(完整版)相交线与平行线讲义1
第五章 相交线与平行线5.1.1 相交线【学习目标】了解邻补角、对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题. 【学习过程】 一、学前准备对七年级上学过的直线、射线、线段、角做总结． 二、探索思考探索一：完成课本P2页的探究，填在课本上．你能归纳出“邻补角”的定义吗？ ． “对顶角”的定义呢？ ． 练习一：1．如图1所示，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是一条射线． （1）写出∠AOC 的邻补角：____ _ ___ __； （2）写出∠COE 的邻补角： __； （3）写出∠BOC 的邻补角：____ _ ___ __； （4）写出∠BOD 的对顶角：____ _．2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）探索二：任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？如果相等，请说明理由．请归纳“对顶角的性质”： ． 练习二：1．如图，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______∠3=_______∠4=_______2．如图直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______3．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=_____.三、当堂反馈1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为 度 2．如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，∠1=60°，∠2=23∠4，•求∠3、∠5的度数． 图1 b a 4321第1题 F EO D C B A第2题 F E OD C BA第3题3．如图所示，有一个破损的扇形零件，•利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是多少度吗？你的根据是什么？4．探索规律：（1）两条直线交于一点，有 对对顶角； （2）三条直线交于一点，有 对对顶角； （3）四条直线交于一点，有 对对顶角； （4）n 条直线交于一点，有 对对顶角．5.1.2 垂线【学习目标】1了解垂线、点到直线的距离的意义，理解垂线和垂线段的性质；2会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离.【学习过程】 一、学前准备在学习对顶角知识的时候，我们认识了“两线四角”，及两条直线相交于一点，得到四个角，这四个角里面，有两对对顶角，它们分别对应相等，如图，可以说成“直线AB 与CD 相交于点O ”． 我们如果把直线CD 绕点O 旋转，无论是按照顺时针方向转，还是按照逆时针方向转，∠BOD 的大小都将发生变化．当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫垂线，它们的交点叫垂足．如图 用几何语言表示：方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD ，垂足是_____方式⑵∵ AB ⊥CD 于O ∴ ∠AOC=______二、探索思考探索一：请你认真画一画，看看有什么收获．⑴如图1，利用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画__________条； ⑵如图2，经过直线l 上一点A 画l 的垂线，这样的垂线能画_____条； ⑶如图3，经过直线l 外一点B 画l 的垂线，这样的垂线能画_____条；O D CBA C DA B O（图1） （图2） （图3a ） （图3b ）经过探索，我们可以发现：在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直． 练习一：1．如图所示，OA ⊥OB ，OC 是一条射线，若∠AOC=120°， 求∠BOC 度数2．如图所示，直线AB ⊥CD 于点O ，直线EF 经过点O ， 若∠1=26°，求∠2的度数．3．如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，P 是CD 上一点． （1）过点P 画AB 的垂线PE ，垂足为E ．（2）过点P 画CD 的垂线，与AB 相交于F 点． （3）比较线段PE ，PF ，PO 三者的大小关系探索二：仔细观察测量比较上题中点P 分别到直线AB 上三点E 、F 、O 的距离，你还有什么收获？请将你的收获记录下来：_______________________________________________ 简单说成： ．还有，直线外一点到这条直线的垂线段的 叫做点到直线的距离.注意：垂线是 ，垂线段是一条 ，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离. 练习二：1．在下列语句中，正确的是（ ）．A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条C ．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离 2．如图所示，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC=5cm ，BC=12cm ，AB=13cm ，则点B 到AC 的距离是________，点A 到BC 的距离是_______，点C 到AB•的距离是_______，•AC>CD•的依据是_________． 