现代通信原理与技术第2章确定信号分析

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通信原理樊昌信第六版第2章确定信号

【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度在例2.4中，已经求出其频谱密度： S ( f ) Ga ( f ) sin c(f ) 故由式(2.2-39)得出
G ( f ) S ( f ) sin c(f ) 2 sin c(f )
2 2 2
阜阳师范学院物理系
g a (t ) 0 t / 2
Ga ( f )
/ 2 j 2ft
/ 2
e
1 sin(f ) jf jf dt (e e ) sin c(f ) j 2f f
ga(t)
1
Ga(f)
0
t
-1/ -2/
1/ 0

1 2 lim S T ( f ) T T
1 2 P( f ) lim ST ( f ) T T
定义为信号的功率谱密度P(f) ，即
阜阳师范学院物理系
2.2 确知的频域性质
周期信号的功率谱密度：令T 等于信号的周期T0 ，于是有

1 P lim T T
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理: 式中 |Cn |2
2.2 确知的频域性质
四、功率信号的功率谱密度

定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2 < t < T/2 sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱密度 |ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有
T /2 T / 2
E
将
s (t )dt ST ( f ) df
2 T 2
若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为 1 T0 / 2 R12 ( ) s1 (t )s2 (t )dt, T0 / 2 T0 式中 T0 －信号的周期 R12()和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系： * 互功率谱定义： C12 (Cn )1 (Cn ) 2

现代通信原理PPT课件第2章+随机信号分析

整理ppt
12
1)数学期望：随机变量的统计平均值（随机变量所有可能的取值和它对应概率乘积的和）-----物理意义平均值
记为： E 、 E 、 E () 、 E [] 、 E [ X ] 等等
离散型： E n x i Pi i 1
式中 x i ——取值
P i ——取值为 x i 的概率
离散随机变量的概率密度函数曲线
整理ppt
9
概率密度函数特点：
A）由于F ( x )是单调不減函数，所以 f (x) 0 B）离散随机变量的概率密度函数为冲激函数，冲激强度为对应取该值的概率，见前页曲线。
C） f(x)d xF ( )F ( ) 1-------面积为l
E xf(x)d x E yf(y)dy
例2 证明
, 独立E ( ) E E
E ()
xyf(x,y)d xd y
因为 ,独立 f( x y ) f ( x ) f ( y )
E ( ) xy f(x)f(y)d x d y
xf(x)dx yf(y)dy
5
整理ppt
6
整理ppt
7
2)概率密度：分布函数的导数称为概率密度函数，记为 f ( x ) 则：f (x) dF(x) dx
概率密度函数曲线 (见P16)
整理ppt
8
f (x)
P 1 ( x x 1 ) P 2 ( x x 2 ) P 3 ( x x 3 ) P 4 ( x x 4 ) P 5 ( x x 5 ) P n ( x x n ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x n x
二维概率密度：
f
(x1,
x2)

现代通信原理第2章确定信号分析

设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
44
第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
45
第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
31
第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。

通信原理北邮版 CH2-确定信号分析理论

1 t0 +T1 − jnω1t Fn = ∫ f (t )e dt T1 t0
n 为从到+∞的整数。为从-∞到的整数。的整数
一般情况下，是实函数，一般情况下，若f(t)是实函数，则一对共轭复数） Fn = F− n* （一对共轭复数）
2012年4月7日星期六 -兰州大学信息科学与工程学院电信、通信工程系21
能量信号与功率信号：三、能量信号与功率信号： 1、能量信号：、能量信号： ∞ 2 定义：定义： E f = ∫ - ∞ f ( t ) d t < ∞ 若以上能量值有限，则称之为能量信若以上能量值有限，则称之为能量信它代表单位欧姆电阻上的总消耗能量。号。它代表单位欧姆电阻上的总消耗能量。能量信号有可能是限时信号（一般是）能量信号有可能是限时信号（一般是）或是非限时信号（不一定），），但周期信号或是非限时信号（不一定），但周期信号绝对不是能量信号，因为它的总能量会随绝对不是能量信号，着时间的不断增长而趋于无穷。着时间的不断增长而趋于无穷。
其中c0 = a0 ; cn = an + bn ;
2 2
an = cn cos φn ; bn = cn sin φn ; bn tan φn = − ; an n = 1, 2,3,K
2012年4月7日星期六 -兰州大学信息科学与工程学院电信、通信工程系14
§3. 周期信号的傅里叶级数分析
傅里叶级数的正弦形式：傅里叶级数的正弦形式：正弦形式
n =1
2012年4月7日星期六 -兰州大学信息科学与工程学院电信、通信工程系12
∞
§3. 周期信号的傅里叶级数分析
其中各次谐波成分的幅度值计算公式为：其中各次谐波成分的幅度值计算公式为：

