椭圆离心率总结汇总

关于椭圆离心率

设椭圆x a y b

a b 222

210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭

圆上存在点P ，使∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围

设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则

F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222

9000→→

→

→

→

→

=+=-∠=?⊥?=+-+=+=()()()()，，，由，知，

则，

即得

将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得

x a c a b a b F PF x a

a c a

b a b a

2

222222

1222

222222

2

9000=

--∠=?

≤<≤--<但由椭圆范围及知即

可得，即，且从而得，且所以，）

c b c a c c a e c a e c a e 2222222

2212

2

1≥≥-<=

≥=<∈[

解法2：利用二次方程有实根

由椭圆定义知

||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=?++=

又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此

∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()

||||()

?=--≥?=≥

?≥

4801

22

2

2222

22a a c e c a e ()

因此，e ∈[

)2

2

1 解法3：利用三角函数有界性

记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有

||sin ||sin ||

sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin

cos

cos

PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211

22

2

122

βααβ

αβ

αβ

αβ

αβ

==

??++=+===

=+=+-=

-又，，则有

而知从而可得09002

45222

12

2

1

≤-

≤-

<-≤≤<||||cos αβαβαβ

e

解法4：利用焦半径 由焦半径公式得

||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c

a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

22224220=+=-+=+++-+=+==

-≠±≤<，又由，所以有

即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即

022

2

1222

2≤-<∈c a e a

e 得，）

[

解法5：利用基本不等式

由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得

42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++?≤+==||||||||(||||)||

得c a

2212≥ 所以有，）e ∈[

2

21 解法6：巧用图形的几何特性

由∠=?F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。 又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有c b c b a c ≥?≥=-2

2

2

2

由此可得，）e ∈[

2

2

1

水深火热的演练

一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。

在椭圆中，a c e =，222

22221a

b a b a a

c a c e -=-===

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2

2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为

2

2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为

2

1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为

12

。 5.若椭圆)0(,122

22>>=+b a b

y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，

则椭圆的离心率为=

e 2

2

。 6..已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆1

22

22=+n

y m x 的的离心率为2

3

7.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点

分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是

1?

????

8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=

e 2

2

。 9.P 是椭圆22a x +22

b

y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知

,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 13-

10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若

75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为

3

6 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

2

2 12.设椭圆22

22b

y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1

且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是2

1

。

13.椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F

到直线AB 的距离等于21∣AF∣，则椭圆的离心率是36

。

14.椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD

的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是

2

1

5- 15.已知直线L 过椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),

如果坐标原点到直线L 的距离为

2a ，则椭圆的离心率是3

6

16.在平面直角坐标系中，椭圆22

22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O

为圆心，a 为半径作圆，过点2,0a c ??

???

作圆的两切线互相垂直，则离心

率e

17.设椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为1

e 2=，右焦点为(0)F c ，，

方程20ax bx c +-= 的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()

P x x ，（ A ）

Ａ．必在圆222x y +=内

Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外

Ｄ．以上三种情形都有可能

二、构造a c ，的齐次式，解出e

1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

5

3

2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是

13-

3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13- 4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点

P ，若△F 1PF 2

1 5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是

3

3

6．设12F F 、分别是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点，P 是其右

（c 为半焦距）的点，且122F F F P =，则椭

圆的离心率是

2

三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点

M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(0,

)2

2．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且

9021=∠PF F ，

椭圆离心率e 的取值范围为???

?

???1,22 3．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且

6021=∠PF F ，

椭圆离心率e 的取值范围为??

????1,21

4．设椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，

使∠F 1QF 2=120o，椭圆离心率e 的取值范围为136

<≤e

5．在ABC △中，AB BC =，7

cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆

经过点C ，则该椭圆的离心率e =3

8．

6．设12F F ，分别是椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其

右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值

范围是1?

????

7．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F

椭圆离心率的解法

椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。

一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，

QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②

e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜ ⑤e=｜FO ｜｜AO ｜

评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2

c

∴有③。

题目1：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、

F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？

思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜

=3c

c+3c=2a ∴e= c

a

= 3-1

变形1：椭圆x2

a2

+

y2

b2

=1(a>b >0)的两焦点为F1、

F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭

圆离心率？

解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1

变形2: 椭圆x2

a2

+

y2

b2

=1(a>b >0)的两焦点为

F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？

解：∵｜PF1｜= b2

a

｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜

OA｜=a

PF2 ∥AB ∴｜PF1｜

｜F2 F1｜

=

b

a

又∵b= a2-c2

∴a2=5c2 e=

5 5

点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形

题目2：椭圆x2

a2

+

y2

b2

=1(a>b >0)，A是左顶点，

F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?

