北大版高等数学第八章总结
第一型曲线积分的概念与性质
意义：在考虑物质曲线的质量、质心、转动惯量等问题的时候，需要用第一型曲线积分的概念。再一次强调，积分是由极限推来的，极限不存在积分就不存在。 第一型曲线积分有下列形式： f(x,y)L ds 存在条件为极限存在 ds 为弧长 其性质有：
此时ds= 1+y ′(x)2dx
若有则有。
其实参数方程的特殊方式是y=y(x),x=x 。
在空间上
考法：计算函数y=f(x)从A 点到B 点的积分。方法，1.我们用x 代y ，然后对x 做积分。反过来对y 做积分也一样。 然后记得乘上一个 1+y ′2！
第二型曲线积分
假如一个物体受力为F(x,y)=F(P(x,y),Q(x,y)).我们计算力对物体做功，有dW=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.由此推出第二型曲线积分W= Pdx +Qdy AB 假如x=φ(t),y=Ψ(t),利用微分中值定理可得，
P x,y dx +Q x,y dy =AB P(φ(t),Ψ(t))φ′(t)+Q(φ(t),Ψ(t))Ψ′(t) dt AB * 这里利用参数方程的意义就是与定积分建立关系。
如果我们用以直代曲的思想来做积分的话，那么我们可以选定一小段曲线上的任何一点来
做切线，设τi 在t i ?1与t i 之间 P(ξi,ηi )?n i=1x i = P(x i,y i )?n
i=1x i 。设ξi,=φ(τi )，ηi =Ψ(τi )
因此有 P(x i,y i )?n i=1x i = P(ξi,ηi )?n i=1x i = P φ τi ，Ψ τi φ‘ τi ?n i=1t i ，因此可以推出
式子*。推广到空间上是一样的道理。
同理有
凡是x与y的等式都是参数方程的特殊情况，所以记忆的时候就记参数就行了。性质：1.第二型曲线积分是一种有向曲线弧。在积分的时候一定要分清那个是下限，那个
是上限。
2.可加性。
*对于第二型曲线积分，如果在平面上的曲线，则选择用x代y；如果在空间上的曲线，我
们一般就用参数方程来化简，一下子就可以变成对一个元的一次积分。
第一型曲线积分与第二型曲线积分的转化
设有向量平面曲线弧为L：x=φ(t),y=Ψ(t)其切向量的方向角为α，β
其实我们发现跟上面的第二型积分的参数形式上是一样的，本质上不是一样的。不过我们
可以知道，他们形式可以互推。第二型的参数形式的本质是y=f(x)是参数形式的特殊情况，而参数的本质是可以将所有不同的积分都化成同一种形式的积分；而第二型曲线积分转化
成第一型曲线积分的形式是属于凑出来的，没有什么本质上的含义。
*切向量是有参数方程直接导出来的，而其是由f(x,y)、f(x,y,z)求偏导得到的。
格林公式
意义：有些平面的第二型曲线积分的值只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的
选取无关。因此格林公式是为了找出与积分路径无关的条件。其本质是沟通第二型闭曲线
积分与二重积分之间的联系。
单连通区域是由一条光滑曲线围成的连续的区域，单连通区域但D的边界线L与某些平行
于y轴的直线之焦点多于两个的时候可以通过切割法将其化成多个单连通区域，但其一定
等于本身最简单曲线的积分；多连通区域是由多于一条光滑曲线围成的区域，不连续区域（可以通过切割的办法将其转化为单连通区域）。连通区域的正方向沿着这个方向前进时
区域总是在其的左边。记为L+.
定义：设函数P(x,y),Q(x,y)在有界闭区域D 上有连续的一阶偏导数，D 的边界L 是逐段光滑的，则有格林公式： Pdx +Qdy L += ?Q
?x ??P
?y dxdy D
(证明在单、多连通闭区域中 Pdx L += ??P
?y dxdy D ， Qdy L += ?Q
?x dxdy D ，利用微分中值定理与多连通化成单连通）
对于偏导之差可以化简的，则用二重积分来积；假如二重积分的被积函数不可求出其原函数，则其可以从面积积分变成曲线积分。 题型：1.求曲线L 围成的区域D 的面积。由于当
?Q ?x
?
