不等式的基本性质

不等式的基本性质

考点总体描述：

不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容的理论基础，起到重要的奠基作用.在中考中多以填空题或选择题的形式出现. ①维度1 不等式基本性质研读

不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，即如果a ＜b ，那么a+c ＜b+c （或a-c ＜b-c ）.

不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；如果a

且c>0，那么ac

b c a < ) 不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 这三条基本性质是进行不等式变形的主要依据. 如果abc(或 c b

c a > ) 例1：设a ＞b ，用不等号连结下列各题中的两式：

（1）a-3与b-3；（2）2a 与2b ；（3）-a 与-b.

思路分析：

第1步：观察已知的不等式与所要研究的对象之间的不同；第2步：对照不等式基本性质，选择变形依据作答.

解答过程：

（1）因为a ＞b ，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得a-3＞b-3；

（2）因为a ＞b ，2＞0，由不等式的基本性质2，得2a ＞2b ；

（3）因为a ＞b ，-1＜0，由不等式的基本性质3，得-a ＜-b.

本例题总结：

处理这类问题的一般思路是以不等式的性质作为依据，确定合适的不等号，要特别注意的是不等式基本性质3的应用.

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

例2： 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：

（1）x-2＜3；（2）6x ＞5x-1；（3）-4x ＞4．

思路分析：

第1步：根据变形要求选用不等式的基本性质；第2步:根据性质变形.

解答过程：

（1）由不等式的性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x-2+2＜3+2，即x ＜5；

（2）由不等式的性质1可知，不等式的两边都减去5x ，不等号的方向不变，所以6x-5x ＞5x-1-5x ，即x ＞-1；

（3）由不等式的性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x ＜-1． 本例题总结：

运用不等式的基本性质时，注意不等号方向的是否改变．

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

1.（2009年柳州）若a ＜b ，则下列各式中一定成立的是（ ）

A. a-1＜b-1

B.33b a >

C. -a ＜-b

D. ac ＜bc 思路分析：

第1步：观察已知的不等式与所要研究的对象之间的不同；第2步：对照不等式基本性质，选择合适的变形方式作答.

解答过程：

在不等式三条基本性质中要特别注意“不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变”.由不等式基本性质2，不等式两边同除以3，B 选择项的不等号方向不变；C 选项不等式两边同乘-1，不等号方向要改变；D 选择项c 可取任意实数故不等号方向无法确定；A 选项因为a ＜b ，由不等式基本性质1得a-1＜b-1，故选A.

答案：A ．

2. 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．

（1）若a-3＜9，则a_____12； （2）若-a ＜10，则a_____-10；

（3）若41a ＞-1，则a_____-4； （4）若-3

2a ＞0，则a_____0． 解析：根据前后两个式子之间的关系，对照不等式的基本性质加以变形.

答案：（1）a ＜12，根据不等式基本性质1； （2）a ＞-10，根据不等式基本性质3；

（3）a ＞-4，根据不等式基本性质2； （4）a ＜0，根据不等式基本性质3．

②维度2 不等式的基本性质与等式的性质对比

不等式的基本性质与等式的基本性质有相似之处，也有不同之处，特别是不等式的基本性质3，不等式两边同乘以（或同除以）一个负数，不等号的方向要改变，这一点要尤为引起重视，这一性质的运用，也是本章的难点之一.下面将不等式的基本性质与等式的性质的

例1： 若a ＞b ，c ＜0，则下列四个不等式成立的是（ ）．

A.ac ＞bc

B.c

b c a < C.a －c ＜b －c D. a|c|＜a|c| 思路分析：

第1步：比较已知不等关系与选项中的不等关系；第2步：确定变形方法是否符合法则. 解答过程：

根据不等式的性质1，在不等式a ＞b 的两边同时减去ｃ，不等号的方向不变，故C 错误；根据不等式的性质2，在不等式a ＞b 的两边同时乘以正数|c|，不等号的方向不变，故D 错误；根据不等式的性质3，在不等式a ＞b 的两边同时乘以或除以负数c ，不等号的方向要改变，故A 是错误的；故选B ．

本例题总结：

本题主要考查不等式的三条基本性质，运用不等式基本性质时，关注不等号方向的“不变”与“改变”是关键．

关键字：

表现形式：

呈现内容说明：

例2：已知-2x+3y=3x-2y+1，试比较x 和y 的大小关系.

