电路 第8章习题 相量法
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chapter08相量法电路原理
yy A 1A 2A 1A 212
3. 旋转因子
复数 ejy = cos y + jsin பைடு நூலகம் = 1∠y
Aejy
A逆时针旋转一个角度y ，模不变
j
e2 cosjsinj
ej( 2)c 2 o 2 s) 2 (js i 2 n) (j
j I
Im
I
Im A (t)[ ] 2Isiw n t (y)
wy i2 I sit n) ( A ( t)2 I e jw t ( y )
A(t)还可以写成
A(t) 2Iejyejwt 2 I ejwt
复常数
称
I Iy
为正弦量 i(t) 对应的相量。
i(t)2Isiw n t (y) II y
旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数
请看演示
三. 相量图
ωy y i(t)2 I sitn i() I I i
wy y u (t)2 U sitn u ( ) U U u
U
I
yu yi
四. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t) 2U1s iw nt (y1)Im2(U 1ejwt)
(2) 角频率(angular frequency) w
(3) 初相位(initial phase angle) y
i i(t)=Imsin(w t+y)
Im
wt
y
波形图
ii
000 0 0
t
yy y =0y =/2 y =-/2
一般 |y |
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
3. 旋转因子
复数 ejy = cos y + jsin பைடு நூலகம் = 1∠y
Aejy
A逆时针旋转一个角度y ，模不变
j
e2 cosjsinj
ej( 2)c 2 o 2 s) 2 (js i 2 n) (j
j I
Im
I
Im A (t)[ ] 2Isiw n t (y)
wy i2 I sit n) ( A ( t)2 I e jw t ( y )
A(t)还可以写成
A(t) 2Iejyejwt 2 I ejwt
复常数
称
I Iy
为正弦量 i(t) 对应的相量。
i(t)2Isiw n t (y) II y
旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数
请看演示
三. 相量图
ωy y i(t)2 I sitn i() I I i
wy y u (t)2 U sitn u ( ) U U u
U
I
yu yi
四. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t) 2U1s iw nt (y1)Im2(U 1ejwt)
(2) 角频率(angular frequency) w
(3) 初相位(initial phase angle) y
i i(t)=Imsin(w t+y)
Im
wt
y
波形图
ii
000 0 0
t
yy y =0y =/2 y =-/2
一般 |y |
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
电路原理 第八章_相量法
复数 复数
—
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法(续）
—
已知正弦量 220√ 2 cos ( ω t－35° ) 有效值相量 最大值相量 220/ －35° — 220√ 2 /－35°
已知 相量 10/45° and 正弦量的角频率ω 相应的正弦量 — 10 √ 2 cos( ωt + 45° )
0 ωt1
ωt2
ωt
φ
图8-5 用旋转矢量表示的正弦量
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法 F = ⎪F⎪e j(ω t + ϕ )
ejθ = cosθ + jsinθ
设：有一复数
欧拉公式
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ) + j⎪F⎪sin(ωt +ϕ) Re [F] = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ ) Im [F] = ⎪F⎪sin(ωt + ϕ )
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第8章
三、旋转因子
/ϕ 旋转因子: e jϕ = 1 — A = ⎪A⎪ejα Aejϕ = ⎪A⎪ejαejϕ = ⎪A⎪ej(α+ϕ ) ejπ/2 = j1 e－jπ/2 = − j1
+j
Aejϕ
ϕ α
0
A
+1
e－jπ = − 1
孙惠英 shy@
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第8章
ϕ 12 = ϕ 1－ ϕ 2 —— u1 超前于 u2 的相角 ϕ 21 = ϕ 2－ ϕ 1 —— u2 超前于 u1 的相角
《 电路》第8章 相量法
2. i 5 cos t 50
0
1 UC 5. j C I C jC
3. I m j CUm Um
6. U L j LI L
di L 7. u C dt
UL Um 4. X L IL I m
返 回
上 页
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例5
A
已知 UAB 50V, UAC 78V, 问：UBC ?
1
i2 (t ) 3 cos(100 π t 300 )
返 回 上 页 下 页
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1
i 141.4 cos(314t 30o )A 已知 u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示i, u . 解
I 10030 A,
o
U 220 60o V
例2
解
已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2cos( 314t 15 ) A
返 回
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例1 试判断下列q
F Re
返 回
上 页
下 页
例
解
已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
i(t ) 100 cos( t ) 10 t 0 50 100 cos
3
100 50 o
i
π 3
π 3
3
t t1
由于最大值发生在计时起点右侧
I +
0
1 UC 5. j C I C jC
3. I m j CUm Um
6. U L j LI L
di L 7. u C dt
UL Um 4. X L IL I m
返 回
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例5
A
已知 UAB 50V, UAC 78V, 问：UBC ?
1
i2 (t ) 3 cos(100 π t 300 )
返 回 上 页 下 页
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1
i 141.4 cos(314t 30o )A 已知 u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示i, u . 解
I 10030 A,
o
U 220 60o V
例2
解
已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2cos( 314t 15 ) A
返 回
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例1 试判断下列q
F Re
返 回
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例
解
已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
i(t ) 100 cos( t ) 10 t 0 50 100 cos
3
100 50 o
i
π 3
π 3
3
t t1
由于最大值发生在计时起点右侧
I +
邱关源《电路》第八章相量法2
17
例1: 已知: R1 1000 , R2 10 , L 500mH , C 10F , BUCT
U 100V , 314rad / s , 求:各支路电流。
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1
I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
_ U
Z1
Z2
jL
解：画出电路的相量模型
0.5770
A
瞬时值表达式为：
i1 0.6 2 sin(314 t 52.3 ) A i2 0.181 2 sin(314t 20 ) A i3 0.57 2 sin(314 t 70 ) A
解毕！
20
9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联
一． RLC串联电路
用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。
2I R
.
