黄金卷05 备战2021年高考数学全真模拟卷(广东专用)(解析版)

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专版）第五模拟一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4}B．{x|1＜x＜4}C．{1，2，3}D．{2，3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．【解答】解：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜4}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≤1}，∴∁U B＝{x|x＞1}，A∩（∁U B）＝{2，3}．故选：D．2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2C．i D．1【分析】根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可．【解答】解：依题意，因为复数z满足，所以z＝＝＝i，所以|z|＝1，故选：D．3．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3D．﹣【分析】先求得得＝＝（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论．【解答】解：由题意可得＝＝（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m＝﹣3，故选：C．4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得f（x）为奇函数，排除B，结合函数的解析式可得当0＜x ＜1时，f（x）＜0，排除C，当x＞1时，f（x）＞0，排除D；据此即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B，当0＜x＜1时，ln|x|＝lnx＜0，x3＞0，则有f（x）＜0，排除C，当x＞1时，ln|x|＝lnx＞0，x3＞0，则有f（x）＞0，排除D，故选：A．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设f（x）＝a sin x+1，分类求得函数的值域，由∃x0∈R，a sin x0+1＜0求得a的范围，可知“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的不必要条件；取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立，说明“a ＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分条件．【解答】解：必要性：设f（x）＝a sin x+1，当a＞0时，f（x）∈[1﹣a，1+a]，∴1﹣a＜0，即a＞1；当a＜0时，f（x）∈[1+a，1﹣a]，∴1+a＜0，即a＜﹣1．故a＞1或a＜﹣1；充分性：取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立．∴“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分不必要条件．故选：A．6．若，则a+2b的最小值为（）A．6B．C．3D．【分析】，变形log3（2a+b）＝1+log3ab，可得a，b＞0，+＝3，可得a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++），利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，∴log3（2a+b）＝1+log3ab，∴2a+b＝3ab，a，b＞0．化为：+＝3．则a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++）≥（5+2×2）＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号．故选：C．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离d＝r，列方程求出离心率e＝的值．【解答】解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，圆C：x2+y2﹣10y+21＝0化为标准方程是：x2+（y﹣5）2＝4，则圆心C（0，5）到直线bx﹣ay＝0的距离为d＝r；即＝＝2，解得＝，即双曲线的离心率是e＝．故选：C．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．【解答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得，：r＝，∴r＝4，即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则【分析】利用不等式的基本性质，逐一分析即可．【解答】解：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，所以A不正确；若ab＞0，bc﹣ad＞0，可得，即，所以B正确；若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，所以C正确；反例a＝﹣3，b＝﹣5，c＝5，d＝1 也满足a＞b，c＞d＞0 但结论不正确，所以D不正确，故选：BC．10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论．【解答】解：A．由m∥n，m⊥α，则n⊥α，正确；B．由m∥α，α∩β＝n，则m与n的位置关系不确定；C．由m⊥α，m⊥β，则α∥β正确D．由m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，因此不正确．故选：AC．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F 为AE的中点，则（）A．B．C．D．【分析】利用向量的加法法则，先用，进而表示出．【解答】解：由AB＝2AD＝2DC知：∵，∴＝＝，故A选项正确．又∵，∴＝＝＝，故B选项正确．∵，∴＝，故C正确．∵＝＝，D不正确．故选：ABC．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，进而判断出结论．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝．可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B ＝．【分析】先由余弦定理求出cos A的值，结合正弦定理进行化简即可．【解答】解：由b2+c2﹣a2＝bc得cos A＝＝＝，则sin A＝，若，则+＝＝1，即+＝1，得＝，得tan B＝4，故答案为：4．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺，则夏至的晷长为尺．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，能求出夏至的晷长．【解答】解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列{a n}，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺，∴，解得d＝1，a1＝1.5．∴夏至的晷长为1.5尺．故答案为：1.5．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝，的最小值为．【分析】先有焦点坐标求出p，再讨论当直线l的斜率不存在时，求出答案，当直线l的斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出+＝，代入，根据基本不等式即可求最小值【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点F，因为F（4，0），∴＝4⇒p＝8⇒y2＝16x；当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4，由，可得M（4，8），N（4，﹣8），∴|MF|＝|NF|＝8，∴＝﹣＝；当直线l的斜率存在时，设过点F作直线l的方程为y＝k（x﹣4），不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得k2x﹣（16+8k2）x+16k2＝0，∴x1+x2＝8+，x1x2＝16，∴|MF|＝x1+＝x1+4，|NF|＝x2+＝x2+4，∴+＝+＝＝＝．∴＝﹣4（﹣）＝+﹣1≥2﹣1＝．