十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题01集合文(含解析)

专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2019年新课标1文科02】已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=()A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}【解答】解:∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},∴∁U A={1,6,7},则B∩∁U A={6,7}故选:C.2.【2018年新课标1文科01】已知集合A={0,2},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2} B.{1,2}C.{0} D.{﹣2,﹣1,0,1,2}【解答】解:集合A={0,2},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B={0,2}.故选:A.3.【2017年新课标1文科01】已知集合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0},则()A.A∩B={x|x} B.A∩B=∅C.A∪B={x|x} D.A∪B=R【解答】解:∵集合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0}={x|x},∴A∩B={x|x},故A正确,B错误;A∪B={x||x<2},故C,D错误;故选:A.4.【2016年新课标1文科01】设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=()A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7}【解答】解:集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B={3,5}.故选:B.5.【2015年新课标1文科01】已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为()A.5 B.4 C.3 D.2【解答】解:A={x|x=3n+2,n∈N}={2,5,8,11,14,17,…},则A∩B={8,14},故集合A∩B中元素的个数为2个,故选:D.6.【2014年新课标1文科01】已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N=()A.(﹣2,1)B.(﹣1,1)C.(1,3)D.(﹣2,3)【解答】解:M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N={x|﹣1<x<1},故选:B.7.【2013年新课标1文科01】已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}【解答】解:根据题意得:x=1,4,9,16,即B={1,4,9,16},∵A={1,2,3,4},∴A∩B={1,4}.故选:A.8.【2012年新课标1文科01】已知集合A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则()A.A⊊B B.B⊊A C.A=B D.A∩B=∅【解答】解:由题意可得,A={x|﹣1<x<2},∵B={x|﹣1<x<1},在集合B中的元素都属于集合A,但是在集合A中的元素不一定在集合B中,例如x∴B⊊A.故选:B.9.【2011年新课标1文科01】已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个【解答】解:∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴P=M∩N={1,3}∴P的子集共有22=4故选:B.10.【2010年新课标1文科01】已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|4,x∈Z},则A∩B=()A.(0,2)B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2}【解答】解:∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|4,x∈Z}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}则A∩B={0,1,2}故选:D.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:集合关系及其运算,历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:交并补运算,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题 1.若集合,,则AB =( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】 解:,则,故选:A . 2.已知集合,,则AB =( )A .[2,3]B .(1,5)C .{}2,3D .{2,3,4}【答案】C 【解析】,,又,所以,故本题选C.3.已知集合,,则A B =( )A .B .{}1,0,1,2,3-C .{}3,2--D .【答案】B 【解析】因为,∴.4.已知全集U =R ,集合,则()U A B =ð( )A .(1,2)B .(]1,2 C .(1,3) D .(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >,可得13x <<,所以集合,(,2]U A =-∞ð,所以()U A B =ð(]1,2,故选B.5.已知集合,集合,则集合A B ⋂的子集个数为( ) A .1 B .2C .3D .4【答案】D 【解析】由题意得,直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点,故A B ⋂的子集有4个. 6.已知集合,,则()R M N ⋂ð=( )A .{-1,0,1,2,3}B .{-1,0,1,2}C .{-1,0,1}D .{-1,3}【答案】D 【解析】 由题意,集合,则或3}x ≥又由,所以,故选D.7.已知集合,,则()R A B I ð=( )A .{}1,0-B .{}1,0,1-C .{}1,2,3D .{}2,3【答案】B 【解析】 因为,所以,又,所以.8.已知R 是实数集,集合,,则()AB =Rð( )A .{}1,0-B .{}1C .1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】即故选A 。
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题05三角函数与解三角形文(含解析)

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2019年北京文科06】设函数f(x)=cos x+b sin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:设函数f(x)=cos x+b sin x(b为常数),则“b=0”⇒“f(x)为偶函数”,“f(x)为偶函数”⇒“b=0”,∴函数f(x)=cos x+b sin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选:C.2.【2019年北京文科08】如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β,图中阴影区域的面积的最大值为()A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ【解答】解:由题意可得∠AOB=2∠APB=2β,要求阴影区域的面积的最大值,即为直线QO⊥AB,即有QO=2,Q到线段AB的距离为2+2cosβ,AB=2•2sinβ=4sinβ,扇形AOB的面积为•2β•4=4β,△ABQ的面积为(2+2cosβ)•4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β,S△AOQ+S△BOQ=4sinβ+2sin2β•2•2sin2β=4sinβ,即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ.故选:B.3.【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanα<cosα<sinα,则P所在的圆弧是()A.B.C.D.【解答】解:A.在AB段,正弦线小于余弦线,即cosα<sinα不成立,故A不满足条件.B.在CD段正切线最大,则cosα<sinα<tanα,故B不满足条件.C.在EF段,正切线,余弦线为负值,正弦线为正,满足tanα<cosα<sinα,D.在GH段,正切线为正值,正弦线和余弦线为负值,满足cosα<sinα<tanα不满足tanα<cosα<sinα.故选:C.4.【2013年北京文科05】在△ABC中,a=3,b=5,sin A,则sin B=()A.B.C.D.1【解答】解:∵a=3,b=5,sin A,∴由正弦定理得:sin B.故选:B.5.【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为()A.2sinα﹣2cosα+2 B.sinαcosα+3C.3sinαcosα+1 D.2sinα﹣cosα+1【解答】解:由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为:41×1×sinα=2sinα由余弦定理可得正方形边长为:故正方形面积为:2﹣2cosα所以所求八边形的面积为:2sinα﹣2cosα+2故选:A.6.【2018年北京文科14】若△ABC的面积为(a2+c2﹣b2),且∠C为钝角,则∠B=;的取值范围是.【解答】解:△ABC的面积为(a2+c2﹣b2),可得:(a2+c2﹣b2)ac sin B,,可得:tan B,所以B,∠C为钝角,A∈(0,),tan A,∈(,+∞).cos B sin B∈(2,+∞).故答案为:;(2,+∞).7.【2017年北京文科09】在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,若sinα,则sinβ=.【解答】解:∵在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,∴α+β=π+2kπ,k∈Z,∵sinα,∴sinβ=sin(π+2kπ﹣α)=sinα.故答案为:.8.【2016年北京文科13】在△ABC中,∠A,a c,则.【解答】解:在△ABC中,∠A,a c,由正弦定理可得:,,sin C,C,则B.三角形是等腰三角形,B=C,则b=c,则1.故答案为:1.9.【2015年北京文科11】在△ABC中,a=3,b,∠A,则∠B=.【解答】解:由正弦定理可得,,即有sin B,由b<a,则B<A,可得B.故答案为:.10.【2014年北京文科12】在△ABC中,a=1,b=2,cos C,则c=;sin A=.【解答】解:∵在△ABC中,a=1,b=2,cos C,∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2ab cos C=1+4﹣1=4,即c=2;∵cos C,C为三角形内角,∴sin C,∴由正弦定理得:sin A.故答案为:2;.11.【2012年北京文科11】在△ABC中,若a=3,b,,则∠C的大小为.【解答】解:∵△ABC中,a=3,b,,∴由正弦定理得:,∴sin∠B.又b<a,∴∠B<∠A.∴∠B.∴∠C=π.故答案为:.12.【2011年北京文科09】在△ABC中.若b=5,,sin A,则a=.【解答】解:在△ABC中.若b=5,,sin A,所以,a.故答案为:.13.【2010年北京文科10】在△ABC中,若b=1,c,∠C,则a=.【解答】解:在△ABC中由正弦定理得,∴sin B,∵b<c,故B,则A由正弦定理得∴a 1故答案为:114.【2019年北京文科15】在△ABC中,a=3,b﹣c=2,cos B.(Ⅰ)求b,c的值;(Ⅱ)求sin(B+C)的值.【解答】解:(1)∵a=3,b﹣c=2,cos B.∴由余弦定理,得b2=a2+c2﹣2ac cos B,∴b=7,∴c=b﹣2=5;(2)在△ABC中,∵cos B,∴sin B,由正弦定理有:,∴sin A,∴sin(B+C)=sin(A)=sin A.15.【2018年北京文科16】已知函数f(x)=sin2x sin x cos x.