集合概念和表示方法讲义
高中数学 集合的表示讲义

第2讲:集合的表示【知识梳理】一、集合的表示【考点解读】考点一:用列举法表示集合例1.用列举法表示下列给定的集合:(1)不大于12的非负偶数组成的集合A ;(2)小于9的质数组成的集合B ;(3)方程2230x x --=的实数根组成的集合C ; (4)方程组42x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集D .变式训练1:用列举法表示下列集合:(1)方程22x x =的所有实数解组成的集合;(2)直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合;(3)由所有正整数构成的集合.考点二:用描述法表示集合文字描述;式子描述例2.用描述法表示下列集合:(1)不等式231x -<的解组成的集合A ;(2)被3除余1的正整数的集合B ;(3){2,4,6,8,10}C =;(4)平面直角坐标系中第一象限内的点组成的集合D .变式训练1:用描述法表示下列集合:(1)比1大又比11小的实数组成的集合;(2)不等式342x x +≥的所有解;(3)到两坐标轴距离相等的点的集合.考点三:集合的表示综合例3.下列命题中正确的( )①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{|45}x x <<可以用列举法表示.A .只有①和④B .只有②和③C .只有②D .以上语句都不对变式训练1:方程组149x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是( )A .()2,1-B .()1,2-C .(){}1,2-D .(){}2,1-变式训练2:下列集合恰有2个元素的集合是( )A .2{0}x x -=B .2{|}x y x x =-C .2{|0}y y y -=D .2{|}y y x x =-变式训练3:已知集合{}21,1,3A a a a =+--,若1A ∈,则实数a 的值为__________.考点四:元素个数相同元素根据互异性,只能计算一次(主要考查互异性)例4.设集合{123}{45}}{|A C x B y x A y B ===+∈∈,,,,,,,则C 中元素的个数为( )A .3B .4C .5D .6变式训练1:已知集合{}1,2A =,{}2,4B =,则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为()A .1个B .2个C .3个D .4个变式训练2:设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素的个数为( )A .3B .4C .5D .6变式训练3:集合{}2*70,A xx x x =-<∈N ∣,则*8{,}B y y A y =∈∈N ∣中元素的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个考点五:元素个数(求参) 相同元素根据互异性,只能计算一个(主要考查互异性)例5.已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素,则a 的取值集合为( )A .{1}B .{0}C .{0,1,1}-D .{0,1}变式训练1:已知集合{}2310A x ax x =-+=中有且只有一个元素,则实数a 的取值集合是( )A .9{0,}4B .1{0,}3C .{0}D .9{}4变式训练2:式子22a b a a b a++________.变式训练3:已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.(1)若A 是空集,求a 的取值范围;(2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并求集合A ;(3)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围考点六:集合新定义例6.给定集合A ,若对于任意a 、b A ∈,有a b A +∈,且a b A -∈,则称集合A 为闭集合,给出如下三个结论:①集合{}4,2,0,2,4A =--为闭集合; ②集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合;③若集合1A 、2A 为闭集合,则12A A 为闭集合. 其中正确结论的个数是( )A .0B .1C .2D .3变式训练1:已知集合A 中的元素均为整数,对于k A ∈,如果1k A -∉且1k A +∉,那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S =,由S 中的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.变式训练2:已知集合{|31,},{|32,},{|63,}A x x n n B x x n n M x x n n ==+∈==+∈==+∈Z Z Z .(1)若m M ∈,则是否存在,a A b B ∈∈,使m a b =+成立?(2)对于任意,a A b B ∈∈,是否一定存在m M ∈,使a b m +=?证明你的结论.【课堂检测】1、若用列举法表示集合27{(,)|}2y x A x y x y -=⎧=⎨+=⎩,则下列表示正确的是( )A .{1,3}x y =-=B .{(-1,3)}C .{3,-1}D .{-1,3}2、已知集合{}1,2,3,4,5A =,(){},|,,B x y x A y A x y A =∈∈+∈,则集合B 中所含元素的个数为( )A .4B .6C .8D .103、已知集合{}2,2A =-,{}|,,B m m x y x A y A ==+∈∈,则集合B 等于( )A .{}4,4-B .{}4,0,4-C .{}4,0-D .{}04、已知{}232,2a a ∈++,则实数a 的值为( )A .1或1-B .1C .1-D .1-或05、下列四个命题:①{0}是空集;②若a ∈N ,则a -∉N ;③集合2{|210}x x x ∈-+=R 含有两个元素;④集合6{|}x Q N x ∈∈是有限集.其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .06、若集合{}210x ax x -+=中只有一个元素,则实数a 的值为( )A .14B .0C .4D .0或147、设P 是一个数集,且至少含有两个元素.若对任意的,a b P ∈,都有,,,a ab a b ab P b +-∈(除数0b ≠),则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是一个数域,有下列说法正确的是( )A .数域必含有0,1两个数;B .整数集是数域;C .若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域;D .数域必为无限集.8、设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a b P ∈、,都有+a b 、-a b 、ab 、a P b ∈(除数0b ≠)则称数集P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域;数集{,}F a a b Q =+∈也是数域.下列命题是真命题的是( )A .整数集是数域B .若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域C .数域必为无限集D .存在无穷多个数域9、用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合.(2)30的正因数组成的集合.(3)由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合.10、已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈.(1)若A 中只有一个元素,求a 的值;(2)若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围;(3)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.11、已知集合{}2|210A x R ax x =∈++=,其中a R ∈.(1)1是A 中的一个元素,用列举法表示A ;(2)若A 中至多有一个元素,试求a 的取值范围.。
1.集合的概念与表示(钱老师)

钱老师1对1个性化辅导讲义学员姓名学校年级及科目教师课题第一讲集合的含义与表示授课时间教学内容1.集合与元素的概念一般地,指定的某些对象的称为集合。
集合常用大写字母,,,,A B C D 表示。
集合中的每个对象叫做这个集合的。
元素常用小写字母,,,,a b c d 表示。
2.元素与集合的关系元素与集合的关系,分为属于()∈和不属于()∉两种情况。
若a在集合中,就说a集合A,记作:;若a不在集合中,就说a 集合A,记作:。
