精编椭圆离心率的解法(学生)
专题讲解椭圆离心率的解法
椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。
一、
O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，
P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，
证明：①e=｜PF｜
｜PD｜
②e=
｜QF｜
｜BF｜
③e=
｜AO｜
｜BO｜
④e=
｜AF｜
｜BA｜
⑤e=
｜FO｜
｜AO｜
：椭圆x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b >0)的两焦点为F
1
、F
2
，以F
1
F
2
为边作正三角形，
解：
椭圆x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b >0)的两焦点为F
1
、F
2
，
点P在椭圆上，使△OPF
1为正三角形，求椭圆离心率？
解：
点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a ：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?
变形：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b >0)，e=
-1+ 5
2
, A是左顶点，F是右焦点，B
是短轴的一个顶点，求∠ABF？
：椭圆x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b >0)，过左焦点F
1
且倾斜角为60°的直线交椭圆
与AB两点，若｜F
1A｜=2｜BF
1
｜,求e?
解：
：椭圆x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b >0)的两焦点为F
1
（-c，0）、F
2
(c,0)，P是以｜
F 1F
2
｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且
∠PF
1F
2
=5∠PF
2
F
1
,求e?（可以考虑正弦定理的应用）。
解：
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知
e=
sin F 1PF 2
sin F 1F 2P +sin PF 1F 2
（※）
：椭圆x 2 a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆
于A 、B 两点，→
OA +→OB 与→
a =(3,-1)
椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·
→
MF 2
=0的点M 总在椭圆内部，则e
1、椭圆x 2 a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆
上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率e ？
2、椭圆x 2 a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一
点，且∠F 1PF 2 =60°，求e 的取值范围？
3、椭圆x 2 a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，P 为右准线L
上一点，F 1P 的垂直平分线恰过F 2 点，求e 的取值范围？
离心率的五种求法专题
离心率的求法 椭圆的离心率10<
椭圆知识点总结及经典习题.docx
圆锥曲线与方程--椭圆 知识点 一?椭圆及其标准方程 1椭圆的定义：平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a，2a>∣F1F2∣=2c}; 这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 (2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。 2 2 2 2?标准方程：c= a- b 2 2 χ+y _ 1 ①焦点在X轴上：盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0) a b 2 2 y X ②焦点在y轴上：—2 = 1(a>b>0)；焦点F (0, ±C) a b 注意：①在两种标准方程中，总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上； 2 2 ②两种标准方程可用一般形式表示：X y =1或者mχ2+ny2=1 m n 二?椭圆的简单几何性质： 1. 范围 2 2 (1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤b a2b2 2 2 (2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤a a2b2 2. 对称性 椭圆关于X轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点 (1)椭圆的顶点：A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b) (2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭
圆的长半轴长和短半轴长。 4 .离心率 (1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率, 2a a e = O 是圆； e 越接近于O (e 越小)，椭圆就越接近于圆 e 越接近于1 ( e 越大)，椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：基本元素 (1) 基本量：a 、b 、c 、e 、(共四个量)， 特征三角形 (2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线：对称轴(共两条线) 5 ?椭圆的的内外部 2 2 x 2 y 2 亠 —x o + y o W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U2 1 a b a b 2 2 x 2 y 2 亠 X O * y O 彳 (2) 点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1. a b a b 6. 几何性质 (1) 点P 在椭圆上， 最大角? F 1PF 2 max =∕F 1 B 2F 2, (2) 最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系 (1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； (2) 弦长公式： ________________________ (3) 中点弦问题：韦达定理法、点差法 记作 e ( 0 < e < 1),
关于椭圆离心率专项练习(1)
关于椭圆离心率的演练 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，222 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 5.若椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥， 则椭圆的离心率为 6..已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆1 22 22=+n y m x 的的离心率为 7.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点 分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=e 。 9.P 是椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知 ,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 12.设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1 且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 。 13.椭圆 12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜ ｜PD ｜② e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、 F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三
角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正 三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5 2 (舍去) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个 顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e= 5-1 2 的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的
椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练 一．选择题（共29小题） 1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值围是（） A． B． C． D． 2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（） A． B． C． D． 3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值围为（） A． B． C． D． 4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（） A． B． C． D． 6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（） A． B． C． D． 7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值围是（） A． B．C．D． 8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（） A． B．2﹣C．2（2﹣） D． 9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值围是（） A． B．C．D．或 10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（） A． B． C． D． 11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值围是（） A．（0，）B．（0，）C． D． 12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（） A． B． C． D．
椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法
椭圆离心率的三种求法： (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用 22 1a b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得c a 的值，通常由已知寻求a ， b ， c 的关系式，再与a 2 ＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围. 1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点??? ??0,2b 分成5∶3 的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.25 5 解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2 ＝5 3，∴c ＝2b ，∴a ＝ b 2＋ c 2＝5b ，∴e ＝ 2b 5b ＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率. 2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°， 求椭圆离心率的取值范围. 分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝1 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.② ①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 2 3 .④
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜ ｜BO ｜④ e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜ BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正
三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e?