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若f(x)在区间[,m]上的最大值为,求m的最小值.【解答】解:(I)函数f(x)=sin2x sin x cos x sin2x=sin(2x),f(x)的最小正周期为Tπ;(Ⅱ)若f(x)在区间[,m]上的最大值为,可得2x∈[,2m],即有2m,解得m,则m的最小值为.16.【2017年北京文科16】已知函数f(x)cos(2x)﹣2sin x cos x.(I)求f(x)的最小正周期;(II)求证:当x∈[,]时,f(x).【解答】解:(Ⅰ)f(x)cos(2x)﹣2sin x cos x,(co2x sin2x)﹣sin2x,cos2x sin2x,=sin(2x),∴Tπ,∴f(x)的最小正周期为π,(Ⅱ)∵x∈[,],∴2x∈[,],∴sin(2x)≤1,∴f(x)17.【2016年北京文科16】已知函数f(x)=2sinωx cosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.【解答】解:f(x)=2sinωx cosωx+cos2ωx,=sin2ωx+cos2ωx,,由于函数的最小正周期为π,则:T,解得:ω=1.(2)由(1)得:函数f(x),令(k∈Z),解得:(k∈Z),所以函数的单调递增区间为:[](k∈Z).18.【2015年北京文科15】已知函数f(x)=sin x﹣2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,]上的最小值.【解答】解:(1)∵f(x)=sin x﹣2sin2=sin x﹣2=sin x cos x=2sin(x)∴f(x)的最小正周期T2π;(2)∵x∈[0,],∴x∈[,π],∴sin(x)∈[0,1],即有:f(x)=2sin(x)∈[,2],∴可解得f(x)在区间[0,]上的最小值为:.19.【2014年北京文科16】函数f(x)=3sin(2x)的部分图象如图所示.(Ⅰ)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;(Ⅱ)求f(x)在区间[,]上的最大值和最小值.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=3sin(2x),∴f(x)的最小正周期Tπ,可知y0为函数的最大值3,x0;(Ⅱ)∵x∈[,],∴2x∈[,0],∴当2x0,即x时,f(x)取最大值0,当2x,即x时,f(x)取最小值﹣320.【2013年北京文科15】已知函数f(x)=(2cos2x﹣1)sin2x cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)若α∈(,π),且f(α),求α的值.【解答】解:(Ⅰ)因为∴T,函数的最大值为:.(Ⅱ)∵f(x),,所以,∴,k∈Z,∴,又∵,∴.21.【2013年北京文科18】已知函数f(x)=x2+x sin x+cos x.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;(Ⅱ)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.【解答】解:(I)f′(x)=2x+x cos x=x(2+cos x),∵曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,∴f′(a)=a(2+cos a)=0,f(a)=b,联立,解得,故a=0,b=1.(II)∵f′(x)=x(2+cos x).令f′(x)=0,得x=0,x,f(x),f′(x)的变化情况如表:所以函数f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1是f(x)的最小值.当b≤1时,曲线y=f(x)与直线x=b最多只有一个交点;当b>1时,f(﹣2b)=f(2b)≥4b2﹣2b﹣1>4b﹣2b﹣1>b,f(0)=1<b,所以存在x1∈(﹣2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b.由于函数f(x)在区间(﹣∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同的交点.综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同的交点,那么b的取值范围是(1,+∞).22.【2012年北京文科15】已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递减区间.【解答】解:(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z),故求f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.∵f(x)=2cos x(sin x﹣cos x)=sin2x﹣cos2x﹣1sin(2x)﹣1∴f(x)的最小正周期Tπ.(2)∵函数y=sin x的单调递减区间为[2kπ,2kπ](k∈Z)∴由2kπ2x2kπ,x≠kπ(k∈Z)得kπx≤kπ,(k∈Z)∴f(x)的单调递减区间为:[kπ,kπ](k∈Z)23.【2011年北京文科15】已知f(x)=4cos x sin(x)﹣1.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[,]上的最大值和最小值.【解答】解:(Ⅰ)∵,=4cos x()﹣1sin2x+2cos2x﹣1sin2x+cos2x=2sin(2x),所以函数的最小正周期为π;(Ⅱ)∵x,∴2x,∴当2x,即x时,f(x)取最大值2,当2x时,即x时,f(x)取得最小值﹣1.24.【2010年北京文科15】已知函数f(x)=2cos2x+sin2x﹣4cos x.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值.【解答】解:(Ⅰ);(Ⅱ)f(x)=2(2cos2x﹣1)+(1﹣cos2x)﹣4cos x=3cos2x﹣4cos x﹣1,因为cos x∈[﹣1,1],所以当cos x =﹣1时,f (x )取最大值6;当时,取最小值.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现,重点考查的知识点为:诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1.函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.则函数()f x 的单调递增区间为( )A .,63k k ππππ轾犏-+犏臌,k z ∈ B .,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈C .,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈D .,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈2.将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到()g x 的图像,若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-,则122x x -的最大值为( )A .4912π B .356π C .256π D .174π 3.将函数222()2cos 4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图像,若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A .23-π B .3π-C .6π-D .2π-4.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点(0,(,0)24A B π, ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则()f x =( ) A .sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭B .3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C .sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D .3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭5.已知函数()cos f x x x =,则下列结论中正确的个数是( ). ①()f x 的图象关于直线3x π=对称;②将()f x 的图象向右平移3π个单位,得到函数()2cos g x x =的图象;③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心;④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. A .1B .2C .3D .46.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ,满足()22sin 40a a B B -+=,b =则ABC △的面积为A .BC .D 7.设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,2a B A ==,则b 的取值范围为( )A .(0,4)B .(2,C .D .4)8.已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若6sin cos 7sin2C A A =,53a b =,则C =( ). A .3π B .23π C .34π D .56π9.若函数()2sin()f x x ωϕ=+ (01ω<<,02πϕ<<)的图像过点,且关于点(2,0)-对称,则(1)f -=_______.10.若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________11.设函数()sin(2)3f x x π=+,若120x x <,且12()()0f x f x +=,则21x x -的取值范围是_______.12.已知角α为第一象限角,sin cos a αα-=,则实数a 的取值范围为__________.13.已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,则cos 2ϕ=___.14.如图,四边形ABCD 中,4AB =,5BC =,3CD =,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=°,则AD 的长为______15.在锐角ABC ∆中,角AB C ,,的对边分别为a b c ,,.且c o s c o s A B a b +=,b =则a c +的取值范围为_____.16.在ABC ∆中,已知AB 边上的中线1CM =,且1tan A ,1tan C ,1tan B成等差数列,则AB 的长为________.17.在ABC ∆中,AB C ,,的对边分别a b c ,,,60,cos A B ︒==(Ⅰ)若D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,求DCBD的值; (Ⅱ)若 ccos cos 2B b C +=,求ABC ∆的面积.18.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别,,a b c ,()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈,函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称. (1)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,求()f x 的值域;(2)若7a =且sin sin 14B C +=,求ABC ∆的面积.19.在ABC ∆中,已知2AB =,cos B =,4C π=.(1)求BC 的长; (2)求sin(2)3A π+的值.20.如图,在四边形ABCD 中,60A ∠=︒,90ABC ∠=︒.已知AD =BD =.。
十年高考真题汇编(答案)——三角函数和解三角形

11.D【解析】由θ
∈
π 4
,π 2
可得
2θ
∈[π 2
,π ] , cos 2θ
=
−
1 − sin 2 2θ
= −1 , 8
sinθ = 1 − cos 2θ = 3 ,答案应选 D.
