北京十一学校2012级三年制初中第9学段期中考试模拟试卷参考答案和评分标准

北京十一学校2012级三年制初中第9学段期中考试模拟试卷（2014.10）数学总分：120分 时间：120分钟 模拟试卷设计者： 刘海东一、选择题：（每小题4分，共32分） 1． B 2． D 3． D 4． D 5． B 6． C 7． D 8． A二、填空题：（每题4分，共16分） 9． 18m ≥-且1m ≠ 10．1311.（－4，5） 12．43π；2π 评分标准：每空2分 三、解答题（每题5分，共30分） 13．解方程： )12()24(2+=+x x x 解： 2(42)(21)0x x x +-+=……….…………….……………….1分 2[2(21)](21)0x x x +-+= 24(21)(21)0x x x +-+=(21)[4(21)]0x x x ++-=(21)(74)0x x ++=……….…………….……………….3分 210x +=或740x +=……….…………….………………4分∴ 112x =-或 247x =-……….…………….………………5分 14．已知：如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连结BD 和CE . 判断BD 和CE 之间的关系，并证明你的结论.答：BD ＝CE 且BD ⊥CE ……….…………….…………1分 证明 ：∵△ABC 是等腰直角三角形且∠BAC ＝90° ∴AB ＝AC 同理 AD ＝AE∵∠BAC ＝∠DAE ＝90° ∴∠BAD ＝∠CAE 在△ABD 和△ACE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ACE （SAS ） ……….…………….………… 3分 ∴BD ＝CE ……….…………….………… 4分 ∠ABD ＝∠ACE设BD 和CE 相交于M 、AC 和BD 相交于N∵∠CNM ＝∠BNA ，∠ABD ＝∠ACE ∴∠CMN ＝∠BAC ＝90°∴BD ⊥CE ……….…………….…………5分 【若没有说明垂直关系并证明扣2分】 15．已知关于x 的一元二次方程21(31)04a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式2121a a a-++的值. 解：由已知，二次方程21(31)04a x ax --+=的判别式为0. 即 2(31)0a a --=. 即 2310a a -+=.……….…………….…………………………….2分 所以有 221a a a -+=,213a a +=.……….…………….…………………………….3分代入2121a a a-++，得 221113213a aa a a a a a a+-++=+===.………….……………………………. ………… 5分16．如图，已知BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF 交AD 于E ，交⊙O 于F ，且AE ＝BE （1）求证：AB AF =（2）如果35ED BE =，AB =AD 长。

（1） 证明：连结AC∵BC 为⊙O 的直径∴∠BAC ＝90°…….…………1分 ∴∠2＋∠3＝90° ∵AD ⊥BC ∴∠C ＋∠3＝90°∴∠2＝∠C ……….…………….………… 2分 ∵AE ＝BE ∴∠2＝∠1 ∴∠1＝∠C∴AB AF = ……….…………….………… 3分（2）解：∵AD ⊥BC∴∠EDB =90° 在Rt △BED 中，35ED BE =， 设3DE k =（0k >）5,4BE k BD k == ……….…………….…………4分 ∴5AE BE k == 在Rt △ADB 中，()22222216880AB BD AD k k k =+=+=∴(2280k =，解得1k =，∴88AD k == ……….…………….………… 5分CB17．（1）在下图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案．（2）如上图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一个深水井泵站，向三个村庄送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法，写出结论）答案：（1）评分标准：完全画正确得2分（2）∴水泵站应建在点O处评分标准：每画对一条中垂线得1分，结论1分，共3分。

18．某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可以售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售量，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。

经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可以多售2件。

商场若要平均每天赢利1200元且使顾客获得最大优惠，每件衬衫需要降价多少元？解：设每件衬衫需要降价x元，根据题意得：(202)(40)1200x x+-=……….…………….………2分解得：110x=或220x=……….…………….………3分要使顾客获得最大优惠20x=……….…………….………4分答：每件衬衫需要降价20元。