椭圆经典练习题两套(带答案)
椭圆练习题1 A组基础过关 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )． A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a＝22b?a＝2b，又a2＝b2＋c2 ?b＝c?a＝2c?e＝ 2 2 . 答案B 2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x2 81 ＋ y2 72 ＝1 B. x2 81 ＋ y2 9 ＝1 C. x2 81 ＋ y2 45 ＝1 D.x2 81＋ y2 36 ＝1
解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1 3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2 ＝a 2 －c 2 ＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 2 81 ＋ y 2 72 ＝1. 答案 A 3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A. 32 B.34 C.22 D.23 解析 先将 x 2＋4y 2＝1 化为标准方程x 21＋y 214 ＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3 2 . 离心率e ＝c a ＝3 2. 答案 A 4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象 限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26 3 解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24 ＋y 2＝1在第一象限的交点， 解方程组???? ? x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2 ＝1，得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )．
椭圆的离心率求法
椭圆3 例7.椭圆22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程. 122x +92 y =1 例8．根据条件，求出椭圆的方程：中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上， 短轴的一个顶点B 与两个焦点12,F F 组成的三角形的周长为4+1223F BF π∠=. （2）设长轴为2a ，焦距为2c ，则在2F OB ?中，由23 F OB π∠= 得：2c a =，所以21F BF ? 的周长为2224a c a +==+ 22,1a c b ∴==∴=故得：22 141 x y +=. 四.怎么求椭圆的离心率. 引例. 已知椭圆长轴与短轴的比为2：1，求离心率. 例8、已知椭圆一焦点与短轴两端点连线的夹角为90?，求椭圆的离心率. 解：∵ |FO| = c , |OA| = b , |AF| = a ∴ 在△AOF 中, θcos =a c , θ = 45? ? cos45?=22 ∴ 椭圆的离心率e =22 说明：离心率与角度关系：θcos =e 例9.椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2| . ( ) A. 16x 2＋9y 2＝1 B. 16x 2＋12y 2＝1 C. 4x 2＋3y 2＝1 D. 3x 2 ＋4 y 2＝1 变式：椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF ∣，求椭圆的离心率.（3 6） 10.焦点在Y 轴上的椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m .
椭圆练习题(经典归纳)
初步圆锥曲线 感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1,22?? ? ??? ，,M N 为平面上关于原点对称的两点，已知N 的 坐标为0,3? - ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 (1）求圆O 的方程; （2)求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 （1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题:教材P .３7 A 组.T3 T4 Ｂ组 T2 练习 1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ,则动点P 的轨迹方程是____ 练习２.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -,动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为＿＿_____＿＿__ 总结：求点轨迹方程的步骤： (1）建立直角坐标系 （2）设点:将所求点坐标设为(),x y ,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)
（3）列式:从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （４）化简:将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程：若直线方程未给出，应先假设． (1)若已知直线过点00(,)x y ,则假设方程为00()y y k x x ； (２）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0,则假设方程为t kx y +=； （３）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ,且水平线不满足条件（斜率为０),可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题:圆C 的方程为：.0222=-+y x (1)若直线过点）（4,0且与圆C 相交于Ａ，B 两点,且2=AB ,求直线方程． (2）若直线过点） （3,1且与圆C 相切,求直线方程. (3)若直线过点） （0,4且与圆C 相切,求直线方程． 附加:4)4(3:22 =-+-y x C ）（ ． 若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ?最大时的直线方程. 椭 圆
专题椭圆的离心率解法大全
专题：椭圆的离心率 一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 2 21?? ? ??-=a b e ） 1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e 3 2，椭圆1422=+m y x 的离心率为2 1，则=m [解析]当焦点在x 轴上时， 32124=?=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316 214=?=-m m m ， 综上3 16 = m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 5 3 4，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 [解析]由??? ???≠=+=0 222 2mn n m n n m n ?? ?==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 6，设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的 距离，则椭圆的离心率是2 1 。 二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e 1，在?Rt ABC 中，ο 90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 ( ) 36-= e 2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο 901=∠BDB , 则椭圆的离心率为( ) [解析] =?=-?-=-?e ac c a c b a b 221)(21 5- 3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13- 变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-
椭圆离心率常见求法整理归纳
5 椭圆的离心率 1．设12F F ，分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使 1290F AF ∠=且123AF AF =，则椭圆的离心率为 ． 2．设椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点， 212PF F F ⊥，1230PF F ∠=?，则椭圆C 的离心率为_____________. 3．设1F 、2F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线 段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为 . 4．已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点为12,F F ,以12F F 为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的另外两条边，且124F F =，则a 等于___________. 5．椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若 1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 6．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________． 7．设椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为12F F ， ，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 8．过点(1,1)M 作斜率为1 2 -的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 . 9．椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 左右焦21,F F ，若椭圆C 上恰有4个不同的点P ，使 得21F PF ?为等腰三角形，则C 的离心率的取值范围是 _______