三、当堂反馈1．如图所示AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，FO ⊥CD 于O ，∠EOD 与∠FOB 的大小关系是（ ）A ．∠EOD 比∠FOB 大 B ．∠EOD 比∠FOB 小C ．∠EOD 与∠FOB 相等 D ．∠EOD 与∠FOB 大小关系不确定llAlB lB2．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．3．如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．（1）求∠AOC的度数；（2）判断AB与OC的位置关系．5.1.3 同位角、内错角、同旁内角【学习目标】1使学生理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们；2通过三线八角的特点的分析，培养学生抽象概括问题的能力.【学习过程】一、学前准备在前面我们学习了两条直线相交于一点，得到四个角，即“两线四角”，这四个角里面，有对对顶角，有对邻补角.如果是一条直线分别与两条直线相交，结果又会怎样呢？二、探索思考探索：如图，直线c分别与直线a、b相交（也可以说两条直线a、b被第三条直线c所截），得到8个角，通常称为“三线八角”，那么这8个角之间有哪些关系呢？观察填表：表一位置1 位置2 结论∠1和∠5 处于直线c的同侧处于直线a、b的同一方这样位置的一对角就称为同位角∠2和∠8 处于直线c的（）侧这样位置的一对角就称为（）∠3和∠6 处于直线a、b的（）方这样位置的一对角就称为（）∠1和∠5这样位置的一对角就称为（）表二位置1 位置2 结论∠4和∠8 处于直线c的两侧处于直线a、b之间这样位置的一对角就称为内错角∠3和∠5这样位置的一对角就称为（）表三位置1 位置2 结论abc∠3和∠8 处于直线c 的（ ）侧 处于直线a 、b （ ） 这样位置的一对角就称为同旁内角 ∠4和∠5这样位置的一对角就称为（ ）练习：1．如图1所示，∠1与∠2是__ _角，∠2与∠4是_ 角，∠2与∠3是__ _角．(图1) (图2) (图3)2．如图2所示，∠1与∠2是___ _角，是直线______和直线_______•被直线_______所截而形成的，∠1与∠3是___ __角，是直线________和直线______•被直线________所截而形成的．3．如图3所示，∠B 同旁内角有哪些？三、当堂反馈1．如图，(1)直线AD 、BC 被直线AC 所截，找出图中由AD 、BC 被直线AC 所截而成的内错角是_________和__________(2）∠3和∠4是直线_________和_________被_________所截，构成内错角.2．已知∠1与∠2是同旁内角，且∠1=60°，则∠2为（ ）A. 60°B. 120°C. 60°或120°D.无法确定3．如图，判断正误①∠1和∠4是同位角；（ ） ②∠1和∠5是同位角；（ ） ③∠2和∠7是内错角；（ ） ④∠1和∠4是同旁内角；（ ）4．如图，直线DE 、BC 被直线AB 所截.⑴∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角？⑵如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？341E 2B C D A 341E2BCDA5.2.1 平行线【学习目标】1使学生知道平行线的概念，掌握平行公理；2了解平行线具有传递性，能够画出已知直线的平行线.【学习过程】一、学前准备在上学期我们学过点和直线的位置关系，还记得点和直线有几种位置关系吗？请画出来，并尝试用几何语言来表示.二、探索思考探索一：我们知道，火车行驶的两条笔直的铁轨、人行道上的斑马线等都给我们平行的形象.一般地，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.如图，记作“a ∥b ”或“AB ∥CD ”，读作“直线a 平行于直线b ”.请同学们思考一下：在同一平面内，两条不重合的直线有几种位置关系？动手画一画,并尝试用几何语言来表示..练习一：1．下列说法中，正确的是（ ）．A ．两直线不相交则平行B ．两直线不平行则相交C ．若两线段平行，那么它们不相交D ．两条线段不相交，那么它们平行 2．在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 探索二：请同学们仔细阅读课本P13页“平行线的讨论”，认真思考.通过观察和画图，可以体验一个基本事实（平行公理）：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行. 同样，我们还有（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.简单的说就是：平行于同一直线的两直线平行.用几何语言可表示为：如果b ∥a ，c ∥a ，那么 . 练习二：1．如图1所示，与AB 平行的棱有_______条，与AA ′平行的棱有_____条． 2．如图2所示，按要求画平行线． （1）过P 点画AB 的平行线EF ；（2）过P 点画CD 的平行线MN ． 3．如图3所示，点A ，B 分别在直线1l ，2l 上，（1）过点A 画到2l 的垂线段；（2）过点B 画直线3l ∥1l ．(图1) (图2) (图3)4．下列说法中，错误的有（ ）．A B C Da b①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交;②若a∥b，b∥c，那么a∥c;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、•相交、垂线三种A．3个 B．2个 C．