2
4
另解:由θ
∈
π 4
= 2 10
10 1 sin 2π
10
= 10
= cos π10 3 ,选 C.
25
10
6.C【解析】 tan α > 0 知α 的终边在第一象限或第三象限,此时 sin α 与 cosα 同号,
= 故 sin 2α 2sinα cosα > 0 ,选 C.
sin α
7.B【解析】由条件得
= 1+ sin β
+
π 5
∈
π 5
,
(ω
+ 2)π 10
,
若
f
(x)
在
0,
π 10
单调递增,
则
(ω
+
2)π
<
π
,即 ω
<
3
12
,因为
ω
<
29
,故③正确.
10 2
5
10
故选 D.
3.解析 因为 f ( x) 是奇函数,所以ϕ = 0 , f ( x) = Asin ωx .
将 y = f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像对应的
理科数学2010-2019高考真题分类训练解三角形

专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.(1)求A ;(2)若22a b c +=,求sin C .2.(2019全国Ⅱ理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则ABC △的面积为__________.3.(2019全国Ⅲ理18)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.4.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,则ABAC的值是 .5.(2019江苏15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b 2,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 6.(2019浙江14)在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =____,cos ABD ∠=________.7.(2019北京15)在ABC △中,a =3,b -c =2 ,1cos 2B =- . (Ⅰ)求b ,c 的值; (Ⅱ)求sin(B -C ) 的值.8.(2019天津理15)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =.(Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一、选择题1.(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos25=C ,1=BC ,5=AC ,则=ABA .BCD .2.(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ∆的面积为2224a b c +-,则C =A .2πB .3π C .4π D .6π 3.(2017山东)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC ∆为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是 A .2a b = B .2b a = C .2A B = D .2B A = 4.(2016年天津)在ABC ∆中,若AB BC =3,120C ∠=o ,则AC =A .1B .2C .3D .45.(2016年全国III )在ABC △中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C .- D .-6.(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12,1AB =,BC =AC =A .5 BC .2D .17.(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ,B ,C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是A .8)(>+c b bc B.()ab a b +> C .126≤≤abc D .1224abc ≤≤ 8.(2014江西)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,若22()6c a b =-+,3C π=,则ABC ∆的面积是A .3B .239 C .233 D .33 9.(2014四川)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75o,30o,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于A.1)m B.1)mC .1)mD .1)m 10.(2013新课标Ⅰ)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos A +cos20A =,7a =,6c =,则b =A .10B .9C .8D .511.(2013辽宁)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =,且a b >,则B ∠=A .6πB .3πC .23πD .56π12.(2013天津)在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=A B C D 13. (2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定14.(2012广东)在ABC ∆中,若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A .B .CD 15.(2011辽宁)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2sin cos cos a A B b A +=,则=abA .B .C D16.(2011天津)如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,2AB AD AB ==,2BC BD =,则sin C 的值为CA .3 B .6 C .3 D .616.(2010湖南)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若120C ∠=o,c =,则A .a b >B .a b <C .a b =D .a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题18.(2018江苏)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .19.(2018浙江)在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2b =,60A =o ,则sin B =___________,c =___________.20.(2017浙江)已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =. 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________,cos BDC ∠=__________.21.(2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题07 数列(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2015年新课标1文科07】已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和,若S8=4S4,则a10=()A.B.C.10 D.122.【2013年新课标1文科06】设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则()A.S n=2a n﹣1 B.S n=3a n﹣2 C.S n=4﹣3a n D.S n=3﹣2a n3.【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+(﹣1)n a n=2n﹣1,则{a n}的前60项和为()A.3690 B.3660 C.1845 D.18304.【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3,则S4=.5.【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和,若S n=126,则n =.6.【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q=.7.【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S9=﹣a5.(1)若a3=4,求{a n}的通项公式;(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.8.【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n,设b n.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{b n}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{a n}的通项公式.9.【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=﹣6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.10.【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.11.【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程2﹣5+6=0的根.(1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{}的前n 项和.12.【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=﹣5. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{}的前n 项和.13.【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n }中,a 1,公比q .(Ⅰ)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n(Ⅱ)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式. 14.【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=﹣9. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:数列的概念与简单表示法,等差数列及其前n 项和,等比数列及其前n 项和,数列求和,数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为:等差数列及其前n 项和,等比数列及其前n 项和,数列求和,数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点等差数列及其前n 项和,等比数列及其前n 项和,数列求和,数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1.等差数列{}n a ,等比数列{}n b ,满足111a b ==,53a b =,则9a 能取到的最小整数是( ) A .1-B .0C .2D .32.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰“我羊食半马、“马主曰“我马食半牛,”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说“我羊所吃的禾苗只有马的一半,”马主人说“我马所吃的禾苗只有牛的一半,“打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则马主人应偿还( )升粟? A .253B .503C .507D .10073.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:如图,将1,2,…,9填入33⨯的方格内,使三行,三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ,如图三阶幻方的315N =,那么 9N 的值为( )A .41B .45C .369D .3214.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a = 2(1)()n n S a n n N n *=+-∈,则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是( ) A .290B .920C .511D .10115.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ,即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N*≥∈,此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ,则数列{}n a 的前2019项的和为( ) A .672B .673C .1346D .20196.已知数列{}n a 是等比数列,数列{}n b 是等差数列,若261033a a a ⋅⋅=16117b b b π++=,则21039tan1b b a a +-⋅的值是( )A .1B.2C.2-D.7.已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n ++++=+∈L ,设数列{}n b 满足:121n n n n b a a ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T,若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立,则实数λ的取值范围为( ) A .1[,)4+∞B .1(,)4+∞C .3[,)8+∞D .3(,)8+∞8.已知函数()y f x =的定义域为R ,当0x <时()1f x >,且对任意的实数,x y R ∈,等式()()()f x f y f x y =+成立,若数列{}n a 满足()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭,且()10a f =,则下列结论成立的是( ) A .()()20162018f a f a > B .()()20172020f a f a > C .()()20182019f a f a > D .()()20162019f a f a >9.在数列{}n a 中,1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+,则2019a 的值为______. 10.已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=,若存在两项m a ,n a,使得1a =,则91m n+的最小值为__________. 11.