第六、七章相位型概率分布与矩阵几何
2006-4-27牛志升@清华大学6
Hyper Exponential Distribution
2006-4-27牛志升@清华大学7
A Series-Parallel Distribution
2006-4-27牛志升@清华大学9 2006-4-27牛志升@清华大学10
M/E /1排队系统的相位解析法2006-4-27牛志升@清华大学12
M/E 2/1排队系统的解析：相位法
0,01,11,22,12,23,1
3,2λλλλ
μ2μ2μ2μ2
μ1
μ1
μ1λλλ
M/E2/1排队系统的相位分解–准生灭过程的引入
B2
2006-4-27牛志升@清华大学14
牛志升@清华大学123A 0A 0A A 2A 2B 1A 1A 1A 1
B 2
B2
(?) π= πR i whereπ=(π, π
2006-4-27牛志升@清华大学18
Rate Matrix R
2006-4-27牛志升@清华大学19
Initial Probabilities
2
2
2
2006-4-27牛志升@清华大学20
准生灭过程
2006-4-27牛志升@清华大学22
Level
2006-4-27牛志升@清华大学24
2006-4-27牛志升@清华大学25
准生灭过程的状态转移图（三维）
A 0A 2
A 1
2006-4-27牛志升@清华大学
2006-4-27牛志升@清华大学
Example: M/M/1 Revisit
2006-4-27牛志升@清华大学28
2006-4-27牛志升@清华大学2006-4-27牛志升@清华大学30
Example: M/H 2/1
2006-4-27牛志升@清华大学31
Example: M/H 2/1
2006-4-27牛志升@清华大学32
2
2
2006-4-27牛志升@清华大学33
2
2006-4-27牛志升@清华大学34
Example: M/H
/1
2
2006-4-27牛志升@清华大学35
相位型(PH)连续时间概率分布的导入2006-4-27牛志升@清华大学38
2006-4-27牛志升@清华大学39
相位型(PH)连续时间概率分布的导入
1j
i m
m+1T i j
T i j
αi absorbing state
transient states
2006-4-27牛志升@清华大学40
相位型(PH)连续时间概率分布的定义
transient states
1j
i m
m+1T ij
T i
αi
absorbing state
transient states
第五章 概率与概率分布(ok)
第五章概率与概率分布 5.1写出下列随机试验的样本空间： （1）记录某班一次统计学测验的平均分数。 （2）某人骑自行车在公路上行驶，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。 （3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 解：（1）测验的平均分数为0至100分，故样本空间为 Ω=≤≤ {|0100} x x （2）遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数为0至∞，故样本空间为 Ω=∞ {0,1,,} （3）与（2）类似，到有10件正品为止，生产产品的总件数的样本空间为 Ω=∞ {10,11,,} 5.2某市有50%的住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。 解：设A = {订日报}，B = {订晚报}，C = {同时订两种报纸} 则P(C) = P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(A∪B) 由题意可知： P(A) = 0.5，P(B) = 0.65，P(A∪B) = 0.85 于是P(C) = 0.5+0.65 – 0.85 = 0.3 即同时订两种报纸的住户百分比为30%。 5.3设A与B是两个随机事件，已知A与B至少有一个发生的概率是1/3，A发生且B不发生的概率是1/9，求B发生的概率。 解：由题意可知，P(A∪B) = 1/3，()1/9 P A B=。 因为()()()() P A B P A P B P A B =+-,而()()() =-，故有 P A B P A P A B
()()[()()] ()()112399 P B P A B P A P A B P A B P A B =--=-=-= 5.4 设A 与B 是两个随机事件，已知P(A) = P(B) = 1/3，P(A|B) = 1/6，求 ()P A B 。 解：首先，我们有P(AB) = P(B)P(A|B)=(1/3)*(1/6)=1/18， 其次， ()()1() (|)1()()() 1()()()1()11/31/31/1811/3712 P A B P A B P A B P A B P B P B P B P A P B P AB P B -= == ---+= ---+= -= 5.5 有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。在两批种子中各随机抽取一粒，求： （1）两粒都发芽的概率。 （2）至少有一粒发芽的概率。 （3）恰有一粒发芽的概率。 解：设A = {甲种子发芽}，B = {甲种子发芽}。 由题意可知，P(A) = 0.8，P(B) = 0.7。 （1）记C={两粒种子都发芽}，因A 与B 独立， 故P(C) = P(A)P(B) = 0.8*0.7 = 0.56 （2）记D= {至少有一粒发芽} P(D) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.8+0.7-0.56 = 0.84 （3）记E = {恰有一粒发芽} 则P(E) = P(D) – P(C) = 0.84 – 0.56 = 0.28
概率与概率分布