?P ?y
=1的时候 Pdx +Qdy L +
=区域D 的面积。所以对于求给出方程的曲线，求其面积的话，我们首先就要设参数方程，用其他的
元素代替x,y ，然后我们可以令 P =?y Q =0、 P =0Q =x 、 P =?y/2Q =x/2
，要视乎所设的参数方程运
用格林公式之后的计算是否可以化简而选择，最后就变成了第二型积分的参数方程形式。例如，求椭圆x 2
a 2+
y 2b 2
≤1的面积D 。我们采用第三种。
2.判断区域是否连续的问题。假如区域连续，直接用格林公式；假如区域不连续(只可以缺一个点，如原点)，则先补一个无穷小的圆进去代替一个那个缺了的点，再减去函数对圆边界的一个积分。（由不可计，到计算一个圆的积分。）
*全微分：符合?z =A ?x +B ?y +ο(ρ)形式的称f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微，并称
A ?x +
B ?y 为f(x,y)在点(x 0,y 0)处的全微分。由于全微分与微分中值定理都是利用了无穷小量的原理，所以他们的A 、B 是一样的,A=f x (x,y),B=f y (x,y)。所以可以求出A 、B 。所以假如全微分存在，则一定要两个偏导数存在。假如t 为位移大小，曲线l 的方向余弦是（cos α,cos β）(其实一定也是切线的方向。)若函数f(x,y)在点P 0处可微，则f(x,y)在该点沿任一方向l 的方向导数均存在，且
?f |P 0
=lim
t →0f x 0+tcos α,y 0+tcos β ?f x 0,y 0
t
=f x (x 0,y 0)cos α+f y (x 0,y 0)cos β
3.证明 ?u ?n
ds L +
与 vn ds L +
等等于另外一些二重积分，其中n 是L 的外法线，t 为L 的切向量。由n ×t 得n =(acos β-bcos α) 平面第二型曲线积分与路径无关的条件 若第二型曲线积分与路径无关的条件，则有，而且L 1?L 2=
L ，L 为一条闭合曲线，所以可得
，由格林公式可得?Q
?x =?P
?y ，
设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D 上有一阶连续偏导数，则等式eQ ex =
eP ey
在D 内成立的
充分必要条件是Pdx+Qdy 恰是某个函数u(x,y)的全微分，即有du(x,y)=Pdx+Qdy.因此P=eu
ex
，Q=eu
ey ,由于有一阶连续导数，所以
eP ex ,eQ ey
的二阶导数相等，所以
eQ ex
=
eP ey
。 pdx +
AB Qdy = du B
A =u
B ?u (A ),因此求出u 是其求第二型曲线积分的另外一种方法。 第一种方法：由于与路径无关所以选取一条特殊路径求曲线积分 Pdx +Qdy (x,y)
(x 0,y 0)
(一般是
（0,y ）到(x,y),再(x,0)到(x,y))
第二种方法：由P=eu 1ex 得u(x,y)= u 1(x,y)+φ(y)* *式对y 求偏导得到eu
1ey +φ′ y =Q(x,y),因此可以求出φ(y)，从而求出u(x,y)。
第三种方法：凑全微分。将全部被积函数分成一小部分，然后凑成d （），由于一阶微导具有不变性，所以可以直接将各个d （）加起来。
第一型曲面积分
意义：实际上就是二重积分的曲面面积的进一深化计算。其不具有方向。
f x,y,z ds =Σ f x,y,z(x,y) D
xy
1+z x 2+z y 2dxdy （由?σ=|cos γ|?S*可以得到）其中Σ为曲面，D xy 为Σ在平面上的投影。其解题步骤为一投、二换、三代。注意z 对x 、y 求偏导的时候，不可以随意化简Z 的方程，因为我们需要z x ,z y 具有对称性，化简之后对称性有
可能消失。若 x =x(u,v)y =y(u,v)z =z(u,v)的时候 E =x u 2+y u 2+z u
2 F =x u x v +y u y v +z u z v G =x v 2+y v 2+z v
2,ds= 2 dudv
*第一型曲面积分是二重积分的空间曲面面积计算的继承。
例题（后面将有本质一样的变形例题）：求曲面积分I = x 2y 2dS s 其中S 为上半球面：z = R 2?x 2?y 2,x 2+y 2≤R 2 答案：I =215
