初中数学九年级数学下册第二章2.3垂径定理练习新版湘教版09181100.docx
湘教版九年级下册数学 第2章 垂径定理
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②， 作OE⊥AB，垂足为E，延长EO，交CD于F. 连接AO，CO. ∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD. ∵AB＝8 cm，CD＝6 cm，∴AE＝4 cm，CF＝3 cm， ∵OA＝OC＝5 cm， ∴ ∴EF＝OF＋OE＝7 cm. 答：AB和CD之间的距离为1 cm或7 cm.
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO于点E，并延长EP交⊙P于点D，连接
OD，此时点D到弦OB的距离最大．∵A(8，0)，B(0，6)，∴AO＝8，BO＝6.
∵∠BOA＝90°，∴AB为⊙P的直径，且AB＝
∴⊙P的半径为5.
∵PE⊥BO，∴BE＝EO＝3，∴PE＝
湘教版九年级下
第2章 圆
*2.3 垂径定理
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新知笔记 1 这条弦；两条弧 2
1B 2B 3A
4B
5 2 13
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6D 7C 85 9 见习题 10 B
11 C 12 见习题 13 见习题 14 见习题
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1．垂径定理：垂直于弦的直径平分________，并这且条平弦分弦所对的
如图，设OC交MN于点H，连接OM.
∵OC⊥MN，MN＝5 m，∴MH＝ MN＝2.5 m.
在Rt△OMH中，OH＝
1 ＝6 m，
∵OD＝OC－CD＝6.5－4＝2.5(m)．
2
∴ME＝DH＝OH－OD＝6－2.5＝3.5(m)＜3.6 m，
∴货船不能顺利通过这座拱桥． OM2－MH2
∴ED＝PE＋PD＝9，∴tan ∠BOD＝ ＝3.
九年级数学下册第2章圆 2.3垂径定理 同步练习新版湘教版
2.3 垂径定理一、选择题1．下列命题错误的是链接听课例1归纳总结( )A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦B．平分弦的直径平分这条弦所对的弧C．垂直于弦的直径平分这条弦D．弦的垂直平分线经过圆心2．2018·菏泽如图K－14－1，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( )图K－14－1A．64° B．58° C．32° D．26°3．过⊙O内一点M的最长弦长为10 cm，最短弦长为8 cm，则OM的长为( )A．9 cm B．6 cmC．3 cm D.41 cm4．2017·泸州如图K－14－2所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 ( )图K－14－2A.7 B．27 C．6 D．85.2017·金华如图K－14－3，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )图K－14－3A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm6．如图K－14－4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为( )图K－14－4A．4 2B．8 2C．8D．167．如图K－14－5，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的面积为( )图K－14－5A．3 B. 3 C．4 D.3 38．2017·襄阳模拟⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD间的距离是( )图K－14－6A．7 cm B．8 cmC．7 cm或1 cm D．1 cm二、填空题9．如图K－14－6，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝________°. 10．如图K－14－7，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.若P是AB上的一动点，则OP的取值范围是________．图K－14－711．2017·孝感已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2 2，则∠COD的度数为________．三、解答题12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－14－8所示)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.链接听课例2归纳总结图K－14－813．如图K－14－9所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题：(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心D的位置，并写出点D的坐标为________；(2)连接AD，CD，求⊙D的半径(结果保留根号)．图K－14－914．如图K－14－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．图K－14－1015．如图K－14－11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？并说明理由．图K－14－11素养提升探究性问题如图K－14－12，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)探究：在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图K－14－121．B2．[解析] D ∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵.∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∠BOC 是BC ︵所对的圆心角，∴∠BOC ＝2∠ADC ＝64°，∴∠OBA ＝90°－∠BOC ＝90°－64°＝26°.故选D.3．[解析] C 由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED ⊥AB 于点M ，则ED ＝10 cm ，AB ＝8 cm ，由垂径定理知M 为AB 的中点， ∴AM ＝4 cm.∵半径OA ＝5 cm ，∴OM 2＝OA 2－AM 2＝25－16＝9， ∴OM ＝3(cm)． 4．B5．[解析] C 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D.∵CD ＝8 cm ，OD ＝13 cm ，∴OC ＝5 cm. 又∵OB ＝13 cm ，∴在Rt △BCO 中，BC ＝OB 2－OC 2＝12 cm ，∴AB ＝2BC ＝24 cm.6．