欧拉方程求解线性非齐次高阶方程的特解待定系数法

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非齐次方程的解法

n3 3a2
]
(1
e
n a
l
2
t
) sin
n
l
x
若f(x，t)仅含x，例如f(x)，还有更简便方法: ut a2uxx f ( x), 0 x l, t 0
设方程的解为
u( x, t) v( x, t) w( x)
则
vt
a 2v xx
v |x0 0, v |xl 0
vt
|t 0
满足:
Vtt a2Vxx f ( x, t ) V |x0 V |xl 0
(a)
V |t0 Vt |t0 0
而W(x，t)表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它
满足:
Wtt a2Wxx W |x0 W |xl 0
(b)
W |t0 ( x), Wt |t0 ( x)
若V是(a)的解，W是(b)的解，则u=V+W一定就是原定解问题的解。
t0
u |t0 ( x), ut |t0 ( x) 0 x l
弦的振动可以分成两部分，一是强迫力，一是初始状态，所以此时振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成。
可设解为:
u( x, t) V ( x, t) W ( x, t) 其中V(x，t) 表示仅由强迫力引起弦振动的位移,它
n
f ( x, t) fn(t)sin
n1
l
x
(d)
其中
fn (t )
2 l
l
n
f ( x, t)sin
0
l
xdx
将(c)及(d)代入(a)的第一个式子,得到:
n1
vn(t
)
(
anπ l

常系数线性非齐次方程组特解的求法—待定系数法

+
⎜⎛ ⎜
−4 2
⎟⎞ ⎟e
t的一个特解
.
dt ⎜⎝ 1 −17 12⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠
解Q特征方程为
4－λ − 9
5
det(A－λE) = 1 −10－λ 7 = −(λ－1)(λ－2)(λ－3) = 0
1 −17 12－λ
-2-

∴ λ = 1是A的单特征根.
由定理3，令X ∗
=
⎜⎛ x ⎟⎞ ⎜ y⎟,
⎜⎝ z ⎟⎠
设特解为X∗ = (D1t 2 + D2 t + D3 )e3t (D1, D2 , D3为待定向量),
-4-

记 ⎜⎜⎛
3 ⎟⎞ − 1⎟
=
B1，
⎜⎝ 2 ⎟⎠
将特解代入原方程组：
（2D1t + D2）e3t + 3(D1t 2 + D2 t + D3 )e3t = A(D1t 2 + D2 t + D3 )e3t + B1e3t 两边约掉 e 3t ,比较 t的同次幂系数可得：
可见欲使上面矩阵的秩为 2，应取 k=14.
∴可得 d 01 = 14, d 02 = 28, d 03 = 42, 代入第二组可得：
⎧ ⎪ ⎨
3d11－9d12 d11－11d12
+ 5d13 + 7d13
= =
18 26
⎪⎩d11－17d12 + 11d13 = 41
解得： d12
=
4d13－15 6
解 Q 方程组的特征方程为
det(A－λE) =
1－λ 1 －1 1－λ
= (1－λ)2
+ 1 =0

待定系数法裂项

待定系数法裂项一、概述待定系数法是一种求解非齐次线性微分方程的常用方法之一。

它的基本思想是，假设方程的解为某些未知函数的线性组合，然后代入原方程中，通过比较各项系数得到这些未知函数的值，从而得到原方程的通解。

在待定系数法中，裂项是指非齐次项为多个函数之和的情况。

例如，对于一个形如y''+2y'+y=x^2+e^x的非齐次线性微分方程来说，它的非齐次项就是x^2和e^x两个函数相加而成，因此需要采用裂项的方法来求解。

二、裂项方法1. 一般裂项法对于形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的非齐次线性微分方程来说，在待定系数法中采用一般裂项法可以得到以下步骤：（1）先考虑f(x)中只含有一个函数g(x)时的情况。

根据g(x)所属类型选择相应的猜测函数u(x)，并将其代入原方程中。

（2）如果u(x)恰好满足原方程，则u(x)就是原方程的一个特解；否则需要将u(x)与其导数和二阶导数的线性组合相加，得到另一个猜测函数v(x)，再将v(x)代入原方程中。

