运筹学。 表上作业法
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运筹学运输问题
当出现检验数<0，证明原初始方案或改 进方案还不是最优→如何进行基变量的 调入调出？
给检验数<0的非基变量赋值，越大 越好。但要考虑产销平衡问题。
11
8、运输问题的校验方法2 —位势法
利用行位势和列位势两类数据，将检验数与 单位运价联系起来
12
检 验 数 方 程
13
λ
= c – u – v ij ij i j
A、位势法求检验数的步骤
第一步：根据最小元素法或Vogel法确定的初始运量表做 一表格，将基变量（或运量）数据替换成与之对应的单位 运价；（或对单位运价表进行修改，只保留与基变量对应的运价信
息）
第二步：在右侧增加一列，下侧增加一行，用于填写位势 数据。右侧表示行位势ui（i=1，2...m），下侧表示列位 势vj（j=1，2...n）； 第三步：对于基变量对应的单位运价处，ui+vj=cij。随便 确定任一个位势，即可求解全部行和列位势； 第四步：在非基变量对应的空格处，计算检验数λij=cij（ui+vj）。并将检验数填入检验数表中； 第五步：判断检验数λij是否大于0，如是，则表示较优。 如不是，则需要调整基变量。 第六步：基变量的调整采用闭回路法进行。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 0 A3 1 3 x 14 ②偶点 12 2
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
北邮运筹学ch33 表上作业法.ppt
Transportation Simplex Method
2020/1/31
Page 12 of 36
【解】 求行差额 ui, i=1,2,3及列差额vj,j=1,2,3,4.计算公式为 ui= i行次小运价—i行最小运价 vj= j列次小运价—j例最小运价
销地
B1
B2
B3
B4
ai ui
产地
A1
5
×
这里λ34<0，说明这组基本可行解不是最优解。
只要求得的基变量是正确的且数目为m+n－1，则某个非基变量的闭 回路存在且唯一，因而检验数唯一。
北京邮电大学 运筹学
§3.3 表上作业法 Ch3 Transportation Problem
Transportation Simplex Method
2020/1/31
Page 5 of 36
产地 销地
A1
A2
A3 未满足
量
B1
B2
B3
可发量
20 8
15 4
25 7
642005
6 30
3
4 30 0
10
7
320 0
5
410 5
8
20 5
100
100
北京邮电大学 运筹学
§3.3 表上作业法 Ch3 Transportation Problem
810 5 10
C
25
115
20
15 15
8 C 215
15
510 10
15
20
15
前一种按最小元素法求得，总运费是Z1=10×8+5×2+15×1=105， 后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6，如果不先调运x21， 到后来就有可能x11≠0，这样会使总运费增加较大，从而先调运x21， 再是x22，其次是x12这时总运北费京邮Z电2=大1学0×运筹5学+15×2+5×1=85<Z1。
管理运筹学第七章运输问题之表上作业法
10 （12）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
管理运筹学-02-7运输问题
运量之和表示从该供应地运往各需求地的运量之和，它 应该等于该供应地的供应量；同样，每一列运量之和表 示从各供应地运往该需求地的运量之和，它应该等于该 需求地的需求量。
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运筹学运输问题
销地 产地
A1 A2 A3
销量
销地 产地
A1 A2 A3 两最小 ① 元素 ② 之差 ③
④ ⑤
Table3 产销平衡表
B1
B2
B3
5
3 6
3
6
5
Table4 单位运价表
B1
B2
B3
B4
3
11
3
10
1
9
2
8
7
4
10
5
2
5