现代通信原理答案WORD版( 罗新民)指导书第二章确定信号分析习题详解

第二章确定信号分析2-1图E2.1中给出了三种函数。

图 E2.1①证明这些函数在区间（-4，4）内是相互正交的。

②求相应的标准正交函数集。

③用（2）中的标准正交函数集将下面的波形展开为标准正交级数：⎩⎨⎧≤≤=为其它值t t t s ,040,1)(④利用下式计算（3）中展开的标准正交级数的均方误差： ⎰∑-=-=44231])()([dt t u a t s k k k ε⑤对下面的波形重复（3）和（4）：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=为其它值t t t t s ,044),41cos()(π ⑥图E2.1中所示的三种标准正交函数是否组成了完备正交集？解：①证明：由正交的定义分别计算，得到12()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，23()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，31()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，得证。

②解：424()8,k C u t dt k -== =1,2,3⎰，对应标准正交函数应为()(),1,2,3k k q t t k ==因此标准正交函数集为123123{(),(),()}(),()()}q t q t q t t t t =③解：用标准正交函数集展开的系数为4()(),1,2,3k k a s t q t dt k =⋅ =⎰，由此可以得到4110()()a s t t dt ===⎰4220()()a s t t dt ===⎰4330()()0a s t t dt ==⎰。

所以，121211()()()()()22s t t t u t u t ==-④解：先计算得到312111()()()()()()022k k k t s t a u t s t u t u t ε==-=-+=∑ ⑤解：用标准正交集展开的系数分别为441141()())04a s t t dt t dt π--===⎰⎰，44224011()()cos()cos()044a s t t dt t dt t dt ππ--==-=⎰⎰⎰，433422442()()111cos()))444a s t t dtt dt t dt t dt ππππ----= =-+- =⎰⎰⎰⎰。

第2章现代通信原理与技术西安电子科技大学(张辉曹丽娜编著第二版)

Fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…, ξ(tn)≤xn｝如果存在
2 Fn ( x1, x2 ...;t1,t2 ...,tn ) f ( x1, x2 ..., xn ; t1, t2 ...,tn ) x1 x2 ...xn
赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔τ,即相关函数是t1和τ
的函数。
第2章
随机过程
由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设ξ(t) 和η(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为 Bξη(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-aξ(t1)］［η(t2)-aη(t2)］｝ (2.1 - 11) 而互相关函数定义为

a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。
第2章 2. 方差
随机过程
2 [ ( t ) a ( t )] E[ (t )] E
[ (t ) a(t )]2
x 2 f1 ( x, t )dx [a(t )]2

(2.1-7)
D［ξ(t)］常记为σ2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
第2章
随机过程
设有n台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境
和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（这也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。由此我们给随机过程下一个更为严格的定义：设 Sk(k=1, 2, …)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本

