx x ∆∆∆+-=∆=→∆→∆ =-sin x ,∴y ′=-sin x .［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1 C ′=0(C 是常数)公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3 (sin x )′=cos x公式4 (cos x )′=-sin x(二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:(1)(x 3)′；(2)(21x )′;(3)(x )′. ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3-1=3x 2.(2)解：3122222)()1(----=-='='x x x x. (3)解：xx x x x 212121)()(2112121==='='--. (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)(三)变化率举例［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t )，瞬时速度v =s′(t ).［板书］物体按s=s(t )作直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s′(t 0).v 0=s′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.［生］例如角速度、电流等.［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.解：C =Q ′(T ),即热容量为Q ′(T )J/K.［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？［生］比热容是v1Q ′(T ) J/(kg·K).图3-9［例2］如图3-9，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.解：时刻t 时，∵角速度为1 rad/s,∴∠POA=1·t =t rad.∴∠MPO =∠POA =t rad.∴OM =OP ·sin ∠MPO =10·sin t .∴点M 的运动方程为y =10sin t .∴v =y ′=(10sin t )′=10cos t ，即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.Ⅲ.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y =x 5;(2)y =x 6;(3)x =sin t ;(4)u =cos φ. ［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4.［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5.［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t .［生］(4)u ′=(cos φ)′=-sin φ.2.求下列函数的导数.(1)31xy =;(2)3x y =. (1)解：y ′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)解：321313133131)()(--==''='x x x x y . 3.质点的运动方程是s=t 3(s 单位：m ,t 单位：s),求质点在t =3时的速度.解：v =s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2,当t =3时，v =3×32=27(m/s),∴质点在t =3时的速度为27 m/s.4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=221gt (s 单位：m ,t 单位：s,g =9.8 m/s 2),求t =3时的速度.解：gt t g gt t s v =⋅==='=-122221)21()(, 当t =3时，v =g·3=9.8×3=29.4(m/s),∴t =3时的速度为29.4 m/s.［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf (x )］′=Cf ′(x )(C 是常数).这由极限的知识可以证得.xx f x x f C x x Cf x x Cf x Cf x x ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆)()(lim )()(lim ])([00=Cf ′(x ). 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y ′=(x 4)′=4x 4-1=4x 3.∴y ′|x =2=4×23=32.∴点P (2，16)处的切线方程为y -16=32(x -2),即32x -y -48=0.Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n -1(n ∈R),③(sin x )′=cos x ,④(cos x )′=-sin x )以及变化率的概念:v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.Ⅴ.课后作业(一)课本P 116习题3.2 2，4，5.(二)1.预习内容：课本P 118~119和(或差)、积的导数.2.预习提纲：(1)和(或差)的导数公式、证明过程.(2)积的导数 公式、证明过程.(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.板书设计§ 3.2 几种常见函数的导数公式1C ′=0(C 为常数)公式2(x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3(sin x )′=cos x公式4(cos x )′=-sin xv 0=s ′(t 0)是位移s 在t 0对时间t 的变化率.函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.1.y =C (C 是常数),求y ′.2.y =x n (n ∈N *),求y ′.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.4.y =sin x ,求y ′.(两种方法)5.y =cos x ,求y ′.(两种方法) 课本例题(1)(x 3)′;(2)(21x)′;(3)(x )′. 例1.已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(Q 单位:J ，T 单位:K)，求热量对温度的变化率C (热容量).例2.质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.课堂练习1.(口答)(1)(x 5)′;(2)(x 6)′;(3)(sin t )′；(4)(cos φ)′.2.(1) )1(3'x;(2)(3x )′. 3.质点运动方程是s=t 3，求t =3时的速度.4.221gt s =,求t =3时的速度. 5.求曲线y =x 4在P (2，16)处的切线方程.课后作业。