已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈,都有m n m n a a a ++=成立,72a π=,函数()f x =2sin 24cos2xx +,记()n n y f a =,则数列{}n y 的前13项和为______.12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足22()n n S a n n N *=+∈,则n a =_____.13.等差数列{}n a 中,410a =且3a ,6a ,10a 成等比数列,数列{}n a 前20项的和20S =____ 14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若9362S S S =+,则631S S +取得最小值时,9S 的值为_______.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11222n n a a a n -++⋯+=,则5S =____.16.已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==,则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.17.定义:从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ,则称{}n b 为{}n a 的子数列;若{}n b 成等差(或等比),则称{}n b 为{}n a 的等差(或等比)子数列. (1)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式;②数列{}n a 是否存在等差子数列,若存在,求出等差子数列;若不存在,请说明理由. (2)已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈,证明:{}n a 存在等比子数列. 18.在等差数列{}n a 中,已知公差2d =,2a 是1a 与4a 的等比中项 (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n b 满足3122331313131n n n b b b ba =++++++++L ,求数列{}nb 的通项公式; (3)令()*4n nn a b c n N =∈,数列{}n c 的前n 项和为n T . 19.已知等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=,等比数列{}n b 满足()35242b b b b +=+,且()2*22n n b b n =∈N .(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若数列{}n c 满足()*1212n n nc c c S n b b b ++⋯+=∈N ,求{}n c 的前n 项和为n T .20.等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且432S =,13221S =. (1)求{}n a 的通项公式n a ;(2)数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N+-=∈且13b =,求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 21.设{}n a 是单调递增的等比数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知313S =,且13a +,23a ,35a +构成等差数列. (1)求n a 及n S ;(2)是否存在常数λ.使得数列{}n S λ+是等比数列?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 22.对于无穷数列{}n a ,{}n b ,若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ,1,2,3,k =L ,则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ,{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列,其前n 项和为n S ,数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. (1)若21n a n =+,求{}n b 的前n 项和; (2)证明:{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ;(3)若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =,22a =,求所有满足该条件的{}n a .。
理科数学2010-2019高考真题分类训练解三角形

专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质2019年1.解析:因为21cos411sin 2cos 422x f x x x -===-()(), 所以f x ()的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时,,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦, 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点,所以5265ωπππ+<π„, 所以1229510ω<„,故④正确, 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案, 下面判断③是否正确, 当(0,)10x π∈时,(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增, 则(2)102ω+ππ<,即3ω<,因为1229510ω<„,故③正确. 故选D .3.解析 因为()f x 是奇函数,所以0ϕ=,()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为()g x ,即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭, 因为()g x 的最小正周期为2π,所以2212ωπ=π,得2ω=, 所以()sin g x A x =,()sin 2f x A x=.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =,所以()2sin 2f x x =,332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C .2010-2018年一、选择题1.(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数,则a 的最大值是A .π4B .π2C .3π4D .π2.(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数 A .在区间35[,]44ππ上单调递增B .在区间3[,]4ππ上单调递减 C .在区间53[,]42ππ上单调递增 D .在区间3[,2]2ππ上单调递减 3.(2018北京)在平面直角坐标系中,记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 A .1B .2C .3D .44.(2017新课标Ⅰ)已知曲线1C :cos y x =,2C :2sin(2)3y x π=+,则下面结论正确的是A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π个单位长度,得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π 个单位长度,得到曲线2CC .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π错误!未找到引用源。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形 Word版无答案原卷版

十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6B.5C.4D.32.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2B.√30C.√29D.2√53.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( ) A.π2 B.π3C.πD.π4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12B.π6C.π4D.π36.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10107.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sin A=( ) A.3B.√1010C.√55D.3√10108.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2B.√3C.2D.39.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.410.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π611.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3B.2√2C.2D.√312.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5B.√5C.2D.113.(2014·四川·文T8)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC 等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.515.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B= .3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= .4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√3(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin BsinC,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 .7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积 是 ,cos ∠BDC= .8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 9.(2017·全国2·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acosC+ccosA,则B= . 10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________.11.(2016·北京·文T13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc=.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 13.(2015·重庆·理T13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC=___________. 14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .18.(2015·福建·文T14)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________.,3sin A=2sin B,则19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14c= .=.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为___________.24.(2011·全国·文T 15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.25.(2010·全国·理T16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=1DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-√3,2则∠BAC= .26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cosB 的值; (2)求sin (2B+π6)的值.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinA a=cosB2b,求sin (B +π2)的值.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cosA 的值; (2)求sin(2B-A)的值.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin BsinC;(2)若6cos BcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 15.(2016·北京·T5)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cosC 的最大值.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cosC 的最小值.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cosA=13,求sin C 的值.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosB b =sinCc .(1)证明:sinAsin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.19.(2016·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.20.(2016·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√32,求△ABC的周长.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a 24,求角A的大小.22.(2015·全国2·理T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=√22,求BD和AC的长.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin AsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC的面积.