chapter6-4 相对论理论的四维形式

§6.4 相对论理论的四维形式

在相对论中时间和空间不可分割:

当参考系改变时，时空坐标互相变换，三维空间和一维时间构成一个统一体——四维时空

四维时空理论可用简洁的四维形式表述出来：

1. 三维空间的正交变换

——三维空间的转动性质

设坐标系Σ′相对于坐标系Σ转了一个角θ(1)

二维平面上的坐标系转动

设平面上一点的坐标在Σ系

为(x , y ), 在Σ´系为(x ′, y ′)

θ

θθ

θcos sin sin cos y x y y x x +−=′+=′不变量

=′+′=+=2

2222y x y x OP 满足此式的二维平面上的线性变换称为正交变换

坐标系转动属于正交变换

设υ为平面上任意矢量，在Σ系中的分量为υx ,υy ; 在Σ′系中的分量为υ′x , υ′y

矢量长度平方为

| υ|2= υ2x + υ2y =υ′2x +υ′2y =不变量这些分量有变换关系：

θ

υθυυθ

υθυυcos sin sin cos y x y y x x +−=′+=′任意矢量的变换与坐标变换具有相同的形式

设Σ系的直角坐标为(x 1, x 2, x 3), Σ′系的直角坐标为(x ′1, x ′2, x ′3)

（2）三维坐标转动

三维坐标线性变换一般具有形式

3332321313

3232221212

3132121111

x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++=′++=′++=′坐标系转动时距离保持不变,应有

23

2221232221x x x x x x ++=′+′+′满足此式的线性变换称为正交变换

空间转动属于正交变换, 式中的系数a ij 依赖于转动轴和转动角

3

2, 1, ,3

1==′∑=i x a x j j ij i 变换式可以一般地写成：

现代物理中一般约定：当公式中出现重复上、下标时，代表对该指标求和

由此约定，变换式可简写为

j

ij i x a x =′正交条件是

不变量

==′′i i i i x x x x

l j lj j

ij il i il x x x a a x a ===′δi il l x a x ′

=j

ij i x a x =′变换的逆变换式：

变换式两边乘以a il 并对i 求和

所以

变换系数可以写成矩阵形式

转置矩阵定义为ji

ij a a =~正交条件式可用矩阵乘法写为

I

a a =~——其中I 为单位矩阵

[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3332

31232221131211 a a a a a a a a a a ij a ~变换系数矩阵形式

2. 物理量按空间变换性质的分类

物理量可以分为标量、矢量、张量等，这种分类是根据物理量在空间转动下的变换性质分类来划分的

(1) 标量

在空间中没有取向，当坐标系转动时保持不变，这样的物理量称为标量

如质量、电荷等

设在坐标系Σ中某标量用u 表示,

在转动后的坐标系Σ′中用u′表示，由

标量不变性有

u=′

u

(2) 矢量

在空间中有一定的取向，用三个分量表示，当空间坐标作转动变换时，三个分量按同一方式变换，这样的物理量称为矢量

以υ代表矢量与坐标变换式对应, 有矢量变换关系：

坐标系Σ中：分量为υi 转动后的Σ′系中：

分量为υ′i

j

ij i a υυ=′例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量

(3) 二阶张量

●这类物理量要用两个矢量指标表示, 有9个分量

具有这种变换关系的物理量称为二阶张量kl

jl ik ij T a a T =′●有些物理量具有更加复杂的空间取向性质当空间转动时, 其分量T ij 按以下方式变换

例如：应力张量, 电四极矩等

ji

kl il jk kl jk il lk jl ik kl jl ik ij T T a a T a a T a a T a a T ′=====′ 则变换后的张量仍是对称的

①若张量对指标具有对称性：

ji

ij T T =反对称张量T ij = -T ji 变换后仍为反对称张量

②同样：

张量的一些性质：

③对称张量的迹是一个标量

不变量

====′kk kl kl kl il ik ii T T T a a T δ(1) 迹T ii

电四极矩就是一个无迹对称张量, 它只有5个独立分量

二阶张量可以分为三个部分：

(2) 无迹对称张量T ij = T ji , T ii =0(3) 反对称张量

T ij = -T ji .

(a) 两矢量υ和w 的标积υi w i 是一个标量

(b) 张量T ij 可以和一个矢量υj 作出乘积

此式具有矢量的变换关系，因此是一个矢量

T ′ij υ′j = a ik a jl T kl a jn υn = a ik δln T kl υn = a ik T kl υl

不变量

====′′j j k j jk k ik j ij i i w w w a a w υυδυυ④二阶张量与矢量的标积是一个矢量T ij υj 在坐标转到变换下：