析解：要比较x 和y 的大小关系，只需利用等式变形求出(x-y)的值，再根据其正负判断大小。.由等式的性质1，在等式的两边都减去(3x-2y)，即-2x+3y-(3x-2y)=1，整理，得-5x-5y=1，再由等式的性质2，两边同时除以－5，得x-y=-

51，因为105-<，所以x-y ＜0，即x ＜y.

本例题总结：

本题依据等式性质比较大小.

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

随讲随练：

1. 下列变形①若3x-1=2x+1，则x=0；②若ac=bc ，则a=b ；③若a=b ，则c b c a =； ④若5

5x y =，则y=x.正确的有 . 解析：①方程两边减2x ，化简，得x-1=1，两边再加1，可得x=2，故错误；②中两边需要同时除以c ，得a=b ，但不能保证c 不等于0，故错误；③，因为不能保证同时除以的数c 不为0；

答案：④.

2. 已知1-3a ＞1-3b ，则a b （填“＜”、“＞”或“＝”）．

解析：先根据不等式的性质１，在不等式1-3a ＞1-3b 的两边同时减去1，不等号的方向不变，得-3a ＞-3b ，再根据不等式的性质3，在不等式的两边同时除以-3，不等号的方向要改变，得a ＜b ．

答案：＜.

③维度3 不等式的基本性质巧用

例1：如果a>b>0， 试用“>”“<”或“=”填空，并说明理由． (1)ab b 2 (2)－a

1 －b 1 思路分析：

第1步：两边同时乘b ；第2步：根据不等式性质确定不等号的方向.

解答过程：

(1)由已知 a>b>0知：a>b ，b>0根据不等式性质2，在不等式a>b 的两边同时乘以同一

个正数a ，不等号方向不变，所以ab>b 2．

(2)由a>b>0知

a 1<

b 1，根据不等式性质3，在不等式a 1

1两边都乘（或除以）－1，不等号的方向改变，故有－a 1>－b 1． 本例题总结：

第（2）小题也可先根据不等式性质3，在不等式a>b 两边都乘（或除以）－1，不等号的方向改变得－a<－b<0，再比较a -1与b -1．即比较－a

1与－b 1大小也可求解．

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

例2：如果关于ｘ的不等式（１－m ）ｘ＞m －１的解集是ｘ＜－１，那么m 的取值范围是（ ）

A.m ≥１

B.m ≤１

C.m ＞１

D.m ＜１

思路分析：

第1步：比较原不等式与解集中的不等号的方向；第2步：对照不等式基本性质3，确定1-m 的范围.

解答过程：

通过观察原不等式与解集中的不等号的方向，发现不等号的方向改变了，显然本题利用了不等式的基本性质３，故可知１－m ＜０，即m ＞１．应选C ．

例3：比较a 与2a 的大小．

思路分析：

第1步：将a 的取值分三种情况；第2步：对每一种情况，根据等式性质加以讨论. 解答过程：

本题需分类讨论，

当a>0时，两边同时加上a ，得2a ＞a ，即a ＞2a ；

当a=0时，a=2a ；

当a<0时，两边同时加上a ，得2a ＜a ，即a ＞2a ．

随讲随练：

1. 已知a>b ，则ac 与bc 之间的大小关系．

解析：由于c 的符号没有确定，故应该分类讨论．当c>0时，根据不等式的性质2，“不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”得ac>bc ．当c=0时，ac=0，bc=0此时ac=bc ．当c<0时，根据不等式的性质3，“不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”得ac

答案：当c>0时，ac>bc ；当c=0时，ac=bc ；当c<0时，ac

2. 已知关于ｘ的不等式（１－a ）ｘ＞3的解集是a

x -<13，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜0 B.a ＞0 C.a ＞１ D.a ＜１

解析：根据不等式基本性质3，两边同时除以一个负数（1-a ）不等号改变方向，所以1-a ＜0，即a ＞1.