1个 D．0个三、当堂反馈1．在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________.2．同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________________. 3．判断题（1）不相交的两条直线叫做平行线.( )（2）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线.( )（3）如果一条直线与两条平行线中的一条平行, 那么它与另一条也互相平行.( ) 4．读下列语句，并画出图形：⑴点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P•且与直线AB垂直．⑵直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外一点，直线EF经过点P•且与直线AB平行，与直线CD相交于E．5.2.2 平行线的判定【学习目标】使学生掌握平行线的判定，并能应用这些知识判断两条直线是否平行，培养学生简单的推理能力.【学习过程】一、学前准备还知道“三线八角”吗？请画一画，找出一组同位角、一组内错角、一组同旁内角.二、探索思考探索一：请同学们仔细阅读课本P13页“平行线判定的思考”，你知道在画平行线这一过程中，三角尺所起的作用吗？由此我们可以得到平行线的判定方法，如图，将下列空白补充完整（填1种就可以）判定方法1（判定公理）几何语言表述为：∵∠___=∠___ ∴ AB∥CD由判定方法1，结合对顶角的性质，我们可以得到：判定方法2（判定定理）几何语言表述为：∵∠___=∠___ ∴ AB∥CD 由判定方法1，结合邻补角的性质，我们可以得到：判定方法3（判定定理）几何语言表述为：∵∠___+∠___=180°∴ AB∥CD 练习一：83625147ED CB A(1题) (2题) (3题)1．如图1所示，若∠1=∠2，则_____∥______，根据是__ ____． 若∠1=∠3，则______∥______，根据是_____ ____． 2．如图2所示，若∠1=62°，∠2=118°，则_____∥_____，根据是_____ ___ 3．根据图3完成下列填空（括号内填写定理或公理） （1）∵∠1=∠4（已知）∴ ∥ （ ） （2）∵∠ABC +∠ =180°（已知）∴AB ∥CD （ ） （3）∵∠ =∠ （已知）∴AD ∥BC （ ） （4）∵∠5=∠ （已知）∴AB ∥CD （ ） ( 图3 )探索二：木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示，a ∥b ，你能说明是什么道理吗？ 结论（判定推论）：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.简记为：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 如图，几何语言表述为：∵a ⊥2l ，b ⊥2l ∴练习二：1．如图所示，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，BF 和CE 是射线，并且∠1=∠2， 试说明BF ∥CE ．三、当堂反馈1．如图所示，在下列条件中，不能判断L 1∥L 2的是（ ）． A ．∠1=∠3 B ．∠2=∠3C ．∠4+∠5=180°D ．∠2+∠4=180° 2．如图所示，已知∠1＝120°,∠2＝60°．试说明a 与b 的关系？ 3．如图所示，已知∠OEB=130°，∠FOD=25°，OF 平分∠EOD ，试说明AB ∥CD ．C123 4 5DA B1 2a b 3 c相交线与平行线专项练习题一、选择题：1.如图，DE ∥AB ，∠CAE=31∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( )A ．70°B ．65°C ．60°D ．55°1题 2题 3题 4题 2.如图所示，∠1的邻补角是( )A.∠BOCB.∠BOE 和∠AOFC.∠AOFD.∠BOC 和∠AOF 3.如图所示，内错角共有( ) A.4对 B.6对 C.8对 D.10对 4.如图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=•∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a ∥b 的条件的序号是（ ） A ．（1）、（2） B ．（1）、（3） C ．（1）、（4） D ．（3）、（4） 5.如图，点E 在BC 的延长线上，在下列四个条件中，不能判定AB ∥CD 的是( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠DCE C.∠3=∠4 D.∠D+∠DAB=180°5题 6题7题8题9题BDE 13A CF 2 6.如图，如果AB ∥CD ，则α、β、γ之间的关系为 ( )A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β-γ=180°D.α+β+γ=180° 7.如图，AB ∥CD ，那么∠A ，∠P ，∠C 的数量关系是( )A.∠A+∠P+∠C=90°B.∠A+∠P+∠C=180°C.∠A+∠P+∠C=360°D.∠P+∠C=∠A8.如图，AB ∥CD ，∠ABF=32∠ABE ，∠CDF=32∠CDE ，则∠E ∶∠F 等于（ ）A ．2：1B ．3：1C ．3：2D ．4：39.如图，AB ⊥EF ，CD ⊥EF ，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD 相等的角有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题：10.观察图中角的位置关系，∠1和∠2是______角，∠3和∠1是_____角，∠1•和∠4是_______角，∠3和∠4是_____角，∠3和∠5是______角.10题11题12题13题 14题 15题11.如图，已知CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，∠DGC=105°，∠BCG=75°，则∠1+∠2=____度．12.如图，AB ∥CD ，∠BAE = 120º，∠DCE = 30º，则∠AEC = 度。