第六章概率与概率分布 本章是推断统计的基础。 主要内容包括：基础概率，概率的数学性质，概率分布、期望值与变异数推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。 第一节基础概率 概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？ 例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子连掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚掷24次，出现一次双6 的机会却很少。 概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯(1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后，法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。 1、随机现象和随机事件 概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。
【免费下载】概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y | 第三章概率、概率分布与抽样分布 计算题： 1.某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。试求这种零件的次品率。 2. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。求该选手两发都脱靶的概率。 3. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策？ 4. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。 5. 某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少？（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于0.9。 6. 某商场某销售区域有6种商品。假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。求：（1）在同一时刻需用咨询的商品种数的最可能值是多少？（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？ 7. 美国汽车联合会（AAA）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（《旅行新闻》Travel News，1999年5月11日）。假设这个花费的标准差是15美元，并且AAA所报道的平均每日消费是总体均值。又假设选取49个4口之家，并对其在1999年6月期间的旅行费用进行记录。⑴ 描述x（样本家庭平均每日餐饮和住宿的消费）的抽样分布。特别说明x服从怎样 的分布以及x的均值和方差是什么？证明你的回答；⑵对于样本家庭来说平均每日消费大于213美元的概率是什么？大于217美元的概率呢？在209美元和217美元之间的概率呢？ 解：a. 正态分布, 213, 4.5918 b. 0.5, 0.031, 0.938 第六章概率分布 一、单选题 180，一个随机样本n=16，其均值大于85的概率是（）。 A. 2.52% B. 4.78% c. 5.31% D. 6.44% 2．让64位大学生品尝A.、B两种品牌的可乐并选择一种自己比较喜欢的。如果这两种品牌的可乐味道实际没有任何区别，有39人或39人以上选择品牌B的概率是（不查表）： （） A.2.28% B.4 .01% C.5.21% D. 39.06% 3. 某个单峰分布的众数为15，均值是10，这个分布应该是( ) A．正态分布 B．正偏态分布 C．负偏态分布 D．无法确定 4．一个单项选择有48单侧检验标准，至少应对多少题成绩显著优于单凭猜测（）。 A．16题 B．17题 C．18题 D.19题 5. 在一个二择一实验中，被试挑12次，结果他挑对10次，那么在Z值等于（） A.4.05 B.2.31 C.1.33 D. 2.02 6. 某班200人的考试成绩呈正态分布，其平均数=l2，S=4分，成绩在8分和16分之间的人数占全部人数的（）。 A.34.13% B.68.26% C.90% D. 95% 7. 在一个二择一实验中，被试挑12次，结果他挑对10次，那么在Z=（X-M）/S这个公式中X应为（） A.12 B.10 C.9.5 D. 10.5 8. 在处理两类刺激实验结果时，在下列哪种情况下不可以用正态分布来表示二项分布的近似值？（） A.N<10 B.N>=10 C.N>30 D. N>10 9. t分布是平均数的对称的分布，当样本n趋于∞时，t分布为（） A. 二项分布 B. 正态分布 C. F分布 10. 概率和统计学中，把随机事件发生的可能性大小称作随机事件发生的（） A.概率 B.频率 C.频数 D. 相对频数 11. 在一次实验中，若事件B的发生不受事件A的影响，则称AB两事件为（） A.不影响事件 B.相容事件 C.不相容事件 D. 独立事件 12. 正态分布由（）于1733年发现的 A.高斯 B.拉普拉斯 C.莫弗 D. 高赛特 第六章 概率与概率分布 第一节 概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法 第二节 概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提 第三节 概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数 一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ 机会均等 ）。 2．分布函数)(x F 和)(x P 或 )(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，)(x F 累计的是（ 概率 ）。 