πR 2
第二型曲面积分
意义：1.解决流体通过某截面之流量，电场中通过某曲面的电流量等优先的物理模型。提供一种有方向的量的积分方法。2.本质上是第一型曲线积分的扩展，将各个面的积分都化到一个面上面积分，变回了第一型曲面积分。
为什么（cos α,cos β）是表示平面曲线的切线，而（cos α,cos β,cos γ）是表示空间曲面的法向量？因为无论（cos α,cos β）还是（cos α,cos β,cos γ）都是表示一个点的方向，所以假如在平面上表示点的方向的话，那么就是切线，假如在空间上表示点的方向的话就是过该点切平面的法向量。
设流速是v (M i ),法向量为n (M i ),小块面积为?S i ,在S 上给定一个流速 F (x,y,z)因此其水流量为 F (x,y,z)·n (x,y,z)dS s ，而n (x,y,z)在空间中n x,y,z =(cos α,cos β,cos γ)因此第二型曲面积分可以写成 (P cos α+Q cos β+R cos γ)dS S ，这样我们就可以讲第二型曲面积分写成第一型曲面积分的形式。 F (x,y,z)·n (x,y,z)dS s = Pdydz +Qdzdx +Rdxdy s *第二型曲面积分与二重积分的区别：第二型积分是有三个未知数，而且都要限制在曲面S 取值，而且第二型曲面积分具有方向性，有可能是负值。
第二型曲面积分的计算方法：1.假如知道法向量的各个角的大小，则用 (P cos α+S Q cos β+R cos γ)dS 来计算。 2.假如不知道角度大小。由于cos α=
1+f x +f y
因此可以利用偏导将其转化成第一型曲面
积分的另外一种形式的形式。± P x,y,f x,y ?f x +Q x,y,f x,y ?f y +s
R x,y,f x,y （与第一型曲面积分 f x,y,z ds =Σ f x,y,z(x,y) D
xy
1+z x 2+z y 2dxdy 形式上是一样的）
*1.注意(?f x ,?f y ,1)是正方向，否则为反方向。
2.第二型曲面积分不可以一开始就应用对称性，一定要代进去化简之后才可以利用对称性。
3.不是所有平行于坐标面的面的积分都为0，因此要每个平面都要代进去积分。
4.要善于利用轮换对称性。第二型曲面积分很多都是可以用轮换对称性的。
5.用换元法来做题，直接将其范围也换过去，这样的话就可以大大减麻烦。
6.投不同侧，被积函数的积分都不相同，所以一定要按照题目给出的要求来做投影。
7.一定要记住雅克比公式公式一定要乘上abr 典型例题（与后面所学的高斯公式有很大关系）：
xy 2
dydz +yz 2
dzdx +zx 2
dxdy S 其中S 为椭圆面：x 2
a +y 2
b +z 2
c =1的外侧。
总结：第一型曲面积分和第二型曲面积分都是利用了格林公式，因为对被积函数的积分是需要讨论其路径的，但是由于其是二重积分，一下子就变成不用讨论了。所以格林公式的意义还在于证明了两个曲面积分不用讨论路径。 高斯公式
意义：建立在封闭的曲面上的第二型曲面积分与曲面所围的空间区域上三重积分之间的联系。
设Ω是一个闭合柱体曲面，则对曲面积分， Rdxdy S += Rdxdy S 1
++ Rdxdy S 2
+
+ Rdxdy =? R(x,y,f 1(x,y))dxdy D S 3
++ R(x,y,f 2(x,y))dxdy D
而 ?R ?x
dV = d σ ?R
?x
dz f 2(x,y)f 1
(x,y)
D
Ω
=? R(x,y,f 1(x,y))dxdy D + R(x,y,f 2(x,y))dxdy Rdxdy S +
D 因此 ?R ?x
dV =Ω
Rdxdy S +
，同理可得其他两个等式。 所以有高斯公式
*记得不闭合要补上去。
斯托克斯公式
意义：把格林公式公式中的平面区域推广到空间曲面，格林公式中的区域的边界曲线就自然推广为空间曲线。因而斯托克斯公式是天联系空间曲面上的第二型曲面积分与在该曲面的边界线上的第二型曲面积分之间的关系式。(格林公式是联系平面上曲线积分与二重积分的关系)，因此斯托克斯公式具有方向性，即边界线的方向与曲面的正方向构成右手系。
P x,y,z dx =L +
P x,y,f x,y dx = ?
