24.6 实数与向量相乘

第四节 平面向量的线性运算§24.6实数与向量相乘教学目标(1)理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量。

(2)知道实数与向量相乘的运算律，会根据运算律对向量算式进行计算、化简。

(3)知道平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；知道单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。

(4)在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的思想；在实数与向量相乘和平行向量定理的学习中体会代数与几何的联系。

教学重点引进实数与向量相乘的运算，使学生掌握实数与向量相乘的表示方法和画图方法。

引进实数与向量相乘的运算律，并用于化简关于向量的算式。

引进平行向量定理和单位向量，并让学生了解利用向量关系式判断两个向量平行的方法。

知识精要1.实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，那么我们用na 表示n 个a 相加；用na -表示n 个a -相加。

又当m 为正整数时，n a m 表示与a 同向且长度为na m的向量。

2.实数与向量相乘的运算规定：设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。

如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向。

如果0k =或0a ≠，那么0ka =。

根据实数与向量相乘的意义，可知//ka a 。

ka 实际上将a 的长度进行放缩，方向与a 相同或相反。

ka 表示实数k 与a 相乘的运算，规定应把实数写在向量的前面并省略乘号；注意不要将表示向量的箭头写在数字上面。

3.同向的两个向量相加，和向量的方向取同向，长度取和；反向的两个向量相加，和向量的方向同较长向量，长度取差正；相反向量的和向量为零向量。

4.一般地，如果m n 、是非零实数，a 是非零向量，那么 ()m n a ma na +=+。

这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律。

5.一般来说，对任意实数0k ≠和非零向量a b 、，总有 ()k a b ka kb +=+。

这个等式是实数与向量相乘对于向量加法的分配律。

6.对于任意非零实数m n 、和非零向量a ，总有 ()()m na mn a =。

这是实数与向量相乘的结合律。

7.平行向量定理 如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。

8.长度为1的向量叫做单位向量。

设e 为单位向量，则1e =。

单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。

对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。

由实数与向量相乘，可知 0a a a =， 01a a a=。

经典题型解析(一)实数与向量相乘的意义例1.已知非零向量a ，求作：(1)53a ； (2)5a -。

a随堂练习：已知非零向量a ，求作向量84,3,53a a a -。

a例2.如右图，已知点D E 、分别在ABC ∆的边AB AC 、上，//DE BC ，23AE EC =，试用向量BC 表示向量ED 。

随堂练习：如图，在ABC ∆中，点D 在边AC 上，2AD CD =，如果BA a =，BD b =，那么BC =________。

例3.如图，已知//AB CD ，2CD AB =，AD BC 、相交于点E ，设AE a =，CE b =，那么向量CD用向量a b 、表示为__________。

随堂练习：在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在BC 上，设BC a =，AD b =，那么向量AC 用向量a b 、表示为( ) A .12a b + B .12a b - C .12a b -+ D .12a b --(二)实数与向量相乘的运算律例4.计算：(1)27(2)3(4)3a b a b +--； (2)111(23)(232)(85)326a b c a b c a b +-+-+--。

随堂练习：计算下列各式：(1)(23)2(32)a b c a b c +---+； (2)1(23)(6)3a b b a +--。

例5.已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，且22AD AB CD ==，060B ∠=。

(1)若AD kBC =，求k 的值； (2)若0x AB BC yDC ++=，求实数x y 、的值。

随堂练习：如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，点F E 、分别在边AD BC 、上，//FE DC ，已知 53AB CD =，2CE BE =，试用向量DC 表示向量FE 。

例6.如图，在ABC ∆中，12AB AC ==，4DC =，过点C 作//CE AB 交BD 的延长线于点E ， AB a =，BC b =。

(1)求BE (用向量a b 、的式子表示)； (2)求作向量12BD AC +(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)。

随堂练习：如图，两个不平行的向量a b 、。

先化简，再求作：11(3)(2)22a b a b +--。

(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)a b(三)平行向量定理与单位向量例7.已知c 是非零向量，如果22a b c +=-，352a b c -=，那么a 与b 向量是否是平行向量?随堂练习：已知向量a 、b 、c ，且23a b c +=，2023b c a +=，用消去a 的方法判断向量b 与c 是否例8.如图，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是中位线，090ABC ∠=，已知3AD =，6BC =，4AB =，设AD a =，用a 表示向量CB EF 、。