3．如果A 和B （ 互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。 4．（ 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ 无偏性 ）、（ 一致性 ）、（ 有效性 ）。 6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ）。 7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ），与样本容量的平方根成（ 反比 ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ 增大到16倍 ）。 9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ 互斥 ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．古典概率的特点应为（A ） A 、基本事件是有限个，并且是等可能的； B 、基本事件是无限个，并且是等可能的； C 、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； 第六章概率分布 第一节概率的基本概念 一、什么是概率 概率指用一个比值来概括某事件出现的可能性大小。因为纯粹利用概率的概念是无法计算出概率的，所以它有几个用于不同情况下的计算办法： （一）古典概率（先验概率） 基本事件：如果某一随机实验可以分成有限的n种可能结果，这n种结果之间是互不交叉的，而且这些结果出现的可能性相等，我们把这n种可能结果称为基本事件。如抛置骰子这一随机试验的基本事件为：{1}{2}{3}{4}{5}{6}。 基本事件必须具备如下的五个条件： ①等可能性：实验中基本事件发生的概率相等（根据对称性来判断）。 ②互斥性：各个基本事件不可能在一次试验中同时发生，或者说一次试验中只能发生基本事件中的一个。 ③完备性：一次试验中所有基本事件必然有一个发生，即所有基本事件概率之和为100%。 ④有限性：全部结果只有有限的n种。 ⑤不可再分性：不可能有比基本事件范围更小的事件。若把抛置骰子的基本事件取为：A={1，2，3}，B={4，5，6}，则它满足前面的所有4上条件，但它们可以再分。 古典概率的定义：在只含有有限个基本事件的试验中，任意事件A发生的概率定义为： （二）统计概率（后验概率） 统计概率常用于随机现象不满足“基本事件等可能发生”的条件，或者某些试验不可能分为等可能的互不相交的事件。 在相同条件下进行n次试验，事件A出现了m次，如果试验次数n充分地大，且事件A 出现的频率稳定在某一数值p附近，则称p为事件A的概率。由于p也是一抽象的值， 常常用n在充分大时的代替。即： 。 二、概率的基本性质 1、概率的加法定理 两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事件概率之和，P（A+B）=P（A）+P（B） 2、概率的乘法定理 两个独立事件同时出现的概率等于该两事件概率的乘积，P（AB）=P（A）×P（B） 例6-1：一枚硬币掷三次，或三枚硬币各掷一次，问出现两次或两次以上H的概率是多 少？ 离散型随机变量的概率分布 1．离散型随机变量的概率分布 (2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 为离散型随机变量X 的概率分布表，具有如下性质： ①p i ________0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝________. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的_____________． 2．两点分布 如果随机变量X 的概率分布表为 其中0 第5章 概率与概率分布 一、思考题 、频率与概率有什么关系 、独立性与互斥性有什么关系 、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。 、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。 二、练习题 、写出下列随机试验的样本空间： （1）记录某班一次统计学测试的平均分数。 （2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。 （3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。 、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是3 1 ，A 发生且B 不发生的概率是 9 1 ，求B 发现的概率。 、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)= 31，P(A ｜B)= 6 1 ，求P(A ｜B ) 、有甲、乙两批种子，发芽率分别是和。在两批种子中各随机取一粒，试求： （1）两粒都发芽的概率。 （2）至少有一粒发芽的概率。 （3）恰有一粒发芽的概率。 、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少 、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为 43，用到10000小时未坏的概率为2 1。现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少 、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少 、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。