[解析] B ∵∠A ＝22.5°，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE ＝DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE ＝22OC ＝4 2，∴CD ＝2CE ＝8 2.故选B. 7．[解析] B ∵OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ， ∴M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴MN 是等边三角形ABC 的中位线． ∵MN ＝1，∴AB ＝AC ＝BC ＝2MN ＝2， ∴S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝2×32＝ 3.8．C9．[答案] 55[解析] 连接OB.∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠ABO.又∵OD 是⊙O 的半径，弦AB ⊥OD 于点E ，∠AOD ＝70°， ∴AD ︵＝BD ︵，∠AOB ＝140°，∴∠C ＝12∠AOD ＝35°，∠A ＝∠ABO ＝20°，∴∠A ＋∠C ＝55°.故答案是55.10．[答案] 3≤OP≤5[解析] 连接OA ，作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝12AB ＝4.由勾股定理，得OA ＝AC 2＋OC 2＝5，则OP 的取值范围是3≤OP≤5.11．[答案] 150°或30°[解析] 如图所示，连接OC ，过点O 作OE ⊥AD 于点E.∵OA ＝OC ＝AC ，∴∠OAC ＝60°.∵AD ＝2 2，OE ⊥AD ，∴AE ＝2，OE ＝OA 2－AE 2＝2，∴∠OAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠OAC ＋∠OAD ＝105°或∠CAD ＝∠OAC －∠OAD ＝15°，∴∠COD ＝360°－2×105°＝150°或∠COD ＝2×15°＝30°.故答案为150°或30°.12．解：(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ， ∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD.(2)连接OA ，OC ，由(1)可知OE ⊥AB 且OE ⊥CD ， ∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝2 7，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8， ∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7.13．(1)确定点D 的位置略 (2，－2) (2)⊙D 的半径为2 5 14．解：(1)BC ∥MD.理由：∵∠M ＝∠D ，∠M ＝∠C ， ∴∠D ＝∠C ，∴BC ∥MD. (2)∵AE ＝16，BE ＝4， ∴OB ＝16＋42＝10，∴OE ＝10－4＝6.连接OC ，如图①. ∵CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD.在Rt △OCE 中，∵OE 2＋CE 2＝OC 2，即62＋CE 2＝102，∴CE ＝8，∴CD ＝2CE ＝16.(3)如图②，∵∠M ＝12∠BOD ，∠M ＝∠D ，∴∠D ＝12∠BOD.又∵AB ⊥CD ，∴∠D ＝13×90°＝30°.15．解：(1)如图①，设E 是桥拱所在圆的圆心，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交⊙E 于点D ，则F 是AB 的中点，AF ＝FB ＝12AB ＝40米，EF ＝ED －FD ＝AE －DF.由勾股定理知AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(AE －DF)2.设⊙E 的半径是r ，则r 2＝402＋(r －20)2， 解得r ＝50.即桥拱的半径为50米．①②(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥． 理由：如图②，设MN 与DE 交于点G ， GM ＝30米．在Rt △GEM 中，GE ＝EM 2－GM 2＝502－302＝40(米)． ∵EF ＝50－20＝30(米)，∴GF ＝GE －EF ＝40－30＝10(米)． ∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．[素养提升]解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4， 即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变．理由：连接AB ，如图． ∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点， ∴DE ＝12AB ＝5 22，其长度保持不变．。
九年级数学下册第二章2.3垂径定理练习新版湘教版
基础题知识点1 垂径定理1.（长沙中考改编）如图, 在OO中,2.3 垂径定理AB= 6,圆心0到AB的距离0C= 2,则OO的半径长为（B）7A.2B. 13C. 2 32.如图，AB是OO的弦, ODL AB 于交OO于E,则下列说法错误的是（D）A. AD= BD B . Z AOE=Z BOEC.AE= BE D . OD= DE3.如图, 在OO 中，直径CD垂直于弦AB.若Z C= 25°,则Z BOD的度数是（D）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°4.如图, AB是OO的弦, 半径OCLAB于点D.若OO的半径为5, AB= 8，贝U CD的长是（A）A. 2B. 3C.5.如图, AB是OO的直径，弦CDL AB 于点E, OC= 5 cm , CD= 6 cm，贝U OE= 4cm.圆心O 到水面的距离OC 是6,则水面宽 A . 16B . 106.（教材P59例1变式）如图，在O O 中，直径 AB 垂直弦CD 于点M, AM= 18, BMh 8,贝U CD 的长为 24.7.如图，AB 是OO 的直径，弦 CDLAB 于点E ,点M 在OO 上, MD 恰好经过圆心 0,连接 MB.若CD =16, BE = 4,求OO 的直径.解：••• AB! CD CD= 16, ••• CE= DE = 8.设 OB= x ,••• BE= 4,2 2 2•••X = (x — 4) + 8 .解得x = 10.• OO 的直径是20. 知识点2 垂径定理的实际应用& （教材P60习题T1变式）一条排水管的截面如图所示•已知排水管的截面圆半径0B= 10,截面圆C. 8D. 6AB= 3 m，弓形的高EF= 1 m,现计划9•如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度安装玻璃，请帮工程师求出AB所在圆0的半径r.解：由题意，知0A= 0E= r.••• EF= 1,.・.0F= r —1.•/ OEL AB1 1AF= —AB= — X 3= 1.5.2 2在Rt △ OAF 中, oF+AF"= OA2,13 即(r —1)2+ 1.5 2= r2.