初中数学用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关问题

一元二次方程的解法归类

名师点金：

反比例函数的比例系数k 具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k 的几何意义解决问题．

反比例函数的比例系数k 与面积的关系

1．如图，A ，C 是函数y ＝1

x 的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过

点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则( )

(第1题)

A ．S 1＞S 2

B ．S 1＜S 2

C ．S 1＝S 2

D ．S 1和S 2的大小关系不能确定

2．【2017·宜宾】如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m

x 的图象交于点

A(－3，m ＋8)，B(n ，－6)两点．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积．

(第2题)

3．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4

x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y

轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，求四边形ACBD 的面积．

(第3题)

已知面积求反比例函数解析式

题型1：已知三角形面积求函数解析式

4．【2016·绵阳】如图，直线y ＝k 1x ＋7(k 1＜0)与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝k 2

x (k 2＞0)在第一象限的图象交于C ，D 两点，点O 为坐标原点，△AOB 的

面积为49

2

，点C 的横坐标为1.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标．

(第4题)

题型2：已知四边形面积求函数解析式

5．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数y ＝－x －(k ＋1)的图象与函数y ＝k

x 在第二象限

的图象的交点，B ，D 两点在坐标轴上，且矩形ABOD 的面积为3.

(1)求两函数的解析式；

(2)求两函数图象的交点A ，C 的坐标；

(3)若点P 是y 轴上一动点，且S △APC ＝5，求点P 的坐标．

(第5题)

已知反比例函数解析式求图形的面积

题型1：利用函数解析式求面积

6．【中考·安徽】如图，已知反比例函数y ＝k 1

x 与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于A(1，

8)，B(－4，m)．

(1)求k 1，k 2，b 的值； (2)求△AOB 的面积；

(3)若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是反比例函数y ＝k 1

x 的图象上的两点，且x 1

出点M ，N 各位于哪个象限，并简要说明理由．

(第6题)

题型2：利用对称性求面积

7．如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数解析式分别为y ＝－6x ，y ＝6

x .现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成矩形产品按面积计

算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？

(第7题)

题型3：利用点的坐标及面积公式求面积

8．【2017·菏泽】如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝a

x的图象在第一象限交于

A，B两点，B点的坐标为(3，2)，连接OA，OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC＝CA.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求△AOB的面积．

(第8题)

答案

1．C

2．解：(1)将点A(－3，m ＋8)的坐标代入反比例函数y ＝m

x 得，

m

－3

＝m ＋8，解得m ＝－6. ∴m ＋8＝－6＋8＝2，∴点A 的坐标为(－3，2)， 反比例函数解析式为y ＝－6

x

.

将点B(n ，－6)的坐标代入y ＝－6x ，得－6

n ＝－6，

解得n ＝1，∴点B 的坐标为(1，－6)．

将点A(－3，2)，B(1，－6)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得

?????－3k ＋b ＝2，k ＋b ＝－6，解得?

????k ＝－2，

b ＝－4. ∴一次函数解析式为y ＝－2x －4. (2)如图，设AB 与x 轴相交于点C.

(第2题)

令－2x －4＝0，解得x ＝－2， ∴点C 的坐标为(－2，0)，∴OC ＝2.

∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×2＋1

2

×2×6＝2＋6＝8.

3．解：由题意，易得出S △ODB ＝S △AOC ＝1

2×|－4|＝2.因为OC ＝OD ，AC ＝BD(易求

得)，所以S △AOC ＝S △ODA ＝S △ODB ＝S △OBC ＝2.所以四边形ACBD 的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝2×4＝8.

4．解：(1)对于直线y ＝k 1x ＋7(k 1<0)，当x ＝0时，y ＝7，当y ＝0时，x ＝－7

k 1

，∴点A

的坐标为???

?－7

k 1

，0，点B 的坐标为(0，7)． ∴OA ＝－7

k 1

，OB ＝7.

∴S △AOB ＝12OA·OB ＝12×????－7k 1×7＝49

2，解得k 1＝－1. ∴直线AB 对应的函数解析式为y ＝－x ＋7.