……….…………….………5分四、解答题：（第19、20题每题5分，第21题6分，第22题4分，共20分） 19．已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的网格中画出它的图象； （2）说明对于任意实数m ，点2()M m m -，是否在这个二次函数的图象上．解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为2(1)2y a x =++， 又点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，在它的图象上，可得322a =+，解得12a =-．………………………. 1分所求为21(1)22y x =-++．…………………… 2分令0y =，得1213x x ==-，画出其图象如右．……………………………….. 3分 （2）若点2(,)M m m -在此二次函数的图象上，则221(1)22m m -=-++．………………………4分得2230m m -+=．方程的判别式：41280-=-<，该方程无实根．所以点M 2(,)m m -不在此二次函数的图象上．………………………5分20．一个袋中有3张形状大小完全相同的卡片，编号为1，2，3，先任取一张，将其编号记为m ，再从剩下的两张中任取一张，将其编号记为n .（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况；（2）求关于x 的方程20x mx n ++=有两个不相等实数根的概率. 解：（1）依题意画出树状图如下……………………….2分分（2）当240m n->时，关于x的方程20x mx n++=有两个不相等实数根，而使得240m n->的m，n有2组，即(3，1)和(3，2). ………………………….4分则关于x的方程20x mx n++=有两个不相等实数根的概率是1 3 .∴P（有两个不等实根）=13 (5)分21．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）设⊙O半径为r，求图中阴影部分（由线段DF、EF、弧DE围成）的面积（用含r代数式表示）．21.（1）证明：连接DO.∵ABC∆是等边三角形，∴∠C=60°，∠A=60°，∵OA=OD，∴OAD∆是等边三角形.∴∠ADO =60°.…………………….…1分∵DF⊥BC，∴∠CDF =30°.∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF= 90°.…………………….… 2分∴OD⊥DF，且OD为⊙O的半径∴DF为⊙O的切线. ……………………3分（2）连结OE∵由（1）可知AD＝OD＝BE＝r，∴CD＝CE＝r，在Rt△DFC中，∠CDF＝30°，∴ CF ＝12r ，DF， ∴ EF ＝12r ……………4分 ODFE ODE S S S 阴影梯形扇形＝－＝2111226r r r π⎛+- ⎝⎭22186r π=-…………6分【或写成2S =】 22．阅读理解小明在学完旋转后，对于三种全等变换（平移、轴对称、旋转）之间的关系做了如下探究：他利用几何画板先作出△ABC 关于直线m 的轴对称图形△A /B /C /，再作出△A /B /C /关于直线n 的轴对称图形△A //B //C //，观察发现随着直线m 和n 的位置关系变化，△ABC 和△A //B //C //之间的位置关系是不同的. （1）如图1，当直线m ∥n ，且之间的距离为a 时，△ABC 和△A //B //C //之间是 变换关系，线段AA //＝ .（2）如图2，当直线m 和n 相交于O 点，且夹角为α时，△ABC 和△A //B //C //之间是 变换关系，当α＝90°时，△ABC 和△A //B //C //之间关系是 。

图2图1B''A答案：（1） 平移 ；2a ；（2）旋转 ，中心对称 评分标准：每空1分五、解答题：（第23、24题每题7分，第25题8分，共22分）23. 已知：抛物线2(32)2(2)y kx k x k =+-+-（1k ≥）．（1）求证：抛物线与x 轴总有两个交点；（2）当k 取何整数时，抛物线与x 轴交于整数点（不包括原点）。