答案：C

④维度4 不等式的基本性质应用例析

例1：已知ｘ＜ｙ，若有a ｘ＞a ｙ，那么a 应满足的条件是（ ）

A.a ≥0

B.a ≤0

C.a ＞0

D.a ＜0

思路分析：

第1步：观察两个不等式的形式以及不等号方向的变化情况；第2步：确定题中运用了不等式的哪条基本性质.

解答过程：

由不等式ｘ＜ｙ的两边同时乘以a 得到a ｘ＞a ｙ，不等号的方向改变了，说明利用了不等式的性质3，因此a ＜０．故选D ．

本例题总结：

本题主要考查不等式的基本性质，应用不等式性质3时要改变不等号的方向．

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

例2：根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：

(1)x －3＜8； (2)3x ＜2x ＋4；（3）-8x ＞5；（4）2

1x ＜-3 思路分析：

第1步：根据不等式的性质将不等式化成左边是含未知数的项，右边是常数项；第2步：根据不等式性质两边同时乘或除以一个数，将不等式化为x ＞a 或x ＜a 的形式. 解答过程：

（1）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上3，不等号的方向不变，所以 x －3＋3＜8＋3 ，即x ＜11；

（2）根据不等式基本性质1，不等式的两边都减去2x ，不等号的方向不变，所以

3x －2x ＜2x ＋4－2x ，即x ＜4；

（3）根据不等式基本性质3，不等式的两边都除以－8，不等号的方向改变，所以 88--x ＜-85，即x ＜-8

5； （4）根据不等式基本性质2，不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以

21x ×2＜-3×2，即x ＜-6. 本例题总结：

本题考查根据不等式的性质解不等式，一定要注意不等式基本性质3的运用，不等式的两边都除以(或乘以)同一个负数，不等号的方向改变．

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

例3：已知a ＜b ，求c 是哪些数时，

(1)ac ＜bc ；(2)ac ＞bc ；(3)ac=bc ．

思路分析：

第1步：根据不等式的基本性质，与a ＜b 对比；第2步，确定c 符号.

解答过程：

(1)的不等号方向不变，所以c ＞0．(2)的不等号方向改变，所以c ＜0；(3)是等号，所以c=0．

本例题总结：

解答这类问题的关键是正确理解不等式的基本性质，并根据性质做出判断.

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

随讲随练：

1.用不等号填空：

(1)若a ＞b ，则－2＋a____b －2； (2)若a ≤b ，则－5a ＋1____－5b ＋1；

（3）若-2

7x ＞7，则x -2； (4)若a ＞b ，c ≤0，则bc____ac ； (5)若a ＞b ，则ac 2____bc 2．

解析：由已知条件不等式，根据哪条性质变形得到所求式子的两边．

答案： (1)＞；(2)≥；(3)＜；(4)≥；(5)≥.

2. 比较大小：2c 与3c.

解析：本题有两种思路，其一，可作差，根据差的正、负、零确定大小关系．如3c －2c=c ，再由c 的情况来比较．其二，根据不等式的性质，由2＜3，依据c 的情况确定2c 与3c 的大小．

答案： c ＞0时，2c ＜3c ，c=0时，2c=3c ，c ＜0时，2c ＞3c ．

⑤维度6 不等式基本性质实际应用

例1: (2008年永州)如图，a 、b 、c 分别表示一个苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）

A ．a ＞c ＞b

B ．b ＞a ＞c

C ．a ＞b ＞c

D ．c ＞a ＞b

思路分析：

第1步：观察图形列出不等式；第2步：根据不等式基本性质对不等式加以变形. 解答过程：

由左图知3b ＜2a ，则a ＞32

b ，所以a ＞b.由右图知2

c ＝b ，则b ＞c .于是a ＞b ＞c .故选C.

