相速度和群速度的关系公式
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8.4 光的相速度与群速度
E1
E2
合成波和波包
合成波的速度，即波包上任一点的前移速度，也就是 波包上等振幅面向前推进的速度。它代表着波包具有 的能量传播速度。 物理科学与信息工程学院 6
定义：复色光在色散介质中，整个波包传播的速度， 称为群速度。
振幅不变的条件为：
dt dkr constant
因d，dk都是不随t和r改变的量，微分上式得：
则这两列单色光波可分别表示为：
E1 a cos(1t k1r ) E2 a cos(2t k2 r )
可以推得其合成波为： 其中
E A0 cos(0t k0 r )
A0 2a cos(dt dkr)
即合成波的振幅A0不是常数，而是随r和t缓慢变化 的余弦函数。如图 物理科学与信息工程学院 5
在色散介质中，各单色光以不同的相速度传播， 因而，复色光在色散介质中的传播问题也随之复 杂化。
二. 群速度
为简单起见，假设复色光由两列单色光波组成， 其振幅均为a，频率分别为：
1 0 d
2 0 d
物理科学与信息工程学院 4
波数分别为：
k1 k0 dk
k2 k0 dk
物理科学与信息工程学院 10
讨论： （1）当 （2）当 （3）当
g p
d p d
d p d d p
d d p d
0
时，则
g P
g P g P
正常色散
0 时，则 0 时，则
为相速之比，
反常色散
无色散
c n n
折射定律
sinቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi1 1 sin i2 2
§8.4 光的相速度与群速度
光的相速度和群速度
二.群速
E E1 E2 E0 cos(1t k1r ) E0 cos(2t k2r ) 2E0 cos(t kr )cos(0t k0r )
1
2
2
,k
k1
k2 2
,0
1
2
2
,k0
k1
k2 2
E A(r,t )cos(0t k0r )
实部 : n 1
N
(q2 /2m0)(02 (02 2)2 ()2
2
)
.
实部 : n
1
N
(q2 /2m0)(02 (02 2)2 ()2
2
)
.n~
n
i,
虚部 :
N (q2
(02
/2m 0 )( ) 2)2 ()2
在色散介质中测量光速：
1.脉冲,有限长波列,复色光 2.各单色光相速不同,“波包”的传播速度?
二.群速
简化讨论,并不失一般性. 在色散介质中,设有两束频率非常相近、振幅 相同的单色平行光沿r 方向传播.
E E1 E2 E0 cos(1t k1r ) E0 cos(2t k2r )
§7.1.3. 光的相速度和群速度
•“单色平面波”——沿传播方向的无限长波列
E E0 cos(t kr ),
2 ,k 2 2 ,v c c .
T
n n v
n r
n : 介质中波长, v : 位相传播速度 . 一.相速
由: t-kr =常数,即 dt-kdr =0
得
v dr c .