已知这四个车间产品的次品率分别为，，和，从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，且这件产品是由A ，B 车间生产的分布。 、考虑抛出两枚硬币的试验。令X 表示观察到正面的个数，试求X 的概率分布。 、某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是%，抽取10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求： （1）此人收益的概率分布。 （2）此人收益的期望值。 、设随机变量X 的概率密度为： F(x)= 3 2 3θ X ，0 第六章 概率与概率分布（一） 第一节 概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法 第二节 概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提 第三节 概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数 一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ 机会均等 ）。 2．分布函数)(x F 和)(x P 或 )(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所 不同的是，)(x F 累计的是（ 概率 ）。 3．如果A 和B （ 互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。 4．（ 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ 无偏性 ）、（ 一致性 ）、（ 有效性 ）。 6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ）。 7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ），与样本容量的平方根成（ 反比 ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ 增大到16倍 ）。 9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ 互斥 ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．古典概率的特点应为（A ） A 、基本事件是有限个，并且是等可能的； B 、基本事件是无限个，并且是等可能的； C 、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； 第6章《二维随机变量》练习题 一、判断题 1.设(ξ,η)为连续型随机向量,如果联合密度等于各自边际密度的乘积,则ξ,η相互独立.（ 1 ） 2．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ 0） 3．二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ 0 ） 4．设0)(=A P ，则随机事件A 与任何随机事件B 一定相互独立.（ 0 ） 1.设ξ服从参数为λ的普阿松分布,P(ξ=1)=P(ξ=3),则λ 2.设(ξ,η)～N(0,1;1,4,0.5)，则ξ,η分别服从3．设ξξ12,的概率密度函数分别为f t f t 12 (),(),且ξξ12,相互独立, 则(ξξ12,)的联4．设(,)X Y 的联合概率分布为 已知(11)P X Y === 2 3 ，则a=_0.2___，X 的概率分布为_____________=。 5．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则 (,)P a X b c Y d <≤<≤= 6．设),(Y X 的联合概率分布为 则X 7．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为 其它 当0 ,00),()43(>>? ? ?=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 12, 三、计算题 1．设随机变量(,)X Y 的联合密度函数 ?? ?<<<=他 其 ,20),(x y x A y x f 求 (1) 常数A ; (2) 边际密度函数; (3) 讨论X 与Y 的相关性. (1) .4/1=A (３) ?==2 2 ,3/4)2/()(dx x X E ??==-2 ,0)4/()(x x dy y dx Y E ??==-2 ,0)4/()(x x dy y xdx XY E c o v (,)()()X Y E X Y E X E Y =-= 所以X 与Y 不相关. 2．设(,)X Y 的联合密度函数为???∈=其它 ,0),(,6),(D y x x y x p ，其中D 为由0,0 x y ==及1x y +=所围区域。（1）求();PY X ≤（2）求(,)X Y 的边际密度函数(),(),X Y p x p y 一、 离散型分布 1、 两点分布：binom （1，p ） 意义：一次实验中有二个事件：成功（记1）与失败（记0），出现的概率分别为p 和1p -，则一次试验（称为贝努利试验）成功的次数服从一个参数为p 的贝努利试验。例子（投一次硬币） 分布律： 1(|)(1),0,1(01)x x f x p p p x p -=-=<< 数字特征： (X),Var(X)(1)E p p p ==- 2、 二项分布：binom （n ，p ） 意义：贝努利试验独立重复n 次，则试验成功的次数服从一个参数为（n ，p ）的二项分布。（投n 次硬币） 分布律： (|)(1),0,1, ,.(01)x n x n f x p p p x n p p -??=-=<< ??? 