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
2
B4 产 量
2
7
1
4
3
9
6
两最小元素之差 ①②③④⑤ 0 0 070 1 1 1 60 12
❖矩阵的元素均为1或0；
❖ 每一列只有两个元素为1，其余元素均为0；
❖ 列向量Pij =(0,…，0，1，，…,0,1,0,…0)T，其 中两个元素1分别处于第i行和第m+j行，ei+em+j。
❖ 将该矩阵分块，特点是：前m行构成m个m×n 阶矩阵，而且第k个矩阵只有第k行元素全为1， 其余元素全为0（k=1，…，m）；后n行构成m个 n阶单位阵。
0
2
A2
2
A3
9
B3
B4
1 12
注意:有时在闭回路调整中，在需要减少运量的地 方有两个以上相等的最小数。这样调整时在原先空格 处填上这个最小数，而有两个最小数的地方成了空格。 此时只需把其中之一变为空格，其余均补添0，使方案 中由数字格仍为m+n-1。（将为0的格当数字格看待）
2、位势法
❖ 闭回路法需要求每一个空格的检验数，这对 于大型的运输问题来说显得非常复杂。
《运筹学》胡运权清华版-3-02表上作业法
最大元素法
总结词
与最小元素法相反，最大元素法选择运价表中的最大元素作为初始方案。
详细描述
最大元素法的基本思想是从运价表中寻找最大的元素，并将其确定为初始方案。在运价表中，最大的 元素可能是运输量最大的货物或运输距离最长的路线。这种方法可能会优先考虑大货物或长距离运输 ，但同样可能不是最优解，因为它没有考虑到整个运输网络的整体优化。
100%
稳定性
最优解应该是相对稳定的，即在 微小扰动下不会发生大的变化。
80%
可行性
最优解必须满足实际操作的可行 性，如运输量不能超过供应量和 需求量。
迭代终止条件
达到最大迭代次数
可以设定一个最大迭代次数， 当达到该次数时终止迭代。
运输成本收敛
如果连续几次迭代的运输成本 变化很小，可以认为已经收敛 ，终止迭代。
03
方案的调整
闭回路法
要点一
总结词
通过检查闭回路来调整方案，以使运输费用最小化。
要点二
详细描述
闭回路法是一种常用的运输方案调整方法。在运输问题中 ，如果发现某个产地的供应量大于需求量，或者某个销地 的需求量大于供应量，就可以通过构建闭回路来调整运输 方案。具体来说，就是在供需不平衡的地点之间构建一个 闭回路，将多余的供应量或不足的需求量通过闭回路进行 调整，以使运输费用最小化。
适用于解决产销平衡和产销不平衡的运输问题，特别是当运输问 题规模较大时，使用表上作业法可以快速找到最优解。
表上作业法的应用场景
物流规划
在物流规划中，表上作业法可以用于解决货物运输 的最优路径、运输成本等问题。
资源配置
在资源分配问题中，表上作业法可以用于确定资源 的最优调配方案，以最小成本满足需求。
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19
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
x23 c23-(u2+v3)=0 即2-(u2+v3)=0 x34 c34-(u3+v4)=0 5-(u3+v4)=0 x21 c21-(u2+v1)=0 1-(u2+v1)=0 x32 c32-(u3+v2)=0 4-(u3+v2)=0 x13 c13-(u1+v3)=0 3-(u1+v3)=0 x14 c14-(u1+v4)=0 10-(u1+v4)=0 由u1=0可求得 u2=-1,u3=-5,v1=2,v2=9,v3=3,v4=10
8
B2
④
B3
⑤
B4
销地 B1 产地 3 A1
A2
11 9 4
3 2 10
10 8 5 [3],2
0,0,7 1,1,6 1,2
1 7 2,2
A3
[5] 1,1
初始调运方案 销地 B 1 产地 A1
A2
B2
B3
B4
产量 7 4 9
9
5
2 1
3 6
A3
3
销量
3
6
5
6
2-2 最优解的判别 判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数 cij-CBB-1Pij，i, j∈N。因运输问题的目标函数是 要求实现最小化，故当所有的cij-CBB-1Pij ≥0 时，为最优解。 1.闭回路法 在给出调运方案的计算表上，从每一空格(非基 格)出发，用水平或垂直线向前划，当碰到一 数字格(基格)时转90°后，继续前进，直到回 到起始空格为止。闭回路如图所示。 从每一空格出发一定存在且可以找到唯一的闭 回路。注意：对于每个闭回路，除该空格外，其 余顶点都在有数字格（基格）。 10
