(完整版)相交线与平行线讲义1

第五章 相交线与平行线

5.1.1 相交线

【学习目标】了解邻补角、对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题. 【学习过程】 一、学前准备

对七年级上学过的直线、射线、线段、角做总结． 二、探索思考

探索一：完成课本P2页的探究，填在课本上．

你能归纳出“邻补角”

的定义吗？ ． “对顶角”的定义呢？ ． 练习一：

1．如图1所示，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是一条射线． （1）写出∠AOC 的邻补角：____ _ ___ __； （2）写出∠COE 的邻补角： __； （3）写出∠BOC 的邻补角：____ _ ___ __； （4）写出∠BOD 的对顶角：____ _．

2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）

探索二：任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？如果相等，请说明理由．

请归纳“对顶角的性质”： ． 练习二：

1．如图，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______∠3=_______∠4=_______

2．如图直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______

3．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=_____.

三、当堂反馈

1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为 度 2．如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，∠1=60°，∠2=

2

3

∠4，?求∠3、∠5的度数． 图1 b a 4321第1题 F E

O D C B A

第2题 F E O

D C B

A

第3题

3．如图所示，有一个破损的扇形零件，?利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是多少度吗？你的根据是什么？

4．探索规律：

（1）两条直线交于一点，有 对对顶角； （2）三条直线交于一点，有 对对顶角； （3）四条直线交于一点，有 对对顶角； （4）n 条直线交于一点，有 对对顶角．

5.1.2 垂线

【学习目标】1了解垂线、点到直线的距离的意义，理解垂线和垂线段的性质；

2会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离.

【学习过程】 一、学前准备

在学习对顶角知识的时候，我们认识了“两线四角”，及两条直线相交于一点，得到四个角，这四个角里面，有两对对顶角，它们分别对应相等，如图，可以说成“直线AB 与CD 相交于点O ”． 我们如果把直线CD 绕点O 旋转，无论是按照顺时针方向转，

还是按照逆时针方向转，∠BOD 的大小都将发生变化．

当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条

直线互相垂直，其中的一条直线叫垂线，它们的交点叫垂足．如图 用几何语言表示：

方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD ，垂足是_____

方式⑵∵ AB ⊥CD 于O ∴ ∠AOC=______

二、探索思考

探索一：请你认真画一画，看看有什么收获．

⑴如图1，利用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画__________条； ⑵如图2，经过直线l 上一点A 画l 的垂线，这样的垂线能画_____条； ⑶如图3，经过直线l 外一点B 画l 的垂线，这样的垂线能画_____条；

O D C

B

A C D

A B O

（图1） （图2） （图3a ） （图3b ）

经过探索，我们可以发现：在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直． 练习一：

1．如图所示，OA ⊥OB ，OC 是一条射线，若∠AOC=120°， 求∠BOC 度数

2．如图所示，直线AB ⊥CD 于点O ，直线EF 经过点O ， 若∠1=26°，求∠2的度数．

3．如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，P 是CD 上一点． （1）过点P 画AB 的垂线PE ，垂足为E ．

（2）过点P 画CD 的垂线，与AB 相交于F 点． （3）比较线段PE ，PF ，PO 三者的大小关系

探索二：仔细观察测量比较上题中点P 分别到直线AB 上三点E 、F 、O 的距离，你还有什么收获？请将你的收获记录下来：_______________________________________________ 简单说成： ．还有，直线外一点到这条直线的垂线段的 叫做点到直线的距离.注意：垂线是 ，垂线段是一条 ，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离. 练习二：

1．在下列语句中，正确的是（ ）．

A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B ．在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条

C ．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D ．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离 2．如图所示，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC=5cm ，BC=12cm ，AB=13cm ，则点B 到AC 的距离是________，点A 到BC 的距离是_______，点C 到AB?的距离是_______，?AC>CD?的依据是_________． 三、当堂反馈

1．如图所示AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，FO ⊥CD 于O ，∠EOD 与∠FOB 的大小关系是（ ）

A ．∠EOD 比∠FO

B 大 B ．∠EOD 比∠FOB 小

C ．∠EO

D 与∠FOB 相等 D ．∠EOD 与∠FOB 大小关系不确定

l

l

A

l

B l

B

2．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．

3．如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．

（1）求∠AOC的度数；（2）判断AB与OC的位置关系．

5.1.3 同位角、内错角、同旁内角

【学习目标】1使学生理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们；

2通过三线八角的特点的分析，培养学生抽象概括问题的能力.