解得r =813•••圆0的半径为肓m.8易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”10. 下列说法正确的是(D)A. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B. 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C. 过弦的中点的直径垂直于弦D. 平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题11. 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心0,则折痕AB的长为(C)A. 2 cmB. 3 cmC. 2 3 cm D . 2 5 cm12. （2018 •枣庄）如图，AB 是OO 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P, AP = 2, BP = 6,Z APC= 30° .贝U CD 的长为(C)提示：过点 O 作 OH L PD 于 H,连接 OD.AP= 2, BP = 6,贝U AO= BO= 4,贝U PO= 2，又/ OP 出/APC(2018 •黄冈)如图，△ ABC 内接于O O, AB 为OO 的直径，/ CAB= 60°，弦 AD 平分/ CAB 若 AD =6,则 AC = 2 .3.（2018 •孝感）已知OO 的半径为 10 cm, AB CD 是OO 的两条弦，AB// CD AB= 16 cm , CD= 12(2018 •安徽)如图，OO 为锐角△ ABC 的外接圆，半径为 5.(1)用尺规作图作出/ BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E ;(保留作图痕迹，不写作法) A. 15 B . 2 5 C. 2 15 D. 8=30°,「. OH= 1 , OD= OB= 4,在 Rt △ HOD 中, HD= oD — oH = 15,.・.CD= 2HD= 2 15.13.如图，以点 P 为圆心的圆弧与x 轴交于A, B 两点，点P 的坐标为(4 , 2)，点A 的坐标为(2 ,0)，则点B 的坐标为(6 , 0). 14. 15. cm, 则弦AB 和CD 之间的距离是 2 或 14cm.16.E ⑵若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.解：(1)画图如图所示.(2) T AE 平分/ BAC••• BE= EC连接OE OC EC,则OEL BC 于点F, EF= 3.在Rt△ OFC中，由勾股定理可得，FC=J'O C— OF=订5 —( 5—3) = 21.在Rt△ EFC中，由勾股定理可得，CE= FC2+ EF= 21+ 32= 30.17. 如图，CD为OO的直径，弦AB交CD于点E,连接BD, OB.(1) 求证：△ AE3A DEB⑵若CDLAB AB= 8, DE= 2，求OO的半径.解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，得/ A=Z D,Z C=Z ABD•△AES A DEB.⑵•/ CDLAB O为圆心，1BE= —AB= 4.2设OO的半径为r , T DE= 2，贝U OE= r — 2.•••在Rt △ OEB中，由勾股定理，得OE+ EB"= OB, 即(r —2)2+ 42= r2,解得r = 5.•OO的半径为5.综合题18. 如图，已知/ MAI= 30°, O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作O 0,交AN于D, E两点, 设AD= x.当x为何值时，OO 与AM相交于B, C两点，且/ B0= 90°?解：过点0作OF! BC于点F.•••/ BOC= 90°, 0B= 0C= 2,•••/ OBC= 45°,BC= 0扌+ 0C= 2 2.••9FL BC • BF= 2BO ^2，/ B0F= 45 •••/ 0BF=Z B0F..•.0F= BF= 2.•••/ MAN= 30°,. 0A= 20F= 2 2. • AD= 2 2-2,即当x = 2 2 — 2 时，/ B0C= 90°.小专题（五）与圆的基本性质有关的计算与证明1.已知：如图， A, B, C , D 是OO 上的点，/ 1 = 7 2, AC = 3 cm. ⑴求证：AC = BD（2）求BD 的长.解：(1)证明：T/ 1 = 7 2, ••• CD= AB,CD^ BC = AB+ BCAC = BD⑵ T AC = BD• AC = BD.T AC= 3 cm ,• BD= 3 cm.B 是OO 上的两个定点，P 是OO 上的动点（P 不与A B 重合），我们称7 APB 是OO 上关于点⑵如图，若OO 解：连接OA OB AB.TOO 的半径是1，即OA= OB= 1 ,又T AB= 2,2. A ,B 的滑动角. 已知7 APB 是OO 上关于点 A , B 的滑动角. (1) 若AB 是OO 的直径，则7 APB= 90°;的半径是1 , AB= 2•••/ APB= 2/ AOB= 45°(1)求/ ABD 的度数;解：⑴连接AD.•••/ BCD= 45°,•••/ DAB=Z BCD= 45°.•/AB 是OO 的直径，•••/ ADB= 90°.•••/ ABD= 45°.⑵连接AC.•/AB 是OO 的直径，•••/ ACB= 90°.•••/ CAB=Z CDB= 30°, BC = 3,• AB= 6.•OO 的半径为3.4.如图，A , P , B, C 是圆上的四个点，/ APC=Z CPB= 60°,AP, CB 的延长线相交于点 D. (1)求证：△ ABC 是等边三角形；⑵ 若/ PAC= 90°, AB= 2 3，求 PD 的长.由勾股定理的逆定理可得，/ AOB= 90°3. 如图，AB 是OO 的直径, C, D 两点在OO 上.若/ C = 45 ⑵若/ CDB= 30°, BC= 3, 求OO 的半解：⑴证明：••• A, P, B, C是圆上的四个点，•••/ ABC=Z APC / CPB=Z BAC.•••/ APC=Z CPB= 60°,•••/ ABC=Z BAC= 60°.•••/ ACB= 60°.• △ ABC是等边三角形.(2) •••△ABC是等边三角形，•••/ ACB= 60°, AC= AB= BC= 2 3.•••/ PAC= 90°,「./ DAB=Z D= 30°.BD= AB= 2 3.•••四边形APBC是圆内接四边形，/ PAC= 90°,•••/ PBC=Z PBD= 90°.亠亠BD 2血在Rt△ PBD中，PD= = 、L = 4.cos30 寸3220 5. 如图，一圆弧形桥拱的圆心为E,拱桥的水面跨度AB= 80米，桥拱到水面的最大高度为米.求:(1) 桥拱的半径；(2) 现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米?解：⑴过点E作EF丄AB于点F,延长EF交圆于点D,则由题意得DF= 20.由垂径定理知，1 点F是AB的中点，AF= FB= ?AB= 40米,EF= ED- FD= AE- DF,由勾股定理知，A^= AF2+ EF2= AF2+ (AE—DF)2. 