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos2(x+π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A2)=0,a=1,求△ABC面积的最大值.26.(2015·陕西·理T17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.27.(2015·江苏·理T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC 的面积.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sinAcos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.34.(2014·辽宁·理T17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且a>c.已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B=13,b=3.求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C)的值.35.(2014·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a-c=√66b,sin B=√6sin C.(1)求cos A 的值; (2)求cos (2A -π6)的值.36.(2014·北京·理T15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17. (1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC 的长.37.(2014·湖南·理T18)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD=-√714,sin ∠CBA=√216,求BC 的长.38.(2014·湖南·文T19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.39.(2013·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B;(2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.40.(2013·全国1·理T17)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.41.(2012·全国·文T 7)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=√3asin C-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.42.(2012·全国·理T17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3 asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.43.(2010·陕西·理T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?。
(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题07立体几何(2)文(含解析)

专题7 立体几何(2)立体几何大题:10年10考,每年1题.第1小题多为证明垂直问题,第2小题多为体积计算问题(2014年是求高).1.(2019年)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.【解析】(1)连结B1C,ME,∵M,E分别是BB1,BC的中点,∴ME∥B1C,又N为A1D的中点,∴ND=12A1D,由题设知A1B1//DC,∴B1C//A1D,∴ME//ND,∴四边形MNDE是平行四边形,∴MN∥ED,又MN⊄平面C1DE,∴MN∥平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线,垂足为H,由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,∴DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH,∴CH⊥平面C1DE,故CH的长即为C到时平面C1DE的距离,由已知可得CE=1,CC1=4,∴C1E,故CH,∴点C 到平面C 1DE . 2.(2018年)如图,在平行四边形ABCM 中,AB =AC =3,∠ACM =90°,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB ⊥DA . (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且BP =DQ =23DA ,求三棱锥Q ﹣ABP 的体积.【解析】(1)∵在平行四边形ABCM 中,∠ACM =90°,∴AB ⊥AC , 又AB ⊥DA .且AD ∩AC =A , ∴AB ⊥面ADC ,∵AB ⊂面ABC , ∴平面ACD ⊥平面ABC ;(2)∵AB =AC =3,∠ACM =90°,∴AD =AM =∴BP =DQ =23DA = 由(1)得DC ⊥AB ,又DC ⊥CA ,∴DC ⊥面ABC ,∴三棱锥Q ﹣ABP 的体积V =11DC 33S ∆ABP ⨯ =C 121DC 333S ∆AB ⨯⨯=12113333323⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1. 3.(2017年)如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,AB ∥CD ,且∠BAP =∠CDP =90°. (1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA =PD =AB =DC ,∠APD =90°,且四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.【解析】(1)∵在四棱锥P ﹣ABCD 中,∠BAP =∠CDP =90°, ∴AB ⊥PA ,CD ⊥PD , 又AB ∥CD ,∴AB ⊥PD , ∵PA ∩PD =P ,∴AB ⊥平面PAD , ∵AB ⊂平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PAD .(2)设PA =PD =AB =DC =a ,取AD 中点O ,连结PO , ∵PA =PD =AB =DC ,∠APD =90°,平面PAB ⊥平面PAD ,∴PO ⊥底面ABCD ,且AD ,PO =2a , ∵四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83, 由AB ⊥平面PAD ,得AB ⊥AD ,∴V P ﹣ABCD =CD 13S AB ⨯⨯PO 四边形=1D 3⨯AB⨯A ⨯PO =132a a ⨯⨯=313a =83, 解得a =2,∴PA =PD =AB =DC =2,AD =BC =PO ,∴PB =PC∴该四棱锥的侧面积:S 侧=S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC=1D 2⨯PA⨯P +12⨯PA⨯AB +1D DC 2⨯P ⨯+1C 2⨯B=11112222222222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=6+4.(2016年)如图,已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.【解析】(1)∵P﹣ABC为正三棱锥,且D为顶点P在平面ABC内的正投影,∴PD⊥平面ABC,则PD⊥AB,又E为D在平面PAB内的正投影,∴DE⊥面PAB,则DE⊥AB,∵PD∩DE=D,∴AB⊥平面PDE,连接PE并延长交AB于点G,则AB⊥PG,又PA=PB,∴G是AB的中点;(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,∴PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故CD =23CG . 由题设可得PC ⊥平面PAB ,DE ⊥平面PAB ,所以DE ∥PC ,因此PE =23PG ,DE =13PC .由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA =6,可得DE =2,PG =PE = 在等腰直角三角形EFP 中,可得EF =PF =2. 所以四面体PDEF 的体积V =13×DE ×S △PEF =13×2×12×2×2=43.5.(2015年)如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD . (1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;(2)若∠ABC =120°,AE ⊥EC ,三棱锥E ﹣ACD【解析】(1)∵四边形ABCD 为菱形, ∴AC ⊥BD , ∵BE ⊥平面ABCD , ∴AC ⊥BE , 则AC ⊥平面BED , ∵AC ⊂平面AEC , ∴平面AEC ⊥平面BED ;(2)设AB =x ,在菱形ABCD 中,由∠ABC =120°,得AG =GC ,GB =GD =2x,∵BE ⊥平面ABCD ,∴BE ⊥BG ,则△EBG 为直角三角形,∴EG =12AC =AG =2x ,则BE x ,∵三棱锥E ﹣ACD 的体积V =11C GD 32⨯A ⨯⨯BE 3x 解得x =2,即AB =2, ∵∠ABC =120°,∴AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ABC =4+4﹣2×1222⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭=12,即AC =在三个直角三角形EBA ,EBD ,EBC 中,斜边AE =EC =ED , ∵AE ⊥EC ,∴△EAC 为等腰三角形, 则AE 2+EC 2=AC 2=12, 即2AE 2=12, ∴AE 2=6,则AE ,∴从而得AE =EC =ED ,∴△EAC 的面积S =11C 22⨯EA⨯E =3, 在等腰三角形EAD 中,过E 作EF ⊥AD 于F ,则AE ,AF =1D 2A =1212⨯=,则EF =∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S =122⨯故该三棱锥的侧面积为3+6.(2014年)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.【解析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,∵侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,∵AO⊥平面BB1C1C,∴AO⊥B1C,∵AO∩BC1=O,∴B1C⊥平面ABO,∵AB⊂平面ABO,∴B1C⊥AB;(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H,∵BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD,∴OH⊥BC,∵OH⊥AD,BC∩AD=D,∴OH⊥平面ABC,∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为等边三角形,∵BC=1,∴OD∵AC ⊥AB 1,∴OA =12B 1C =12,由OH •AD =OD •OA ,可得AD ,∴OH =14,∵O 为B 1C 的中点,∴B 1到平面ABC ,∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高7.7.(2013年)如图,三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60° (1)证明:AB ⊥A 1C ; (2)若AB =CB =2,A 1C =,求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积.【解析】(1)如图,取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B . 因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,160∠BAA =,故△AA 1B 为等边三角形, 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C ;(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形,所以1C O =OA =.又1C A =,则22211C C A =O +OA ,故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB =O ,所以OA 1⊥平面ABC ,OA 1为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高.又△ABC 的面积C S ∆AB故三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积C 1V 3S ∆AB =⨯OA ==.8.(2012年)如图,三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB =90°,AC =BC =12AA 1,D 是棱AA 1的中点.(1)证明:平面BDC 1⊥平面BDC(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.【解析】(1)由题意知BC ⊥CC 1,BC ⊥AC ,CC 1∩AC =C , ∴BC ⊥平面ACC 1A 1,又DC 1⊂平面ACC 1A 1, ∴DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1=∠ADC =45°,∴∠CDC 1=90°,即DC 1⊥DC ,又DC ∩BC =C , ∴DC 1⊥平面BDC ,又DC 1⊂平面BDC 1, ∴平面BDC 1⊥平面BDC ;(2)设棱锥B ﹣DACC 1的体积为V 1,AC =1,由题意得V 1=1121132+⨯⨯⨯=12,又三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V =1, ∴(V ﹣V 1):V 1=1:1,∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1:1.9.(2011年)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)设PD=AD=1,求棱锥D﹣PBC的高.【解析】(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD D,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD,又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解:作DE⊥PB于E,已知PD⊥底面ABCD,则PD⊥BC,由(1)知,BD⊥AD,又BC∥AD,∴BC⊥BD.故BC⊥平面PBD,BC⊥DE,则DE⊥平面PBC.由题设知PD=1,则BD,PB=2.根据DE•PB=PD•BD,得DE即棱锥D﹣PBC10.(2010年)如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.(1)证明:平面PAC⊥平面PBD;(2)若AB,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.。