.
1 UR UC
24
BUCT
练习：P188 8—11 12
25
作业
BUCT
习题：8-16 9-1 (b)、(f) 9-5 预习：第9章
26
j
G 导纳三角形
（二） R、L、C 元件的阻抗和导纳
（1）R：ZR R , YR 1 R G
（2）L：Z L jL jX L ,
1
1
YL
j
jL
L
jBL
（3）C：ZC
j 1
C
jX C ,
YC jC jBC
15
（三）阻抗和导纳的等效互换
º R
Z
18
I1
I2 R1
邱关源《电路》第五版 第八章 相量法
第八章
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz
第08章 相量法
α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路分析相量法
量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；
第8章-相量法-习题库
第八章相量法一、填空题1、正弦电压()cos()u u t t ωθ=+，对应的相量表示为 。
2、若()10cos(31430)i t t =- ()5sin(31430)u t t =-,则i u 与的相位差为 。
3、已知正弦交流电压010cos(31430)V u t =+，该电压有效值U = 。
4、在纯电感交流电路中，电压与电流的相位关系是电压_____电流900，感抗X L =_____,单位是____。
5、在纯电感正弦交流电路中，若电源频率提高一倍，而其他条件不变，则电路中的电流将变______。
6、在纯电容正弦交流电路中，已知I=5A,电压cos(314)V U t =，电容量C=_____。
7、在纯电容正弦交流电路中，增大电源频率时，其他条件不变，电容中电流I 将____。
8、一个感抗20Ω的纯电感两端电压是10c o s (30)V ,u t ω=+则通过它的电流瞬时值为__ _A 。
二、选择题1、两个同频率正弦交流电的相位差等于1800时，则它们相位关系是____。
A 、同相B 、反相C 、相等 2、正弦交流电的最大值等于有效值的___倍。
A 、2 B 、 2 C 、 1/2 3、在纯电容正弦交流电路中，复容抗为____。
A 、c j ω- B 、 c j ω/- C 、 c j ω/ 4、在纯电容正弦交流电路中，下列各式正确的是_____。
A 、C i U C ω=B 、I UC ω∙∙= C 、I U C ω= D 、/i U C = 5、若某元件的端电压为05cos(31435)V u t =+，电流02cos(314125)A i t =+，i u 、 为关联方向， 则该元件是___。
A 、电阻B 、电感C 、电容 6、任意一个相量乘以j 相当于该相量 。
A 逆时针旋转90o B 顺时针旋转90o C 逆时针旋转60oD 逆时针旋转60o 三、判断题1、正弦量的初相角与起始时间的选择有关，而相位差则与起始时间无关。
电路(第八章)相量法
复数运算
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1
0 Re
(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式
若 则:
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
Im 2I
i ( t ) I m cos(w t Ψ ) 2 I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)； u, i u i
yu yi j j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
O
wt
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
u, i u u i 0 iw t
j ＝ 0， 同相：
直流I
物 理 意 义
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
T 2 0
电流有效 值定义为
1 T 2 I 0 i (t )dt T
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1
0 Re
(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式
若 则:
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
Im 2I
i ( t ) I m cos(w t Ψ ) 2 I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)； u, i u i
yu yi j j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
O
wt
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
u, i u u i 0 iw t
j ＝ 0， 同相：
直流I
物 理 意 义
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
T 2 0
电流有效 值定义为
1 T 2 I 0 i (t )dt T
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
电路第五版第8章相量法(xs)
o
o
∴
i(t ) u(t )
I 100 30
o
U 220 60
o
2. 相量运算 (1) 同频率正弦量相加减
u 1 ( t ) U m1 cos( w t + Ψ u 2 ( t ) U m2 cos( w t + Ψ ) Re( 1 ) Re( 2
jw t
182.5 + j132.5 225.5 36o
(4) 旋转因子： 复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q A• ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故 把 ejq 称为旋转因子。 A• ejq Im
A• ejq =|A| qA + q
0
q
A Re
特殊旋转因子:
ejp/2 = j 也是旋转因子，逆时针转了90。 e-jp/2 = - j, 顺时针转了90 。
jθ 1 |
e
j( θ 1 θ 2 )
| A1 | | A2 |
θ1 θ
2
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。
例1.
5 47 + 10-25 = (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47 - j0.567 = 12.48 -2.61
+
1 jω C
U
1 jω C
I C jX C I C
U
U
-
IC=w CU
i=u+90°
IC
相量模型 B C = w C， 称为容纳，单位为 S
u
o
∴
i(t ) u(t )
I 100 30
o
U 220 60
o
2. 相量运算 (1) 同频率正弦量相加减
u 1 ( t ) U m1 cos( w t + Ψ u 2 ( t ) U m2 cos( w t + Ψ ) Re( 1 ) Re( 2
jw t
182.5 + j132.5 225.5 36o
(4) 旋转因子： 复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q A• ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故 把 ejq 称为旋转因子。 A• ejq Im
A• ejq =|A| qA + q
0
q
A Re
特殊旋转因子:
ejp/2 = j 也是旋转因子，逆时针转了90。 e-jp/2 = - j, 顺时针转了90 。
jθ 1 |
e
j( θ 1 θ 2 )
| A1 | | A2 |
θ1 θ
2
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。
例1.
5 47 + 10-25 = (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47 - j0.567 = 12.48 -2.61
+
1 jω C
U
1 jω C
I C jX C I C
U
U
-
IC=w CU
i=u+90°
IC
相量模型 B C = w C， 称为容纳，单位为 S
u