【辨析·比较】元素与集合的联系与区别区别概念概念上的区别符号上的区别关系元素研究对象小写的字母a,b,c……a A ∈或a A∉集合一些对象组成的总体大写的字母A,B,C………3.集合中元素的特征一、 :即给定的集合,它的元素必须是确定的.即给定一个集合A ,那么任何一个元素a 在不在这个集合中就确定了.也就是说a A ∈或a A ∉必须有且只有一种情形成立.(2) :一个给定的集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不能重复出现的,相同的元素在集合中只能算作一个元素.例如方程2(1)(2)0x x -+=的解只能写成{1,2}-,而不能写成{1,2,2}--.(3) :集合中元素的排列是无次序的,例如{1,2,3}与{1,3,2},{2,3,1}等应表示同一个集合.判断一组对象能否构成集合,关键是看对象是否满足集合中元素绵三个特征,特别看是否满足确定性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.例1. 判断下列各组对象能否构成集合? (1)不小于2004且不大于2010的所有正整数; (2)方程2102x x -+=的实数根; (3)比较矮的人.4、数学中一些常见的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作 ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作 ; 全体整数组成的集合称为整数集,记作 ; 全体有理数组成的集合称为有理数集,记作 ;全体实数组成的集合称为实数集,记作 . 5、集合的表示方法列举法把集合的元素 来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数. 注意事项:(1)元素间用“,”分隔;(2)集合中元素必须满足元素的三个特征;(3)对于含有限个元素且元素个数较少的集合宜采用列举法;如果元素的个数较多或无限个且构成集合的元素具有明显的规律时,也可以使用列举法,但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号,例如不超过1000的正整数构成的集合可表示为{1,2,3,,1000}.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体的做法是:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.它的形式为{|p D p ∈适合的条件},其中p 叫做代表元素,D 为p 的限制范围,其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.如果从上下文关系来看,p D ∈是明确的,那么p D ∈可以省略,只写元素p ,写成{|p p 适合的条件}.例如{|13}x R x ∈≤<也可以表示成{|13}x x ≤<;{|31,}B x Z x k k Z =∈=-∈也可表示成{|31,}B x x k k Z ==-∈. 使用描述法应注意以下事项:(1)应写清楚该集合中元素的代表元素.如集合{|13}x x ≤<不能写成{13}x ≤<,这样就少了代表元.再如集合22{(,)|1}x y x y +=与集合22{|1}y x y +=表示不同的两个集合,前者是点集,而后者是数集,区别就在于它们的代表元不同. (2)准确地说明该集合中元素的特征.(3)应对其代表元素进行说明.如下面的表示方法是错误的:{,|(1,2)}x y (),事实上它应表示为{(,)|1,2}x y x y ==,或表示为{(1,2)}. 例2.用列举法表示下列集合:(1){(,)|3,,}x y x y x N y N +=∈∈; (2){|3,,}y x y x N y N +=∈∈. 6、列举法与描述法的比较列举法与描述法各有优点,应根据具体问题确定使用那种集合的表示法,列举法具有直观、明了的特点,但有些集合是不能用列举法表示出来的,例如方程30x ->的解集.描述法把集合中所具有元素的特征性质描述出来,具有抽象、概括、普遍性的特点.表示一个集合可认为是进行如下过程:列举法 描述法例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合; (2)大于2且小于7的整数组成的集合.7.集合的分类根据集合中元素的多少,集合可分为:有限集、无限集.元素个数是有限多个的集合称为有限集,例如{1,2,3},{|14}x Z x ∈≤≤都是有限集;元素个数是无限的集合称为无限集,例如{|14}x R x ∈≤≤就是无限集;我们把不含有任何元素的集合称为空集,记作∅.通过对元素规律的观察概括出特征元素的性质 根据特征性质,找出具体元素例如求方程210++=没有实数解,从而x x++=所有实数解的集合.因为方程210x x2∈++=={|10}.x R x xφ例4.用适当的方法表示下列集合,并判断它是有限集还是无限集.(1)第三象限内所有点组成的集合;(2)由大于-3而小于9的偶数组成的集合;(3)所有被5除余2的奇数组成的集合.【课堂练习】题型一、集合的概念例1、列各项中,能组成集合的是()A、高一(3)班的好学生B、嘉兴市所有的老人C、不等于0的实数D、我国著名的数学家例2、下面四个命题正确的是()A、10以内的质数集合是{0,3,5,7}B、“个子较高的人”不能构成集合C、方程x2-2x+1=0的解集是{1,1}D、偶数集为x|x=2k,x∈N例3、下列各条件中,不能确定一个集合的是()A、重庆一中高个子的全体B、数轴上到原点的距离大于1的点的全体C、小于100的质数的全体D、方程x2+2x+7=0的解的全体题型二、集合与元素的关系例1、用符号∈与∉填空(其中A是由满足y = x2 +1且x∈N的实数y所组成的集合,B是由抛物线y = x2– 2x + 2上的点所组成的集合):4Q.(1)0 N*;3Z;0 N;(-1)0N;3+ 2 Q;3(2)0 A;3.5 A;10 A;(1,2) A.(3)(0,0) B ;(1,1) B ;2 B . 题型三、集合的表示方法 例1.用列举法表示下列集合:(1)方程x 3 = x 的解集; (2)方程组⎩⎨⎧-=+=-1131432y x y x 的解集.例2.求不等式2x –3>5的解集.例3.用列举法表示A = {(x ,y )|x + y = 5,x ,y ∈N +}. 例4、用描述法表示下列集合:(1)所有能被3整除的整数的集合; (2)使xxy -=2有意义的集合; (3)方程012=++x x 所有实数解的集合; (4)抛物线632-+=x x y 上所有点的集合。
新高考数学 A版讲义:第1节 集合的概念及表示

第1节集合的概念及表示要点一:集合及其相关概念知识点一元素与集合的概念生活中很多东西都是由一堆元素组成的整体,如《哈利波特七部曲》、考试后密封袋里的试卷,我们班的同学,一条直线等等,都可以看做一个个集合。
一般地,我们把研究对象统称为元素(element),常用小写的拉丁字母a,b,c…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(set),(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C…表示.集合相等:指构成两个集合的元素是一样的.集合中元素的特性:给定的集合,它的元素必须是确定的、互不相同的,与顺序无关。
思考我班所有的“追梦人”能否构成一个集合?答案不能构成集合,因为“追梦人”没有明确的标准.知识点二元素与集合的关系1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A.知识点三常见的数集及表示符号一、对集合的理解例1(1)考察下列每组对象,能构成集合的是()①中国各地的美丽乡村;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的自然数;④截止到2019年1月1日,参加一带一路的国家.A.③④B.②③④C.②③D.②④解析①中“美丽”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可构成集合,故选B.(2)下列说法中,正确的有______.(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个;②集合M中有3个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形;③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合.解析①不正确. book的字母o有重复,共有3个不同字母,元素个数是3.②正确. 集合M中有3个元素a,b,c,所以a,b,c都不相等,它们构成的三角形三边不相等,故不可能是等腰三角形.③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列,里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数,集合是相同的,和元素的排列顺序无关.反思感悟判断一组对象是否为集合的三依据(1)确定性:负责判断这组元素是否构成集合.(2)互异性:负责判断构成集合的元素的个数.(3)无序性:表示只要一个集合的元素确定,则这个集合也随之确定,与元素之间的排列顺序无关.二、元素与集合的关系例2下列关系中正确的个数为()①2∈Q;②-1∉N;③π∉R;④|-4|∈Z.A.1 B.2 C.3 D.4解析①∵2是无理数,∴2∉Q,故①错误;②-1∉N,②正确;③∵π是实数,∴π∈R,故③错误;④∵|-4|=4是整数,∴|-4|∈Z,故④正确.反思感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法:集合中的元素是直接给出的.