【学习过程】

一、学前准备

在前面我们学习了两条直线相交于一点，得到四个角，即“两线四角”，这四个角里面，有对对顶角，有对邻补角.如果是一条直线分别与两条直线相交，结果又会怎样呢？

二、探索思考

探索：如图，直线c分别与直线a、b相交（也可以说两条

直线a、b被第三条直线c所截），得到8个角，通常称为

“三线八角”，那么这8个角之间有哪些关系呢？

位置1 位置2 结论

∠1和∠5 处于直线c的同侧处于直线a、b的同一方这样位置的一对角就称为同位角

∠2和∠8 处于直线c的（）侧这样位置的一对角就称为（）

∠3和∠6 处于直线a、b的（）方这样位置的一对角就称为（）

∠1和∠5

这样位置的一对角

就称为（）位置1 位置2 结论

∠4和∠8 处于直线c的两侧处于直线a、b之间这样位置的一对角就称为内错角

∠3和∠5

这样位置的一对角

就称为（）位置1 位置2 结论

a

b

c

∠3和∠8 处于直线c的（）侧处于直线a、b（）

这样位置的一对角

就称为同旁内角

∠4和∠5

这样位置的一对角

就称为（）

练习：

1．如图1所示，∠1与∠2是__ _角，∠2与∠4是_ 角，∠2与∠3是__ _角．

(图1) (图2) (图3)

2．如图2所示，∠1与∠2是___ _角，是直线______和直线_______?被直线_______所截而形成的，∠1与∠3是___ __角，是直线________和直线______?被直线________所截而形成的．

3．如图3所示，∠B同旁内角有哪些？

三、当堂反馈

1．如图，(1)直线AD、BC被直线AC所截，找出图中由AD、

BC被直线AC所截而成的内错角是_________和__________

(2）∠3和∠4是直线_________和_________被_________

所截，构成内错角.

2．已知∠1与∠2是同旁内角，且∠1=60°，则∠2为（）

A. 60°

B. 120°

C. 60°或120°

D.无法确定

3．如图，判断正误

①∠1和∠4是同位角；（）

②∠1和∠5是同位角；（）

③∠2和∠7是内错角；（）

④∠1和∠4是同旁内角；（）

4．如图，直线DE、BC被直线AB所截.

⑴∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角？

⑵如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为

什么？

3

4

1

E

2

B C

D

A

3

4

1

E

2

B C

D

A

5.2.1 平行线

【学习目标】1使学生知道平行线的概念，掌握平行公理；

2了解平行线具有传递性，能够画出已知直线的平行线.

【学习过程】

一、学前准备

在上学期我们学过点和直线的位置关系，还记得点和直线有几种位置关系吗？请画出来，并尝试用几何语言来表示.

二、探索思考

探索一：我们知道，火车行驶的两条笔直的铁轨、人行道上的

斑马线等都给我们平行的形象.一般地，在同一平面内，不相交

的两条直线叫做平行线.如图，记作“a∥b”或“AB∥CD”，

读作“直线a平行于直线b”.请同学们思考一下：在同一平面

内，两条不重合的直线有几种位置关系？动手画一画,并尝试用几何语言来表示..

练习一：

1．下列说法中，正确的是（）．

A．两直线不相交则平行 B．两直线不平行则相交

C．若两线段平行，那么它们不相交 D．两条线段不相交，那么它们平行

2．在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

探索二：请同学们仔细阅读课本P13页“平行线的讨论”，认真思考.通过观察和画图，可以

体验一个基本事实（平行公理）：经过直线外一点，

一条直线与这条直线平行

.

同样，我们还有（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.简单的说就是：平行于同一直线的两直线平行.

用几何语言可表示为：如果b∥a，c∥a，那么 .

练习二：

1．如图1所示，与AB平行的棱有_______条，与AA′平行的棱有_____条．

2．如图2所示，按要求画平行线．

（1）过P点画AB的平行线EF；（2）过P点画CD的平行线MN．

3．如图3所示，点A，B分别在直线

1

l，

2

l上，（1）过点A画到

2

l的垂线段；（2）过点B

画直线

3

l∥

1

l．

(图1) (图2) (图3)

4．下列说法中，错误的有（）．

A B

C D

a

b

①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交;

②若a∥b，b∥c，那么a∥c;

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;

④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、?相交、垂线三种

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

三、当堂反馈

1．在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________.

2．同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________________. 3．判断题

（1）不相交的两条直线叫做平行线.( )

（2）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线.( )

（3）如果一条直线与两条平行线中的一条平行, 那么它与另一条也互相平行.( ) 4．读下列语句，并画出图形：

⑴点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P?且与直线AB垂直．

⑵直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外一点，直线EF经过点P?且与直线AB平行，与直线CD相交于E．

5.2.2 平行线的判定

【学习目标】使学生掌握平行线的判定，并能应用这些知识判断两条直线是否平行，培养学生简单的推理能力.