?P(x,y,f x,y ) dxdy D
=? ?P +?P
f y
dxdy D
C +
?P dzdx +?P dxdy = ?P ?f y + ??P dxdy =D
s +
? ?P +?P
f y dxdy D
因此有 P x,y,z dx =L + ?P ?z
dzdx +
?P ?y
dxdy s +
推出斯托克斯公式
*1.注意应用好“2+1”和“1+2”、对称性、轮换对称性。对做题影响很大。
2.格林公式与借一个?是证明的关键，我们在证明不定积分跟第二型曲面积分、第二型曲面积分跟三重积分的时候要将他们向第二型曲面积分转化，本身是第二型曲面积分的就进行化简。
3.设x=x(t),
dy dx
=
dy dt dt dx
,
dy dt
=
dy dx dx dt
高数教案第十章重积分
高数教案第十章重积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学教案
第十章 重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =。 当(,)x y D ∈时,(,)f x y 在D 上连续且(,)0f x y ≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V 可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?， ，n σ?，以这 些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω， ，n ?Ω。 （假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)
图10-1-1 从而 1n i i V ==?Ω∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω??i i i i i i i f ≈?∈()()( )ξησξησ (以不变之高代替变高, 求i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈=∑()ξησ?1 (4) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n 个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i =→=∑lim (),λξησ01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在(),x y 处的面密度为(),x y ρ,这里(),0x y ρ≥,而且(),x y ρ在D 上连续,现计算该平面薄片的质量M 。
高数教案第十章重积分
高等数学教案
第十章 重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =。
当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。 （假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑(将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
高数 第十章线面积分习题和答案
第十章曲线积分曲面积分练习题 A 组 一.填空题 1. 设L 是 12 2 =+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则?L y dy e 2 = 2.设? MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分 ? ? +MN xdy ydx = 3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则 ? ++L y x xdy ydx e )( = 4. 设L 是从)0,1(A 沿12 2 2 =+y x 至点2,0(B )的曲线段， 则 ? +L y x y x dy ye dx xe 2 22 = 5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则 ?+L dx y x xy )(3 3 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则? + +L bdy adx )( = 7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-? dy y x dx y x L ，则L 所围成的 平面区域D 的面积等于 8. 常数 k = 时， 曲线积分? +L dy x kxydx 2 与路径无关。 9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分 ?? ∑ ++ds z y x 222 = 10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分? L ds = 11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则 ?-++L dy y x dx y x )()(= 12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则 ? +L dS y x 322)(= 13. 设为曲面2 2 2 2 a z y x =++， 则??∑ dS z y x 2 22= 二、选择题 1．设→ → +=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：? AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）