本例题总结：

根据题中所给出的图形信息，仔细观察、分析，得出各个量间的初步关系，再灵活运用不等式的基本性质，则可判断出它们间的大小关系.

例2：某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y 元．后来他以每斤2

x y +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）

A .xy c.x ≤y D.x ≥y

思路分析：

第1步：根据题意列不等式；第2步：根据不等式的基本性质加以变形.

解答过程：

根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是

502030y x +，以每斤2y x +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则502030y x +＞2

y x +，解得，x ＞y ，故选B ． 本例题总结：

解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系.

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

随讲随练：

1. （2008年广州）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们的体重大小关系是（）

（1） （2） （3）

A. P ＞R ＞S ＞Q

B. Q ＞S ＞P ＞R

C.S ＞P ＞Q ＞R

D. S ＞P ＞R ＞Q

解析：由图（1）可知S ＞P ，由图（2）可知P ＞R ，由图（3）可知P+R ＞Q+S ，根据不等式的性质可知R ＞Q+S-P,结合图（1）中的结论可知S-P ＞0，所以R ＞Q ，所以S ＞P ＞R ＞Q. 答案：D

2. 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条2

b a +元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（） A ．a ＞b B.a ＜b C ．a=b D.与a 和b 的大小无关 解析：利润=总售价-总成本=

2b a +×5-（3a+2b ）=0.5b-0.5a ，赔钱了说明利润＜0， ∴0.5b-0.5a ＜0，∴a ＞b.

答案：A

⑥维度7 不等式基本性质考点例析

例1：（2011年四川凉山州）下列不等式变形正确的是（ ）

A ．由a ＞b ，得ac ＞bc

B ．由a ＞b ，得-2a ＜-2b

C ．由a ＞b ，得-a ＞-b

D ．由a ＞b ，得a-2＜b-2

思路分析：

根据不等式的性质判断即可.

解答过程：

A ：由a ＞b ，当c ＞0时，得ac ＞bc ，当c ＞0时，得ac ＜bc ，故选项错误；

B ：由a ＞b ，得-2a ＜-2b ，故选项正确；

C ：由a ＞b ，得 -a ＜-b ， 故选项错误；

D ：由a ＞b ，得a-2＞b-2，故选项错误．故选B.

本例题总结：

运用不等式的基本性质3时，要注意不等号的方向是变还是不变.

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

随讲随练：

1.（2011年深圳）已知a 、b 、c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0，下列结论不一定正确的是( )

A. a+c ＞b+c

B.c-a ＜c-b

C.2c a ＞2c

b D.a 2＞ab ＞b 2 解析：A 、B 、C 都正确，D 选项不正确，例如a=-1，b=-2时不成立.

答案：D

2. 如果x ＜y ＜0，那么，下列结论中错误的是（ ）

A .x －9＜y －9 B.-x ＞﹣y C.x 1＜y 1 D.y

x ＞1 解析：选A 是认为不等式两边也出现了负号，所以，不等号应反向；选择B 是认为x 、y 均为负数，再乘以﹣1应是正数，不等号不应该改变方向；而选择D 是忽视了x ＜y ＜0的条件，只看到了x ＜y.避免这类错误出现，应真正理解不等式的基本性质和注意已知条件的运用 答案：C

⑦维度8 不等式基本性质常见错例

例1：判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）若a ＜b ，则ac 2＜bc 2； （2）若ax ＞c ，则a

c x >； （3）若a-b ＞a ，则b ＞0； （4）若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0.