(2)推理法:对于某些不便直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.跟踪训练1给出下列说法:①R中最小的元素是0;②若a∈Z,则-a∉Z;③若a∈Q,b∈N*,则a+b∈Q.其中正确的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析实数集中没有最小的元素,故①不正确;对于②,若a∈Z,则-a也是整数,故-a∈Z,所以②也不正确;只有③正确.三、元素特性的应用例3已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,试求实数a的值.解∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1,若-3=a-3,则a=0,此时集合A中含有两个元素-3,-1,符合题意;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合题意;综上所述,a=0或a=-1.延伸探究若将“-3∈A”换成“a∈A”,求实数a的值.解∵a∈A,∴a=a-3或a=2a-1,解得a=1,此时集合A中有两个元素-2,1,符合题意.故所求a的值为1.反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练2已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a=________.解析若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,a=a2,集合A中有一个元素,∴a≠1.当a=-1时,集合A中含有两个元素1,-1,符合互异性.∴a=-1.要点二:集合的表示知识点一列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.知识点二描述法一般地,设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.思考不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征?答案元素的共同特征为x∈R,且x<5.一、列举法表示集合例1 用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x 2=2x 的所有实数解组成的集合;(3)直线y =2x +1与y 轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数构成的集合.解 (1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}.(2)方程x 2=2x 的解是x =0或x =2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.(3)将x =0代入y =2x +1,得y =1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.(4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.反思感悟 用列举法表示集合应注意的两点(1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素;(2)若集合中的元素是点时,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ;(2)方程x 2-9=0的实数根组成的集合B ;(3)一次函数y =x +2与y =-2x +5的图象的交点组成的集合D .解 (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A ={2,3,4,5}.(2)方程x 2-9=0的实数根为-3,3,所以B ={-3,3}.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x +2,y =-2x +5,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =3, 所以一次函数y =x +2与y =-2x +5的交点为(1,3),所以D ={(1,3)}.二、描述法表示集合例2 用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解 (1)偶数可用式子x =2n ,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N *,所以正偶数集可表示为{x |x =2n ,n ∈N *}.(2)设被3除余2的数为x ,则x =3n +2,n ∈Z ,但元素为正整数,故n ∈N ,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x =3n +2,n ∈N }.(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.反思感悟利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x∈Z|x=2k},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x∈Z|x=2k,k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.跟踪训练2下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?解(1)不相同.(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即A=R;集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以{y|y =x2+1}={y|y≥1}.集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对.可以认为集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的.三、集合表示法的综合应用例3集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.解(1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;(2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.延伸探究1.本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”,其他条件不变,求实数k的值组成的集合.解由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根,故k≠0,且Δ=64-64k>0,即k<1,且k≠0.所以实数k组成的集合为{k|k<1,且k≠0}.2.本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值范围.解由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意;②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1,且k ≠0.综合①②可知,实数k 的取值范围为{k |k ≤1}.反思感悟 (1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,如例3集合A 中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.(2)在学习过程中要注意数学素养的培养,如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.集合及其相关概念1.以下各组对象不能组成集合的是( )A .中国古代四大发明B .地球上的小河流C .方程x 2-7=0的实数解D .周长为10 cm 的三角形答案 B 解析 因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流,故地球上的小河流不能组成集合.2.若a 是R 中的元素,但不是Q 中的元素,则a 可以是( )A .3.14B .-5 C.37D.7 答案 D 解析 由题意知a 应为无理数,故a 可以为7.3.有下列说法:①集合N 中最小的数为1;②若-a ∈N ,则a ∈N ;③若a ∈N ,b ∈N ,则a +b 的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.其中正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3答案 A 解析 N 中最小的数为0,所以①错;由-(-2)∈N ,而-2∉N 可知②错;若a ∈N ,b ∈N ,则a +b 的最小值为0,所以③错;“小”的正数没有明确的标准,所以④错。
教案-高中数学必修一讲义

合B的元素,我们就说集合A为集合B的子集:
如果集合A中存在不是集合B中的元素,则称集合A不
集合的运算
属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集.