∵当x ＝1时，y ＝－1＋7＝6，∴点C 的坐标为(1，6)． ∴k 2＝1×6＝6.∴反比例函数的解析式为y ＝6

x .

(2)由?????y ＝－x ＋7，y ＝6x 得?????x 1＝1，y 1＝6，?????x 2＝6，

y 2＝1. ∴点D 的坐标为(6，1)．

当x ＝2时，反比例函数图象上的点为(2，3)，直线上的点为(2，5)，此时可得整点为(2，4)；

当x ＝3时，反比例函数图象上的点为(3，2)，直线上的点为(3，4)，此时可得整点为(3，3)；

当x ＝4时，反比例函数图象上的点为????4，3

2，直线上的点为(4，3)，此时可得整点为(4，2)；

当x ＝5时，反比例函数图象上的点为????5，6

5，直线上的点为(5，2)，此时，不存在整点．

综上所述，符合条件的整点有(2，4)，(3，3)，(4，2)． 5．解：(1)由图象知k ＜0，由已知条件得|k|＝3，∴k ＝－3. ∴反比例函数的解析式为y ＝－3

x ，

一次函数的解析式为y ＝－x ＋2.

(2)由?????y ＝－3x ，y ＝－x ＋2，解得?????x 1＝－1，y 1＝3，?????x 2＝3，

y 2＝－1. ∴点A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．

(3)设点P 的坐标为(0，m)，直线y ＝－x ＋2与y 轴的交点为M ，则M 的坐标为(0，2)． ∵S △APC ＝S △AMP ＋S △CMP ＝1

2×PM ×(|－1|＋|3|)＝5，

∴PM ＝52，即|m －2|＝52.∴m ＝92或m ＝－1

2.

∴点P 的坐标为????0，92或?

???0，－1

2. 点拨：依据图象及已知条件求k 的值是解本题的关键，只有求出k 的值，才能通过解方程组求A ，C 两点的坐标，然后才能解决第(3)问．

6．解：(1)把A(1，8)的坐标代入y ＝k 1

x ，得k 1＝8.

把B(－4，m)的坐标代入y ＝8

x ，得m ＝－2.

把A(1，8)，B(－4，－2)的坐标代入y ＝k 2x ＋b ， 可得k 2＝2，b ＝6.

(2)设直线AB 与x 轴的交点为C ，

当y ＝0时，2x ＋6＝0，解得x ＝－3.∴C(－3，0)． ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×3×8＋1

2×3×2＝15.

(3)点M 在第三象限，点N 在第一象限．

理由：∵M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在反比例函数y ＝8

x 的图象上，

∴当M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在同一象限时，x 1y 2. ∵x 1

∴M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)不在同一个象限． ∴点M 在第三象限，点N 在第一象限．

7．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD 分成四个全等的小矩形．因为点A 为y ＝6

x 的图象上的一点，所以S 矩形AEOH ＝6.所以S 矩形ABCD ＝4×6＝24.所以

总费用为25×24＝600(元)．

答：所需钢条一共花600元．

8．解：(1)如图，过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为F ，交BD 于E. ∵点B(3，2)在反比例函数y ＝a

x 的图象上，

∴a ＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y ＝6

x .

∵B(3，2)，∴EF ＝2.∵BD ⊥y 轴，OC ＝CA ， ∴AE ＝EF ＝1

2AF ，∴AF ＝4，∴点A 的纵坐标为4.

∵点A 在反比例函数y ＝6

x 的图象上，

∴点A 的横坐标为3

2

，∴A ????32，4. 将A ????32，4，B(3，2)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得?????32k ＋b ＝4，3k ＋b ＝2，

解得?????k ＝－43，b ＝6.∴一次函数的表达式为y ＝－4

3

x ＋6.

(2)设AF 与OB 交于点G.

∵B(3，2)，∴直线OB 的解析式为y ＝23x.

∴G ????32，1.又∵A ????3

2，4，∴AG ＝4－1＝3. ∴S △AOB ＝S △AOG ＋S △ABG ＝12×3×3＝92

.

(第8题)