错解：（1）因为c 2＞0，所以ac 2＜bc 2正确；

（2）不等式两边同除以a ，得x ＜a

c ，所以正确； （3）不等式两边同时减去a ，再同乘以－1，得b ＞0，所以正确；

（4）根据“同号相乘得正”的法则可知（4）正确.

错因分析：上述解答的错因主要是对不等式的基本性质理解不清，或者是对问题所涉及的范围没有考虑全面.

正解：（1）不正确.当c=0时，ac 2=bc 2，即：若a ＜b ，则ac 2≤bc 2正确.此处还应注意：若ac 2＜bc 2，则a ＜b 正确，因为这里隐含了c ≠0这一条件.

（2）不正确.因为若a ＜0，则要改变不等号的方向，此时x ＜a

c ；若a=0，则不等式两边不能同除以a.

（3）不正确.因为根据不等式的基本性质1，不等式两边都减去a ，得-b ＞0，再根据不等式的基本性质3，不等式两边同乘以－1，不等号的方向改变，即b ＜0.

（4）不正确.因为a 、b 同号，包括a 、b 都是正数或都是负数两种情况.即若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0.

本例题总结：

利用不等式的性质解题时，要注意不等号的方向是否改变，分清同乘以（或除以）的那个数（尤其是用字母表示的数）的符号特征.

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

例2:将不等式3－2x>7化成“x>a”或“x

错解:不等式的两边同时减去3，得3－2x －3>7－3，即－2x>4.

两边都除以－2，得x>－2.

错因分析:错因是将不等式－2x>4的两边同除以－2时，不等号方向没有改变.事实上，运用不等式的基本性质3，将不等式的两边都除以同一个负数时，不等号方向必须改变，对此应予以足够重视.

正解:不等式两边都减去3，得－2x>4.

两边都除以－2，得x<－2.

本例题总结：

解答这类问题的关键是熟练掌握不等式的基本性质.

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

随讲随练：

1. 对不等式-3x ＞1变形正确的是( )

A.两边同除以-3，得31->x

B.两边同除以-3，得3

1-

解析：根据不等式的性质，不等式两边同除以一个不为0的正数时，不改变不等号的方向；但同除以一个不为0的负数时，要改变不等号的方向，本题变形是不等式两边同除以-3，所

以要改变不等号的方向，

答案：B

2. 若a ＞b ，且c 为有理数,则下列各式正确的是( )

①ac ＞bc ；②ac ＜bc ；③ac 2＞bc 2；④ac 2≥bc 2；⑤ c

b c a

＞. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析：本题的条件是a ＞b,变形是在不等式两边同时乘以(或除以)c 或c 2，变形正确与否关

键就是c 或c 2的取值情况.而本题中c 为有理数.故很容易判断①②⑤变形错误，c 2勿认为是

正数，错误认为③④都对，故误选B 项.实际上c 2≥0，所以④正确.

答案：A

⑧维度9 不等式基本性质新题探究

例1：习题课上，老师在黑板上出了一道有关7a 与6 a 的大小比较问题，小文不假思索地回答：“7a ＞6a ”；小明反驳道：“不对，应是7a ＜6a ”；小芳说：“你们两人回答得都不完全，把你们两人的答案合在一起就对了．”你认为他们三人的观点谁正确？谈谈你的看法． 思路分析：

第1步：做出判断；第2步：说明理由.

解答过程：

他们三人的观点都不正确，因为没有全面考虑a 的取值，小文、小明分别是把a 看作正数、负数来考虑的，显然都不全面.小芳虽然考虑了a 的正、负性，但忽略了a 为0的情形.正确的观点是：（1）当a ＞0时，依据不等式性质2，知7a ＞6a ；（2）当a ＜0时，依据不等式性质3，知7a ＜6a ；（3）当a=0时，7a=6a ．

本例题总结：

在根据不等式性质判断不等式基本变形的正误时，请不要忽略0这个特殊情形． 关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