系f,使对于集合A中任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,
那么称对应为从集合A到集合B的个映
的一个映射.
函数的三要素(一)
函数的三要素()
二.函数三要素
1.定义域
22.对应法则
例4试求下列分式函数的值域
函数的单调性初步
奇偶性引入图象直观
()
例1.
判断下列说法正确与否
函数的性质综合
指数运算
指数函数初步
对数运算。
第一章 集合 课程讲义

1.1 集合的含义及其表示一、知识梳理1.集合的定义2.元素与集合的关系3.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性4.常用数集及其记法:5.集合的表示方法:二、例题讲解例1:集合M中的元素为1,x,x2-x,求x的范围?例2:三个元素的集合1,a,ba,也可表示为0,a2,a+b,求a2005+ b2006的值.例3:集合A中的元素由(a∈Z,b∈Z)组成,判断下列元素与集合A的关系?(1)0 (2(3例4.用描述法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数的集合;(2)使yx=有意义的x的集合;(3)方程x2+x+1=0所有实数解的集合;(4)抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合;例5.已知A={a|6,3N a Za∈∈-},试用列举法表示集合A.例6.已知集合P={-1,a,b},Q={-1,a2,b2},且Q=P,求1+a2+b2的值.三、巩固练习1、用∈或∉填空________N________R0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z2、由实数-x,|x|x,组成的集合最多含有元素的个数是_________________个.3、用列举法表示下列集合:(1) {x|x为不大于10的正偶数}(2){(x,y)|0≤x ≤2,0≤y<2,x ,y ∈Z}4、用描述法表示下列集合:(1)不等式2x-3>5的解集;(2)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合;5、集合A={x|y=x 2+1},B={t|p=t 2+1},,这三个集合的关系? 6、已知A={x|12,6N x N x∈∈-},试用列举法表示集合A .1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1.子集的概念及记法:2.子集的性质:① A ⊆ A② A ∅⊆3.真子集的概念及记法:4.真子集的性质:①∅是任何非空集合的真子集5.全集的概念:6. 补集的概念:二、例题讲解例1:以下各组是什么关系,用适当的符号表示出来.(1)a 与{a} 0 与 ∅(2)∅与{20,35,∅} (3)S={-2,-1,1,2},A={-1,1},B={-2,2};(4)S=R ,A={x|x ≤0,x ∈R},B={x|x>0 ,x ∈R };例2:设集合A={x|x 2+4x=0,x ∈R},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0,x ∈R},若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.例3:①方程组210360x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为A ,U=R ,试求A 及u C A . ②设全集U=R ,A={x|x>1},B={x|x+a<0},B 是R C A 的真子集,求实数a 的取值范围.三、巩固练习1.指出下列各组中集合A 与B 之间的关系.(1) A={-1,1},B=Z ;(2)A={1,3,5,15},B={x|x 是15的正约数};(3) A = N*,B=N(4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*},B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}2.(1)已知{1,2 }⊆M ⊆{1,2,3,4,5},则这样的集合M 有多少个?(2)已知M={1,2,3,4,5,6, 7,8,9},集合P 满足:P ⊆M ,且若P α∈,则10-α∈P ,则这样的集合P 有多少个?3.若U=Z ,A={x|x=2k ,k ∈Z},B={x|x=2k+1, k ∈Z},则U C A ___________ U C B ___________:4.设全集是数集U={2,3,a 2+2a-3},已知A={b ,2},U C A ={5},求实数a ,b 的值.5.已知集合A={x|x 2-1=0 },B={x|x 2-2ax+b=0},B ⊆ A ,求a ,b 的取值范围.1.3 交集、并集一、知识梳理1.交集的定义:注意: 当集合A 与B 没有公共元素时,不能说A 与B 没有交集,而是A ∩B=∅.2.交集的常用性质:(1)(A ∩B)∩C =A ∩(B ∩C);(2) A ∩B ⊆A , A ∩B ⊆B3.区间的表示法:4.并集的定义:注意:并集(A ∪B )实质上是A 与B 的所有元素所组成的集合,但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.5.并集的常用性质:(1)(A ∪B)∪C =A ∪(B ∪C);(2) A ⊆A ∪B , B ⊆A ∪B二、例题讲解例1. (1)设A={-1,0,1},B={0,1,2,3},求A ∩B ;(2)设A={x|x>0},B={x|x≤1},求A∩B;(3)设A={x|x=3k,k∈Z},B={y|y=3k+1 k∈Z },C={z|z=3k+2,k∈Z},D={x|x=6k+1,k∈Z},求A∩B;A∩C;C∩B;D∩B;例2:已知数集 A={a2,a+1,-3},数集B={a-3,a-2,a2+1},若A∩B={-3},求a的值.例3:(1)设集合A={y|y=x2-2x+3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+10,x∈R},求A∩B;(2)设集合A={(x,y)|y=x+1,x∈R},B={(x,y)|y=-x2+2x+34,x∈R},求A∪B;例4:已知集合A={x|x2-1=0 },B={x|x2-2ax+b=0},A∪B=A,求a,b的值或a,b所满足的例5:若A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},(1)若A∪B=A∩B,求a的值;(2)∅ A∩B,A∩C=∅,求a的值.例6:已知集合A={2,5},B={x|x2+px+q=0,x∈R}(1)若B={5},求p,q的值.(2)若A∩B= B ,求实数p,q满足的条件.例10、已知集合A={x|-2<x<-1,或x>0},B={x|a≤x≤b},满足A∩B={x|0<x≤2},A∪B={x|x>-2},求a、b的值。
高一寒假讲义-集合的概念及表示

集合的概念及表示含答案知识梳理1、集合的概念:一般的我们把研究对象统称为 ,把一些元素组成的总体叫做 。