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十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】由已知及正弦定理,得a 2-b 2=4c 2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b 2+c 2-a 22bc,∴c 2-4c 22bc =-14,∴-3c 2b =-14,∴b c =32×4=6,故选A. 2.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( )A.4√2B.√30C.√29D.2√5【答案】A【解析】∵cos C=2cos 2C2-1=-35,∴AB 2=BC 2+AC 2-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=4√2.3.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( )A.π2 B.π3C.π4 D.π6【答案】C【解析】由S=a 2+b 2-c 24=12absin C,得c 2=a 2+b 2-2absin C.又由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcos C,∴sin C=cos C,即C=π4.4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A 【答案】A【解析】∵sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, ∴sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C, ∴sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, ∴2sin Bcos C=sin Acos C,又△ABC 为锐角三角形,∴2sin B=sin A, 由正弦定理,得a=2b.故选A.5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3【答案】B【解析】由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A ∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA =csinC ,得2sin 3π4=√2sinC ,即sin C=12,所以C=π6,故选B.6.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√1010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD,则BC=3AD. 结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=√AD 2+DC 2=√5AD,AB=√2AD.由余弦定理,得cos A=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=22-22×√2AD×√5AD =-√1010,故选C.7.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sin A=( ) A.310B.√1010C.√55D.3√1010【答案】D【解析】记角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 则由题意,得S △ABC =12a·a 3=12acsin B,∴c=√23a.∴b 2=a 2+(√23a)2-2a·√2a 3·√22=5a 29,即b=√5a3.由正弦定理asinA =bsinB ,得sin A=asinBb=a×√22√5a3=3√1010.故选D.8.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2 B.√3C.2D.3【答案】D【解析】由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 即5=b 2+4-4b ×23,即3b 2-8b-3=0, 又b>0,解得b=3,故选D.9.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A【解析】由余弦定理得13=9+AC 2+3AC,∴AC=1.故选A.10.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π6【答案】C【解析】由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 又因为b=c,所以a 2=b 2+b 2-2b×b cos A=2b 2(1-cos A). 由已知a 2=2b 2(1-sin A),所以sin A=cos A. 因为A ∈(0,π),所以A=π4.11.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3 B.2√2C.2D.√3【答案】C【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2-6b+8=0,解得b=2或4.因为b<c,所以b=2.12.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=()A.5B.√5C.2D.1【答案】B【解析】由题意知S△ABC=12AB·BC·sin B,即12=12×1×√2sin B,解得sin B=√22.则B=45°或B=135°.当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+(√2)2-2×1×√2×√22=1,此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+(√2)2-2×1×√2×(-√22)=5,解得AC=√5,符合题意.故选B.13.(2014·四川·文T8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m【答案】C【解析】如图,作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得DC=60×tan 60°=60√3(m),DB=60×tan 15°=60×tan(45°-30°)=60×tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=60×1-√331+√33=(120-60√3) m.所以BC=DC-DB=60√3-(120-60√3)=120√3-120=120(√3-1)(m),故选C.14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.5【答案】D【解析】由23cos 2A+cos 2A=0,得cos 2A=125. ∴cos A=±15.∵A ∈(0,π2),∴cos A=15. ∵cos A=36+b 2-492×6b,∴b=5或b=-135(舍).15.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1【答案】B【解析】A=π-(B+C)=7π12, 由正弦定理得a sinA =b sinB, 则a=bsinA sinB=2sin 7π12sin π6=√6+√2,∴S △ABC =12absin C=12×2×(√6+√2)×√22=√3+1.二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________. 【答案】6√3【解析】∵b 2=a 2+c 2-2accos B, ∴(2c)2+c 2-2×2c×c×12=62,即3c 2=36,解得c=2√3或c=-2√3(舍去). ∴a=2c=4√3.∴S △ABC =12acsin B=12×4√3×2√3×√32=6√3.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= . 【答案】3π4【解析】由正弦定理,得sin Bsin A+sin Acos B=0.∵A ∈(0,π),B ∈(0,π),∴sin A ≠0,∴sin B+cos B=0,即tan B=-1,∴B=3π4.3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= . 【解析】如图所示,设CD=x,∠DBC=α,则AD=5-x,∠ABD=π2-α,在△BDC 中,由正弦定理得3sin π4=xsinα=3√2⇒sin α=3√2.在△ABD中,由正弦定理得5-xsin(π2-α)=4sin 3π4=4√2⇒cos -4√2由sin 2α+cos 2α=x 218+(5-x )232=1,解得x 1=-35(舍去),x 2=215⇒BD=12√25.在△ABD 中,由正弦定理得0.8sin∠ABD =4sin(π-π4)⇒sin ∠ABD=√210⇒cos ∠ABD=7√210.4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________. 【答案】√2173【解析】由正弦定理asinA=bsinB ,可知sin B=√217.∵a=√7>b=2,∴B 为锐角. ∴cos B=√1-sin 2B =2√77. ∴cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=√714.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2abcos C=7+4-2×2×√7×√714=7+4-2=9.∴c=3.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是 .【答案】π3(2,+∞)【解析】由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 22ac,∴a 2+c 2-b 2=2accos B.又∵S=√34(a 2+c 2-b 2),∴12acsin B=√34×2accos B,∴tan B=√3,∴∠B=π3.又∵∠C 为钝角, ∴∠C=2π3-∠A>π2,∴0<∠A<π6. 由正弦定理得ca=sin(2π3-∠A)sinA=√32cosA+12sinAsinA=12+√32·1tanA .∵0<tan A<√33,∴1tanA>√3,∴c a >12+√32×√3=2,即ca >2.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的 面积为 . 【答案】2√33【解析】∵bsin C+csin B=4asin Bsin C, ∴sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C. 又sin Bsin C>0,∴sin A=12.由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =82bc =4bc>0,∴cos A=√32,bc=4cosA =8√33,∴S △ABC =12bcsin A=12×8√33×12=2√33. 7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积 是 ,cos ∠BDC= .【解析】依题意作出图形,如图所示,则sin ∠DBC=sin ∠ABC. 由题意知AB=AC=4,BC=BD=2, 则sin ∠ABC=√154,cos ∠ABC=14.所以S △BDC =12BC·BD·sin ∠DBC=12×2×2×√154=√152.因为cos ∠DBC=-cos ∠ABC=-14=BD 2+BC 2-CD 22BD ·BC=8-CD 28,所以CD=√10.由余弦定理,得cos ∠BDC=-2×2×√10=√104.8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 【答案】75° 【解析】由正弦定理得b sinB=csinC ,即sin B=bsinCc=√6×√323=√22.因为b<c,所以B<C,所以B=45°,故A=180°-B-C=75°.9.(2017·全国2·文T 16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= . 【答案】π3【解析】由题意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即cos B=12.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________. 【答案】2113【解析】因为cos A=45,cos C=513,且A,C 为△ABC 的内角,所以sin A=35,sin C=1213,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365. 又因为a sinA=bsinB,所以b=asinB sinA=2113. 11.(2016·北京·文T 13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc = .【答案】1【解析】由正弦定理知sinA sinC=ac =√3,即sin C=sin 2π3√3=12,又a>c,可得C=π6,∴B=π-2π3−π6=π6,∴b=c,即bc=1.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是. 【解析】如图.作CE∥AD交AB于E,则∠CEB=75°,∠ECB=30°.在△CBE中,由正弦定理得,EB=√6−√2.延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°.在△BCF中,由正弦定理得,BF=√6+√2,所以AB的取值范围为(√6−√2,√6+√2).13.(2015·重庆·理T13)在△ABC中,B=120°,AB=√2,A的角平分线AD=√3,则AC=___________. 【答案】√6【解析】如图所示,在△ABD中,由正弦定理,得AD sinB =ABsin∠ADB,即√3sin120°=√2sin∠ADB,所以sin∠ADB=√22,可得∠ADB=45°,则∠BAD=∠DAC=15°.所以∠ACB=30°,∠BAC=30°.所以△BAC是等腰三角形,BC=AB=√2.由余弦定理,得AC=√AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°=√(√2)2+(√2)2-2×√2×√2×(-12)=√6.14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.【答案】100【解析】如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600 m,∠EBC=75°,∠CBD=30°.在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由BC sin∠BAC=ABsin∠ACB ,得BC=AB ·sin∠BAC sin∠ACB=600×12√22=300√2(m).