（3）重复上述过程，直到得到一个满足原方程的猜测函数。

（4）将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。

2. 叠加裂项法对于形如y''+p(x)y'+q(x)y=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)的非齐次线性微分方程来说，在待定系数法中采用叠加裂项法可以得到以下步骤：（1）先分别考虑f1(x)、f2(x)、...、fn(x)中只含有一个函数g1(x)、g2(x)、...、gn(x)时的情况。

根据各个g(x)所属类型选择相应的猜测函数ui(x)，并将其代入原方程中，得到对应的特解yi(xi)(i=1,2,...,n)。

（2）将所有特解相加，即可得到原方程的通解。

三、常见猜测函数在待定系数法中，选择合适的猜测函数是关键之一。

下面列举几种常见类型及其对应的猜测函数：1. 常数型：f(x)=C此时猜测函数为u(x)=A。

常微分方程3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法

3
d 2x dx L[x] = 2 + p + qx = b0 + b t +L+ bntn. 1 dt dt 当 q = 0, p ≠ 0 时, 零为方程的单特征根，令为方程的单特征根，
ϕ(t) = t(B0 + B1 +L+ Bnt )
n
为方程的二重特征根，当 q = 0, p = 0 时, 零为方程的二重特征根，
x(t) = eα t y(t), 则方程变为: 则方程变为: 做变换
d2 y dy 2 n + (2α + p) + (α + pα + q) y = b0 + b1t +L+ bnt . 2 dt dt B0 + B1t +L+ Bnt n , α2 + pα + q ≠ 0, ϕ(t) = t(B0 + B1t +L+ Bnt n ), α2 + pα + q = 0,2α + p ≠ 0, 2 t (B0 + B1t +L+ Bnt n ), α2 + pα + q = 0,2α + p = 0,
l = max{m, n}
不是对应齐次方程特征根时取对应齐次方程的当 α + iβ 不是对应齐次方程的特征根时,取 k = 0. 特征根时当 α + iβ 是对应齐次方程的特征根时,取 k =1.
14
的通解. 例5 求 x'' + x' − 2x = et (cos t −9;' + x' − 2x = 0的通解特征方程

常系数非齐次高阶线性微分方程

整个链条滑过钉子,即 x 8
2
代入上式得 t 3 ln(9 80) (秒)
g
9
2、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路: 第一步将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
解设链条的线密度为,经过时间t, 链条下滑了x 米, 8m 10m
则由牛顿第二定律得
m d 2 x (10 x)g (8 x)g,
o
dt 2
即 x g x g , x(0) 0, x(0) 0.
x
99
解得 x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
11
第二步求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
6
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0

1 2
,
b1

1
因此特解为
y*
形式e为xPym*(x)e xQm (x) . 3

线性非齐次常系数方程待定系数法

bnt n
)et .（4.3.7）
做变换 x(t) et y(t), 则方程（4.3.7）变为
d2y dt 2

(2

p)
dy dt

(
2

p

q) y

b0

b1t

bnt n.
由方程（4.3.2）的结果, 我们有(4.3.8) 有如下的
特解.
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所以方程的特解 (t) 形式为
(t ) t k D(t )e( i )t t k D(t )e( i )t t k [P(t) cos t Q(t) sin t]et , (k 0,1)
其中 D(t) 为t 的m次多项式,
P(t) 2 Re{D(t)},Q(t) 2 Im{D(t)}.
原方程的通解为
x

c1et

c2e5t

3 4
tet

t2

12 5
t

62 . 25
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• 作业：习题4.2： 2(6,7,8,9,14,15,18,20)
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B2 4, B1 4, B0 2.
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因此, 原方程的一个特解为
(t) 2 4t 4t 2.
例2 求方程
d2x dt 2

dx dt

4t 3
的通解.
解: 对应的齐次方程的特征根为 1 0, 2 1.
因此, 齐次方程通解为
x(t) c1 c2et .