。
18
2.3 改进的方法——闭回路调整法 选择负检验数中最小的检验数，以其对应的空 格(非基格)为调入格，具体步骤如下： 第一步，以 xij 为换入变量，找到运输表中的闭 回路； 第二步，以非基格 (Ai , Bj) 为第一个奇数顶点， 沿闭回路对其顶点依次编号； 第三步，闭回路所有偶数顶点中，找出运输量 最小的顶点，该最小运输量为调整量θ，该顶 点对应的变量为换出变量； 第四步，闭回路所有奇数顶点都加上调整量θ， 所有偶数顶 点都减去调整量θ，得出新的运 输方案。
9
5
销量
3
6
5
6
附加说明：
• 每次安排调运量时，总有某一产地的产量已被 全部调出或某一销地的销量已被全部调入，此 时要将该产地所在行或该销地所在的列在从单 位运价表中划去，如果在某次安排调运量时， 同时有一个产地的产量和一个销地的销量被全 部调出（入），此时，既要划去该产地所在的 行，又要划去该销地所在的列，为了保证有数 字格（基格）为m+n-1个，必须在所划去的行 与列的其它格上填写一个0，并将其视为基格。
15
基变量 xij 的检验数σij=cij-(ui+vj)=0， 共计m+n-1个方程， m+n个未知数 令u1 = 0 ( ui , vj中的任一个取任意数均可)，可以决定所有ui , vj
例1的由最小元素法得到的初始解中 x23，x34，x21，x32，x13，x14是基变量，对应的检验数：
基变量 检验数
以下是例3-1利用最小元素法得到的初始调运方 案，具体过程如图表所示。
4
销地 B1 产地 3 A1
A2
④ B2 11 9 4 6
B3
B4
产量
7 4 9 ⑤
3 2 10 5
10 8 5 6
1 7 3
A3
销量
初始调运方案 销地 B 1 产地 A1
A2
B2
B3
B4
产量 7 4
4 1 6
3
3
A3
3
成了以(A1，B1)空格为起点，其他为数字格的闭
回路。
12
经过这样的调整总运价改变的数值为： σ11=3-3+2-1= 1 销地 产地
B1
(+1) (-1) 3
B2
3 1 7 11 9
B3
(-1)
B4
3 10 3 8
产量
7 4
A1
A2
4
2 1 (+1)
10 5
A3
销量 3
6
6
4
3
6
5
9
13
2. 位势法
B2
11 (2) 9 (2) 4
B3
3 (0) 2 (1) 10
B4
10 (0) 8 (0) 5
ui
0 -2
A1 A2
A3
(9)
(0)
(12)
(0)
-5
vj
3
9
3
10
由于所有检验数均非负，现行方案已是最优方案。
21
2.4 表上作业法计算中可能出现如下情况 1. 无穷多最优解 所有变量检验数≥0，某个非基变量(非基格) 检验数=0 。 比如，例1最优解，x11检验数为0，经闭回路 调整后得到的新解仍是最优解。 2. 退化解 最优解中存在某些基变量的值为零。
22
6
2. Vogel法
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，
有时造成在其他处要多花几倍的运费。伏
格尔法也考虑次小运费，如不能按最小运
费就近供应，就考虑次小运费，最小运费
与次小运费差额越大，说明不能按最小运 费调运时，运费增加越多。因而对差额最 大处，优先采用最小运费调运。
7
• 伏格尔法的步骤是： 第一步：分别计算出各行和各列的最小运费和次最小 运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。 第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或 列中的最小元素，确定调运关系，划去单位运价表中 相关的行或列。 第三步：对未划去的元素再分别计算出各行、各列的最 小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和 最下行。重复第一、二步。直到给出初始解为止。
3 (0) 2 (0) 10 (12) (-1) (0)
10
0 -1 -5
8
5 （0）
2
9
3
10
17