在Rt △BCD 中,CD=BC·tan∠CBD =300√2×√33=100√6(m).15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 . 【答案】7【解析】由S △ABC =12|AB|·|AC|·sin A=12×5×8·sin A=10√3,得sin A=√32.∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60°.由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2·AB·AC·cos 60°=25+64-2×5×8×12=49,∴BC=7.16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为 . 【答案】8【解析】∵S △ABC =12bcsin A=12bc √1-cos 2A =12bc×√154=3√15,∴bc=24.又b-c=2,∴a 2=b 2+c 2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc×(-14)=4+2×24+12×24=64.∵a 为△ABC 的边,∴a=8.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC 中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= . 【答案】2【解析】∠C=60°,根据正弦定理,得ABsinC=ACsinB,所以AC=√22×√6√32=2.18.(2015·福建·文T14)若△ABC 中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________. 【答案】√2【解析】B=60°,由正弦定理,得√3sin60°=BCsin45°,得BC=√2.19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14,3sin A=2sin B,则c= .【答案】4【解析】由于3sin A=2sin B,根据正弦定理可得3a=2b,又a=2,所以b=3.由余弦定理可得c=√a2+b2-2abcosC=√22+32-2×2×3×(-14)=4.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.【答案】1【解析】在△ABC中,由正弦定理,得sin2AsinC =2sinAcosAsinC=2cos A·ac=2cos A×46=43cos A,再根据余弦定理,得cos A=36+25-162×6×5=34,所以sin2AsinC =43×34=1.21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.【答案】√3【解析】由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b 2+c2-a22bc=12.∴sin A=√32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=12bc·sin A≤√3,即(S△ABC)max=√3.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.【答案】150【解析】在Rt △ABC 中,由于∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100√2 m.在△MAC 中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可得AC sin∠AMC=MAsin∠MCA ,于是MA=100√2×√32√22=100√3(m).在Rt △MNA 中,∠MAN=60°,于是MN=MA·sin∠MAN=100√3×√32=150(m),即山高MN=150 m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC 中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC 的最大值为___________. 【答案】2√7【解析】令AB=c,BC=a,则由正弦定理得a sinA =c sinC =AC sinB =√3√32=2,则c=2sin C,a=2sin A,且A+C=120°,AB+2BC=c+2a=2sin C+4sin A=2sin C+4sin(120°-C) =2sin C+4(√32cosC +12sinC)=4sin C+2√3cos C =2√7sin(C+φ)(其中tanφ=√32). 故当C+φ=90°时,AB+2BC 取最大值2√7.24.(2011·全国·文T 15)△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 . 【答案】15√34【解析】在△ABC 中,由余弦定理知AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B,即BC 2+5BC-24=0, 解得BC=3或BC=-8(舍去).S △ABC =12·AB·BC·sin 120°=12×5×3×√32=15√34.25.(2010·全国·理T16)在△ABC 中,D 为边BC 上一点,BD=12DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC 的面积为3-√3,则∠BAC= . 【答案】60°【解析】由S △ADC =12×2×DC×√32=3-√3,解得DC=2(√3-1),则BD=√3-1,BC=3(√3-1).∵在△ABD 中,AB 2=4+(√3-1)2-2×2×(√3-1)×cos 120°=6,∴AB=√6.在△ACD 中,AC 2=4+[2(√3-1)]2-2×2×2(√3-1)×cos 60°=24-12√3,∴AC=√6(√3-1).则cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=-√3-(-√3)2×√6×√6×√31=12,∴∠BAC=60°.26.(2010·全国·文T16)在△ABC 中,D 为BC 边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________. 【答案】2+√5【解析】依据题意作出图形,如图,设AB=a,AC=√2a,BD=k,DC=2k,在三角形ABD 与三角形ADC 中由余弦定理,有{a 2=k 2+2+2k ,2a 2=4k 2+2-4k ,所以k 2-4k-1=0,所以k=2+√5.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin 2A-sin Bsin C. (1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.【解析】(1)由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C, 故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc. 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a22bc=12.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C,即√62+√32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60° =√6+√24.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围. 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin A+C2=sin Bsin A. 因为sin A≠0,所以sinA+C2=sin B. 由A+B+C=180°,可得sin A+C 2=cos B2, 故cos B 2=2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0,故sin B 2=12,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a.由正弦定理得a=csinA sinC=sin (120°-C )sinC =√32tanC +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°. 由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°, 故12<a<2,从而√38<S △ABC <√32.因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,√32).3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B 的值; (2)求sin (2B+π6)的值.【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理b sinB=csinC ,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a=-14.(2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154,从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78,故sin (2B+π6)=sin 2Bcos π6+cos 2Bsin π6=-√158×√32−78×12=-3√5+716.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinAa=cosB2b,求sin (B +π2)的值.【解析】(1)因为a=3c,b=√2,cos B=23,由余弦定理cos B=a 2+c 2-b 22ac,得23=(3c )2+c 2-(√2)22×3c×c ,即c 2=13.所以c=√33.(2)因为sinA a=cosB2b , 由正弦定理a sinA=b sinB, 得cosB 2b=sinBb ,所以cos B=2sin B.从而cos 2B=(2sin B)2,即cos 2B=4(1-cos 2B),故cos 2B=45. 因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0, 从而cos B=2√55.因此sin (B +π2)=cos B=2√55.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.【解析】(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sin∠A=ABsin∠ADB .由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin ∠ADB=√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos ∠ADB=√1-225=√235.(2)由题设及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25.所以BC=5.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.【解析】(1)在△ABC 中,∵cos B=-17,∴B ∈(π2,π), ∴sin B=√1-cos 2B =4√37. 由正弦定理,得asinA=bsinB ⇒7sinA =4√37, ∴sin A=√32.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴A=π3.(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=√32×(-17)+12×4√37=3√314. 如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点D. ∵sin C=h BC,∴h=BC·sin C=7×3√314=3√32,∴AC 边上的高为3√32.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值. 【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理asinA=bsinB ,可得bsin A=asin B.又由bsin A=acos (B -π6),得asin B=acos (B -π6),即sin B=cos (B -π6),可得tan B=√3.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2accos B=7,故b=√7.由bsin A=acos (B -π6),可得sin A=√3√7.因为a<c,故cos A=√7.因此sin 2A=2sin Acos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=4√37×12−17×√32=3√314.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.【解析】(1)在△ABC 中,因为a>b, 故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2accos B=13, 所以b=√13.由正弦定理a sinA=bsinB ,得sin A=asinB b=3√1313.所以,b 的值为√13,sin A 的值为3√1313. (2)由(1)及a<c,得cos A=2√1313, 所以sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=1-2sin 2A=-513.故sin (2A +π4)=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=7√226.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cos A 的值; (2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asin A=4bsin B,及a sinA=bsinB ,得a=2b.由ac=√5(a 2-b 2-c2),及余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=-√55ac ac=-√55.(2)由(1),可得sin A=2√55,代入asin A=4bsin B,得sin B=asinA 4b=√55.由(1)知,A 为钝角,所以cos B=√1-sin 2B =2√55.于是sin 2B=2sin Bcos B=45,cos 2B=1-2sin 2B=35,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=45×(-√55)−35×2√55=-2√55.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)由题设得12acsin B=a 23sinA ,即12csin B=a 3sinA .由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA. 故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsin A=a 23sinA,即bc=8.由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC 的周长为3+√33.