2、集合的3个性质:⎪⎩⎪⎨⎧的元素顺序无关无序性:集合与组成它元素是互不相同的互异性:集合中任两个必须是确定的确定性:集合中的元素3、元素与集合的表示:我们通常用 来表示集合,用 来表示元素。
4、元素与集合的关系:①如果a 是集合A 的元素,就说a A ,记作:A a ∈②如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作:注意:属于或不属于(∉∈,)一定是用在表示元素与集合间的关系上。
5、集合的分类: (集合含有有限个元素);无限集(集合含有 个元素);空集(不含任何元素的集合,用记号 表示)。
6、常用集合的表示:自然数集(非负整数集)记作N ;正整数集记作()+N N *;整数集记作Z ;有理数集记作Q ;实数集记作R 。
注意:(这些特定集合外面不用加{})7、集合的表示:(1) :把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来的表示方法。
注意:一般用列举法,元素是有限的,在不产生歧义的情况下,无限集合也可以用列举法,例:正整数集合{1,2,3,4,…}.(2) :在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
例:{}4>=x x B (如果元素的取值范围是全体实数,范围可省略不写)。
(3) :用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。
知识典例题型一 基本概念例1 下列各组对象中能构成集合的是( )A .充分接近3的实数的全体B .数学成绩比较好的同学C .小于20的所有自然数D .未来世界的高科技产品【答案】C 巩固练习1、判断下面例子能否组成集合?(1)大于3小于12的所有偶数; (2)我国的小河流。
2、判断下面例子能否组成集合?中国的直辖市; (2)身材较高的人3、已知元素2x 在集合{1,0,x }内,求实数x 的值4、集合{a ,b ,c }中元素是三角形三边,则这个三角形不可能是 三角形.题型二 元素与集合的关系例 2 用符号“∈”或“∉”填空:(1)2_____N ;(2)33______Q ;(3)13______Z ;(4)3.14______R ;(5)3-______N ;(6)9_____Q .【答案】∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈巩固练习1、用符号“∈”或“∉”填空(1)N __0 (2)Z _____14.3 (3)Q______π (4)N _____14.3 2、下列写法正确的是( )A .∅∉{}0B .0∉∅C .{}0∅∈D .0∈∅【答案】B题型三 元素的性质应用例 3 已知{}31,2,A x=,且x A ∈,则实数x 的取值集合是______.【答案】{}1,0,2- 巩固练习1、已知集合{1,,1}A a a =-,若2A -∈,则实数a 的值为( )A .2-B .1-C .1-或2-D .2-或3- 【答案】C2、已知集合(){}21,1A m m =+-,若1A ∈,则m =______.【答案】2题型四 集合的表示例 4 用适当的方法表示下列集合:(1)英语单词mathematics (数学)中的所有英文字母组成的集合;(2)方程27x y +=的所有解组成的集合;(3)绝对值小于0的所有实数组成的集合.【答案】(1){},,,,,,,m a t h e i c s ;(2){(,)|27}x y x y +=;(3){|||0}x x <或∅. 巩固练习1、用适当的方法表示下列集合:(1)方程(1)0-=x x 的所有解组成的集合A ;(2)平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合B .【答案】(1){0,1};(2){(,)|0,0}x y x y >>题型五 集合的分类例 5 在下列集合中,哪些是非空的有限集合?哪些是无限集合?哪些是空集? (1)小于100的全体素数组成的集合;(2)线段AB 内包含AB 中点M 的所有线段组成的集合;(3){|||10}A x x =+=;(4){(,)|21}A x y y x ==+.【答案】(1)非空的有限集合;(2)无限集;(3)空集;(4)无限集.巩固练习用合适的方法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集.(1)到A 、B 两点距离相等的点的集合(2)满足不等式21x >的x 的集合(3)全体偶数(4)被5除余1的数(5)20以内的质数(6){(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈【答案】(1)集合{A =点}P PA PB =,无限集;(2)集合{}21B x x =>,无限集;(3)集合{}2,C x x k k Z ==∈,无限集;(4)集合{}51,D x x k k Z ==+∈,无限集;(5)集合{}2,3,5,7,11,13,17,19E =,有限集;(6)集合()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1F =,有限集;巩固提升1、下列几组对象可以构成集合的是( )A .充分接近π的实数的全体B .善良的人C .世界著名的科学家D .某单位所有身高在1.7m 以上的人【答案】D2、若{}22111a a ∈++,,,则a =( ) A .2B .1或-1C .1D .-1 【答案】D3、已知集合M ={1,m +2,m 2+4},且5∈M ,则m 的值为A .1或-1B .1或3C .-1或3D .1,-1或3 【答案】B4、含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭又可表示成{}2,,0a a b +,20142015a b +=______. 【答案】15、已知集合A ={1,2,a 2-2a },若3∈A ,则实数a =______.【答案】3或-16、若实数a 满足:a 2∈{1,4,a},则实数a 的取值集合为_____.【答案】{﹣1,﹣2,2,0}7、下列说法:①集合{x∈N|x 3=x}用列举法表示为{-1,0,1};②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R};③方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为{x =1,y =2}. 其中正确的有( )A .3个B .2个C .1个D .0个 【答案】D8、集合{|32}x x ∈-<N 用列举法表示是A .{1,2,3,4}B .{1,2,3,4,5}C .{0,1,2,3,4,5}D .{0,1,2,3,4} 【答案】D9、已知{}A x x x R =≤∈,a =,b =( )A .a A ∈且b A ∉B .a A ∉且b A ∈C .a A ∈且b A ∈D .a A ∉且b A ∉ 【答案】B10、设集合{1,1,2}A =-,集合{|B x x A =∈且2}x A -∉,则B =( )A .{1}B .{2}C .{1,2}-D .