⑨维度10 经典题型赏析

例1：（2009年临沂）若x ＞y ，则下列式子错误的是（ ）

A ．x-3＞y-3

B ．3-x ＞3-y

C ．x+3＞y+2

D ．33

x y > 解析：选B

评注：解这类题要注意观察比较变形前后不等式两边的变化情况，判断是否符合不等式的基本性质，特别要注意不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号要改变方向. 例2 （2011年湖南娄底）若|x -3|=x -3，则下列不等式成立的是（ ）

A. x -3>0

B. x -3<0

C. x -3≥0

D. x -3≤0

思路分析：

第1步：根据绝对值的意义确定x -3的范围；第2步：做出选择.

解答过程：

方法一：绝对值等于它本身的数是非负数，所以x -3是非负数，即x -3≥0.方法二：根据绝对值的意义，任何数的绝对值都是非负数，从结果入手直接得出x -3≥0.

本例题总结：

本题将绝对值问题与不等问题巧妙组合，考查综合运用知识解决问题的能力．

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

例3：（2011年黑龙江大庆）若a+b ＞0，且b ＜0，则a ，b ，-a ，-b 的大小关系为（ ）

A. -a ＜-b ＜b ＜a

B. -a ＜b ＜-b ＜a

C. -a ＜b ＜a ＜-b

D. b ＜-a ＜-b ＜a

思路分析：

第1步：根据将a ，b ，-a ，-b 在数轴上表示出来；第2步：根据数轴上点的分布规律作答.

解答过程：

由a+b ＞0，且b ＜0可知a ＞0，且︱a ︱＞︱b ︱，在数轴上表示a ，b ，-a ，-b 为：

数轴上左边的数小于右边的数，所以-a ＜b ＜-b ＜a.故选B.

本例题总结：

此类题首先确定a 、b 的符号和绝对值的大小关系，再根据相反数的几何意义在数轴上表示出来，利用数轴比较大小.也可举具体数进行比较.．

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

随讲随练：

1. (2011年山东淄博)若a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）

A ．a-3＞b-3

B ．-2a ＞-2b

C ．44b a

D ．a ＞b-1

解析：可以用排除法．由不等式的性质知，A 、B 、C 都是错误的．故选D ．

答案：D

2. （2010年四川乐山）下列不等式变形正确的是（ ）

A ．由a ＞b ，得a －2＜b －2

B ．由a ＞b ，得－2a ＜－2b

C ．由a ＞b ，得a ＞b

D ．由a ＞b ，得a 2＞b 2

解析：由本题考查了利用不等式的性质进行不等式变形．A 选项，不等式两边都减去2，不等号不改变，所以错误；B 选项不等式两边同时乘以(－2)，不等号的方向改变，所以正确． 答案：B

⑩维度13 思想方法

一、分类思想

例1：比较a+b 与a-b 的大小

思路分析：

第1步：作差；第2步：分情况讨论.

解答过程：

（a+b ）-（a-b ）=a+b-a+b=2b.

当b ＞0时，2b ＞0，得到a+b ＞a-b ，

当b=0时，2b=0，得到a+b=a-b ，

当b ＜0时，2b ＜0，得到a+b ＜a-b.

本例题总结：

差值与0的大小不能确定时，原被减式与减式出现大于、等于、小于三种关系，解决这类问题时只能分类讨论，不能随意下结论.分类讨论时，只讨论影响差值与0关系的字母或代数式的变化情况，对差值结果没有影响的字母a 或代数式就不必讨论.如本题中对差值没有影响，故不考虑.

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

二、化归思想

例2：如果不等式（a-2）x ＞a-2的解集是x ＜1，求a 的取值范围．

思路分析：

第1步：比较解集和不等式的不等号；第2步：确定（a-2）的符号.