相交线与平行线讲义
相交线与平行线讲义知识点精讲：一、同一平面内两条直线的位置关系1．平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b．2．同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）相交；（2）平行．3．对平行线概念的理解：两个关键：一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”．一个前提：对两条直线而言．4．平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．二、平行公理1．利用前面的教具，说明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．提问垂线的性质，并进行比较．3．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c．三、三线八角由前面的教具演示引出．如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中对顶角有______对．______邻补角有______对．______同位角有______对，______内错角有______对，______同旁内角有______ 对．______ 四、典例探究（一）、平行性质与判定的综合应用1、如图，在四边形ABCD 中，∠A=104°－∠2，∠ABC=76°+∠2，BD ⊥CD 于D ，EF ⊥CD 于F ，能辨认∠1=∠2吗？试说明理由．C2、如图，已知∠1=∠2，再添上什么条件可使AB ∥CD 成立？并就你添上的条件证明AB ∥CD ．3、如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72°，求∠2的度数。
第五章平行线与相交线讲义
第五章 相交线与平行线一、学习目标重点：垂直的概念，平行线的判定和性质； 难点：用定理或性质进行简单的推理 二、知识要点 第一节 相交线知识点1.相交线---对顶角、邻补角 1.对顶角（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角 （2）性质：对顶角相等 2.邻补角（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为 反向延长线，具有这 种位置关系的两个角，互为邻补角。
（2）性质：邻补角互补例．如图1所示，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是一条射线． （1）写出∠AOC 的邻补角：____ _ ___ __； （2）写出∠COE 的邻补角： __； （3）写出∠BOC 的邻补角：____ _ ___ __； （4）写出∠BOD 的对顶角：____ _．基础练习：1.直线AD 、BC 交于O 点，∠+∠=︒A O B C O D 110， 则∠C O D的度数为 ． 2．如图直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______拓展练习：AB O CD图1FE OD CB A123 4知识点2垂线及其性质1、定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2、表示方法：用“⊥”表示垂直，读作“垂直于”3、性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4、垂线的画法基础练习：1.过P 点，画出OA 、OB 的垂线．APO BAO P B知识点3 垂线段与点到直线的距离1、垂线段：P 为直线l 外一点，PC ⊥l ，垂足为C ，则线段PC 就是点P 到直线l 的垂线段。
2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
平行线与相交线 讲义
相 交 线 和 平 行 线一、知识结构：⑴直线公理 ⑵线段公理⑶相交线⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧同旁内角内错角同位角所截两条直线被第三条直线点到直线的距离垂线的性质唯一性互相垂直对顶角邻补角一般情况两条直线相交 ⑷平行线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ 平移的特征平行线的性质及其推论平行线的判定平行公理及其推论重要考点：1、认识常用角的概念、性质、计算2、垂线、垂线的性质3、平行线的性质与判定4、平移的性质与应用 综合考点： 1、公理的应用2、平行线的性质与判定的综合3、平行线与角平分线的综合4、平面内直线交点的个数二、典型例题：例1.已知mm 26,mm 42,30===︒=∠BC BA MBN （如图所示），过点A 分别画AB 和BC 的垂线，画点C 到AB 的垂线段，画点B 到AC 的垂线段，并量出点A 到BC 的距离和点C 到AB 的距离及A ，C 两点间的距离．例2. 如图，直线DE 交射线BA 和BC 于点F 和G ，请找出CGD ∠的同位角与B ∠的同旁内角．