设圆的半径是r ,2 2 2则r = 40 + (r —20),解得r = 50.即桥拱的半径为50米.⑵设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H连接EM1则MH= NHk-MN= 30 米，2••• EH=502—302= 40(米).•/ EF= 50 —20= 30(米)，••HF= EH- EF= 10 米.6. 已知△ ABC以AB为直径的OO 分别交AC, BC于点D, E,连接ED若ED= EC.⑴求证：AB= AC;(2)若AB= 4, BC= 2 3，求CD的长.解：(1)证明：T ED= EC,•••/ EDC=Z C.•••/ EDCF/ ADE= 180°,/ ADEF Z B= 180°,•••/ EDC=/ B.• / B=/ C. • AB= AC.⑵连接AE,v AB为直径,• AE1 BC.由(1) 知, AB= AC,• BE= CE= 1B C=3.在厶ABC与厶EDC中,•••/ C=Z C,Z CD吕/ B, •••△ ABSA EDC.,CE_CD•• CA T CB• CE- CB= CD- CA. •/ AC T AB= 4,•• X2 3 = 4CD.3• CD= q.7. 如图，在△ ABC中，AB= BC= 2,以AB为直径的OO 分别交BC, AC于点D, E,且点占八、、♦⑴求证：△ ABC为等边三角形；⑵求DE的长；(3) 在线段AB的延长线上是否存在一点卩，使厶PBD^A AED若存在，请求出PB的长; 请说明理由.解：⑴证明：连接AD.•/AB是OO的直径，•••/ ADB= 90°.•••点D是BC的中点，• AD是线段BC的垂直平分线.• AB= AC.•/ AB= BC, • AB= BC= AC.•△ ABC为等边三角形.⑵连接BE.•/ AB是直径，•/ AEB= 90°.D为BC的中若不存在,• BE! AC.•••△ ABC是等边三角形，••• AE= EC,即E为AC的中点.•••D是BC的中点，故DEABC的中位线,1 1• DE^ -AB^-X 2= 1.2 2⑶存在点P使厶PBD^A AED由⑴(2)知，BD= ED,•••/ BAC= 60°, DE// AB AED= 120°.•••/ ABC= 60°,「./ PBD= 120°.•••/ PBD=Z AED.要使△ PBD^A AED 只需PB= AE= 1.。
湘教版九年级数学下册垂径定理同步练习题
2.3 垂径定理1.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.第2题图第3题图3.如图，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223D.233第1题图第2题图2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.6.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝kx (k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠013．B 14.k ≥1。
湘教版数学九年级下册_《垂径定理》课后作业
§*2.3 垂径定理一．选择题（共8小题）1．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图2．如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（）A．6B．12C．15 D．303．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD4．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB=5，截面圆圆心O 到水面的距离OC是3，则水面宽AB是（）A．8 B．5 C．4 D．36．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）那么该圆的半径为（）A．8cm B．9cm C．cm D．10cm第6题图7．在某岛A的正东方向有台风，且台风中心B距离小岛A km，台风中心正以30km/h的速度向西北方向移动，距离中心50公里以内圆形区域（包括边界）都受影响，则小岛A受到台风影响的时间为（）A．不受影响B．1小时C．2小时D．3小时第7题图第8题图8．温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径OC为5m，水面宽AB为m，则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（）A．4m B．7m C．5+m D．6 m二．填空题（共6小题）9．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C，则∠BAC等于度．第9题图第10题图第11题图第12题图10．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．11．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC 的长为．12．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC= ．13．如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．第13题图第14题图14．如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为m．三．解答题（共2小题）15．如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）16．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离h=8 mm（如图），求此小孔的直径d．参考答案一．选择题（共8小题）1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D二．填空题（共6小题）9．60 10． 11．8，或12．4 13． 14． 三．解答题（共2小题）15．解：过点O 作OD ⊥AC 于点D ，则AD=BD ，∵∠OAB=45°，∴AD=OD ，∴设AD=x ，则OD=x ，则OA=2x ，CD=x+BC=x+50． ∵∠OCA=30°， ∴330503ODx tan ,CD x =︒=+，即解得25325x =-，∴OA=()()2225325256252x =⨯-=-（米）．答：人工湖的半径为()256252-米．16．解：作OD ⊥AB ，交⊙O 与点C ，连接OB ．由垂径定理得：CD 垂直平分AB ．∴CD=h=8mm ，OD=CD-CO=3mm ．在Rt △ODB 中，BD 2=OB 2-OD 2=16，∴BD=4mm ．∴AB=2BD=8mm ．答：此小孔的直径d 为8mm ．。
湘教版九年级数学下册第2章 圆 §2.3 垂径定理 教案与同步练习含答案-必备