(完整版)高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε 3 ) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε 2 ，ε 3 是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε 3 ，α2＝ε1＋ε 2－ε 3，α3＝ε 2＋ε 3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε 3 ）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ）1- ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且
高数 练习与答案 第十章
第十章 曲线积分与曲面积分 例1计算曲线积分 ? AB xydl ，弧AB 为圆周222R y x =+在第二象限的部 分。 解：法1取x 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22x R y -= ， )0(≤≤-x R ，于是得 dx x R R dx y dl 2 2 2 1-= '+=，故 23 222 2 R xdx R dx x R R x R x xydl R R AB -==-?-=???--。 法2 取y 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22y R x --=， )0(R y ≤≤，于是dy y R R dy x dl 2 2 21-= '+=，故 2 )(3 2 2 2 2R ydy R dy y R R y R y xydl R R AB -=-=-? --=? ?? 。 法3 将弧AB 化为参数方程 )2 (sin cos πθπ θθ≤≤ ?? ?==R y R x ，θRd dy dx dl =+=22)()(， ? ? ?? -===ππ ππ ππ θ θθθθθθθ2 3 2 3 2 cos cos sin cos sin cos d R d R Rd R R xydl AB 2]2cos [3 2 23 R R - =-=ππθ。 例2计算 ? L dl xy ||，L 是圆周222R y x =+的闭路。 解：由对称性，设1L 是第一象限的部分，则
320 32sin cos 44||1 R tdt t R xydl dl xy L L ===??? π 例3计算 ?++ABCDA y x dy dx ||||，ABCDA 是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶 点的正方形。（1|||:|=+y x ABCDA ） 解：在弧AB 上，y=1—x,x 从1变到0；在弧BC 上，y=1+x,x 从0变到 —1； 在弧CD 上，y=—1—x,x 从—1变到0；在弧DA 上，y=—1+x,x 从0变到 1； 于是 22)] 1([2)]1([) 1(2)1(1 10 1001100 1=+=+--++---+--+++-+-+-=+++=?????? ????? ---dx dx x x dx x x dx dx x x dx x x dx dx DA CD BC AB ABCDA 例4计算 ?+--+L y x dy y x dx y x 22)()(，其中L 是原点为中心的单位圆，沿逆时针方向。 解：L 的参数方程为 )20(sin cos π≤≤ ? ??==t t y t x ，故 ππ2)1()()(202 2-=-=+--+??dt y x dy y x dx y x L 。 例5计算 ?-++L dy y x dx y x )() (222 ，其中L 是由A （1,1）、B （3,2） C （3,5）三点构成三角形的边界，沿正向。 解：
北大版高等数学第八章总结
第一型曲线积分的概念与性质 意义：在考虑物质曲线的质量、质心、转动惯量等问题的时候，需要用第一型曲线积分的概念。再一次强调，积分是由极限推来的，极限不存在积分就不存在。 第一型曲线积分有下列形式： f(x,y)L ds 存在条件为极限存在 ds 为弧长 其性质有： 此时ds= 1+y ′(x)2dx 若有则有。 其实参数方程的特殊方式是y=y(x),x=x 。 在空间上 考法：计算函数y=f(x)从A 点到B 点的积分。方法，1.我们用x 代y ，然后对x 做积分。反过来对y 做积分也一样。 然后记得乘上一个 1+y ′2！ 第二型曲线积分 假如一个物体受力为F(x,y)=F(P(x,y),Q(x,y)).我们计算力对物体做功，有dW=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.由此推出第二型曲线积分W= Pdx +Qdy AB 假如x=φ(t),y=Ψ(t),利用微分中值定理可得， P x,y dx +Q x,y dy =AB P(φ(t),Ψ(t))φ′(t)+Q(φ(t),Ψ(t))Ψ′(t) dt AB * 这里利用参数方程的意义就是与定积分建立关系。 如果我们用以直代曲的思想来做积分的话，那么我们可以选定一小段曲线上的任何一点来 做切线，设τi 在t i ?1与t i 之间 P(ξi,ηi )?n i=1x i = P(x i,y i )?n i=1x i 。设ξi,=φ(τi )，ηi =Ψ(τi ) 因此有 P(x i,y i )?n i=1x i = P(ξi,ηi )?n i=1x i = P φ τi ，Ψ τi φ‘ τi ?n i=1t i ，因此可以推出 式子*。推广到空间上是一样的道理。
高数 第十章线面积分习题和答案