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版一、教学目标1. 理解导数的基本概念和物理意义。
2. 掌握几种常见函数的导数求导法则。
3. 能够熟练运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的基本概念和物理意义。
2. 几种常见函数的导数。
3. 导数的求导法则。
三、教学重点与难点1. 教学重点：导数的基本概念、物理意义，几种常见函数的导数，导数的求导法则。
2. 教学难点：导数的求导法则的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解导数的基本概念和物理意义。
3. 采用案例分析法，让学生通过实际问题，运用导数解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：以实际问题引入导数的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解导数的基本概念和物理意义，让学生理解导数的本质。
4. 讲解导数的求导法则，让学生能够熟练运用求导法则求解导数。
5. 利用案例分析，让学生运用导数解决实际问题，巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
8. 布置作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，为下一节课的教学做好准备。
10. 学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，不断改进教学方法。
六、教学评价1. 评价内容：学生对导数基本概念和物理意义的理解，以及对几种常见函数导数的掌握情况。
2. 评价方式：课堂提问、作业批改、课后访谈等。
3. 评价标准：能准确理解导数概念，熟练掌握几种常见函数的导数，并能运用导数解决实际问题。
七、教学反思1. 反思内容：教学方法、教学内容、课堂氛围、学生参与度等。
2. 反思方式：教师自我反思、学生反馈、同行评价等。
3. 改进措施：针对反思结果，调整教学方法，优化教学内容，提高课堂活力，关注学生个体差异。
八、教学拓展1. 拓展内容：导数在其他领域的应用，如物理学、经济学等。
2. 拓展方式：查阅相关资料、邀请专家讲座、小组讨论等。
3. 拓展目标：让学生了解导数在实际生活中的广泛应用，提高学生的学习兴趣。
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
导数的运算法则:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
B
y k x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f(x1)
O
A x2-x1=△x x x1 x2
回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
lim
x 0
f ( x 0 x) f ( x 0) x
lim
x 0
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
例6:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
基本初等函数 的导数公式及导数的运算法则
①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
回顾
y x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
y
比值反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．
Y=f(x)
②割线的斜率
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
3.2导数的计算
2.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x)在x=
x0处的函数值,即f ( x0 ) 处的导数的方法之一。
f
(
x
)
|
x
x0
.这也是求函数在点x0
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
二、几种常见函数的导数
sin x x2 sin 2 x
(sin
x)'
2x sin x x2 cos x sin 2 x
4. 求
y
x3 x2 3
在点x
3处的导数
解：y'
1 ( x2
3) (x (x2 3)2
3) 2x
x2 6x (x2 3)2
3
当x 3时, f (3) 32 63 3 1
例2：(1)求函数h(x) x sin x的导数. (2)求函数f (x) 2x ln x的导数.
解: (1)h(x) (x sin x) xsin x x(sin x) sin x x cosx
(2) f (x) (2x ln x) (2x) ln x (2x)(ln x) 2 ln x 2
公式2.若f (x) xa , 则f '(x) axa1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
1、函数 y lg x 在点 1,0 处
几种常见函数的导数
∴∠MPO = ∠POA = t rad;
∴ OM = OP sin ∠MPO = 10 sin t ;
故点M的运动方程为 故点 的运动方程为:y=10sint. 的运动方程为
O
A x
∴ v = y′ = (10 sin t )′ = 10 cos t .
故时刻t时 点 在 轴上的射影点 的速度为10cost 轴上的射影点M的速度为 故时刻 时,点P在 y轴上的射影点 的速度为 cm/s.
如图,质点 在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 例2:如图 质点 在半径为 如图 质点P在半径为 的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度 角速度1rad/s,设A为起始点 求时刻 时,点P在 为起始点,求时刻 运动 角速度 设 为起始点 求时刻t时 点 在 y y轴上的射影点 的速度 轴上的射影点M的速度 轴上的射影点 的速度. 时刻t时 因为角速度 因为角速度1rad/s, 解:时刻 时,因为角速度 时刻 M P 所以 ∠POA = 1 t = t rad .