巧解椭圆离心率的取值范围
巧解椭圆离心率的取值范围 河北容城中学 牛文国 邮编071700 在椭圆问题中经常会遇到下面一类问题，就教学中的一些体会提供此类问题的常规解法，供大家参考。 设椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的两焦点为21,F F ，若在椭圆上存在一点p ，使21PF PF ⊥，求椭圆e 的取值范围。 解析1：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-?+c x y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+b y a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥ 即222c a c -≥，2 2≥=∴a c e 又1 222a c b a c b <≤?<≤ ∴2222a c c a <≤-12 2<≤∴ e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长。 解析4：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大 此题是否可以得到启示呢？ 无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <090 2 245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10< 水深火热的演练 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，22 2 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 2 1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 12 。 5.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22 。 6..已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为= e 2 2 。 9.P 是椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF , 321α=∠PF F 椭圆的离心率为= e 13- 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 3 6 13.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于2 1 ∣AF∣， 则椭圆的离心率是36 。 14.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则 椭圆的离心率是 2 1 5- 求椭圆离心率范围的常见题型解析 解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式. 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1已知椭圆22 22 1(0)x y a b a b +=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂 直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围. 例2 已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在 一点P 使 1221 sin sin a c PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为 ( ) 21,1-. 二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足 的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心 率的取值范围是（ ） Ａ．(0,1) Ｂ． 1(0,]2 Ｃ．2 (0, )2 Ｄ．2[,1)2 x y O F 1 F 2 三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系 例4已知ABC ?的顶点B 为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在 椭圆上，若ABC ?的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围. 四、利用函数的值域，建立不等关系 例5椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=?OB OA （O 为原点），若椭圆长轴长的取值范围为 []6,5，求椭圆离心率的范围. 五、利用均值不等式，建立不等关系. 例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围； 解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·? ?? ??m ＋n 22 ＝4a 2－3a 2＝a 2 x y O A B F M C 椭圆离心率的解法 椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离 心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜ ｜BA ｜ ⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2 c ∴ 有③。 题目1：椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ 思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，点 P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，AB 为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜ = b a 又∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 5 5 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦 点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 离心率的五种求法 椭圆的离心率10< 椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b . |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e 关于椭圆离心率 设椭圆x a y b a b 222 210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭 圆上存在点P ，使∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则 F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222 9000→→ → → → → =+=-∠=?⊥?=+-+=+=()()()()，，，由，知， 则， 即得 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 x a c a b a b F PF x a a c a b a b a 2 222222 1222 222222 2 9000= --∠=? ≤<≤--<但由椭圆范围及知即 可得，即，且从而得，且所以，） c b c a c c a e c a e c a e 2222222 2212 2 1≥≥-<= ≥=<∈[ 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 ||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=?++= 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() ?=--≥?=≥ ?≥ 4801 22 2 2222 22a a c e c a e () 因此，e ∈[ )2 2 1 解法3：利用三角函数有界性 记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有 ||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211 22 2 122 βααβ αβ αβ αβ αβ == ??++=+=== =+=+-= -又，，则有 而知从而可得09002 45222 12 2 1 ≤-关于椭圆离心率求法(供参考)
最新求椭圆离心率范围的常见题型及解析
椭圆离心率的解法讲课稿
椭圆离心率求法
高中数学椭圆题型完美归纳(经典)
高中数学椭圆离心率求法专题