波动中的相速度与群速度
推导过程
从波动方程出发，结合相位的概念，可以推导出相速度的计算公式。
群速度计算公式及推导
群速度定义
群速度是指波包（由多个频率成分组成的波）在空间中传 播的速度，用$v_g$表示。
群速度计算公式
群速度$v_g$与相速度$v_p$和频率$f$的关系为$v_g = frac{domega}{dk} = frac{d(2pi f)}{d(2pi/lambda)} = frac{d(lambda f)}{dlambda}$。
推导过程
从波动方程出发，结合波包的概念和傅里叶分析，可以推 导出群速度的计算公式。
数值计算方法介绍
1 2转化为差分 方程进行求解，可以得到相速度和群速度的数值 解。
有限元法
将连续的物理问题离散化为有限个单元进行求解 ，适用于复杂结构和边界条件的波动问题。
3
物质波的相速度与群速度
在量子力学中，粒子具有波动性，其相速度和群速度对应于物质波的相应速度。 这对于理解粒子的运动状态和相互作用具有重要意义。
量子隧穿效应
在量子隧穿过程中，粒子能够穿越经典力学中无法逾越的势垒。此时，相速度和 群速度的概念有助于描述粒子在隧穿过程中的行为。
05
相速度与群速度在工程学中应 用
光学领域应用举例
光的折射与色散
在光学中，相速度与群速度的概念对于理解光的折射和色散现象至关重要。不 同频率的光在介质中的折射率不同，导致相速度和群速度发生变化。
脉冲光的传播
在脉冲光传播过程中，群速度决定了脉冲光的整体传播速度，而相速度则与脉 冲光中各个频率分量的传播速度有关。
量子力学领域应用举例
机械工程
在机械工程中，相速度和群速度的概念对于机械波的传播和控制具有指导意义。例如，在振动分析中 ，通过分析机械波的相速度和群速度，可以了解振动在结构中的传播特性，为减振降噪设计提供依据 。
从波动方程出发，结合相位的概念，可以推导出相速度的计算公式。
群速度计算公式及推导
群速度定义
群速度是指波包（由多个频率成分组成的波）在空间中传 播的速度，用$v_g$表示。
群速度计算公式
群速度$v_g$与相速度$v_p$和频率$f$的关系为$v_g = frac{domega}{dk} = frac{d(2pi f)}{d(2pi/lambda)} = frac{d(lambda f)}{dlambda}$。
推导过程
从波动方程出发，结合波包的概念和傅里叶分析，可以推 导出群速度的计算公式。
数值计算方法介绍
1 2转化为差分 方程进行求解，可以得到相速度和群速度的数值 解。
有限元法
将连续的物理问题离散化为有限个单元进行求解 ，适用于复杂结构和边界条件的波动问题。
3
物质波的相速度与群速度
在量子力学中，粒子具有波动性，其相速度和群速度对应于物质波的相应速度。 这对于理解粒子的运动状态和相互作用具有重要意义。
量子隧穿效应
在量子隧穿过程中，粒子能够穿越经典力学中无法逾越的势垒。此时，相速度和 群速度的概念有助于描述粒子在隧穿过程中的行为。
05
相速度与群速度在工程学中应 用
光学领域应用举例
光的折射与色散
在光学中，相速度与群速度的概念对于理解光的折射和色散现象至关重要。不 同频率的光在介质中的折射率不同，导致相速度和群速度发生变化。
脉冲光的传播
在脉冲光传播过程中，群速度决定了脉冲光的整体传播速度，而相速度则与脉 冲光中各个频率分量的传播速度有关。
量子力学领域应用举例
机械工程
在机械工程中，相速度和群速度的概念对于机械波的传播和控制具有指导意义。例如，在振动分析中 ，通过分析机械波的相速度和群速度，可以了解振动在结构中的传播特性，为减振降噪设计提供依据 。
相速度和群速度
(r)
(70)
ds =
d t r0
该 (r) 就是等相位面的传播速度，简称为相速度。
2020/8/20
r0r0 cos
由于等相位面的梯度平
行于 r0，因此 ＝0。则
r0 /
2020/8/20
1. 单色光波的速度 对于波矢量为 k 的平面单色光波，其空间相位项为
因此
(r)=kr0
k
(k1
k 2 )=
1 2
k
=
1 2
( 1
2)
k
=
1 2
(k1
k2)
2. 复色波的速度 该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为 、 振幅随时间和空间在 0 到 2E0 之间缓慢变化的光波。 这种复色波可以叫做波群或振幅调制波。
x
振动的合成.exe
2020/8/20
2. 复色波的速度 对于上述复色波，其传播速度包含两种含义：
g
d
dk
(75)
由波数 k＝ / ，g 可表示为
g
dz dt
=m
km
=
k
gd(d kk)
+kd
dk
(76)
2020/8/202)复色波 Nhomakorabea群速度由 k=2 / ，有dk＝－(2 / 2)d ，可将上式变为
g=dd
(77)
2020/8/20
gd(d kk)
+kd
dk
k=2 /
dk＝－(2 / 2)d
式中， ( r 是) 随距离变化的相位项，相应于 t(r)=常数
的空间曲面为该单色光波的等相位面，满足该式的 r 是这个相位状态在不同时刻的位置。