2 arctan 2 ___________.
π
2 , )处的切线的倾斜角为 处的切线的倾斜角为 4 2
1 在点P(1,1)处的切线与直线 平行且 处的切线与直线m平行且 例4:已知曲线 y = x 3 在点 已知曲线 处的切线与直线
求直线m的方程 距离等于 10 ,求直线 的方程 求直线 的方程.
求过点P(3,5)且与曲线 且与曲线y=x2相切的直线方程 相切的直线方程. 例6:求过点 求过点 且与曲线 说明:曲线上求在点 处的切线与求过点 的切线有区别. 说明 曲线上求在点P处的切线与求过点 的切线有区别 曲线上求在点 处的切线与求过点P的切线有区别 在点P处的切线 处的切线,点 必为切点 求过点P的切线 必为切点,求过点 的切线,点 在点 处的切线 点P必为切点 求过点 的切线 点P 未必是切点.应注意概念的区别 其求法也有所不同. 应注意概念的区别,其求法也有所不同 未必是切点 应注意概念的区别 其求法也有所不同 设所求切线的切点在A(x0,y0). 解:设所求切线的切点在 设所求切线的切点在 又因为函数y=x2的导数为 y′ = 2x,所以过点 所以过点A(x0,y0)的 又因为函数 的 切线的斜率为 y′ | x = x = 2 x | x = x = 2 x0 .
3.2 几种常见函数的导数
2 －1 解析： 解析：∵对于 y＝x3，y′＝(x3)′＝ x 3， ＝ ′ ′ 3 直线 x＋y＋1＝0 的斜率为－1， ＋ ＋ ＝ 的斜率为－ ， 2 2 －1 8 4 ∴令 x 3＝1，得 x＝ ，代入 y＝x3得 y＝ ， ， ＝ ＝ ＝ 3 27 9 8 4 即切线的切点坐标为( 即切线的切点坐标为 ， )， ， 27 9 切线方程为： － ＋ ＝ ∴切线方程为：27x－27y＋4＝0.
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基础达标
1．下列各式中正确的是( C ) ．下列各式中正确的是 (A)(sin a)′＝cos a(a 为常数 为常数) ′ (B)(cos x)′＝sin x ′ (C)(sin x)′＝cos x ′ 1 － － (D)(x 5)′＝－ x 6 ′ 5
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3．2 ．
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典想：
由导数的定义可得下列四种函数的导数公式： 由导数的定义可得下列四种函数的导数公式： 为常数)； 1．C′＝0(C 为常数 ； ． ′ － n 2．(x )′＝nxn 1(其中 n∈Q)； ． ′ 其中 ∈ ； 3．(sin x)′＝cos_x； ． ′ ； 4．(cos x)′＝－sin_x. ． ′
几种常见函数的导数
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) t an , (为倾角 )
过( x0 , f ( x0 ))的 切线方程为
y
y f ( x)
x x 2 cos(x ) sin , 2 2
y x 2 f ( x ) (sinx ) lim limcos(x ) lim x 0 x x 0 2 x 0 x 2 cos x 1 cos x . 同理可证,公式4: (cos x ) sin x .