【学习过程】

一、学前准备

还知道“三线八角”吗？请画一画，找出一组同位角、一组内错角、一组同旁内角.二、探索思考

探索一：请同学们仔细阅读课本P13页“平行线判定的思考”，你知道在画平行线这一过程中，三角尺所起的作用吗？

由此我们可以得到平行线的判定方法，如图，将下列空白补充完整（填1种就可以）判定方法1（判定公理）

几何语言表述为：∵∠___=∠___ ∴ AB∥CD

由判定方法1，结合对顶角的性质，我们可以得到：

判定方法2（判定定理）

几何语言表述为：∵∠___=∠___ ∴ AB∥CD 由判定方法1，结合邻补角的性质，我们可以得到：判定方法3（判定定理）

几何语言表述为：∵∠___+∠___=180°∴ AB∥CD 练习一：

8

3

6

2

5

14

7

E

D C

B A

(1题) (2题) (3题)

1．如图1所示，若∠1=∠2，则_____∥______，根据是__ ____． 若∠1=∠3，则______∥______，根据是_____ ____． 2．如图2所示，若∠1=62°，∠2=118°，则_____∥_____，根据是_____ ___ 3．根据图3完成下列填空（括号内填写定理或公理） （1）∵∠1=∠4（已知）

∴ ∥ （ ） （2）∵∠ABC +∠ =180°（已知）

∴AB ∥CD （ ） （3）∵∠ =∠ （已知）

∴AD ∥BC （ ） （4）∵∠5=∠ （已知）

∴AB ∥CD （ ） ( 图3 )

探索二：木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示，a ∥b ，你能说明是什么道理吗？ 结论（判定推论）：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.简记为：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 如图，几何语言表述为：∵a ⊥2l ，b ⊥2l ∴

练习二：

1．如图所示，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，BF 和CE 是射线，并且∠1=∠2， 试说明BF ∥CE ．

三、当堂反馈

1．如图所示，在下列条件中，不能判断L 1∥L 2的是（ ）． A ．∠1=∠3 B ．∠2=∠3

C ．∠4+∠5=180°

D ．∠2+∠4=180° 2．如图所示，已知∠1＝120°,∠2＝60°．试说明a 与b 的关系？ 3．如图所示，已知∠OEB=130°，∠FOD=25°，OF 平分∠EOD ，试说明AB ∥CD ．

C

1

2

3 4 5

D

A B

1 2

a b 3 c

相交线与平行线专项练习题

一、选择题：

1.如图，DE ∥AB ，∠CAE=3

1

∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( )

A ．70°

B ．65°

C ．60°

D ．55°

1题 2题 3题 4题 2.如图所示，∠1的邻补角是( )

A.∠BOC

B.∠BOE 和∠AOF

C.∠AOF

D.∠BOC 和∠AOF 3.如图所示，内错角共有( ) A.4对 B.6对 C.8对 D.10对 4.如图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=?∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a ∥b 的条件的序号是（ ） A ．（1）、（2） B ．（1）、（3） C ．（1）、（4） D ．（3）、（4） 5.如图，点E 在BC 的延长线上，在下列四个条件中，不能判定AB ∥CD 的是( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠DCE C.∠3=∠4 D.∠D+∠DAB=180°

5题 6题7题

8题9题

B

D

E 1

3

A C

F 2 6.如图，如果AB ∥CD ，则α、β、γ之间的关系为 ( )

A.α+β+γ=360°

B.α-β+γ=180°

C.α+β-γ=180°

D.α+β+γ=180° 7.如图，AB ∥CD ，那么∠A ，∠P ，∠C 的数量关系是( )

A.∠A+∠P+∠C=90°

B.∠A+∠P+∠C=180°

C.∠A+∠P+∠C=360°

D.∠P+∠C=∠A

8.如图，AB ∥CD ，∠ABF=3

2∠ABE ，∠CDF=3

2∠CDE ，则∠E ∶∠F 等于（ ）

A ．2：1

B ．3：1

C ．3：2

D ．4：3

9.如图，AB ⊥EF ，CD ⊥EF ，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD 相等的角有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题：

10.观察图中角的位置关系，∠1和∠2是______角，∠3和∠1是_____角，∠1?和∠4是_______角，∠3和∠4是_____角，∠3和∠5是______角.

10题

11题12题

13题 14题 15题

11.如图，已知CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，∠DGC=105°，∠BCG=75°，则∠1+

∠2=____度．

12.如图，AB ∥CD ，∠BAE = 120o，∠DCE = 30o，则∠AEC = 度。

13.如图，按虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，并使∠1＝1200，AB ⊥BC ，则∠2的度数为 。