相速度和群速度 (Phase velocity and group velocity )
2. 复色波的速度 该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为 、 振幅随时间和空间在 0 到 2E0 之间缓慢变化的光波。 这种复色波可以叫做波群或振幅调制波。 x
振动的合成.exe
2. 复色波的速度
对于上述复色波，其传播速度包含两种含义： 等相位面的传播速度，称为相速度； 等振幅面的传播速度，称为群速度。 形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞， 你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前 进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的 “相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢 地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速 度就是“群速度”。
n
折射率随着波长 增加(或光频率的 减少)而减小的色 散叫正常色散。
由 k=2 / ，有dk＝－(2 / 2)d ，可将上式变为
d g = d (77)
d(k ) d g +k dk dk
k=2 / dk＝－(2 / 2)d
(76)
2)复色波的群速度
由＝c／n，有d ＝－ (c／n2)dn，上式还可表示为
dz m g = = dt km k
EE （z, t )cos （t kz）
E （z,t )=2E0 cos （mt km z）
(73)
m t km z =常数
dz m k m 0 dt dz m dt km
1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 dz m
2. 复色波的速度
2，则 若 E01 E02 E0 且 1 2 1、
EE （z, t )cos （t kz） (73)
式中
E （z ,t )=2E0 cos （m t km z） 1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 1 = (1 2 ) 2 1 k = (k1 k2 ) 2
相速和群速5.5.
由等位相面方程 ������0������ − ������0������ = ������������������������tan������ 对时间
微商，可得相速度：
������������
=
������������ ������������
=
������0 ������0
=
������
������ ������
−∞
色散介质中，波矢量与频率有关 ������ = ������(������
对于不太强的色散，在������0附近展开
������������
������(������
= ������0 +
������������
(������ − ������0
0
+⋯
代入傅里叶展开式，并取一级近似得：
������(������, ������ ≈
������0+������������
≈ C(������0 ������������������0������−������������0������
������0+������������
������������ exp{������(������ − ������0 [ ������������
得到：
������
��������Βιβλιοθήκη ���=������
+
������
������������ ������������
比较相速和群速：
������������
=
������
������ ������
������������
=
������ ������+������������������������������
《相速度和群速度》课件
它并不等于波的能量 或信息传播的速度， 这是群速度的概念。
相速度的物理意义
相速度决定了波在介质中的传 播速度，即波峰和波谷的运动 速度。
它决定了波的相位变化和干涉 、衍射等物理现象的发生。
在某些情况下，相速度可以接 近无穷大，例如在无损介质中 传播的波。
相速度的计算方法
根据波动方程和介质的物理性质，可以求解波的相速度。
影响因素不同
相速度只与介质性质有关，而群速度不仅与介质性质有关，还与频 率有关。
在某些介质中的行为不同
在色散介质中，相速度可以超过光速，而群速度不能超过光速。
相速度与群速度的联系
在某些情况下，两者可能相等
01
在无色散介质中，波的相速度和群速度是相等的。
两者都是描述波动现象的重要参数
02
相速度和群速度分别从不同的角度描述了波动现象，对于理解
展望
未来研究方向
随着科技的发展，相速度和群速 度的研究将更加深入，未来可以 进一步探索其在不同领域的应用