（当且仅当|NF|＝6时等号成立）．故答案为：8，．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．【分析】由已知可得f（x）＝e x﹣x+t，且f（t）＝e t，进而可求t及f（x），然后代入已知不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化可求．【解答】解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①函数f（x）＝sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向右平移个单位长度得到g （x）的图象，g（x）图象关于原点对称；②向量＝（sinωx，cos2ωx），＝（cosωx，），ω＞0，f（x）＝•；③函数（ω＞0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_______，函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为．（1）若0＜θ＜，求f（θ）的值；（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间．【分析】首先利用对称轴之间的距离求出函数的周期，进一步利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值和单调区间．【解答】解：方案一：选条件①由题意可知，，∴ω＝1，∴，∴．又函数g（x）图象关于原点对称，∴，∵，∴，∴．（1）∵，∴，∴＝＝．（2）由解得．令令，∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间为．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a5＝12，S4＝16．（1）求{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝为数列{b n}的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T k＝3T m2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用已知条件列出方程求解首项与公差，得到通项公式．（2）求出，化简{b n}的通项公式，利用裂项消项法求和，通过，分析求解即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，解得∴．（2），∴．∴T n＝b1+b2+…+b n＝＝＝．若，则整理得，又k＞m＞1∴整理得解得，又m∈N*∴m＝2，∴k＝12．∴存在m＝2，k＝12满足题意．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AC为等腰直角三角形，∠APC＝90°，△ABC为正三角形，D为AC的中点，AC＝2．（1）证明：PB⊥AC；（2）若三棱锥P﹣ABC的体积为，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【分析】（1）证明PD⊥AC．BD⊥AC．然后证明AC⊥平面PBD．即可证明PB⊥AC．（2）说明PD⊥平面ABC，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PBC的一个法向量，平面P AC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：∵△P AC为等腰直角三角形，D为AC的中点，∴PD⊥AC．又△ABC为正三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC．又PD∩BD＝D，PD，BD平面PBD，∴AC⊥平面PBD．又PB⊥平面PBD，∴PB⊥AC．（2）解：设三棱锥P﹣ABC的高为h，，∴＝＝，∴h＝1．又，∴PD⊥平面ABC，如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则∴，设＝（x，y，z）为平面PBC的一个法向量，则令，∴，又是平面P AC的一个法向量，∴，∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．20．（12分）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，∠A＝90°，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE＝α，试求花卉种植面积S（α）的取值范围．【分析】由题意在△BDE中由正弦定理得，在△DCF中由正弦定理得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BDE+S△DCF＝，进而可求S（α）＝，结合题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解花卉种植面积S（α）取值范围．【解答】解：在△BDE中，∠BED＝，由正弦定理得，∴，在△DCF中，，由顶线定理得，∴，∴＝＝＝＝＝＝＝＝＝，∴S（α）＝S△ABC﹣（S△BDE+S△DCF）＝，∴AEDF为四边形区域，∴，∴，∴，∴，∴花卉种植面积S（α）取值范围是．21．（12分）已知椭圆E：的离心率e满足2e2﹣3e+2＝0，右顶点为A，上顶点为B，点C（0，﹣2），过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．（1）求椭圆E的方程；（2）证明：S△BOM•S△BCN为定值．【分析】（1）由求出离心率，结合AC的斜率，转化求解a，b，即可得到椭圆方程．（2）设直线l的方程为y＝kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）由得（2k2+1）x2﹣8kx+6＝0，利用韦达定理以及弦长公式，结合三角形的面积，转化求解即可．【解答】解：（1）由解得，∴，又，∴，∴b＝1，∴椭圆E的方程为．（2）由题知，直线l的斜率比存在，设直线l的方程为y＝kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）由得（2k2+1）x2﹣8kx+6＝0，△＝（﹣8k）2﹣4×6×（2k2+1）＝16k2﹣24＞0，∴，直线BP的方程为，令y＝0解得∴，同理可得，，y1y2＝（kx1﹣2）（kx2﹣2）＝k2x1x2﹣2k（x1+x2）+4＝，∴＝＝＝，∴S△BOM•S△BON为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax．（1）当a＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）≤1；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：h（x1）+h（x2）＞2．【分析】（1）先求得g（a），再利用导数研究函数g（a）的最值即可；（2）先得到a＞1，且x1＜0＜x2，再转化得到，构造新函数m（x）＝e x+e﹣x﹣x2（x≥0），即可得证．【解答】证明：（1）f'（x）＝e x﹣a（a＞0），令f'（x）＝0，解得x＝lna，当x＞lna时，f'（x）＞0，当x＜lna时，f'（x）＜0，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，∴g（a）＝a﹣alna（a＞0），令g（x）＝x﹣xlnx（x＞0），g'（x）＝﹣lnx，令g'（x）＝0，解得x＝1，∴当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）max＝g（1）＝1，∴g（x）≤1，∴当a＞0时，g（a）≤1；（2），h'（x）＝e x﹣a﹣x，令φ（x）＝e x﹣a﹣x，φ'（x）＝e x﹣1，令φ'（x）＝0，解得x＝0，当x＞0时，φ'（x）＞0，当x＜0时，φ'（x）＜0，∴φ（x）min＝φ（0）＝1﹣a，又函数h（x）有两个极值点，∴1﹣a＜0，∴a＞1，且x1＜0＜x2，当x∈（﹣∞，x1）时，h（x）单调递增，当x∈（x1，0）时，h（x）单调递减，∴当x∈（﹣∞，0）时，h（x）≤h（x1）又﹣x2∈（﹣∞，0），∴h（﹣x2）≤h（x1），∴，令m（x）＝e x+e﹣x﹣x2（x≥0），令n（x）＝m'（x），，∴n（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m'（x）＝n（x）≥n（0）＝0，∴m（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m（x）≥m（0）＝2，∵x2＞0，∴即h（﹣x2）+h（x2）＞2，∴h（x1）+h（x2）＞2．。