1 若f ( x) ln x, 则f ( x) x
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堂。放学后，你俩不要乱跑，就在学堂门口等着，爹爹会去接你们。”懂事的李根点头答应：“娘，你放心，我会记着锁了门带上妹妹去 学堂的。放学后，我一定拉着妹妹在学堂门口等着爹爹来接！”女儿小腊梅奇怪地问：“娘，放学后，爹爹要接我们去哪里啊？”李妻亲 亲她的小脸蛋，笑着说：“到时候你们就知道了。好好读书啊！”然后，夫妻俩就匆匆地出门了。他们先去早早就开市的菜市场上采购了 三鲜馅儿料、割了二斤猪肉、买了一只卤鸡，以及各色鲜菜，然后就一路疾走，径直往耿正兄妹三人租住的小院儿去了。当他们来到小院 儿的门口时，还不到兄妹三人平常的出门时间呢！耿正听到敲门声赶来开门，吃惊地看到气喘吁吁的李老乡夫妇提着大包小包站在门口， 不解地问：“叔叔婶子，你们这是？”李妻嘴快，喘着气儿高兴地说：“今儿个是八月十五，咱们一起过节！你们只管去铺子做事去，这 饺子我来包，菜也由我来做就行了！”李老乡接着说：“还有啊，你们兄妹仨晚上都去我们那边赏月，吃月饼去！”耿正还没有来得及答 话，耿英和耿直也跑过来了。快嘴耿直高兴地说：“哎呀，这要不是叔叔婶子提醒，今年的八月十五又给忘记了，月饼也又要照常给省了 呢！”耿直说着，赶快从李老乡夫妇俩手里接过大包小包，和姐姐一起提了放到厨房里。耿正忙将李老乡夫妇往正屋的厅房内让，笑着说： “可不是啊，我们三个又把这八月十五节给忘记了！”耿英和耿直放了东西以后也赶快过厅房里来。耿英笑着说：“时间过得真快啊，这 又到八月十五节了！也是，这过不惯了，真就记不起来了呢！”耿直则高兴地说：“有叔叔和婶子在，我们今年终于又有八月十五节过 了！”耿英不好意思地说：“只是这又要麻烦婶子了！”李妻高兴地笑着说：“麻烦啥啊，婶子高兴还来不及呢！”于是，兄妹三人也就 不再客气，和李老乡一起高高兴兴地去铺子了。临近中午时，李老乡去隔壁的小饭店里对掌柜的说：“实在抱歉！我们今儿个不过来吃饭 了，要回家吃过节的饺子去！”掌柜的笑着说：“咱们饭铺里也可以定做啊，你要早说就好啦！”李老乡也笑着说：“嗨，您就别提啦， 我家婆姨非要自己做呢！”掌柜的笑着点头：“理解理解，李掌柜的是家有贤妻啊！”告辞出来后，李老乡直接奔小学堂接一双儿女去了。 小学堂在店铺与李老乡的家之间，所以李妻让娃娃们不要回家，就在学堂门口等着接。那天的午饭非常丰盛，除了特大个儿的三鲜饺子之 外，李妻还做了包括卤鸡在内的六个荤素凉菜和热菜。可以想见，她独自一人那一上午有多么得忙活啊！耿正兄妹三人虽然吃得很香，但 心里边老大过意不去。耿英说：“婶子，你包饺子已经很不容易了，怎么还做了这么多菜啊！”又对李老乡说：“我说叔啊，您
(2019版)几种常见函数的导数
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几种常见函数导数
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O
A x
v y (10sint ) 10cos t .
故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.
例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由. 解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由y (sinx) cos x, 得y | x x0 cos x0 ;
1 1 1 2 抛 物 线 x , y x , k1 y | x 1 , 故 抛 物 线 y 2 2 1 y x 在 交 点 1,1)处 的 切 线 斜 率 为2 ; ( k 2 1 1 k1 k 2 2 | 3. 由 夹 角 公 式 tan | : || 1 1 k1k 2 1 ( 1) 2 夹角 arctan3.
x x 2 cos(x ) sin , 2 2 x x
公式3: (sin x ) cos x .
证 : y f ( x ) sinx, y f ( x x ) f ( x ) sin(x x ) sinx
x y 2 cos(x 2 ) si n 2 x si n 2 cos(x ) , x x x 2 x 2 sin
0 0
因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 ①.