湘教版九年级数学下册第2章 圆 §*2.3 垂径定理教案与同步练习教学目标：【知识与技能】1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证.2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算.【过程与方法】在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中,培养我们观察,比较,归纳,概括的能力.【情感态度】通过对圆的进一步认识,加深我们对圆的完美性的体会,陶冶美育情操,激发学习热情.【教学重点】垂径定理及运用.【教学难点】用垂径定理解决实际问题.教学过程：一、情境导入，初步认识教师出示一张图形纸片,同学们猜想一下:①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？②如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB 于点M ，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作）学生回答或展示：【教学说明】（1）是轴对称图形，对称轴是直线CD.（2）AM=BM ，AC BC AD BD ==，. 二、思考探究，获取新知探究1垂径定理及其推论的证明.1.由上面学生折纸操作的结论,教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论,学生们说出已知、求证,再由小组讨论推理过程.已知:直径CD,弦AB,且CD ⊥AB,垂足为点M.求证:AM=BM, AC BC AD BD ==，【教学说明】连接OA=OB,又CD ⊥AB 于点M,由等腰三角形三线合一可知AM=BM,再由⊙O 关于直线CD 对称,可得AC BC AD BD ==，.学生尝试用语言叙述这个命题.2.得出垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.3.学生讨论写出已知、求证,并说明.学生回答:【教学说明】已知:AB 为⊙O 的弦(AB 不过圆心O),CD 为⊙O 的直径,AB 交CD 于点M,MA=MB.求证:CD ⊥AB, AC BC AD BD ==，. 证明:在△OAB 中,∵OA=OB,MA=MB,∴CD ⊥AB.又CD 为⊙O 的直径,∴AC BC AD BD ==，. 4.同学讨论回答,如果条件中,AB 为任意一条弦,上面的结论还成立吗?学生回答:【教学说明】当AB 为⊙O 的直径时,直径CD 与直径AB 一定互相平分,位置关系是相交,不一定垂直.探究2 垂径定理在计算方面的应用.例1讲教材P 59例1例2已知⊙O 的半径为13cm,弦AB ∥CD ，AB=10cm,CD=24cm,求AB 与CD 间的距离.解:(1)当AB 、CD 在O 点同侧时,如图①所示，过O 作OM ⊥AB 于M ，交CD 于N ，连OA 、OC.∵AB ∥CD,∴ON ⊥CD 于N.在Rt △AOM 中，22OA AM -=12cm.在Rt △OCN 中，22OC CN -∵MN=OM-ON,∴MN=7cm.(2)当AB 、CD 在O 点异侧时，如图②所示，由（1）可知OM= 12cm,ON=5cm,MN=OM+ON,∴MN=17cm.∴AB 与CD 间的距离是7cm 或17cm.【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去.2.AB 、CD 与点O 的位置关系没有说明,应分两种情况:AB 、CD 在O 点的同侧和AB 、CD 在O 点的两侧.探究3与垂径定理有关的证明.例3讲教材P 59例2【教学说明】1.作直径EF ⊥AB,∴AE BE =.又AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD.∴CE DE =.∴AE CE BE DE -=-，即AC BD =.2.说明直接用垂径定理即可.三、运用新知，深化理解1.如上图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ）A.8B.10C.16D.202.如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0,-4),N(0,-10), 函数k y x= (x ＜0)的图象过点P ，则k=______.3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE ⊥AC于E，求证：四边形ADOE为正方形.【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线（弦心距），然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解.2.求k值关键是求出P点坐标.3.利用垂径定理,由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形.【答案】1.D 2.283.解:由OE⊥CA,OD⊥AB,AC⊥AB,∴四边形ADOE为矩形.再由垂径定理;AE=12AC,AD=12AB,且AB=AC,∴AE=AD,∴矩形EADO为正方形.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答基础上.3.教师强调:①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况.课堂作业：1.教材P60第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.教学反思：本节课由折叠圆形入手,让学生猜想垂径定理并进一步推导论证,在整个过程中着重学习动手动脑和推理的能力,加深了对圆的完美性的体会,陶冶美育情操,激发学习热情.湘教版九年级数学下册第2章 圆 §*2.3 垂径定理 同步练习一．选择题（共8小题）1．如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB=6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC=（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm2．如图，AB 为圆O 的直径，BC 为圆O 的一弦，自O 点作BC 的垂线，且交BC 于D 点．若AB=16，BC=12，则△OBD 的面积为何？（ ）A ．6B ．12C ．15D ．303．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC=AB B ．∠C=∠BODC ．∠C=∠BD ．∠A=∠BOD4．如图，在⊙O 内有折线OABC ，点B 、C 在圆上，点A 在⊙O 内，其中OA=4cm ，BC=10cm ，∠A=∠B=60°，则AB 的长为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB=5，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是3，则水面宽AB 是（ ）A ．8B ．5C ．4D ．3第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图6．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）那么该圆的半径为（）A．8cm B．9cm C ．cm D．10cm7．