现代通信原理与技术第二版 (张辉曹丽娜著) 第一、二章课后答案

2.23×
10含 =8.028×
106 (bit)
(2)等概率时有最大信息熵 ,由式 (1-3)得
H m a 冬 = l b 5 2 . 3 ( b t / 符号 )
此时平均信息速率最大 ,故有最大信息量
r碰 x=T.R:.刀吨 =36o0× 1000× 2.33=8,352× 10‘ (bit)
题解笞
0,008,试求 e和 v的信息量
评注等橇卒一妇 1-5 设
知英文字母 e和 v出现的概率分别为 0,105和
若该系统改为传送解 (1)
各码元独立等汪辛
(2) 1-6 某
萧 b = ∴ 一 ⑺ P h 一 ⑾ b ⒍ = 8 ⒇ Φ ω
一
b ⒍
鹉
= ⒊
⒛
Φo
v的信息量
解因为各铜
1-8 已
知二
传输速率为多少法
∵
笫 1=纶
・9・
凡 =R:1bM=风
lb4=⒛
0(b/s)
(2)平均信息量为
H=÷ lb5+÷ lb4+÷ b订/符号 ) lb4十击 lb詈
=1,985【
则平均信息速率为
R=: bR・ H1o =o× 195185 .8=9.【 b 淹 )
评注等概率时才能获得最大信息速率 ,这是因为等概率时有最大熵。一数字传输系统传送二进制码元的速率为 2400B,试 1-5 设求该系统的信息速率 , 若该系统改为传送十六进制信号码元 ,码元速率不变 ,则这时的系统信息速率为多少 ?(设 ) 各码元独立等概率出现。解 (1) (2) 风 R、 =风 =⒛ 00【b/s) =风 lb16=2400× 4=9600(b/s)

现代通信原理答案(_罗新民)

解题思路：考查传信率和传码率之间的换算关系，即
解：（1）对二进制，
（2）对十六进制，
1-17一个多进制数字通信系统每隔0.8 ms向信道发送16种可能取的电平值中的一个。试问：
每个电平值所对应的比特数是多少？
符号率（波特）为多少？
比特率为多少？
解题思路：考查信息量的定义；、分别考查传码率和传信率的定义。
解题思路：仍然考查的是对的理解。
解：信源平均信息量为
由可以得到
所以，至少应以0.603符号/秒的速率发送数字，才能达到2比特/秒的信息速率。
1-9 假设计算机的终端键盘上有110个字符，每个字符用二进制码元来表示。问每个字符需要用几位二进制码元来表示？
在一条带宽为300Hz，信噪比（SNR）为20dB的电话线路上，能以多快的速度（字符/秒）发送字符？
阶越函数：
( 为符号函数， )
指数函数：
复指数函数：
2-3证明一个偶周期性函数的指数傅立叶级数的系数是实数，而一个奇周期函数的指数傅立叶级数的系数是虚数。
解题思路：题目所要证明的奇、偶函数均指实函数。对于复函数，如果它满足，称其为共轭对称函数。当是实函数时，它就是偶函数。同样，对于复函数，如果它满足，称其为共轭反对称函数。当是实函数时，它就是奇函数。因此可以运用偶函数和奇函数的上述共轭对称性质和共轭反对称性质证明。
解题思路：考查平均信息量及信息量叠加的概念。每个符号有四种等概电平可能，因此先用计算其平均信息量。整个消息的总信息量是12个符号的各自平均信息量（相等）的和。
解：（1），。
每个符号的平均信息量为比特/符号，则由12个符号组成的一组消息的信息量为
（2）每秒传输10组消息，则一分钟传输10×60组信息，因此信息传输速率为10×60×24比特/分钟＝14400比特/分钟

现代通信原理(02信息-1)

2
单元学习提纲
（1）离散信源和连续信源的统计描述；（2）离散信源的信息量、条件信息量、互信息
量和平均信息量（熵）的定义和物理意义；（3）连续信源的平均信息量、平均互信息量的
定义和物理意义；（4）信息量的单位——比特，比特率与波特率
的区别；（5）有扰信道的信息传输过程；