数字特征： (X),Var(X)(1)E np np p ==- 3、 多项分布：1(,,,)k multinon n p p 意义：一试验中有k 个时间,1,2,,i A i k =，且1()(01 ,1)k i i i i i PA p p p ==<<=∑ 将此试验独立地重复n 次，则时间12,,,k A A A 出现的次数服从一个参数 (,)n p 的多项式分布，其中12(,, ,)k P p p p =（仍骰子问题） 分布律： 12 11 (, ,|,),0,k k x x x k i i i n f x x n p p p p x n x n p =?? =≤≤= ??? ∑ 数字特征： (X),Var(X)(1),Cov(X ,X )i j i j E np np p np p ==-=- 4、 负二项分布：(,)nbinom k p 意义：贝努利试验独立地重复进行，一直到出现k 次成功时停止试验，则试验失败的次数服从一个参数(,)k p 的负二项分布。 分布律： ()(|,)(1),0,1, ()() k x k x f x k p p p x k x Γ+= -=Γ Γ 数字特征： 2(1)(1) (X ),V a r (X )k p k p E p p --= = 5、 几何分布：()geom p 意义：伯努利试验独立地重复进行，一直到出现有成功出现时停止试验，则试验失败的次数服从一个参数p 的集合分布。 分布律： (|)(1),0,1,2, x f x p p p x =- = 数字特征： 2(1)(1) (X),Var(X)p p E p p --= = 6、 超几何分布：(,,)hyper N M n 意义：从装有N 个白球和M 个黑球的罐子中不放回地取出k 其中 k N M ≤+则其中的白球服从超几何分布。 分布律： 第五章概率与概率分布基础 第一节什么是概率 第二节概率分布 第三节常用离散型随机变量分布举例 第四节常用连续型随机变量分布举例 为什么学习概率? 概率是公共和非盈利性事业管理中最有用的数量分析方法之一.利用概率及相关知识,公共和非盈利事业的管理者可以判断和解决各种各样的问题. 比如,维修机构的负责人可以运用概率来决定公共设施发生故障的频率,并依此部署维护力量.公共交通部门可以用概率来分析某一站点某一时段内可能候车人数,从而决定公共交通的车次间隔. 本章内容包括一些基本的概率法则和假定. 最常用的适于作定量研究的方法--抽样调查就是通过概率的理论使我们掌握一种媒介,它可以做我们推断和分析的平台. 第一节什么是概率 一、随机事件与概率 （一）随机试验与随机事件 随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质： （1）每次试验的可能结果不是唯一的； （2）每次试验之前不能确定何种结果会出现； （3）试验可在相同条件下重复进行。 比如:标准大气压下,水沸腾的温度是100度. 必然事件 扔100次硬币,正面朝上的次数.随机事件. 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 在经济与社会领域,随机命题是常见的,而必然命题是十分少见的. 任何一种社会现象,社会行为其产生的原因都是复杂的,事物单个出现的时候难免有偶然性和非确定性,但是对于大量事物的研究,由于平衡与排除了单个孤立事件所具有的偶然性,从而可以发现其内部的规律性. 在随机试验中(对随机现象的观察)可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中却具有某种规律性的事件，称之为随机事件。 试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件 还可称为样本点，设试验有n个基本事件，分别记为(i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1 ,ω2 , …,ωn}称为样本空间，Ω中的元素就是样本点。 第五章 概率与概率分布基础习题答案 一、单选 1.A ； 2.D ； 3.C ； 4.A ； 5.D ； 6.C ； 7.A ； 8.D ； 9.B ；10.C 二、多选 1.ABCE ； 2.ABCE ； 3.ABD ； 4.ACE ； 5.ABCE 6.ABD ； 7.ABCD ； 8.ABCDE ； 9.ABCDE ；10.ACD 三、计算分析题 1、（1）C B A ；C B A ；C B A （2）C AB （3） C B A C B A C B A （4） C B A C B A 或 2、6.0)(1=A P ；4.0)(2=A P ；95.0)(1=A B P ；90.0)(2=A B P （2）16.0889.001.0101.05001.010)(=÷+?+?+?=x E （元） 说明2元彩票平均中奖额为0.16元。 4、包含对6道、7道、8道、9道和10道题的五种情况的概率为： 4661037710288109910101010)43()41()43()41()43()41()43()41()41 (C C C C C ++++ %202.098.01)4 3()41()43()41()43()41()43()41()43)(41()43(15551064410733108221091100010==-=+++++-=C C C C C C 5、!2)2()1(2λ λλλ--=====e X P e X P ，则λ=2 22432!42)4(e e X P ===- 6、（1）化为标准正态分布有： )22 3()2123()2()2()2(-<-+->-=-<+>=>x P x P x P x P x P 第六章 概率与概率分布 一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（机会均等 ）。 2．分布函数)(x F 和)(x P 或 ?)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，)(x F 累计的是（概率 ） 。 3．如果A 和B （互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。 4．