非齐次线性微分方程的几种解法

摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。

关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (6)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (9)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (11)2.3拉普拉斯变换法 (13)总结 (15)参考文选 (16)致谢 (17)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。

非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。

这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。

下面我们主要介绍求特解的方法。

1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= （1） ()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= （2）定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。

定理2：方程（2）的基本解组一定存在。

方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。

定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。

定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。

目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。

下面我们研究几个例子。

例：方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x xy x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5：设12,,,n y y y 是方程（2）的任意n 个解。

高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法

高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程的解法比一般的非齐次微分方程复杂的多，而采用正规的分步法或积分复原法来求解，效率低下易出现错误，所以需要采用非常规的解法来加快求解的效率，提高解的准确性。

经过一系列的研究，目前已经形成了三种主要的非常规解法：
一是拉格朗日多元展开法。

该法是将微分方程展开成多元多项式求解，计算结果精确，但计算比较复杂，不适合大规模计算。

二是Kowalewsky-Trunov展开法。

该法是通过对称性质对“元胞”或者“子空间”进行展开，以求解非齐次线性微分方程，这一方法有很强的鲁棒性，同时可以有效避免数值计算错误。

三是Padé拆分法。

该法将线性常系数微分方程根据代数特性进行拆解和重新组合，从而达到快速精确求解的目的。

这三种非常规解法都具有自身独特的优点，以及不同的应用场景，有效的提高了求解高阶常系数线性非齐次微分方程的效率，也为科学研究提供了更好的解决方案。

欧拉方程的求解

欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1）的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1 方程（2）的通解为(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c 、2c 为任意常数）证明（i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则11K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3）的二重根，因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=,故 12()ln u x c x c =+.不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则11K x y =，22K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为1212K K x c x y c +=. （其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则 ()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+，()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然，12cos(ln )2y y x x αβ+= 和12sin(ln )2y y x x iαβ-=是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=,其根为： 121K K ==,所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.解该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=，即 2280K K --=,其根为： 12K =-，24K =，所以原方程的通解为4122c y c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=.解该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=，即 2250K K ++=,其根为： 1,212K i =-±,所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =, （5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程 212(1)0K a K a +-+= （3）的两个根.具体求解方法：定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰. （7）证明因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令 2xy K y p '-=,代入方程（6）并整理，得1()K f x p x xp =-' 和 2K p y y x x '-=, 解之，得方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为 11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰, （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰, （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为 111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰ 证明（ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时，将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8）（iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=，再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+, 2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-, 将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=，特征根为 122K K ==,所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰ （其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =，21K =，所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2x x x y xy y -+='''的通解. 解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，特征根为 1,21K i =±,所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x x x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x （其中1c ，2c 为任意常数）在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论方程（2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c ，2c 为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''.（9）（其中1a ，2a ，3a 为常数）（9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10）特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=.（11）定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ . （12）证明根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数），将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x f x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是（13）式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（1）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=(iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明（i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根1,22K =得（14）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=（iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,对上式分部积分得（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3，取 11K =，将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理5（i ）的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到222250K K -+=，解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=，利用定理5（ii ）的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816xx x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得 1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=. (16）定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为]cos(ln k β120K K ==，3,41K i =-±，所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748.[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53.[9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.。