，如量子力学、生物医学等。
技术发展与挑战
随着通信、信号处理等技术的快速 发展，对相速度和群速度的研究将 面临更多挑战，需要不断探索新的 理论和方法。
跨学科合作与交流
相速度和群速度的研究涉及到多个 学科领域，未来需要加强跨学科的 合作与交流，促进相关领域的发展 。
波动现象的本质和传播规律具有重要意义。
两者都是波动方程的解
03
无论是相速度还是群速度，都是波动方程的解，用于描述波动
在介质中的传播行为。
PART 04
相速度和群速度的应用
REPORTING
通信领域的应用
相速度的应用
在通信领域中，相速度控制着信号的相位信息传递。通过调 整相速度，可以实现对信号的相位调制，如调相（PM）和调 频（FM）等，从而实现更高效、更可靠的数据传输。
25 模式折射率和群折射率
GVD ≠ 0 vg < vp 包络展宽
2
2. 相速度与相折射率 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
Ø在介质中沿z轴向传播的单色光：
E t, z a exp j t kz
其等相位面满足：φ = ωt – kz = constant 传播常数：k = 2π/λ
《光纤通信技术》课程核心知识点
模式折射率和群折射率
1. 相速度与群速度
Ø相速度(vp)：等相位面行进速度 Ø群速度(vg)：包络/能量传播速度
dnp d 0 vg vp c
真空中
图一
相速度 群速度
dnp d 0 vg vp c
介质中
图二
相速度 群速度
SOEI, HUST
GVD = 0 vg = vp 包络无变化
因此等相位面行进的速度可表示为：
vp
dz dt
k
p 对于光纤而言，SiO2的折射率随着波长的增大而减小，传播常 数变小了，相速度变大了
Ø相折射率：介质对该频率电磁波的折射指数，真空中光
速与相速度的比值
np
c vp
p 对于大气电离层，因折射指数n < 1， 所以无线电波的相速度大于光速c
SOEI, HUST
因此强度包络行进的速度可表示为：
vg
dz
dt k
k
Ø群折射率：真空中光速与群速度的比值
ng
c vg
4
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
4. 波导的模式
Ø光波传输过程中在其光束横截面上形成的稳定光场分布
x z
kx k θ kz
3
3. 群速度与群折射率
2
2. 相速度与相折射率 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
Ø在介质中沿z轴向传播的单色光：
E t, z a exp j t kz
其等相位面满足：φ = ωt – kz = constant 传播常数：k = 2π/λ
《光纤通信技术》课程核心知识点
模式折射率和群折射率
1. 相速度与群速度
Ø相速度(vp)：等相位面行进速度 Ø群速度(vg)：包络/能量传播速度
dnp d 0 vg vp c
真空中
图一
相速度 群速度
dnp d 0 vg vp c
介质中
图二
相速度 群速度
SOEI, HUST
GVD = 0 vg = vp 包络无变化
因此等相位面行进的速度可表示为：
vp
dz dt
k
p 对于光纤而言，SiO2的折射率随着波长的增大而减小，传播常 数变小了，相速度变大了
Ø相折射率：介质对该频率电磁波的折射指数，真空中光
速与相速度的比值
np
c vp
p 对于大气电离层，因折射指数n < 1， 所以无线电波的相速度大于光速c
SOEI, HUST
因此强度包络行进的速度可表示为：
vg
dz
dt k
k
Ø群折射率：真空中光速与群速度的比值
ng
c vg
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4. 波导的模式
Ø光波传输过程中在其光束横截面上形成的稳定光场分布
x z
kx k θ kz
3
3. 群速度与群折射率
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相速度和群速度的关系公式
有关相速度和群速度之间的关系，科学家和物理学家对此讨论颇深，通过不断实验分析发现，它们之间有一定规律性可循。
科学家指出，相速度和群速度之间的关系可用下式表示：V=V1+V2+V3+…+Vn，其中V为群速度，V1~Vn为相速度。
即所谓的群速度就是由几个或几十个相速度构成，受到每个相速度的分量力的共同作用，形成的总体运动方向上的总速度。
因此，当每个相速度方向一致时，群速度相应提高；而各相速度方向相反时，群速度就会降低。
换句话说，相速度和群速度之间的关系就是算法型的，它们之间的关系由相互关联的定律来描述。
只有当知道每个相速度多少以及它们的方向，才能计算出群速度具体的数值。
并且，凡是处在同一个群体内的任何个体，其群体的群速度，都受到这些个体的总合影响而形成。
因此，我们可以得出结论，相速度和群速度之间的关系就是
V=V1+V2+V3+…+Vn，群速度受到个体相速度的共同影响而形成。