（大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。 6．抽样设计的主要标准有（最小抽样误差原则 ）和（最少经济费用原则 ）。 7．在抽样中，遵守（随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。 9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（互斥 ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．随机试验所有可能出现的结果，称为（ D ）。A 基本事件； B 样本；C 全部事件；D 样本空间。 2.在次数分布中，频率是指（ ） A.各组的频率相互之比 B.各组的分布次数相互之比 C.各组分布次数与频率之比 D.各组分布次数与总次数之比 3．若不断重复某次调查，每次向随机抽取的100人提出同一个问题，则每次都能得到一个回答“是”的人数百分数，这若干百分数的分布称为：（ D ）。 A ．总体平均数的次数分布 B ．样本平均的抽样分布 C ．总体成数的次数分布 D ．样本成数的抽样分布 4．以等可能性为基础的概率是（A ）。A 古典概率；B 经验概率；C 试验概率；D 主观概率。 5．古典概率的特点应为（ A ）。 A 基本事件是有限个，并且是等可能的； B 基本事件是无限个，并且是等可能的； C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 6．任一随机事件出现的概率为（ D ）。A 在–1与1之间；B 小于0；C 不小于1；D 在0与1之间。 7．若P （A ）＝0.2，Ｐ（B ）＝0.6，P （A/B ）＝0.4，则)(B A P ＝（ D ）。A 0.8 B 0.08 C 0.12 D 0.24。 8．若A 与B 是任意的两个事件，且P （AB ）＝P （A ）·P （B ），则可称事件A 与B （C ）。 A 等价 B 互不相容 C 相互独立 D 相互对立。 9．若相互独立的随机变量X 和Y 的标准差分别为6与8，则（X ＋Y ）的标准差为（B ）。A 7 B 10 C 14 D 无法计算。 10．对于变异数D (X )，下面数学表达错误的是（ D ）。 A D (X )＝E (X 2)―μ2 B D (X )＝E [(X ―μ)2] C D (X )＝ E (X 2)―[E (X ) ] 2 D D (X )＝σ 11．如果在事件A 和B 存在包含关系A ?B 的同时，又存在两事件的反向包含关系A ?B ，则称事件A 与事件B （A ）A 相等 B 互斥 C 对立 D 互相独立 三、多项选择 1．随机试验必须符合以下几个条件（ABD ）。 A ．它可以在相同条件下重复进行； B ．每次试验只出现这些可能结果中的一个； C ．预先要能断定出现哪个结果； D ．试验的所有结果事先已知； E ．预先要能知道哪个结果出现的概率。 2．重复抽样的特点是（ACE ）。 A 每次抽选时，总体单位数始终不变； B 每次抽选时，总体单位数逐渐减少； C 各单位被抽中的机会在每次抽选中相等； D 各单位被抽中的机会在每次抽选中不等； E 各次抽选相互独立。 3．关于频率和概率，下面正确的说法是（BCE ）。 A ．频率的大小在0与1之间； B ．概率的大小在0与1之间； C ．就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的； D ．就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的； E ．频率分布有对应的频数分布，概率分布则没有。 第六章 概率与概率分布（二） 一、填空题 1.甲、乙各射击一次，设事件A 表示甲击中目标，事件B 表示乙击中目标，则甲、乙两人中恰好有一人不击中目标可用事件＿表示. 2.已知甲、乙两个盒子里各装有2个新球与4个旧球，先从甲盒中任取1个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球，设事件A 表示从甲盒中取出新球放入乙盒，事件B 表示从乙盒中取出新球，则条件概率P(B A )=＿＿． 3.设A,B 为两个事件，若概率P(A)= 41,P(B)=3 2,P(AB)=61 ,则概率P(A+B)=＿＿． 4.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3，若事件A,B 互斥，则概率P(A+B)= ＿＿． 5.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.8，P(B)=0.4，若事件A ?B ，则条件概率P(B A )=＿＿． 6.设A,B 为两个事件，若概率P(B)= 103,P(B A )=61 ,P(A+B)=5 4,则概率P(A)=＿＿． 7.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A )=0.7，P(B)=0.6,若事件A,B 相互独立，则概率P(AB)=＿＿． 8.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4，P(B)=0.3,若事件A,B 相互独立，则概率P(A+B)=＿＿． 9.设A,B,C 为三个事件，且已知概率P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.7，若事件A,B,C 相互独立，则概率P(A+B+C)=＿＿． 10.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=0.84，P(A B)=0.21，则概率P(AB)=＿＿． 11.设离散型随机变量X 的概率分布如下表 c c c c P X 4322101- 则常数c =＿＿． 12.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表 ４ １４１21P 3 21X 则概率P ｛3 智力的分布呈正态分 布，已知某人的IQ分 已知某人的IQ分 IQ 数为130分，那么分 数为130分 130 ? 