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4.3 欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法(How to Solve Euler equation, Use the method of undetermined coefficients to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE)[教学内容] 1. 介绍欧拉方程及其解法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法. 3. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法.[教学重难点] 重点是知道欧拉方程的特征方程，并能获得原欧拉方程的基本解组；如何运用待定系数法或常数变易法求解非齐次线性方程的特解；难点是如何由非齐次线性方程中f(t)的形式合适选择特解的形式.[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3 [考核目标]1. 能写出欧拉方程的特征方程的形式2. 能由欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组;3. 知道待定系数法求解非齐次线性方程的特解；4. 知道运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.1. 认识欧拉方程.(1) 称形如0qy px y''y'x 2=++为欧拉等量纲方程（Euler ’s equi-dimensional equation ），其中p 和q 都是常数.(2) 解法：令自变量替换te x =将原方程化为常系数方程：dt dy e (dx /dt)1dt dy dx dt dt dy dx dy t -=⋅=⋅=； dt dy dt dy xe dx dy x t ==-； )dxdt dt y d (e dt dy )dx dt e ()dt dy (e dx d dx y d 22t t t 22---+⋅-==； 2222t 2t 2222dt y d dt dy -)dx dt dt y d (e x dt dy )dx dt e (x dx y d x +=+⋅-=--；因此，原方程化为0qy dtdy1)(p dt y d 22=+-+，这是一个常系数线性微分方程. 令)x (y e y λλt==代入方程得到，方程为0q)1)λ(p (λe 2t =+-+λ（或0q p λ1)λ(λ=++-），称0q p λ1)λ(λ=++-为欧拉方程的特征方程.由此得到新方程的基本解组为tλtλ21e,e 或tλtλ11 te,e ，或)sin(),cos(t e t e tt ββαα.返回原变量得到欧拉方程的基本解组为21λλx ,x 或11λλx|x |ln ,x ，或|)|ln sin(|),|ln cos(x x x x ββαα.例52. 求解微分方程0y dxdyx dx d x222=+-y . 解：注意到这是一个欧拉等量纲方程，令λtλe x y ==，得到欧拉方程的特征方程为01λ1)-λ(λ=+-，解得01)(λ2=-. 于是1λ=为二重根.于是得到欧拉方程的基本解组为ttte ,e ，返回原变量为11x |x |ln ,x ，因此原欧拉方程的通解为R c ,c |,x |x ln c x c y 2121∈+=.例53 Find the general solution of the following equation: (1) 010y 3x y''y' x 2=++;Solution (1) Let λλtx e y ==，then the associated characteristic equation of Euler equation is0103λ1)λ(λ=++-. By solving the algebraic equation, we get 3i 12i62λ1,2±-=±-=. Then two dependent solutions to the new equation is sin(3t)e cos(3t),e tt--, and fundamental solutions to Euler equation is |)x |sin(3ln x |),x |cos(3ln x 11--.Therefore, the general solution is given by |)x |sin(3ln x c |)x |cos(3ln x c y 1211--+=,21c ,c are two independent variables.作业47. Find the general solution of each of the following equation: (1) 012y 2x y''y'x 2=-+;(2) 04y 3x y''y'x 2=+-; (3) 05y dxdy3x dx y d x222=++. 2. 非齐次线性微分方程特解待定系数方法求解（undetermined coefficients ’ method)（1）非齐次线性微分方程通解结构：考察二阶非齐次线性微分方程f(t)q(t)dt dx p(t)dt x d 22=++. 若(t) x (t),x 21为0q(t)dtdxp(t)dt x d 22=++的基本解组且(t)x *为原非齐次方程的一个特解，则原非齐次线性方程的通解为(t)x (t)x c (t)x c x (t)*2211++= 其中R c ,c 21∈. (一般地结论参见教材P127定理7) （2）待定系数方法求解非齐次方程的特解例54. 求解二阶非齐次方程(1)2t 6x dtdx dt x d 22=--; (2)2t dt xd 22=的一个特解.解：(1) 方程的特征方程为062=--λλ，得到2λ 3,λ21-==. 猜想：原方程具有如下形式特解：B At (t)x *+=（原因是2t C 经过两次求导最高次数为0，一次求导后最高次数为1，方程两边比较得到C=0），代入方程得到2t 6B 6At A =---，比较系数得到⎩⎨⎧=--=-06B A 26A ，得到181B ,31A =-=。

