统计学 概率与概率分布
生物统计学课件1、概率及概率分布
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
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ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
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描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
概率与统计学中的基本概念和分布
概率与统计学中的基本概念和分布概率与统计学是一门研究随机现象的学科，它涉及到许多基本概念和分布。
本文将介绍概率与统计学中的一些基本概念和常见的分布。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在概率论中，有三种常用的概率定义：古典概率、几何概率和统计概率。
古典概率是指在一个试验中，所有可能结果的数量是确定的，且它们是等可能发生的情况下，某个事件发生的概率。
例如，抛硬币的结果只有两种可能，正面和反面，它们的概率都是1/2。
几何概率是指通过实验或观察来确定一个事件发生的概率。
例如，投掷一个骰子，出现一个特定的数字的概率为1/6。
统计概率是根据大量实验或观察数据计算得出的概率。
例如，根据历史数据统计，某个城市明天下雨的概率为30%。
二、随机变量与概率分布随机变量是指在随机试验中可能出现的结果。
随机变量可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量只能取有限个或可列个值，例如掷硬币的结果只有正面和反面两种可能，这是一个离散型随机变量。
连续型随机变量可以取任意实数值，例如测量一个人的身高，它可以是任意的实数值，这是一个连续型随机变量。
概率分布是随机变量取各个值的概率。
在概率论中，有许多常见的概率分布，包括均匀分布、正态分布、泊松分布等。
三、常见的概率分布1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内，各个取值的概率相等。
例如，在一个骰子的试验中，每个数字出现的概率都是1/6，这是一个均匀分布。
2. 正态分布正态分布，又称为高斯分布，是自然界中许多随机现象的分布模型。
正态分布的特点是呈钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
例如，人的身高和体重通常符合正态分布。
3. 泊松分布泊松分布是描述单位时间或单位空间内某个事件发生次数的概率分布。
它适用于描述独立事件在给定时间或空间内发生的概率。
例如，某个地区每天发生的交通事故数量就可以使用泊松分布进行建模。
四、概率与统计学的应用概率与统计学在各个领域都有广泛的应用。
概率与统计中的概率分布函数与期望值
概率与统计中的概率分布函数与期望值概率分布函数与期望值是统计学中常用的概念，用于描述随机变量的分布情况和其平均取值。
在概率与统计领域中，概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）用于表示一个离散或连续随机变量的可能取值及其对应的概率。
一、概率分布函数概率分布函数描述了随机变量取特定值的概率。
对于离散型随机变量，概率分布函数通常以概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）的形式给出。
PMF表示了随机变量取各个可能值的概率。
例如，对于掷骰子的结果来说，每个点数（1到6）都有相应的概率。
对于连续型随机变量，概率分布函数以概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）的形式给出。
PDF表示了随机变量在某一取值范围内的概率密度，即在该范围内取值概率的变化情况。
例如，正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，表示随机变量在不同取值上的概率密度。
二、期望值期望值是描述随机变量的平均取值的指标。
对于离散型随机变量，期望值可以通过每个可能取值的概率乘以对应取值的加权平均来计算。
对于连续型随机变量，期望值则是对概率密度函数在整个取值范围内的加权平均。
期望值的计算方法可以简单地表示为E(X) = ∑(x * P(x))（离散型）或E(X) = ∫(x * f(x))dx（连续型），其中x表示随机变量的取值，P(x)或f(x)为其对应的概率或概率密度。
期望值在概率与统计中具有重要意义。
它可以用来描述随机变量集中在哪个取值附近，或者用于比较不同随机变量的平均取值。
三、常见的概率分布函数与期望值在概率与统计中，存在许多常见的概率分布函数，每个分布函数都有其对应的期望值。
以下是一些常见的概率分布函数与期望值的例子：1. 二项分布（Binomial Distribution）- 概率分布函数：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)- 期望值：E(X) = np2. 泊松分布（Poisson Distribution）- 概率分布函数：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!- 期望值：E(X) = λ3. 正态分布（Normal Distribution）- 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)/σ)^2/2)- 期望值：E(X) = μ以上仅为部分常见的概率分布函数与其期望值，实际应用中还存在更多的概率分布函数与对应的期望值。
概率与统计中的概率分布知识点
概率与统计中的概率分布知识点概率是概率论的核心概念，而概率分布则是概率论的基本工具之一。
在概率与统计学中，我们经常会遇到各种概率分布，它们描述了随机变量的可能取值及其相应的概率。
本文将介绍几种常见的概率分布，包括离散型分布和连续型分布，并讨论它们的性质和常见应用。
一、离散型分布离散型分布是指随机变量取有限或可数个值的概率分布。
下面我们将介绍三种常见的离散型分布：伯努利分布、二项分布和泊松分布。
1. 伯努利分布伯努利分布是指随机变量取两个可能值的分布。
它的典型例子是抛硬币的结果，正面为1，反面为0。
伯努利分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中p为成功的概率，k为取值。
2. 二项分布二项分布描述了在n次独立重复试验中，成功的次数的概率分布。
每次试验只有两个结果，成功或失败，成功的概率为p。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)为组合数。
3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (lambda^k* e^(-lambda)) / k!，其中lambda为单位时间或单位空间内随机事件的平均发生率。
二、连续型分布连续型分布是指随机变量在一定区间内取连续值的概率分布。
下面我们将介绍三种常见的连续型分布：均匀分布、正态分布和指数分布。
1. 均匀分布均匀分布是指随机变量在一定区间内取值的概率相等。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a和b分别为区间的上下限。
2. 正态分布正态分布是最重要的连续型分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线的特点，其概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 /(sqrt(2*pi)*sigma)) * e^(-(x-mu)^2 / (2*sigma^2))，其中mu为均值，sigma为标准差。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
概率与统计中的随机变量和概率分布的应用
概率与统计中的随机变量和概率分布的应用在概率与统计学中，随机变量与概率分布是两个重要的概念，它们在实际应用中起着至关重要的作用。
本文将探讨随机变量和概率分布在概率与统计学中的应用。
一、随机变量的概念及应用随机变量是概率论中的重要概念，它用于描述随机试验的结果。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量，比如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
离散随机变量可以通过概率质量函数来描述其概率分布，该概率分布可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
离散随机变量在实际应用中常用于描述离散的事件，如人口统计学中的男女比例、产品缺陷率等。
连续随机变量是指可以取任意实数值的随机变量，比如身高、体重等。
连续随机变量可以通过概率密度函数来描述其概率分布，该概率分布可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
连续随机变量在实际应用中常用于描述连续的事件，如物理实验中的测量误差、金融领域中的股票价格等。