在某岛A的正东方向有台风，且台风中心B距离小岛A km，台风中心正以30km/h的速度向西北方向移动，距离中心50公里以内圆形区域（包括边界）都受影响，则小岛A受到台风影响的时间为（）A．不受影响B．1小时C．2小时D．3小时8．温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径OC为5m，水面宽AB为m，则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（）A．4m B．7m C．5+m D．6 m二．填空题（共6小题）9．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C，则∠BAC等于度．第6题图第7题图10．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．11．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC 的长为．12．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC= ．13．如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．14．如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为m．三．解答题（共2小题）第10题图第11题图第12题图第13题图第14题图15．如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）16．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离h=8 mm（如图），求此小孔的直径d．湘教版九年级数学下册第2章圆§*2.3 垂径定理同步练习参考答案一．选择题（共8小题）1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D二．填空题（共6小题）9．60 10． 11．8，或12．4 13． 14．三．解答题（共2小题）15．略 16．略。
2019最新九年级数学下册 第2章 圆 2.3 垂径定理练习 (新版)湘教版
2.3 垂径定理知|识|目|标1．通过圆的对称性折叠操作，理解垂径定理．2．通过对垂径定理的理解，采用转化和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题．3．在掌握垂径定理的基础上，能应用垂径定理解决实际生活中的问题.目标一理解垂径定理例1 教材补充例题如图2－3－1所示的图形中，哪些图形能得到AE＝BE的结论，哪些不能，为什么？①②③④图2－3－1【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”：(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”；(2)垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立；(3)平分弦所对的两条弧，是指平分弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉优弧．目标二能运用垂径定理进行计算或推理证明例2 教材补充例题如图2－3－2，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD之间的距离．图2－3－2【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线：(1)若已知圆心，则作垂直于弦的直径；(2)若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线或连半径等．目标三能利用垂径定理解决实际问题例3 教材补充例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图2－3－3，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约为10米，则桥弧AB 所在圆的半径R ＝________米．图2－3－3图2－3－4【归纳总结】1．垂径定理基本图形的四变量、两关系：(1)四变量：如图2－3－4，弦长a ，圆心到弦的距离d ，半径r ，弧的中点到弦的距离(弓形高)h ，这四个变量知任意两个可求其他两个．(2)两关系：①⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋d 2＝r 2；②h ＋d ＝r.2．垂径定理在应用中常作的辅助线： 作垂线，连半径，构造直角三角形． 3．垂径定理在应用中常用的技巧： 设未知数，根据勾股定理列方程．知识点 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条____，并且平分________________． [点拨] (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，求BE 的长． 解：如图2－3－5，连接OC ，则OC ＝5.图2－3－5∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ， CD ＝8， ∴CE ＝12CD ＝4.在Rt △OCE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝3， ∴BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8.以上解答完整吗？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1 解：①②能，③④不能．理由略． 例2 [解析] 如图，过圆心O 作弦AB 的垂线，易证它也与弦CD 垂直，由垂径定理知AE ＝BE ，CF ＝DF ，根据勾股定理可求OE ，OF 的长，进而可求出AB 和CD 之间的距离．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC.∵AB ∥CD ，∴OF ⊥CD. 在Rt △OAE 中，∵OA ＝17 cm ，AE ＝BE ＝12AB ＝15 cm ，∴OE ＝172－152＝8(cm)．同理可求OF ＝172－82＝15(cm)． ∵圆心O 位于AB ，CD 的上方， ∴EF ＝OF －OE ＝15－8＝7(cm)． 即AB 和CD 之间的距离是7 cm. 例3 [答案] 25[解析] 根据垂径定理，得AD ＝12AB ＝20米．在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得R 2＝202＋(R－10)2，解得R ＝25(米)． 【总结反思】[小结] 知识点 弦 弦所对的两条弧 [反思] 不完整．补充：若垂足E 在线段OA 上，则BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8； 若垂足E 在线段OB 上， 则BE ＝OB －OE ＝5－3＝2. 综上所述，BE 的长为8或2. 其长度保持不变．。