第5章 概率与概率分布 一、思考题 1．频率与概率有什么关系？ 答：概率是一种现象的固有属性，比如一枚均匀的硬币，随意抛掷的话正面出现的概率就是1/2。这跟实验是没有关系的。而频率，就是一组实验中关心的某个结果出现的次数比上所有实验次数的比值，它和实验密切相关。一般来说，随着实验次数的增多，频率会接近于概率。比如抛掷均匀的硬币10000次，出现正面的频率就会非常接近于概率0.5。 2．独立性与互斥性有什么关系？ 答：互斥事件一定是相互依赖（不独立）的，但相互依赖的事件不一定是互斥的。例如，事件A表示有雨，事件B表示晴天（无雨），事件C表示有风。显然事件A与B是互斥的，因而也是不独立的；事件A与C显然不互斥，但是看来也是有依赖关系的。 不互斥事件可能是独立的，也可能是不独立的，然而独立事件不可能是互斥的。关于不互斥事件相互独立的例子，如有一批产品，A表示第一次抽到正品，B表示第二次抽到的也是正品，在有放回抽样时这两个事件就是独立的。 3．根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。 答：服从泊松分布的随机变量有： （1）在某一公司中每月观察到的事故的次数； （2）单位时间内到达某一服务柜台（服务站、诊所、超级市场的结账柜台、电话总 机等）请求服务的顾客人数； （3）保险公司每天收到的死亡声明的个数； （4）某种仪器每月出现故障的次数。 4．根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。 答：服从正态分布的随机变量： （1）某地区同年龄组儿童的发育特征，如身高、体重、肺活量； （2）某公司年销售量； （3）在同一条件下产品的质量。 二、练习题 1．写出下列随机试验的样本空间： （1）记录某班一次统计学测验的平均分数； （2）某人骑自行车在公路上行驶，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数； （3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 解：（1）平均分数是范围在0～100之间的一个连续变量，所以平均分数的样本空间Ω=[0，100]。 （2）遇到的绿灯次数是从0开始的任意自然数，所以样本空间Ω=N。 （3）之前生产的产品中可能无次品也可能有任意多个次品，所以样本空间 Ω={10，11，12，13，…}。第三章 概率与概率分布习题及答案
第六章-概率分布Word版
统计学习题 第六章 概率与概率分布
第六章 概率分布
离散型随机变量的概率分布
第5章概率与概率分布
概率与概率分布(一)
概率论第6章练习答案
离散型+l连续型概率分布
第五章 概率与概率分布基础
统计学课后答案(第3版)第5章概率与概率分布基础习题答案
第六章 概率与概率分布练习题
概率与概率分布(二)
第六章概率分布
心理统计学测验中有 10道正误判断题， 10道正误判断题，如 道正误判断题 何才能了解学生对所 测内容真正掌握了还
数比他低的人有多 是仅仅是猜测。 是仅仅是猜测。 少？
第一节
概率的基本概念 随机事件
第一节
概率的基本概念
每次试验可能出现也 可能不出现的事件
后验概率 先验概率
第二节
正态分布
对随机事件进行 n次观察，其中 次观察， 次观察 某一事件A出现 某一事件 出现 次数 m与n的比值 与 的比值
概率
随机事件出现 可能性大小的 客观指标 在特殊情况下 直接计算的比 是真实的， 值，是真实的， 而不是估计值
第三 节
抽样分布
实验的每种可能结果是有限的 每一基本事件出现的可能性相等
第一节
概率的基本概念
互不相容事件
必然事件的 指在一次观测中不 概率为1 概率为 能同时发生的事件
?
A B 加法
任何一个随机 不可能事件
定理
事件A的概率 事件 的概率
概率的公理性质
都是非负的
的概率为0 的概率为
? 两个互不相容的事件 之和的概率为两个事 件概率之和。 件概率之和。
1
三、概率的分布类型
独立事件
指一个事件的出现对 另一个事件的出现不 发生影响
A
B
乘法 定理
? 两个独立事件同时发生的概 率等于这两个事件各自出现 概率的乘积。 概率的乘积。
概率分布 随机变量
一次试验的结果 的数值性描述 指用数学方法（ 指用数学方法（函数 ）对随机变量取值的 分布情况加以描述
三、概率的分布类型
概率分布的理解 例如，投掷一枚硬币， 例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频 的增大， 率，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反 面的频率稳定在1/2 1/2左右 面的频率稳定在1/2左右
正面 /试验次数 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 0 25 50 75 试验的次数 100 125
概率的分布类型
离散型随机变量： 离散型随机变量：
离散分布
离散随机变量
随机变量 X 取有限个值或 所有取值都可以逐个列举出来 X1 ,X2，… ，
的概率分布
以确定的概率取这些不同的值
连 续 性
连续型随机变量
连续分布
连续随机变量 的概率分布
取无限个值， 随机变量 X 取无限个值，所有可 能取值不可以逐个列举来， 能取值不可以逐个列举来，而是 取数轴上某一区间内的任意点
概率的分布类型
根据观察或 实验所获得 的数据而编 制的次数分 布或相对频 率分布
经 验 分 布
分布 函数 的 来源
理 论 分 布
1.随机变量概 随机变量概 率分布的函 数—数学模型 数学模型 2.按某种数学 按某种数学 模型计算出的 总体次数分布
理论分布中 描述构成总 体的基本变 量的分布
基本 随机 变量 分布
数据 特征
抽 样 分 布
样本统计量 的理论分布
2贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第5章 概率与概率分布【圣才出品】