当f(t)为实函数时F(-ω )=F*(ω )
∴上式
1 F ()F ()d
2
1

2
F () d
2
能量谱密度E(ω )=|F(ω )|2 焦耳/赫兹
27
2. 功率谱密度
功率信号：信号在- ∞＜t ＜+ ∞内存在，具有无穷大能量，不能计算功率信号的
第二章信号、噪声与信息论(1)
1
信源、信道和信宿是通信系统不可缺少的三个组成部分。通信的目的是将信源产生的信息传递给信宿，然而，在存在干扰的实际信道中传输时，其最高信息传输率受到限制。香农（SHANNON）信息论的信道容量公式从理论上阐明了信道容量、信道带宽和信号-噪声功率比三者之间的关系，这正是通信系统研究和设计者们所追求的目标和面临的挑战。

F ()F () F () 2 E() 同理：FR W() 34
⑶信号的自相关函数在原点的值等于信号的能量/功率。

R 0= f 2(t)dt E
R 0 =lim 1 T /2 f 2 (t)dt P
T T T / 2
例：P（T t）=
A
nT-
2

t

nT+
2
0
其它
解：PT

北京邮电大学通信原理课件第2章确定信号分析

输出。将 x (t ) 展成傅氏级数，得
∑ ∑ x(t) =
∞ δ (t − nT ) = 1
∞
j 2π mt
eT
n=−∞
T m=−∞
所以 x (t ) 的功率谱密度为
∑ Px
(
f
)
=
1 T2
∞
δ
m=−∞
⎛ ⎜⎝
f
−
m⎞ T ⎟⎠
g (t ) 的傅氏变换是 G (
f
)
=
sinc
⎛ ⎜⎝
fT 2
⎞ ⎟⎠
1/12
1
《通信原理习题选》
因此 g (t ) 的傅氏变换为
G(
f
)
=
1 2
⎡⎢G′ ⎛⎜ ⎣⎝
f
−
1 2Ts
⎞ ⎟
+
G′ ⎛⎜
⎠⎝
f
+
1 2Ts
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
=
Ts 2
⎡⎢sin π
⎢
⎢ ⎢⎣
π
⎛ ⎜⎝
⎛ ⎜⎝
fTs
+
1 2
⎞ ⎟⎠
fTs
+
1 2
⎞ ⎟⎠
+
sin π
π
⎛ ⎜⎝
⎛ ⎜⎝
fTs
−
1 2
∫ ∫ ∞ G ( f ) 2 df = ∞ g2 (t ) dt = Ts
−∞
−∞
2
∞
3．已知周期信号 s (t ) = ∑ g (t − nT ) ，其中
n=−∞
g
(t
)
=
⎧2 T
⎨ ⎩
0
−T 4 ≤ t <T 4 else

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x t

A cos(0t
)

A 2
e
j
(0t

)
e j(0t )

A e j e j0t 2

A e j e j0t 2

Cne jn0t
n
C1

A e j , 2
C1

A e j 2

P 2 Cn 2 n0 n
(t)dt

C0 , 当 k =l 0 , 当 kl

x t akuk (t) k 0
t0T t0
x(t )ul
(t)dt

t0 T t0
k 0
ak uk
(t )ul
(t)dt

akC , 当 k =l 0 , 当 kl

ak

1 C
t0 T t0
)T
]Sa[
(

m0
2
)T
]
Sa[
(

n0
2
)T
]Sa[
(

m0
2
)T
]

Sa2
[
(
0
n0
2
)T
]
, nm , nm
|

XT ( ) |2 T 2 | Cn
n
|2
Sa2[ (
n0 )T
2
]
15
P()
lim | T
XT () |2
X ()

2 A
T
Sa( n0
n
2
) (
n0 )
X
(
)

A
n

Sa(
n0
2
)
(

n0
)
8
9
2.2 能量信号和功率信号
E x2 (t)dt
E x2 (t)dt x(t) 1 X ()e jtddt
A, x(t)
0,
T tT 22
其它t
R( )
T 2 T
A2dt

A2 (T
)
2
0 T
T
R( )
2 T

A2dt

A2 (T
)
2
T 0
19
2.3.2 能量信号的相关定理
R12
(
)