如果AB b =，用a b 、表示DC 。

例9.(1)0a 为单位向量，a 与0a 平行，且长度为5，用0a 表示a 为_______。

(2)设e 为单位向量，a 与e 方向相同，且长度是8，则a =_____e 。

巩固提升一、填空题1.已知k 是任一向量，2a k =-，5b k =，用a 表示b ，其结果是__________．2.已知向量AB 的方向是东南方向，且4AB =，则向量2AB -的方向是________，2BA -=_______．3.若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则a =________b ．4.计算：2()3a b b -+=_________；(3)5a -⨯=_________；7()4()3a b a b a +--+=_________．5.计算：13(7)a =________，这是实数与向量相乘的________律．6.计算：8()a b +=_________，这是实数与向量相乘对于向量加法的_________律．7.计算：57(3)a -+=_________，这是向量加减运算中的_________律．8.已知233m a b =-，1124n b a =+，则4m n -=_________。

9.已知向量a 、b 、c ，且2a b c +=，3a b c -=，则向量a 与是b ______平行(填“同向”或“反向”)。

10.若向量a 和单位向量e 是平行向量，且模为5，则a =______。

二、选择题11.点O 是等边三角形ABC 的中心，则向量OA OB OC 、、是( ) A .相等向量 B .三个起点不同的向量 C .平行向量 D .模相等的向量12.下列说法中正确的是 ( )A .一个向量与零相等，乘积为0B .向量不能与无理数相乘C .非零向量与一个负数相乘所得向量比原向量短D .非零向量与一个负数相乘所得向量与原向量方向相反 13.下列说法中错误的是( )A .m 个c 连加，结果是mcB .当0k >，0a =时，ka 与a 是同方向的C .如果ka 和a 平行，那么两个向量方向相同D .当0k >时，ka k a = 14.下列式子中，错误的是( )A .330a a -=B .3412a a ⨯=C .336a a a +=D .4()44a b a b +=+ 15.下列各个判断中，结论正确的是( )A .非零向量a 、b 、c ，如果//a c ，//b c ，那么//a bB .已知e 为单位向量，则1e =C .任意非零向量a ，与a 同方向的单位向量0a ，则0a a =D .在向量中，特殊的向量是指零向量16.已知点C 是线段AB 的中点，设AB a =，那么下列结论中，正确的是( )A .12BC a =B .12AC a = C .AC BC = D .0AC BC +=三、解答题17.如图，线段,AB CD 相交于O ，//AC DB ，且43AO BO =， 设AC a =，试用向量a 表示BD 。

18.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，AO a =，BO b =，试用a 、b 表示AB AD 、。

19.(1)已知如图①，在AECF 中，B D 、分别为AF EC 、的中点，联结AD BC 、，AC BD 、相交于点O ，设AB a =，AE b =，用向量a 、b 表示向量EC FA 、、 OD OB 、。

(2)已知：如图②，点D E 、分别在ABC ∆的两边AC BC 、的延长线上，//DE AB ，32AC CD =，设 AB a =，CD b =，用向量a 、b 表示向量AC AD 、和DE 。

① ②20.已知向量a 、b 、x 满足关系式23(32)0b a b x ---=，试用向量a b 、表示x 。

21.M N 、是ABC ∆的一边BC 上的两个三等分点(点M 靠近点B ，点N 靠近点C )，若AB a =，AC b =，用a 、b 表示MN 。

22.计算：7(22)4(3)8(2)a c b a b c a c -++-+--。

23.已知非零实数()m n m n ≠、和非零向量a 、b 、x ，且满足向量关系式()(23)4m n a x b --=，用向量a 、b 和实数m n 、表示向量x 。

24.如果a b c -=，23a b c +=，其中向量c 是非零向量，那么a 与b 是平行向量吗?请说明理由。

25.如图，矩形窗框有八块大小完全相同的长方形玻璃，已知长方形玻璃ATQH ，30AH cm =，20AT cm =，AT a =，AH b =。

(1)把向量AB 、DC 、BC 用a 和b 表示出来； (2)化简AB BC DC DA ++-(结果用a 和b 表示)； (3)连结HE EF 、，并用a 、b 表示HE 和EF 。

参考答案：1.52b a =-2.西北方向；83.35- 4.2;a b +15;a -611a b + 5.91a , 结合 6.88a b +, 分配7.5318a , 结合 8.823ab - 9.反向10.5a e =± 11.D 12.D 13.C 14. A 15.A 16. B17.43a - 18.ab -, a b + 19.(1)112,2,,22EC a FA a OD b OB b ==-==- (2)35,,22AC b AD b ==23DE a =- 20.11126x a b =+ 21.1133MN b a =- 22.326a b c ++ 23.2433()x a b m n =-- 24.//a b , 52,33a c b c == 25.(1)4AB DC a ==,2BC b = (2)84a b + (3)2HE a b =-, 2EF a b =+。