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=1517. (2)由cos B=1517得sin B=817, 故S △ABC =12acsin B=417ac. 又S △ABC =2,则ac=172. 由余弦定理及a+c=6得 b 2=a 2+c 2-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×172×(1+1517)=4. 所以b=2.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 【解析】(1)由已知可得tan A=-√3,所以A=2π3. 在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4ccos 2π3, 即c 2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD =1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD 的面积为√3. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.【解析】(1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37a, 所以由正弦定理得sin C=csinA a=37×√32=3√314.(2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 得72=b 2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC 的面积S=12bcsin A=12×8×3×√32=6√3.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 【解析】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,所以bccos A=-6, 又S △ABC =3,所以bcsin A=6.因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=3π4. 又b=3,所以c=2√2.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A,得a 2=9+8-2×3×2√2×(-√22)=29,所以a=√29.15.(2016·北京,理15,12分,难度)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac.(1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cos C 的最大值. 【解析】(1)由余弦定理及题设得cos B=a 2+c 2-b22ac=√2ac 2ac =√22.又因为0<B<π,所以B=π4.(2)由(1)知A+C=3π4.√2cos A+cos C=√2cos A+cos (3π4-A) =√2cos A-√22cos A+√22sin A=√22cos A+√22sin A=cos (A -π4).因为0<A<3π4,所以当A=π4时,√2cos A+cos C 取得最大值1.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C 的最小值. 【解析】(1)证明由题意知2(sinA cosA +sinBcosB)=sinA cosAcosB +sinBcosAcosB,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c. (2)解由(1)知c=a+b2,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab=a 2+b 2-(a+b 2)22ab=38(a b +b a )−14≥12,当且仅当a=b 时,等号成立.故cos C 的最小值为12.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cos A=13,求sin C 的值. 【解析】(1)在△ABC 中,由a sinA=bsinB ,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=√3bsin A,得2asin Bcos B=√3bsin A=√3asin B,所以cos B=√32,得B=π6.(2)由cos A=13,可得sin A=2√23,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin (A +π6)=√32sin A+12cos A=2√6+16.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosBb =sinCc .(1)证明:sin Asin B=sin C; (2)若b 2+c 2-a 2=65bc,求tan B. 【解析】(1)证明根据正弦定理,可设a sinA=b sinB =csinC =k(k>0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入cosA a+cosBb =sinCc 中,有cosA ksinA +cosB ksinB =sinCksinC ,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C. (2)解由已知,b 2+c 2-a 2=65bc,根据余弦定理,有cos A=b 2+c 2-a 22bc =35.所以sin A=√1-cos 2A =45.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以45sin B=45cos B+35sin B, 故tan B=sinBcosB =4. 19.(2016·浙江·文T 16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C 的值.【解析】(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A·cos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B). 又A,B ∈(0,π),故0<A-B<π, 所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)解由cos B=23得sin B=√53,cos 2B=2cos 2B-1=-19,故cos A=-19,sin A=4√59,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=2227.20.(2016·全国1·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C;(2)若c=√7,△ABC 的面积为3√32,求△ABC 的周长.【解析】(1)由已知及正弦定理,得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C. 可得cos C=12,所以C=π3.(2)由已知,12absin C=3√32.又C=π3,所以ab=6.由已知及余弦定理,得a 2+b 2-2abcos C=7. 故a 2+b 2=13,从而(a+b)2=25. 所以△ABC 的周长为5+√7.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;(2)若△ABC 的面积S=a 24,求角A 的大小.【解析】(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B) =sin B+sin Acos B+cos Asin B. 于是sin B=sin(A-B). 又A,B ∈(0,π),故0<A-B<π, 所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B. (2)解由S=a 24得12absin C=a 24,故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B. 因sin B≠0,得sin C=cos B. 又B,C ∈(0,π),所以C=π2±B. 当B+C=π2时,A=π2; 当C-B=π2时,A=π4.综上,A=π2或A=π4.22.(2015·全国2·理T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sinBsinC; (2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.【解析】(1)S △ABD =12AB·ADsin∠BAD, S △ADC =12AC·ADsin∠CAD.因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得sinB sinC=AC AB=12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC,所以BD=√2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BDcos∠ADB,AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,sin 2B=2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC 的面积. 【解析】(1)由题设及正弦定理可得b 2=2ac. 又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b 22ac =14.(2)由(1)知b 2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=2ac,得c=a=√2. 所以△ABC 的面积为S=12ac=1.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b 2-a 2=12c 2. (1)求tan C 的值;(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值.【解析】(1)由b 2-a 2=12c 2及正弦定理得sin 2B-12=12sin 2C,所以-cos 2B=sin 2C.又由A=π4,即B+C=34π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2. (2)由tan C=2,C ∈(0,π)得sin C=2√55,cos C=√55.又因为sin B=sin(A+C)=sin (π4+C), 所以sin B=3√1010. 由正弦定理得c=2√23b,又因为A=π4,12bcsin A=3,所以bc=6√2.故b=3.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos 2(x +π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若f (A2)=0,a=1,求△ABC 面积的最大值. 【解析】(1)由题意知f(x)=sin2x 2−1+cos (2x+π2)2=sin2x 2−1-sin2x 2=sin 2x-12.由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z; 由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间是[-π4+kπ,π4+kπ](k ∈Z); 单调递减区间是[π4+kπ,3π4+kπ](k ∈Z). (2)由f (A2)=sin A-12=0,得sin A=12, 由题意知A 为锐角,所以cos A=√32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A, 可得1+√3bc=b 2+c 2≥2bc,即bc≤2+√3,且当b=c 时等号成立. 因此12bcsin A≤2+√34. 所以△ABC 面积的最大值为2+√34.26.(2015·陕西·理T17)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cos A,sin B)平行. (1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积.【解析】(1)因为m ∥n,所以asin B-√3bcos A=0. 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0. 又sin B≠0,从而tan A=√3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccos A,而a=√7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3. 故△ABC 的面积为12bcsin A=3√32. 27.(2015·江苏·理T15)在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.【解析】(1)由余弦定理知,BC 2=AB 2+AC 2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×12=7,所以BC=√7. (2)由正弦定理知,AB sinC=BCsinA, 所以sin C=AB BC·sin A=°√7=√217.因为AB<BC,所以C 为锐角, 则cos C=√1-sin 2C =√1-37=2√77.因此sin 2C=2sin C·cos C=2×√217×2√77=4√37. 28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC 的面积.【解析】(1)由tan (π4+A)=2,得tan A=13, 所以sin2A sin2A+cos 2A=2tanA 2tanA+1=25.(2)由tan A=13,A ∈(0,π),得sin A=√1010,cos A=3√1010. 又由a=3,B=π4及正弦定理a sinA=bsinB ,得b=3√5.由sin C=sin(A+B)=sin (A +π4)得sin C=2√55.设△ABC 的面积为S,则S=12absin C=9.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.【解析】(1)在△ABC 中,由cos A=-14,可得sin A=√154.由S △ABC =12bcsin A=3√15,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4.由a 2=b 2+c 2-2bccos A,可得a=8. 由asinA =csinC ,得sin C=√158.(2)cos (2A +π6)=cos 2A·cos π6-sin 2A·sin π6=√32(2cos 2A-1)-12×2sin A·cos A=√15-7√316.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B. 【解析】(1)由正弦定理得AD sinB =BDsin∠BAD ,AD sinC=DCsin∠CAD .因为AD 平分∠BAC,BD=2DC, 所以sinB sinC=DC BD =12.(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°, 所以sin C=sin(∠BAC+∠B) =√32cos B+12sin B.由(1)知2sin B=sin C,所以tan B=√33,即∠B=30°.。