{1,2} 【答案】C11、已知集合{}2320A x ax x =-+=,若A 中至少有一个元素,则a 的取值范围是______; 【答案】98a ≤ 12、方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 【答案】()(){}2,2,2,2--13、集合{(,)|0,,}x y xy x R y R ∈∈是指( )A .第二象限内的所有点B .第四象限内的所有点C .第二象限和第四象限内的所有点D .不在第一、第三象限内的所有点 【答案】D14、用符号“∈”或“∉”填空:①{}2|0A x x x =-=,则1_______A ,1-______A ;②(1,2)______{(,)|1}x y y x =+. 【答案】∈ ∉ ∈15、已知集合{}1,0,1A =-,(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ,则集合B 中所含元素的个数为( ) A .3B .4C .6D .9 【答案】B课堂检测(每小题5分,共25分)1、集合{|23}A x Z x =∈-<<的元素个数为( )A .1B .2C .3D .4 【答案】D2、直线2y x =与3y x 的交点组成的集合是( ) A .{}3,6B .36,C .3,6x y ==D .{}(3,6) 【答案】D3、设集合{|4},M x x a =≥=,则下列关系中正确的是( ) A .a M ∈B .a M ∉C .{}a M ∈D .{}a M ∉【答案】B4、已知集合2{2,25,12}A a a a =-+,且3A -∈,则a 等于( ) A .-1B .23-C .32-D .32-或-1 【答案】C 5、方程的解集为{}2|2320x R x x ∈--=,用列举法表示为____________. 【答案】1{,2}2-.。
集合讲义 【辅导专用】

一、集合讲义【辅导专用】一、知识点精讲1.集合中元素的三个特征:①.确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.②.互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.③.无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
2. 元素与集合的关系有且只有两种:属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示).4.集合的表示方法:列举法,描述法,图示法关系 自然语言 符号语言 Venn 图子集 集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A,则x ∈B)A ⊆B(或B ⊇A)真子集 集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A ⫋B(或B ⫌A)集合相等 集合A,B 中的元素相同或集合A,B 互为子集 A=B(2)结论①空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集,符号表示为⌀⊆A,⌀⫋B(B ≠⌀). ②对于任意集合A,A ⊆A.③若A ⊆B,B ⊆C,则A ⊆C.④若有限集A 中有n 个元素,则A 的子集的个数为2n ,非空子集的个数为2n -1,真子集的个数为2n -1,非空真子集的个数为2n -2.5.集合的基本运算表示运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法交集 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合{x|x ∈A, 且x ∈B} A ∩B并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x|x ∈A, 或x ∈B} A ∪B补集 由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合 {x|x ∈U,且 x ∉A} U A集合运算的性质:(1)并集的性质:A ∪⌀=A;A ∪A=A;A ∪B=B ∪A;A ∪B=A ⇔B ⊆A.(2)交集的性质:A ∩⌀=⌀;A ∩A=A;A ∩B=B ∩A;A ∩B=A ⇔A ⊆B. (3)补集的性质:A ∪(U A )=U ;A ∩(U A )=∪;U (U A )=A ;U (A ∪B )=(U A )∩(U B );U (A ∩B )=(U A )∪(U B ).二、典例分析例1.考查下列每组对象,能构成一个集合的是( )①某校高一年级成绩优秀的学生;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的自然数;④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.A.③④ B.②③④ C.②③D.②④例2.已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为________.变式:已知集合A含有两个元素1和a2,若“a∈A”,求实数a的值.例3.已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)若A⊇B,求实数a的取值范围.变式:若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A⊇B,求实数a的取值范围.例4.已知M={1,2,a2−3a−1},N={-1,a,3},M∩N={3},求实数a的值.例5.(1)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}(2)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则∁R(A∪B)=________,(∁RA)∩B=________.三、练习巩固1.给出下列说法:①中国的所有直辖市可以构成一个集合;②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合;③正偶数的全体可以构成一个集合;④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合.其中正确的有________.(填序号)2. 集合A 中的元素x 满足63-x∈N ,x ∈N ,则集合A 中的元素为________.3.已知集合A ={}02=+-b ax x x ,若A ={2,3},求a ,b 的值.4.若{1,2,3}⫋A ⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A 的个数为( )A.2B.3C.4D.55.若集合A={x|x 2+x −6=0},B={x|x 2+x +a =0},且B ⊆A,求实数a 的取值范围.6.若集合A ={0,1,2,x },B ={1,2x },A ∪B =A ,则满足条件的实数x 有( )A .1个B .2个C .3个D .4个7.设全集U 为实数集R ,M ={x |x >2或x <-2},N ={x |x ≥3或x <1}都是全集U 的子集,则图中阴影部分所表示的集合是( )A .{x |-2≤x <1}B .{x |-2≤x ≤2}C .{x |1<x ≤2}D .{x |x <2}8.已知集合A ={x |x <a },B ={x |1<x <2},且A ∪(∁R B )=R ,则实数a 的取值范围是( )A .{a |a ≤1}B .{a |a <1}C .{a |a ≥2}D .{a |a >2}9.设集合A ={x|-1<x <a},B ={x|1<x <3}且A ∪B ={x|-1<x <3},求a 的取值范围.10.已知集合A={x|0≤x ≤4},集合B={x|m+1≤x ≤1-m},且A ∪B=A,求实数m 的取值范围.。