随机变量在概率与统计学中有着广泛的应用。
通过对随机变量的分析和建模，可以提取出潜在的规律和特征，进而做出合理的预测和决策。
例如，在金融领域中，通过对股票价格的随机变量建模，可以预测未来的股票价格走势，从而指导投资决策。
在医学领域中，通过对某种疾病的患病率随机变量建模，可以计算出患病风险，并采取相应的防控措施。
二、概率分布的概念及应用概率分布是指随机变量取各个值的概率。
概率分布可以分为离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布是指随机变量为离散型的概率分布，比如二项分布、泊松分布等。
离散概率分布可以通过概率质量函数来描述，该函数可以计算随机变量取各个值的概率。
离散概率分布在实际应用中常用于描述离散事件的发生概率。
例如，二项分布可以用于描述在多次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布，泊松分布可以用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
连续概率分布是指随机变量为连续型的概率分布，比如正态分布、指数分布等。
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
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随机事件的几个基本概念
1. 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 2. 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 3. 试验具有以下特点
可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所
有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
1. 事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
法则一 1. 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件
概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B )
2. 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
第五章 概率与概率分布
第一节 概率基础 第二节 随机变量及其分布
1.了解随机事件的概念、事件的关系和运算
2.理解概率的定义，掌握概率的性质和运算 法则
3. 理解随机变量及其分布，计算各种分布的概 率
4. 用Excel计算分布的概率
第一节 概率基础
一. 随机事件及其概率 二. 概率的性质与运算法则
用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节 电
措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。
次试验解P，：(试A上)验个A月超 表30示试 过 天用的验 用 电记超录的 电 过可指天 指 以标看数 标 出作13现是天 20了重1复数 02.4次进。行根了3据0
概
概率的性质与运算法则
A
A
事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A 与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件 B的那些样本点构成的集合，记为A-B
A
B
A-B
设A、B、C为三个事件，则有
1. 交换律：A∪B=B∪A
2.
A∩B=B∩A
2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A(BC) =(AB) C
例如：掷一枚骰子出现的点数为3
2. 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件
例如：掷一枚骰子可能出现的点数
3. 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
4. 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
1. 基本事件
该公司中随机抽取1人，问：
（1）该职工为男性的概率
（2）该职工为炼钢厂职工的概率
解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A 为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的 集合。P则(A)全 全公 公司 司男 职性 工职 总 18工 2人 550人 0数 000数 .68
1. 非负性
对任意事件A，有 0 P 1
2. 规范性
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。
即P ( ) = 1； P ( ) = 0
3. 可加性
若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有
AB
A∩B
事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不 发生， 则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事 件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要 条件是事件A与事件B没有公共的样本点
A B
A 与 B互不相容
一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是 整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组 成的集合，记为A
3. 分配律：A∪(∩B)∪(A∩C)
事件的概率
1. 事件A的概率是对事件A在试验中出现的 可能性大小的一种度量
2. 表示事件A出现可能性大小的数值
3. 事件A的概率表示为P(A)
4. 概率的定义有：古典定义、统计定义和 主观概率定义
例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频 率，
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率
解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一 事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事 件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事 件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为
P (A B ) P (A ) P (B )48 1 05 0 0 0 .50 04 121 52 05 000
随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频 正率面 /试验次数
稳1定.00在1/2左右
0.75
0.50
0.25
0.00 0
25
50
75
100 125
试验的次数
P(A)样事本件 A空 所间 包所 含包 的含 基 事的 本 件基 事 个＝ 本 件 数 m n个数
【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。 从
一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数
2. 样本空间
一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
若事件A发生必然导致事件B发生， 则 称事件B包含事件A，或事件A包含于事件 B，记作或 A B或 B A
BA
BA
事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为 事件A与事件B 的并。它是由属于事件A或事件B 的所有的样本点组成的集合，记为A∪B或A+B
A
B
A∪B
事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事 件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有 公共样本点所组成的集合，记为B∩A 或AB
(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢 厂
全体职P工(B的)集全 合炼；公 钢 基本司 厂 空间职 职 为全工 工 体14总 职人 28工50人 的0数 0集00.数 3合8。4则
P(A) m p n
【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指 标
为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天 的