解答过程：

由（a-2）x ＞a-2得到x ＜1，是将原不等式两边都除以a-2，又因为x ＜1中不等号方向与（a-1）x ＞a-1中不等号的方向相反，可判定a-1＜0，进而求出a 的取值范围为a ＜2. 本例题总结：

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

随讲随练：

1.2a 与3a 的大小关系（ ）

A ．2a ＜3a B.2a ＞3a C.2a=3a D.不能确定

解析：当a ＞0时，2a ＜3a ；当a ＜0时，2a ＞3a ；当a=0时，2a=3a ；所以在没有确定a 的值时，2a 与3a 的大小关系不能确定．

答案：D

分析：

说明:不等式变形过程中，不等号的方向改变，说明未知数的系数是负数.本题就是将已知条件转化为a-1＜0.

2.若0

a 1 B.a

10，由性质2，若0

1，又由于a<1，从而a<1

11. 新型题型、重要题型17

一、条件开放型

例1：对于命题“a 、b 是实数，若a>b ，则a 2>b 2”.若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出以下四种改法：

（1）“a 、b 是实数，若a>b>0，则a 2>b 2”；

（2）“a 、b 是实数，若a>b 且a+b>0，则a 2>b 2”；

（3）“a、b是实数，若ab2”；

（4）“a、b是实数，若a＜b且a+b＜0，则a2>b2”；其中，真命题的个数是（）。

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个

思路分析：

第1步：根据条件依据不等式基本性质对照结论加以变形；第2步：做出判断.

解答过程：

对于（1）∵a>b>0

∴ a+b>0 a-b>0

∴ (a+b)(a-b)>0

∴a2-b2>0 即a2>b2故（1）是真命题.

对于（2）∵a>b

∴ a-b>0

∵ a+b>0

∴ (a+b)(a-b)>0

∴a2-b2>0 即a2>b2故（2）是真命题.

对于（3）∵a＜b＜0

∴ a-b＜0 a+b＜0

∴ (a+b)(a-b)>0

∴a2-b2>0 即a2>b2故（3）是真命题.

对于（4）∵ a＜b

∴ a-b＜0

又∵ a+b＜0

∴ (a+b)(a-b)>0

∴a2-b2>0 即a2>b2故（4）是真命题.

本例题总结：

这是一道条件开放型试题.由于原命题是一个假命题，因此，需要考生在原命题的题设上再附加约束条件，变假命题为真命题。考题已给出了四种改法去辨别，这时，可逐一进行推断. 这类选择题也可以用特殊值来代入检验.

关键字：

例题难度：中

表现形式：

呈现内容说明：

随讲随练：

探索问题：

（1）请你任意写出5个正的真分数：_____，_______，________，__________，_________，给每个分数的分子、分母同加一个正数得到五个新分数：____，______，__________，___________，_______________．

（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：

一个真分数是a

b

（a，b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得

a m

b m

+

+

，则两个分

数的大小关系是a m

b m

+

+

________

a

b

．

（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：

________________________________________________________________．（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？

（5）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题，请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子．

解析：（1）小于1的数叫真分数；

（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据所给实例判断即可；

（5）利用相关规律解决问题即可．

答案：（1）答案不唯一，略；

（2）＞；

（3）给一个正的真分数的分子分母同加一个这个正数，得到的新分数大于原来的分数；

（4）如下图所示，由a b <，得12s s s s +>+，可推出a m b m ++＞a b

；

（5）数学问题举例： ①若

a b 是假分数，会有怎样的结论？答：a m b m ++＜a b

； ②a ，b 不是正数，或不全为正数，情况如何？ 生活问题举例：

①一杯b 克糖水，内含糖a 克，糖水浓度=

a b （0a b <<），若再往杯中加m 克水，糖水的浓度是a m b m

++，比加糖前的浓度增大了，所以糖水更甜了． ②建筑学规定：民用住宅的窗户必须小于地板面积．但按采光标准，窗户的面积和地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条越好，若同时增加相等的窗户面积和地板面积，根据（4）的结论住宅的采光条件将会变好．（只要提出与此结论相关的问题即可）．