第十章曲线积分曲面积分练习题 A 组 一.填空题 1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则?L y dy e 2 = 2.设? MN 是从M (1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分 ? ? +MN xdy ydx = 3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则?++L y x xdy ydx e )( = 4. 设L 是从)0,1(A 沿12 2 2 =+ y x 至点2,0(B )的曲线段， 则?+L y x y x dy ye dx xe 2 2 2 = 5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则 ?+L dx y x xy )(3 3 + dy y x x )(2 42+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则?+ +L bdy adx )( = 7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-?dy y x dx y x L ，则L 所围成 的平面区域D 的面积等于 8. 常数 k = 时， 曲线积分?+L dy x kxydx 2 与路径无关。 9.设∑是球面 12 2 2 =++z y x ，则对面积的曲面积分?? ∑ ++ds z y x 2 22 = 10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分?L ds = 11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则?-++L dy y x dx y x )()(= 12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则?+L dS y x 3 22)(= 13. 设∑为曲面2 2 2 2 a z y x =++， 则?? ∑ dS z y x 2 22= 二、选择题 1．设→ → +=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：? AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章 双线性函数与辛空间 个线性函数，已知 解此方程组可得 f ( 1) ＝4，f ( 2)＝－7，f ( 3)＝－ 3 ＝4 X 1－7 X 2 － 3 X 3 设 f 为所求 V 上的线性函数，则由题设有 解此方程组可得 f (a)=f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ) 1、 设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间， 12 3 是它的一组基， f 是 V 上的 f ( 1+ 3 )=1,f ( 2 -2 3 )=-1,f ( 1+ 2 )=-3 求 f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ). 解 因为 f 是 V 上线性函数， 所以有 1) ＋ f ( 3)=1 2 )-2 f ( 3)=-1 1)+f ( 2 )=-3 f (X 1 1+X 2 2+X 3 3).＝X 1 f ( 1)＋X 2 f ( 2)＋X 3 f ( 3) 2、 设V 及 1 ， 2 ， 3 同上题，试找出一个线性函数 f ,使 f ( 1+ 3) ＝ f ( 2 -2 3)=0, f ( 1+ 2 )=1 1) ＋ f ( 3)=0 2 )-2 f ( 3)=0 1)+f ( 2 )=1 1) ＝－1，f ( 2)＝2，f ( a V,当 a 在 V 的给定基 3 下的坐标表示为 a= X 1 1+X 2 2 +X 3 3 时， 就有
= X 1 f ( 1)＋X2 f ( 2)＋X3 f ( 3) =-X 1 +2 X 2+ X3 3、设 1，2，3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3 是它的对偶基，令 1＝ 1 －3， 2 ＝1＋2－3，3＝ 2 ＋3 试证： 1 ，2， 3 是V 的一组基，并求它的对偶基。 证：设 ( 1，2，3)＝( 1 ，2，3)A 由已 知， 得 1 1 0 A＝0 1 1 1 1 1 因为A ≠0，所以1，2，3是V 的一组基。 设g1,g2,g3 是 1 ， 2 ， 3 得对偶基，则 g1,g2,g3)＝( f1,f2,f3 )(Aˊ) 0 1 1 ＝( f1,f2,f3 ) 1 1 2 1 1 1 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2 , ?fs 是V*中非零向量，试证：∈V，使 fi( )≠0 (i=1,2 ?,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s＝1 时，f1≠0,所以∈V，使fi( ) ≠0，即当s＝1 时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即∈V，使fi( )= i ≠0 (i=1,2 ?,k) 下面证明s=k+1 时命题成立。 若f k1( )≠ 0,则命题成立，若 f k1( ) ＝0，则由 f k 1≠0知，一定∈V 使f k1( )＝b,设fi( )=di(i=1,2 ?,k), 于是总可取数c≠0，使 c ，则∈V，且 ai+cdi ≠0(i=1,2 ?,k)
(完整版)高等代数(北大版)第10章习题参考答案.doc
第十章 双线性函数与辛空间 1、 设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间， 1， 2 ， 3 是它的一组基， f 是 V 上的 一个线性函数，已知 f ( 1+ 3 )=1,f ( 2 -23 )=-1,f ( 1+ 2 )=-3 求 f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ). 解 因为 f 是 V 上线性函数，所以有 f ( 1)＋ f ( 3 )=1 f ( 2 )-2 f ( 3 )=-1 f ( 1)+f ( 2 )=-3 解此方程组可得 f ( 1)＝ 4， f ( 2 )＝－ 7， f ( 3 )＝－ 3 于是 f (X 1 1 +X 2 2 +X 3 3 ).＝ X 1 f ( 1)＋ X 2 f ( 2 )＋X 3 f (3 ) ＝4 X 1 － 7 X 2 － 3 X 3 2、 设 V 及 1 ， 2 ， 3 同上题，试找出一个线性函数 f ,使 f ( 1+ 3 )＝ f ( 2 -2 3 )=0, f ( 1+ 2 )=1 解 设 f 为所求 V 上的线性函数，则由题设有 f ( 1)＋ f ( 3 )=0 f ( 2 )-2 f ( 3 )=0 f ( 1)+f ( 2 )=1 解此方程组可得 f ( 1) ＝－ 1， f ( 2 )＝ 2， f ( 3 )＝ 1 于是 a V,当 a 在 V 的给定基 1 ， 2 ， 3 下的坐标表示为 a= X 1 1 +X 22 +X 3 3 时，就有 f (a)=f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 )