集合的概念及其关系 - 拔高难度 - 讲义

集合的概念与关系知识讲解一、集合的概念1.集合a∈;某些指定的对象集在一起成为集合.集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作Ab∉;若b不是集合A的元素,记作A2.集合的性质确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;二、集合的表示1.集合的三种表示方法列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;例如:{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,5,}L描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内.例如:大于3的所有整数表示为:{|3}Z∈>x x方程2250x x --=的所有实数根表示为:{x ∈R |2250x x --=}图示法具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.2.常用数集及其记法非负整数集(或自然数集),记作N ;正整数集,记作*N 或N +; 整数集,记作Z ;有理数集,记作Q ;实数集,记作R .三、集合之间的关系1.子集关系定义:若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集(或B 包含A ),记作A ⊆B (或B A ⊂);简单性质:1)A ⊆A ;2)∅⊆A ;3)若A ⊆B ,B ⊆C ,则A ⊆C ;2.真子集关系对于两个集合A 与B ,若A B ⊆且.A B ≠,则集合A 是集合B 的真子集,记作A B Ü(或B A Ý) 相等关系:对于两个集合A 与B ,如果A B ⊆,且B A ⊆ ,那么集合A 与B 相等,记作A B =3.空集定义:不含任何元素的集合叫做空集性质:空集的特殊属性,即空集虽空,但空有所用。
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集合一.集合的概念:集合没有确切定义,是一个基本概念。
对其描述:某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。
符号表示为{},表示的意思为全体。
这些对象我们称之为元素。
集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示,集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意:(1)集合是数学中原始的、不定义的概念,只作描述.(2)集合是一个“整体.(3)构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的例如:指出下列对象是否构成集合,如果是,指出该集合的元素。
(1)我国的直辖市;(2)五中高一(1)班全体学生;(3)较大的数(4)young 中的字母;(5)大于100的数;(6)小于0的正数。
【典例分析】:1.下列各组对象中,不能组成集合的是()A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是()(1)不超过π的正整数;(2)高一数学课本中所有的难题;(3)中国的大城市(4)平方后等于自身的数;(5)某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生.A.(1)(2)(3)B.(3)(4)(5)C.(1)(4)(5)D. (1)(2)(4)二.元素的特性a、确定性(有一个确定的衡量标准)b、互异性(集合里的元素都不一样)c、无序性(没有顺序)(确定性)例题1:下列各组对象能否构成一个集合(1)著名的数学家(2)某校2006年在校的所有高个子同学(3)不超过10的非负数(4)方程240x-=在实数范围内的解(5)2的近似值的全体例题2:下列各对象不能够成集合的是()A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师(互异性)例题3:已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( )A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4:若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值,并求此时的实数集。
(集合三要素)例题5:a 、b ∈R,集合{1,a+b ,a}={0,ab ,b},则b-a= 三.几种集合的命名自然数集:N ;正整数集:N*或N+;整 数 集:Z ;有理数集:Q ;实 数 集:R 。
(应用,三角函数,数列)四.集合的分类有限集:含有有限个元素的集合;无限集:含有无限个元素的集合;空 集:不包含任何元素的集合叫做空集,用∅表示;(区分∅、{ ∅}、{ 0 })解题的陷阱,一定要记得空集例1.下面集合是有限集还是无限集?(1)不超过10的非负偶数的集合;(2)大于10的所有自然数组成的集合;(3)方程x 2-4=0的解集(4)在平面上到两定点A 、B 距离相等的点的集合五.元素与集合之间的关系与运算集合和元素之间的关系是属于(∈)和不属于(∉)【典例分析】:1 用符号∈或∉填空:(1)0__N*; 2__Z ; (-1)0__N*;(2){x x <; {}0x x >;2+5__{x|x≤2+3};(3)3____2{x|x=n +1,n N*}∈; 5____2{x|x=n +1,n N*}∈ (4)(-1,1) _____{y|y=x 2}; (-1,1)____{(x ,y )|y=x 2}2 非空集合M 中的元素只能是1,2,3,4,5中的某些数,若a ∈M,则(6-a )∈M,试求符合条件的M 的个数。
3 设A={a},则下列各式中正确的是( )A.0∈AB.a ∉AC.a ∈AD.a=A4 方程组⎩⎨⎧=-=+9,1y x y x 的解集是( )A.(5,4)B.{5,-4}C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}六.集合的表示方法1、列举法:把元素一一列举在大括号内的表示方法;注 意:凡是以列举法形式出现的集合,往往考察元素的互异性。
说明:1、书写时,元素与元素之间用逗号分开;2、一般不必考虑元素之间的顺序;3、集合中的元素可以为数,点,代数式、文字等;4、列举法可表示有限元素集,也可以表示无限元素集。