关于位势法的补充说明 • 利用位势法计算的各空格的检验数与利用闭回 路法计算的检验数是一致的。例如，计算空格 • (A1,B1)的检验数时，空格(A1,B1)所对应的闭回 路的四个顶点依次为(A1,B1)，(A1,B3)，(A2,B3) • (A2,B1)，因此： • 按闭回路计算为σ11=c11-c13+c23-c21; • 按位势法计算为σ11=c11-(u1+v1)=c11-[(u1+v3) • -(u2+v3)+(u2+v1)]=c11-c13+c23-c21
14
位势法的步骤： • 1.将调运方案中的调运量改为相应的单位运价； • 2.确定各行(列)的行(列)势，使得基格的单位运 价cij恰好等于其所在行的行势(ui)与所在列的列 势(vj)之和； • 3.计算各空格的行势(ui)与势(vj)之和ui+vj ； • 4.计算各空格的检验数λij=cij-(ui+vj) 。
调运方案中空格所对应的闭回路
销地 产地
B1
B2
B3
4
B4
3
产量
7 4
A1
A2
3
1
A3
销量 3
6
6 5
3
6
9
11
闭回路法计算检验数的经济解释为：在已给 出初始解的表中，可从任一给B1。为了保持产销
平衡，就要依次作调整：在(A1，B3)处减少1吨，
(A2，B3)处增加1吨，(A2，B1)处减少1吨，即构
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
x23 c23-(u2+v3)=0 即2-(u2+v3)=0 x34 c34-(u3+v4)=0 5-(u3+v4)=0 x21 c21-(u2+v1)=0 1-(u2+v1)=0 x32 c32-(u3+v2)=0 4-(u3+v2)=0 x13 c13-(u1+v3)=0 3-(u1+v3)=0 x14 c14-(u1+v4)=0 10-(u1+v4)=0 由u1=0可求得 u2=-1,u3=-5,v1=2,v2=9,v3=3,v4=10
8
B2
④
B3
⑤
B4
销地 B1 产地 3 A1
A2
11 9 4
3 2 10
10 8 5 [3],2
0,0,7 1,1,6 1,2
1 7 2,2
A3
[5] 1,1
初始调运方案 销地 B 1 产地 A1
A2
B2
B3
B4
产量 7 4 9
9
5
2 1
3 6
A3
3
销量
3
6
5
6
2-2 最优解的判别 判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数 cij-CBB-1Pij，i, j∈N。因运输问题的目标函数是 要求实现最小化，故当所有的cij-CBB-1Pij ≥0 时，为最优解。 1.闭回路法 在给出调运方案的计算表上，从每一空格(非基 格)出发，用水平或垂直线向前划，当碰到一 数字格(基格)时转90°后，继续前进，直到回 到起始空格为止。闭回路如图所示。 从每一空格出发一定存在且可以找到唯一的闭 回路。注意：对于每个闭回路，除该空格外，其 余顶点都在有数字格（基格）。 10
。
18
2.3 改进的方法——闭回路调整法 选择负检验数中最小的检验数，以其对应的空 格(非基格)为调入格，具体步骤如下： 第一步，以 xij 为换入变量，找到运输表中的闭 回路； 第二步，以非基格 (Ai , Bj) 为第一个奇数顶点， 沿闭回路对其顶点依次编号； 第三步，闭回路所有偶数顶点中，找出运输量 最小的顶点，该最小运输量为调整量θ，该顶 点对应的变量为换出变量； 第四步，闭回路所有奇数顶点都加上调整量θ， 所有偶数顶 点都减去调整量θ，得出新的运 输方案。
9
5
销量
3
6
5
6
附加说明：
• 每次安排调运量时，总有某一产地的产量已被 全部调出或某一销地的销量已被全部调入，此 时要将该产地所在行或该销地所在的列在从单 位运价表中划去，如果在某次安排调运量时， 同时有一个产地的产量和一个销地的销量被全 部调出（入），此时，既要划去该产地所在的 行，又要划去该销地所在的列，为了保证有数 字格（基格）为m+n-1个，必须在所划去的行 与列的其它格上填写一个0，并将其视为基格。
15
基变量 xij 的检验数σij=cij-(ui+vj)=0， 共计m+n-1个方程， m+n个未知数 令u1 = 0 ( ui , vj中的任一个取任意数均可)，可以决定所有ui , vj
例1的由最小元素法得到的初始解中 x23，x34，x21，x32，x13，x14是基变量，对应的检验数：