（3）在k 满足（2）的情况下，方程2(32)2(2)kx k x k x b +-+-=+有四个不相等的实数根时，直接写出b的取值范围.解：（1）2(32)42(2)k k k ∆=--⨯- 229124816k k k k =-+-+ 244k k =++2(2)k =+ ∵1k ≥ ∴20k +≠ ∴2(2)0k ∆=+>∴ 抛物线与x 轴总有两个交点；.……………2分 （2） 令0y =，则2(32)2(2)0kx k x k +-+-=解得：12x =-或2221k x k k-==-.……………3分 ∵1k ≥且2x 为整数∴1k =或2k =.……………4分 当1k =时，21x =符合题意 当2k =时，20x =不符合题意总之，当1k =时，抛物线与x 轴交于整数点（不包括原点）.……………5分（3）23b <<.………………………7分 〔解析〕由（2）知，1k =，∴原方程可化为22x x x b +-=+ 设212y x x =+-，2y x b =+画出两个函数图象如下图经计算，当2b =时，2y x b =+经过点（－2，0）当3b =时，2y x b =+与抛物线22y x x =--+相切由图象可知，当直线y x b =+与此图象有四个公共点时，23b <<.∴当原方程有四个不相等的实数根时， b 的取值范围是23b <<………………………7分24． 已知：六边形ABCDEF 中，AB ＝AF ，BC ＝CD ，DE ＝EF ，∠B ＋∠D ＋∠F ＝360° 求证：2ABCDEF ACE S S ∆=FEDCB AGFEDCBA证明：作∠F AG ＝∠BAC ，截取AG ＝AC ，连结FG 、EG ……………1分在△ABC 和△AFG 中AB AF CBA FAG AC AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△AFG （SAS ）……………2分 ∴∠AFG ＝∠B FG ＝BCA B C A FG S S ∆= ∵BC ＝CD ∴FG ＝CD∵∠B ＋∠D ＋∠AFE ＝360°，∠AFG ＝∠B ∴∠AFG ＋∠D ＋∠AFE ＝360° ∵∠AFG ＋∠EFG ＋∠AFE ＝360° ∴∠D ＝∠EFG 在△CDE 和△GFE 中CD GFD GFE DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE ≌△GFE （SAS ）……………4分 ∴CDE EFG S S ∆= CE ＝GE在△ACE 和△AGE 中AC AG CE GE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△AGE （SSS ）……………5分 ∴ACE AGE S S ∆∆=∵ABCDEF ACE ABC CDE AEF S S S S S ∆∆∆∆=+++ ∴ABCDEF ACE AFG EFG AEF S S S S S ∆∆∆∆=+++ABCDEF ACE AGE S S S ∆∆=+2ABCDEF ACE S S ∆=……………7分25．如图，已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点A 的横坐标是－5． （1）求C 1的解析式；（2）如图（1），将抛物线C 1绕点B 旋转180°后得到抛物线C 2，抛物线C 2的顶点为M ，求点M 坐标和C 2的解析式；（3）如图（2），点Q 是x 轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 3．抛物线C 3的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当△PNF 是等腰三角形时，求点Q 的坐标．解： （1）∵抛物线C 1经过点A （－5，0）∴()20525a =-+-解得，a ＝59∴抛物线C 1的解析式()25259y x =+-……………2分 （2）令0y = 则()252509x +-= ∴()25259x += ∴()229x +=23x +=±解得：11x =或25x =-∵点A 在点B 的左边∴点B 坐标为（1，0）……………3分设M 坐标为（m ，n ）∵点P 、M 关于点B 中心对称 ∴22P M B PM B x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ∴212502m n-+⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩解得：45m n =⎧⎨=⎩ ∴顶点M 的坐标为（4，5）……………4分∵抛物线C 1和抛物线C 2关于点B 中心对称∴抛物线C 2的解析式为()25459y x =--+……………5分 （3） 设Q 坐标为（m ，0）∵抛物线C 3由C 1绕x 轴上的点Q 旋转180°得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称∵P 坐标为（－2，－5）∴N 坐标为（2m ＋2，5）∵EF ＝AB ＝6 且点E 在点F 的左边∴点F 坐标为（2m ＋5，0）∴NF =PF ==NP ==∵△PNF 是等腰三角形，∴可分下列三种情况来讨论：①若NF ＝PF=解得：12m =-，25m =-此时Q 坐标为(2,0)Q -或(5,0)Q -……………6分经检验当Q坐标(5,0)-时，P、N、F三点共线，不符合题意舍去。