解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2

+b 2

a 2

+b 2

+a 2

=(a+c)2

=a 2

+2ac+c 2

a 2

-c 2

-ac=0 两边同除以a 2

e 2

+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52

(舍去)

变形：椭圆x 2 a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5

2, A

是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？

点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°

引申：此类e=5-1

2

的椭圆为优美椭圆。

性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。

总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。

题目3：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)，过左焦点F 1 且

倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜,求e?

解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-am ｜BF 2｜=2a-m

在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：

?

????a 2 –c 2=m(2a-c) 2(a 2-c 2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c

2a+c

=12 ?e=23

题目4：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1

（-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆

与椭圆的一个交点，且

∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?

分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

解：由正弦定理：

｜F1F2｜

sin F1PF2

=

｜F1P｜

sin F1F2P

=

｜PF2｜sin PF1F2

根据和比性质：

｜F1F2｜sin F1PF2=

｜F1P｜+｜PF2｜ sinF1F2P+sin PF1F2

变形得：

｜F1F2｜

｜PF2｜+｜F1P｜

=

sin F1PF2

sin F1F2P +sin PF1F2

=

=

2c

2a

=e

∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15°

e= sin90°

sin75°+sin15° =

6

3

点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知

e=sin F 1PF 2

sin F 1F 2P +sin PF 1F 2

变形1：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1

（-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。

解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-α e=

sin F 1PF 2

sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 = sin60°

sin α+sin(120°-α)

= 1 2sin(α+30°)≥12 ∴1

2

≤e<1

变形2：已知椭圆x 2

4+ y 2

4t 2 =1

(t>0) F 1F 2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）设∠PF 1F 2 =α,∠PF 2F 1 =β若13

α 2< tan β2 <1

2

,求e 的取值范围？

分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。

解;根据上题结论e=

sin F 1PF 2

sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =sin(α+β)

sin α+sin β =2sin α+β 2 cos

α+β 2 2sin α+β 2 cos α-β

2

= cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β

2

cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β 2

=1- tan α 2 tan β2

1- tan α 2 tan β

2

=e

∵13<1-e 1+e <12 ∴13

2

三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而

不求的方法找e 所符合的关系式.

题目5：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)，斜率为1，

且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→

OB 与→ a =(3,-1)共线，求

e?

法一：设A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)

?????b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2 y=x-c

(a 2

+b 2

)x 2

-2a 2

cx+a 2c 2

-a 2b 2

=0 x 1+x 2=2a 2

c a 2+b 2 y 1+y 2=2a 2

c a 2+b 2-2c=-2b 2

c a 2+b 2

→

OA +→OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)与（3，-1）共线，则 -（x 1+x 2）=3(y 1+y 2)既 a 2

=3b 2

e=63

法二：设AB 的中点N ，则2→

ON =→OA +→OB ?????x 12

a 2+ y 12

b 2

=1 ①

x 22a 2+ y 22 b

2

=1 ② ① -② 得： y 1-y 2x 1-x 2 =- b 2

a 2 x 1 +x 2 y 1+y 2 ∴1=-

b 2

a 2

(-3) 既

a 2

=3b 2

e=6

3

四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取

值范围。

题目6：椭圆x 2

a 2 +y 2

b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1

（-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围？

分析：∵→MF

1·→MF 2 =0∴以F 1F 2 为直径作圆，M 在圆O 上，与椭圆没有交点。 解：∴c

a 2

=b 2

+c 2

>2c 2

∴0

2

题目7：椭圆x2

a2

+

y2

b2

=1(a>b >0)的两焦点为F1

（-c，0）、F2(c,0)，P为右准线L上一点，F1P 的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？

分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。

思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e

解法一：F1（-c，0） F2 (c,0) P(a2

c

,y0 )

M(a2

c -c

2 ,

y0

2

)

既( b 2

2c , y 0 2 ) 则→PF 1 =-( a 2

c +c, y 0 ) →MF 2 =-( b 2

2c -c, y 0 2 ) →PF

1·→MF 2 =0 ( a 2

c +c, y 0 ) ·( b 2

2c -c, y 0

2 )=0

( a 2

c +c)·( b 2

2c -c)+ y 02

2 =0

a 2

-3c 2

≤0 ∴3

3

≤e<1

解法2：｜F 1F 2｜=｜PF 2｜=2c

｜PF 2｜≥a 2

c -c 则2c ≥a

2

c -c 3c ≥

a

2

c

3c 2

≥a 2

则3

3

≤e<1

总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。