= X 1 f ( 1) ＋ X 2 f ( 2 )＋ X 3 f ( 3 ) =-X 1 +2 X 2 + X 3 3、 1 ， 2 ， 3 是 性空 V 的一 基， f1,f2,f3 是它的 偶基，令 1＝ 1 － 3 ， 2＝ 1 ＋ 2 － 3 ， 3＝ 2 ＋ 3 ： 1， 2， 3 是 V 的一 基，并求它的 偶基。 ： （ 1， 2， 3）＝（ 1 ， 2 ， 3 ）A 由已知，得 1 1 0 A ＝ 0 1 1 1 1 1 因 A ≠0，所以 1， 2， 3 是 V 的一 基。 g1,g2,g3 是 1， 2， 3 得 偶基， （ g1,g2,g3）＝（ f1,f2,f3 ）（ A ） 1 1 1 ＝（ f1,f2,f3 ） 1 1 2 1 1 1 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4. V 是一个 性空 ， f1,f2 , ? fs 是 V * 中非零向量， ： ∈ V ，使 fi( ) ≠ 0 (i=1,2 ? ,s) ： s 采用数学 法。 当 s ＝ 1 ， f1 ≠ 0, 所以 ∈ V ，使 fi( ) ≠0，即当 s ＝ 1 命 成立。 假 当 s=k 命 成立，即 ∈ V ，使 fi( )= i ≠ 0 (i=1,2 ? ,k) 下面 明 s=k+1 命 成立。 若 f k 1 ( ) ≠ 0, 命 成立，若 f k 1 ( ) ＝ 0， 由 f k 1 ≠0 知，一定∈ V 使 f k 1 ( ) ＝ b, fi( )=di(i=1,2 ? ,k), 于是 可取数 c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2 ?,k) 令 c ， ∈ V ，且
同济大学(高等数学)-第十章-重积分
第十章重积分 一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数 f x 在区间a,b 上的定积分， 并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形， 便得到重积分的概念.本 章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用 第1节二重积分的概念与性质 1.1二重积分的概念 F 面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义 1.1.1.曲顶柱体的体积 曲顶柱体 是指这样的立体，它的底是 xOy 平面上的一个有界闭区域 D ，其侧面是以D 的 边界为准线的母线平行于 z 轴的柱面，其顶部是在区域 D 上的连续函数 z f x,y ，且 现在讨论如何求曲顶柱体的体积 分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的 .可以用与定积分类似的方法 （即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图 10— 2）. （1）分割闭区域D 为n 个小闭区域 1 ， 2，L ， n , f x, y 0所表示的曲面（图 10— 1 ) 图 10—1 图 10—2
同时也用A ^表示第i 个小闭区域的面积，用 d A CT 表示区域 A °的直径(一个闭区域的直径 是指闭区域上任意两点间距离的最大值) ，相应地此曲顶柱体被分为 n 个小曲顶柱体. (2) 在每个小闭区域上任取一点 E ， n ， E ， n ， L , 旨，n 对第i 个小曲顶柱体的体积，用高为 f ( E, n )而底为A i (y 的平顶柱体的体积来近似代替 . (3) 这n 个平顶柱体的体积之和 n f ( i , i ) i i 1 就是曲顶柱体体积的近似值 ? ⑷用X 表示n 个小闭区域 A 0的直径的最大值，即 入m i axd A 0 ?当入0 (可理解为 A ° 收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积： n V lim 0 f( i , i ) i . i 1 1.1.2平面薄片的质量 设薄片在xOy 平面占有 平面闭 区域D ，它在点(x , y)处的面密 度是p P x,y).设 (x, y) 0且在D 上连续，求薄片的质量(见图10-3). 图 10-3 先分割闭区域D 为n 个小闭区域 1， 2 丄， n 在每个小闭区域上任取一点 E , n ， E , n ， L , E , n 近似地，以点(E ，n )处的面密度p E , n )代替小闭区域 A 0上各点处的面密度，则得到第 i 块小薄片的质量的近似值为 p E , n ) A 0，于是整个薄片质量的近似值是 n ( i , i ) i i 1 用入maxd A 莎表示n 个小闭区域 A 0的直径的最大值，当 D 无限细分，即当 入0时， 1 i n 上述和式的极限就是薄片的质量 M ，即 n M lim 0 p E , n )A r. X 0 i 1 以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限 .抽象出来 就得到下述二重积分的定义 . 定义1设D 是xOy 平面上的有界闭区域，二元函数 z f(x,y)在D 上有界.将D 分为n