九年级数学下册 第2章 圆 2.3 垂径定理练习 (新版)湘教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.3 垂径定理知|识|目|标1．通过圆的对称性折叠操作，理解垂径定理．2．通过对垂径定理的理解，采用转化和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题．3．在掌握垂径定理的基础上，能应用垂径定理解决实际生活中的问题.目标一理解垂径定理例1 教材补充例题如图2－3－1所示的图形中，哪些图形能得到AE＝BE的结论，哪些不能，为什么？①②③④图2－3－1【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”：(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”；(2)垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立；(3)平分弦所对的两条弧，是指平分弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉优弧．目标二能运用垂径定理进行计算或推理证明例2 教材补充例题如图2－3－2，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD之间的距离．图2－3－2【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线：(1)若已知圆心，则作垂直于弦的直径；(2)若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线或连半径等．目标三 能利用垂径定理解决实际问题例3 教材补充例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图2－3－3，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约为10米，则桥弧AB 所在圆的半径R ＝________米．图2－3－3图2－3－4【归纳总结】1．垂径定理基本图形的四变量、两关系：(1)四变量：如图2－3－4，弦长a ，圆心到弦的距离d ，半径r ，弧的中点到弦的距离(弓形高)h ，这四个变量知任意两个可求其他两个．(2)两关系：①⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋d 2＝r 2；②h ＋d ＝r. 2．垂径定理在应用中常作的辅助线：作垂线，连半径，构造直角三角形．3．垂径定理在应用中常用的技巧：设未知数，根据勾股定理列方程．知识点 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条____，并且平分________________．[点拨] (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，求BE 的长． 解：如图2－3－5，连接OC ，则OC ＝5.图2－3－5∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，CD ＝8，∴CE ＝12CD ＝4. 在Rt △OCE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝3，∴BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8.以上解答完整吗？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1 解：①②能，③④不能．理由略．例2 [解析] 如图，过圆心O 作弦AB 的垂线，易证它也与弦CD 垂直，由垂径定理知AE ＝BE ，CF ＝DF ，根据勾股定理可求OE ，OF 的长，进而可求出AB 和CD 之间的距离．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC.∵AB ∥CD ，∴OF ⊥CD. 在Rt △OAE 中，∵OA ＝17 cm ，AE ＝BE ＝12AB ＝15 cm ， ∴OE ＝172－152＝8(cm)．同理可求OF ＝172－82＝15(cm)．∵圆心O 位于AB ，CD 的上方，∴EF ＝OF －OE ＝15－8＝7(cm)．即AB 和CD 之间的距离是7 cm.例3 [答案] 25[解析] 根据垂径定理，得AD ＝12AB ＝20米．在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得R 2＝202＋(R －10)2，解得R ＝25(米)．【总结反思】[小结] 知识点 弦 弦所对的两条弧[反思] 不完整．补充：若垂足E 在线段OA 上，则BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8；若垂足E 在线段OB 上，则BE ＝OB －OE ＝5－3＝2.综上所述，BE 的长为8或2.其长度保持不变．。
湘教版九年级数学下册2.3：垂径定理同步测试及答
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13.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 且CD＝l， 则弦AB的长是
14.如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4,2) 和A(2，0)，则点B的坐标是
15.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么 AD=
()
A.3 2
B.3 3
32 C.
2
33 D.
2
9.如图，⊙O的直径 CD ⊥ AB，垂足为点E，若 CE = 2, ED = 8 ，则 AB = （ ） A．2 B．4 C．8 D．16
10.如图，在半径为6的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝6，垂足 为E．则tan∠OEA的值是（ ）
3
A．4
B．
C．
D．
二、填空题
11.圆的弦与直径相交成30°角，并且分直径为6cm和4cm两部分，则弦心距
为
.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 12.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径 OA = 10m ，桥拱的距度 AB = 16 m，则拱 高 CD = _____ m.
18.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m， 现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
19.已知：如图，AB 是 O 的直径，C 是 O 上一点，CD⊥AB，垂足为点 D ，F 是
AC 的中点， OF 与 AC 相交于点 E ， AC = 8 cm， EF = 2 cm. （1）求 AO 的长； （2）求 sin C 的值.
2022春九年级数学下册第2章圆2.3垂径定理习题课件湘教版
(2)求⊙O的半径． 解：由(1)知 AB＝BC＝AC， ∴△ABC 为等边三角形， ∴∠B＝60°，∴∠OAF＝30°. 在 Rt△ OAF 中，AF＝ 3， ∴OA＝coAs3F0°＝2，即⊙O 的半径为 2.