X
1
(
)
X 2 ()
[R12 ( )]
第2章
确定信号分析
1
本章安排
确定信号分析
• 信号的正交展开及频谱分析 • 能量信号与功率信号 • 相关函数和功率谱密度函数 • 窄带系统及窄带信号分析 • 复数信号与时域希尔伯特（Hilbert）变换
2
2.1 信号的正交展开及频谱分析
2.2.1 信号的正交展开
t0T t0
uk
(t)ul
Cn

1 T0
T0
2 T0
x(t)e
jn0t dt
2
14
X
T
(
)

n

Cn
(

n0
)

TSa(
T
2
)

T
n
Cn
Sa[
(

n0
2
)T
]
|
XT
()
|2
XT
()

X
T
()

n
m
T
2CnCm Sa[
(

n0
2
P() lim | XT () |2
T
T
XT ()

xT
(t)e
jt dt

T
2 T
x(t)e
jt dt
2
P() lim 1
T T
|
X
T
(
)
|2

lim
T
1 T
X
* T
()
XT ()
lim 1 T T
T
T
2 T
x(t)e j
T

lim
T
T
n

|
Cn
|2
Sa2[( n0 )T ]
2

|
n
Cn
|2
lim TSa2[(
T

n0 )T
2
]
lim K Sa2 (Kx) (x) K

P() 2 | Cn |2 ( n0 ) n
P 1
d
12
P lim 1 T T

xT
2
(t
)dt
1 1
lim
T T 2

XT
()
2
d

1
2
lim XT () 2 d
T
T

1
2
Pd
P() lim | XT () |2
T
T
P 1
2
1 X H e jtd
2
27
2.4.1 一般方法---傅里叶反变换法
例2.5已知窄带系统的传输函数 H
H ()

A
0
h(t) 1 H
1 H ()e jtd
2
0 0 其他
x(t)uk
(t)dt
3
ak
t0 T t0
x(t)uk
(t)dt

N
xN t akuk t
k 0
Q
t0 t0
T
[x(t)

xN
t
]2 dt
Q=
t0 t0
T
[
x(t
)

N k 0
ak
uk
(t
)]2
dt

t0 T t0
x2 (t)dt
T
XT

n
n0

0 XT n0 n0 n
cn

1 T
XT
n0
7
例2.1设周期矩形信号 x(t)如图所示，试求其频
谱密度函数 X () 解：设 xT (t)为 x(t)在一个周期内的截断信号，如图
所示。则有 XT () [xT (t)] A Sa 2

P()d 2 P( f )df
2
0
xT (t) x(t) rect( )
13
rect
()

1,
0,
T tT 22 其它t
XT
()

1
2
X()

[[rect(
)]
[[rect( )] TSa(T 2)

X () 2 Cn ( n0 ) n

2

A 2
2

0

0

A2 2

0

0

24
方法2 利用相关函数求功率谱，周期信号的周期T0 2 0
R( ) 1 T0
T0
2 T0
A cos(0t
)
A cos( 0t
0
)dt

H( f
)e j2 f
t df

0 H ( f )e j2 f t df
0

h(t) H ( f )e j2 f tdf H ()e j2 td
0
0
H ( f ) H ( f )
h(t)
t dt

2 T
x(t)e j
tdt
2
2
t t
22
P() lim 1 T T
T
2 T
x(t)e
jt dt

2
T
2 T
t t
x(t

)e
j
(t
)d
2

1
lim
T T
T
2 T
x(t)x(t

)dt
e
j
2
1 T0
T0
2 T0
2
A2 2
[cos 0
cos(20t 0
)]dt
1
T0
T0
2 T0
2
A2 2
cos

0
dt

1 T0
T0
2 T0
2
A2 2
cos(20t 0
)dt
1
T0
T0
2 T0
2
A2 2
cos 0 dt
(t

)dt
2
x1(t) x2 (t) x(t)
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