因此所求原方程的一个特解为181t 31-(t)x *+=. (2) 由题意可设特解形式为23*Bt At (t)x +=，2B 6At dtx d 2Bt,3At dt dx 2*22*+=+=（原因是2Ct 经过两次求导是常数，不可能等于2t ），代入原方程并比较t 的系数得到，2t 6At =，得到0B ,31A ==. 因此，所求特解为3*t 31(t)x =.小结：考察f(t)q(t)dtdxp(t)dt x d 22=++，c bt at f(t)2++=，（1）若0=λ不是相应齐次方程特征方程的特征根，则可设特解形式为C Bt At (t)x 2*++=；(2)若0=λ是微分方程的特征方程的k 重特征根，则可设特解形式为 C)Bt (At t (t)x 2k*++=.作业48 求方程13t 3y dtdy2dt y d 22+=--的通解.例55. 求解二阶非齐次方程(1) t 22e 2t 6x dt dx dt x d =--; (2)3t22e 2t 6x dtdx dt x d =--的通解. 解：(1) 方程的特征方程为06λλ2=--，特征根为1λ 3,λ21-==. 令y e x t=，则原方程可化为2t y q ~dt dy p ~dt y d 22=++. 由上例分析知，新方程具有如下形式特解B At y *+=，于是原方程具有形式特解B)(At e x t*+=， A e B)(At e dtdx t t *++=， A,e 2B)(At e t d x d tt 2*2++=代入原方程得到，⎩⎨⎧=---+=--06B A B 2A B 26A A A ，得到181B 1/3,A -=-=. 所求特解为)181t 31(-e x t*-=. 因此，原方程的通解为)181t 31(-e e c e c x t 2t -23t 1*-++=，R c ,c 21∈.(2) 方程的特征方程为06λλ2=--，特征根为1λ 3,λ21-==. 令y e x t=，则原方程可化为2t y q ~dtdy p~dt y d 22=++. 由前面齐次线性方程知识和上例分析知，新方程的特征方程具有零特征根且重数为k=1，于是新方程具有如下形式特解B)t(At y *+=，于是原方程具有形式特解Bt)(At e B) t(At e x 23t3t*+=+=，B)2At Bt 3(3At e dtdx 23t *+++=， 2A),6B 12A)t 9B ((9At e )A 23B (6At e 3B)6At 9Bt (9At e td x d 23t 3t 23t 2*2++++=++++++=代入原方程得到，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=---+=-0B 2A 6B 26B A 2B 3A 219B 06A 3A -9A ，得到252B 1/5,A -==. 所求特解为)251t 51(e x 3t *-=.作业49 求方程(1) 3te y 3y''2y'-=++; (2) 1)(3t e 3y dtdy2dt y d t 22+=---的通解.例55. 求解二阶非齐次方程(1) cos(2t)4x dt dx 4dt x d 22=++; (2) cos(2t)e 4x dtdx4dt x d 2t 22=++ 的通解. 解：(1) 方程的特征方程为0442=++λλ，得到二重根22,1-=λ，于是相应的齐次方程的基本解组为2t 2tte ,e--. 改写)Re(e cos(2t)f(t)i 2t ==.考察新方程 t 2i 22e 4x dtdx4dt x d =++，注意到i 2不是相应齐次方程特征方程的特征根，因此，由上例可设新方程的形式特解为 t2i *Aez =，于是 t 2i 22*2 t 2i *Ae 2i)( td z d ,2iAe dt dz ==，代入方程得到，14A 8Ai 4A =++-，于是i 818i 1A -==，因此特解为cos(2t)81sin(2t)81z *i -=.注意到)Re(z x **=为方程)Re(e cos(2t)4x dtdx4dt x d 2it 22==++的解，因此，所求方程的一个特解为sin(2t)81x *=. 因此，原方程的通解为sin(2t)81te c e c x 2t 22t 1++=--，R c ,c 21∈.(2) 方程的特征方程为0442=++λλ，得到二重根22,1-=λ，于是相应的齐次方程的基本解组为2t 2tte ,e--. 改写)Re(e cos(2t)e f(t)i 2t)(22t +==.考察新方程)t 2i (222e 4x dtdx4dt x d +=++，注意到2i 2+不是相应齐次方程特征方程的特征根，因此，由上例可设新方程的形式特解为 t2i)(2*Aez +=，于是t 2i 22*2 t 2i *Ae 2i)2( td z d ,2i)Ae 2(dt dz +=+=，代入方程得到，14A 8iA 8A 8Ai =+++，于是40016i-12i)61(121A =+=，因此特解为cos(2t))]251sin(2t)1003i(sin(2t)251cos(2t)1003[e z 2t *-++=.注意到)Re(z x **=为方程)Re(e cos(2t)e 4x dtdx4dt x d 2i)t (22t 22+==++的解，因此，所求方程的一个特解为sin(2t)]251cos(2t)1003[e x 2t*+=. 因此，原方程的通解为sin(2t)]251cos(2t)1003[e te c e c x 2t 2t 22t 1+++=--，R c ,c 21∈.作业50 求方程(1) t cos e y 32y''y't-=+-的通解.。