13．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM 方向离O点80米处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道 路ON方向行驶时，在以P为圆心，50米长为半径的圆 形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A 的距离越近噪声影响越大．若重型运输
在 Rt△ ABG 中，AG2＋(5－OG)2＝62，②
解由①②组成的方程组得到 AG＝254， ∴AF＝2AG＝458. 【答案】458
9．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，CD⊥ AB 于点 E，则下列结论： ①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE； ③B︵C＝B︵D；④OE＝BE， 其中一定正确的个数有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点拨】垂径定理包含“平分弦所对的一条弧的直 径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条 弦”这样一个推论，故①②③都正确，④错误． 【答案】B
*8.【中考·德州】如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂 足为 E，A︵B＝B︵F，CE＝1，AB＝6，则弦 AF 的长度为 ________．
【点拨】根据垂径定理，可知①②③一定正确；因 为CD不一定平分OB，所以④不一定正确．本题的易 错之处是对垂径定理理解不透，并且图形画得比较 特殊，容易误认为CD平分OB. 【答案】C
10．【中考·湖州】已知在以点O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．
(1)求证：AC＝BD. 证明：如图， 过点O作OE⊥AB于点E， 则CE＝DE，AE＝BE. ∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
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xx学校xx学年xx学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径长为( ) A. B. C．2 D．4试题2:．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，交⊙O于E，则下列说法错误的是( ) A．AD＝BD B．∠AOE＝∠BOEC.＝ D．OD＝DE试题3:．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB.若∠C＝25°，则∠BOD的度数是( ) 评卷人得分A．25° B．30° C．40° D．50°试题4:如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．5试题5:如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝6 cm，则OE＝ cm.试题6:如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为．试题7:如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径．试题8:一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是 )A．16B．10C．8D．6试题9:如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r.试题10:下列说法正确的是( )A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C．过弦的中点的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦试题11:如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )A．2 cm B. cm C．2 cm D．2 cm试题12:如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°.则CD的长为( )A. B．2 C．2 D．8试题13:如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为．试题14:如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB.若AD＝6，则AC＝．试题15:已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.试题16:如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E；(保留作图痕迹，不写作法)(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．试题17:如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．试题18:如图，已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.当x为何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？试题19:已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3 cm.(1)求证：＝；(2)求BD的长．试题20:A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．已知∠APB 是⊙O上关于点A，B的滑动角．(1)若AB是⊙O的直径，则∠APB＝90°；(2)如图，若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数．试题21:如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上．若∠C＝45°.(1)求∠ABD的度数；(2)若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．试题22:如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．试题23:如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：(1)桥拱的半径；(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米？试题24:．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED.若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．试题25:如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长；(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．试题1答案:B试题2答案:D试题3答案:D试题4答案:A试题5答案:4试题6答案:24试题7答案:解：∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8.设OB＝x，∵BE＝4，∴x2＝(x－4)2＋82.解得x＝10.∴⊙O的直径是20.试题8答案:A试题9答案:解：由题意，知OA＝OE＝r.∵EF＝1，∴OF＝r－1.∵OE⊥AB，∴AF＝AB＝×3＝1.5.在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，即(r－1)2＋1.52＝r2.解得r＝.∴圆O的半径为 m.试题10答案:D试题11答案:C试题12答案:C提示：过点O作OH⊥PD于H，连接OD.AP＝2，BP＝6，则AO＝BO＝4，则PO＝2，又∠OPH＝∠APC＝30°，∴OH＝1，OD ＝OB＝4，在Rt△HOD中，HD＝＝，∴CD＝2HD＝2.试题13答案:(6，0)试题14答案:2试题15答案:2或14试题16答案:解：(1)画图如图所示．(2)∵AE平分∠BAC，∴＝.连接OE，OC，EC，则OE⊥BC于点F，EF＝3.在Rt△OFC中，由勾股定理可得，FC＝＝＝.在Rt△EFC中，由勾股定理可得，CE＝＝＝.试题17答案:解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD，∴△AEC∽△DEB.(2)∵CD⊥AB，O为圆心，∴BE＝AB＝4.设⊙O的半径为r，∵DE＝2，则OE＝r－2.∴在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE2＋EB2＝OB2，即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5.∴⊙O的半径为5.试题18答案:解：过点O作OF⊥BC于点F.∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝2，∴∠OBC＝45°，BC＝＝2.∵OF⊥BC，∴BF＝BC＝，∠BOF＝45°.∴∠OBF＝∠BOF.∴OF＝BF＝.∵∠MAN＝30°，∴OA＝2OF＝2.∴AD＝2－2，即当x＝2－2时，∠BOC＝90°.试题19答案:解：(1)证明：∵∠1＝∠2，∴＝，∴＋＝＋. ∴＝.(2)∵＝，∴AC＝BD.∵AC＝3 cm，∴BD＝3 cm.试题20答案:解：连接OA，OB，AB.∵⊙O的半径是1，即OA＝OB＝1，又∵AB＝，∴OA2＋OB2＝AB2.由勾股定理的逆定理可得，∠AOB＝90°. ∴∠APB＝∠AOB＝45°.试题21答案:解：(1)连接AD.∵∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠BCD＝45°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ABD＝45°.(2)连接AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，∴AB＝6.∴⊙O的半径为3.试题22答案:解：(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，∴∠ABC＝∠APC，∠CPB＝∠BAC.∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴∠ACB＝60°.∴△ABC是等边三角形．(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝2.∵∠PAC＝90°，∴∠DAB＝∠D＝30°.∴BD＝AB＝2.∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC＝90°，∴∠PBC＝∠PBD＝90°.在Rt△PBD中，PD＝＝＝4.试题23答案:解：(1)过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交圆于点D，则由题意得DF＝20. 由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40米，EF＝ED－FD＝AE－DF，由勾股定理知，AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2. 设圆的半径是r，则r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.即桥拱的半径为50米．(2)设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，则MH＝NH＝MN＝30米，∴EH＝＝40(米)．∵EF＝50－20＝30(米)，∴HF＝EH－EF＝10米．试题24答案:解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.∵∠EDC＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠B＝180°，∴∠EDC＝∠B.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC.由(1)知，AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝.在△ABC与△EDC中，∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△ABC∽△EDC.∴＝.∴CE·CB＝CD·CA.∵AC＝AB＝4，∴×2＝4CD.∴CD＝.试题25答案:解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°. ∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×2＝1.(3)存在点P使△PBD≌△AED，由(1)(2)知，BD＝ED，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°. ∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°.∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1.。