当元素个数比较少时用列举法比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示。
5、对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集N用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......例1、用列举法表示下列集合::(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x 2= x 的所有实数根组成的集合;(3)我国现有的直辖市。
.例1 解答:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A ,那么 A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因此集合A 可以有不同的列举法. 例如: A = {9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.(2)设方程x 2= x 的所有实数根组成的集合为B ,那么B = {0,1}.变式练习用列举法表示下列集合:⑴x 2-4的一次因式组成的集合. ⑵{y |y =-x 2-2x +3,x ∈R,y ∈N }.⑶方程x 2+6x +9=0的解集. ⑷{20以内的质数}.⑸{(x ,y )|x 2+y 2=1,x ∈Z ,y ∈Z}. ⑹{大于0小于3的整数}.⑺{x ∈R |x 2+5x -14=0}.⑻{(x ,y )}|x ∈N ,且1≤x <4,y -2x =0}.⑼{(x ,y )|x +y =6,x ∈N ,y ∈N }. 2、描述法:有以下两种描述方式1)代号描述:例 方程x ²-3x+2=0的所有解组成的集合,可表示为{x|x ²-3x+2=0}。
x 是集合中元素的代号,竖线也可以写成冒号或者分号,竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符号的条件。
(代号不一样,所表示含义也不一样)】2) 文字描述:将说明元素性质的一句话写在大括号内。
例 {大于2小于5的整数};描述法表示的集合一旦出现,首先需要分析元素的意义,也就是说要判断元素到底是什么。
方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式:{}()x A p x ∈其中x 代表元素,A 是集合,P 是集合A 的一个特征性质。
.如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x 2+1},{x|直角三角形},…;说明:① 描述法表示集合时,应特别注意集合的代表元素,如2{(,)|1}x y y x =-与2{|1}y y x =-不同. ② 只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如{|1}x x >,{|3,}x x k k Z =∈.③ 集合的{ }已包含“所有”的意思,例如:{整数},即代表整数集Z ,所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集},{R }也是错误的.例2用描述法表示下列集合:⑴方程2x +y =5的解集. ⑵小于10的所有非负整数的集合.⑶方程ax +by =0(ab ≠0)的解. ⑷大于3的全体偶数组成的集合.⑸平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.⑹方程组⎩⎨⎧x + y =1x -y =1的解的集合. ⑺{1,3,5,7,…}.说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
3、区间表示法:数轴上得一段数组成的集合可以用区间表示,区间分为开区间和闭区间,开区间用小括号表示,是大于或小于的意思;闭区间用中括号表示,是大于等于或小于等于的意思。
例 (2,3),[2,3],(2,3],[2,3)……4、图像表示法:数轴、坐标系、常与区间法表示同时使用 维恩图法:即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示:A 3,9,27课堂训练一、选择题1.下列元素与集合的关系中正确的是( ) A.N ∈21 B.2∈{x ∈R|x ≥3} C.|-3|∉N* D.-3.2∉Q2.给出下列四个命题:(1)很小的实数可以构成集合;(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合; (3)1,23,46,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素; (4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R}是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33.下列集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x ,y )|x +y =1},N={y |x +y =1}D.M={1,2},N={2,1}4.已知x ∈N,则方程220x x +-=的解集为( )A.{x |x =-2}B. {x |x =1或x =-2}C. {x |x =1}D.∅ 5.已知集合M={m ∈N|8-m ∈N},则集合M 中元素个数是( )A.6B.7C.8D.9二、填空题6.用符号“∈”或“∉”填空: 0_______N,5______N,16______N.7.用列举法表示A={y |y =x 2+1,-2≤x ≤2,x ∈Z}为_______________. 表示任意一个集合A 表示{3,9,27}8.用描述法表示集合“方程x 2-2x +3=0的解集”为_____________.9.集合{x |x >3}与集合{t|t >3}是否表示同一集合?________10.已知集合P={x |2<x <a ,x ∈N},已知集合P 中恰有3个元素,则整数a =_________. (附加题)下列对象能否组成集合:(1)数组1、3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)满足3x-2>x+3的全体实数;(4)所有直角三角形;(5)美国NBA 的著名篮球明星;(6)所有绝对值等于6的数;(7)所有绝对值小于3的整数;(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.三、解答题11.已知集合A={0,1,2},集合B={x |x =ab ,a ∈A,b ∈A}.(1)用列举法写出集合B ;(2)判断集合B 的元素和集合A 的关系.12.已知集合{1,a ,b }与{-1,-b ,1}是同一集合,求实数a 、b 的值.13.(探究题)下面三个集合:①{}2|2x y x =-,②{}2|2y y x =-,③{}2(,)|2x y y x =-(1)它们是不是相同的集合?(2)试用文字语言叙述各集合的含义。