基变量 检验数
以下是例3-1利用最小元素法得到的初始调运方 案，具体过程如图表所示。
4
销地 B1 产地 3 A1
A2
④ B2 11 9 4 6
B3
B4
产量
7 4 9 ⑤
3 2 10 5
10 8 5 6
1 7 3
A3
销量
初始调运方案 销地 B 1 产地 A1
A2
B2
B3
B4
产量 7 4
4 1 6
3
3
A3
3
成了以(A1，B1)空格为起点，其他为数字格的闭
回路。
12
经过这样的调整总运价改变的数值为： σ11=3-3+2-1= 1 销地 产地
B1
(+1) (-1) 3
B2
3 1 7 11 9
B3
(-1)
B4
3 10 3 8
产量
7 4
A1
A2
4
2 1 (+1)
10 5
A3
销量 3
6
6
4
3
6
5
9
13
2. 位势法
B2
11 (2) 9 (2) 4
B3
3 (0) 2 (1) 10
B4
10 (0) 8 (0) 5
ui
0 -2
A1 A2
A3
(9)
(0)
(12)
(0)
-5
vj
3
9
3
10
由于所有检验数均非负，现行方案已是最优方案。
21
2.4 表上作业法计算中可能出现如下情况 1. 无穷多最优解 所有变量检验数≥0，某个非基变量(非基格) 检验数=0 。 比如，例1最优解，x11检验数为0，经闭回路 调整后得到的新解仍是最优解。 2. 退化解 最优解中存在某些基变量的值为零。
22
6
2. Vogel法
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，
有时造成在其他处要多花几倍的运费。伏
格尔法也考虑次小运费，如不能按最小运
费就近供应，就考虑次小运费，最小运费
与次小运费差额越大，说明不能按最小运 费调运时，运费增加越多。因而对差额最 大处，优先采用最小运费调运。
7
• 伏格尔法的步骤是： 第一步：分别计算出各行和各列的最小运费和次最小 运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。 第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或 列中的最小元素，确定调运关系，划去单位运价表中 相关的行或列。 第三步：对未划去的元素再分别计算出各行、各列的最 小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和 最下行。重复第一、二步。直到给出初始解为止。
3 (0) 2 (0) 10 (12) (-1) (0)
10
0 -1 -5
8
5 （0）
2
9
3
10
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关于位势法的补充说明 • 利用位势法计算的各空格的检验数与利用闭回 路法计算的检验数是一致的。例如，计算空格 • (A1,B1)的检验数时，空格(A1,B1)所对应的闭回 路的四个顶点依次为(A1,B1)，(A1,B3)，(A2,B3) • (A2,B1)，因此： • 按闭回路计算为σ11=c11-c13+c23-c21; • 按位势法计算为σ11=c11-(u1+v1)=c11-[(u1+v3) • -(u2+v3)+(u2+v1)]=c11-c13+c23-c21
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位势法的步骤： • 1.将调运方案中的调运量改为相应的单位运价； • 2.确定各行(列)的行(列)势，使得基格的单位运 价cij恰好等于其所在行的行势(ui)与所在列的列 势(vj)之和； • 3.计算各空格的行势(ui)与势(vj)之和ui+vj ； • 4.计算各空格的检验数λij=cij-(ui+vj) 。
调运方案中空格所对应的闭回路
销地 产地
B1
B2
B3
4
B4
3
产量
7 4
A1
A2
3
1
A3
销量 3
6
6 5
3
6
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闭回路法计算检验数的经济解释为：在已给 出初始解的表中，可从任一给B1。为了保持产销
平衡，就要依次作调整：在(A1，B3)处减少1吨，
(A2，B3)处增加1吨，(A2，B1)处减少1吨，即构