由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为 y0 5 , 2 x0 y0 5 ②.
x0 3 x0 1 x0 5 或 . 联立①,②解得: y0 1 y0 25 x0 3
(1)求函数的增量 y f ( x x ) f ( x ); ( 2)求函数的增量与自变量 的增量的比值: y f ( x x ) f ( x ) ; x x y ( 3)求极限，得导函数 f ( x ) lim y . x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x) |x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
几种常见函数的 导 数一、源自习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是:
0
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
nx n1 (n Q) . 公式2: ( x )
n
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N * 的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
证 : y f ( x) x n , y f ( x x) f ( x) ( x x)n x n
, )处 的 切 线 斜 率 为 ， 3 2 2 2 从而过 点且与切线垂直的直的斜率为 ； P 线 3 1 2 所 求 的 直 线 方 程 为 y ( x ), 2 3 3 故曲线在点 ( P
三、例题选讲
2 3 即2 x 3 y 0. 3 2
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别. 在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P 未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.
解:设所求切线的切点在A(x0,y0). 又因为函数y=x2的导数为 y 2x, 所以过点A(x0,y0)的 切线的斜率为 y | x x 2 x | x x 2 x0 .
1 例5:求双曲线 y 与抛物线 y x 交点处切线的夹角. x 1 x 1 y 解：联立方程组 , 故 交 点 为 （1 . 1， ） x , 解 得 y 1 y x 1 1 1 2 , k1 y | x 1 1, 故 双 曲 线 双曲线 , y y y x x x 在 交 点 1,1)处 的 切 线 斜 率 为 1; ( k1
故切点分别为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10; 所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25. 练习2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值. 解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2. 所以a•(-1/2)3=1,a=4.
例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在 y y轴上的射影点M的速度. 解:时刻t时,因为角速度1rad/s, M P 所以 POA 1 t t rad .
MPO POA t rad;
OM OP sinMPO 10sint;
2
1 1 1 1 1 1 ( x ) x 2 x 2 ( x) ; 2 2 2 x 3 3 1 3 5 1 3 8 3 ( ) ( x 5 ) x x 5 . 5 5 5 x3 55 x 8
1 2
si n x m 要证明这个公式,必须用到一个常用极限 lxi 0 x 1.
2 arctan 2 ___________.
1 例4:已知曲线 y x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且
距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 ( 3 ) ( x 3 ) 3 x 4 ; 解：y 3 , y x x 曲线在 (1,1)处的切线的斜率为 y | x 1 3, P k
y x 2 f ( x ) (sinx ) lim limcos(x ) lim x 0 x x 0 2 x 0 x 2 cos x 1 cos x .
同理可证,公式4: (cos x ) sin x .
1 例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 , 2 )且与过这点的切线垂 直的直线方程. 3 解： y cos x, y sinx, y | sinx . x 2 3 1 3
由y (cos x) sinx, 得y | x x0 sinx0 ;
由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2. 这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.
2 练习1:曲线y=sinx在点P( , )处的切线的倾斜角为 4 2
x 1 n 1 2 n 2 n n 1 n 1 lim[C n x C n x x C n ( x ) ] nx .
31
例如: ( x ) 3 x
3
1 2 ( x 2 ) 2 x 21 2 x 3 3 ; 3x ; ( x2 ) x
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 公式1: C 0 (C为常数) . y 证 : y f ( x ) C , y f ( x x ) f ( x ) C C , 0, x y f ( x ) C lim 0. x 0 x
[x C x
n 1 n 1 n n 1
n 1
x C x
2 n 2 n n 2
n 2 2
( x ) C ( x ) ] x
2 n n n n n n
n
f ( x ) ( x n ) lim
x 0 x 0
C x x C x ( x ) C ( x ) , y 1 2 n C n x n 1 C n x n 2 x C n ( x ) n 1 , x y
四、小结与作业
1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) c 0 (c为常 数;(2)( x ) x 1 ( R);(3) (sinx ) cos x;(4) (cos x ) sinx. 2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式. 3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题. 4.作业:p.233~234课后强化训练.
从而切线方程为 1 3( x 1),即3 x y 4 0. y
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.