例3 .如图 1－18，直线a ∥b ，直线 AB 交 a 与 b 于 A ，B ，CA 平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°.变式练习：如图 1－20，CA ，CB 分别是∠BAE 与∠ABF 的平分线，若∠C=90°，问直线a 与直线b 是否一定平行？例4 .如图1－21所示，AA 1∥BA 2求∠A 1-∠B 1+∠A 2．变式1. 如图1－24所示．∠A 1+∠A 2=∠B 1，问AA 1与BA 2是否平行？变式2. 如图1－25所示．若∠A1+∠A 2+…+∠A n =∠B 1+∠B 2+…+∠B n-1，问AA 1与BA n 是否平行？例5 .如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ．例6. 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF ⊥CD ．求证：∠3=∠B ．例7．如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，∠E=∠3 试说明：AD 平分∠BAC 答：因为AD ⊥BC ，EG ⊥BC所以AD ∥EG （ ） 所以∠1=∠E （ ）∠2=∠3（ ） 又因为∠3=∠E 所以∠1=∠2所以AD 平分∠BAC （ ） 例8． 用六根火柴摆三角形．（1）摆出三个三角形，（2）摆出六个三角形； （3）摆出八个三角形；（4）摆出四个三角形．三、练习题1．填空题（1）在同一平面内，经过直线上或直线外一点，有且只有________条直线与已知直线垂直． （2）如图（1），︒=∠⊥⊥28,,AOC BO AO DO CO ，那么.________=∠BOD （3）如图（2），BC AD AC AB ⊥⊥,，垂足分别为D A ,点，C 点到直线AB 的距离是垂线段______的长度，B 点到直线AD 的距离是垂线段_________的长度，A 点到直线BC 的距离是垂线段的__________的长度，A 点到B 点的距离是线段_________的长度． （4）如图（3），已知AB 和CD 相交于O 点，︒=∠︒=∠18,50AOE BOC ，那么._______=∠COE （5）如图（4），①1∠和2∠是_____和______被_______截得的_________________； ②_______和_______被_________所截，1∠和B ∠是_________角； ③_______和_______被_________所截，EFC ∠和C ∠是_______角．2．选择题（1）下列图中，1∠和2∠不是同位角的是（ ）（2）图中，3∠和4∠不是内错角的是（ ）图8（3）图中，5∠和6∠不是同旁内角的是（ ）（4）观察图知，在下列语句中，正确的是（ ）A ．若21∠=∠，则CD AB //． B ．若21∠=∠，则BC AD //． C ．若BCD B ∠=∠，则AD BC //． D ．若D B ∠=∠，则AD BC //． （5）如果1∠和2∠是同旁内角，且︒=∠751，那么=∠2（ ）A ．75°B ．105°C ．75°或105°D ．大小不定．（6）如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么，这两个角（ ） A ．相等． B ．互补． C ．相等或互补． D ．相等且互补． （7）有下列语句：①直线a 与b 相交，若c a //，则b 不与c 平行． ②直线a 、b 被直线c 所截，同位角相等．③如果直线AB 与直线CD 平行，则点A 、B 在直线CD 的同侧． ④如果直线AB 与直线CD 相交，则点A 、B 在直线CD 的异侧． 其中，正确的是（ ）A ．①②③④．B ．①③．C ．①③④．D ．①②④．(8)一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°D ．第一次右拐50°，第二次右拐50(9). 如图4，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于O ，若∠COE=55°，则∠BOD 的度数为（A. 40° B. 45° C. 30° D. 35°(10). 如图5，已知ON ⊥l ，OM ⊥l ，所以OM 与ON 重合，其理由是（ ）A. 过两点只有一条直线B. 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C. 垂线段最短D. 过一点只能作一条垂线(11).下列说法正确的有（ ） ①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②互为邻补角的角平分线互相垂直；③过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；④直线外一点到这条直线的垂线的长叫做这点到这条直线的距离。
相交线与平行线1课件1
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3.命题的分类： 真命题, 假命题
4:.逆命题 .
同行旁内角互补，两直线平 行同位角相等，两直线平行， 平行于同一条直线的两条直线平行
垂直于同一条直线的两条直线平 行
二：余角、补角
1.定义： 如果两个角的和是直角，就说这两个角互为余角
如果两个角的和是平角，就说这两个角互为补角
2.性质 同角（等角）的余角相等、
同角（等角）的补角相等
三：距离
（1）两点间的距离 两点间线段的长度叫做两点间的距离 （2）点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，
这一点和垂足之间线段的长度叫 做点到直线的距离 （3）两条平行间线的距离 （4）中垂线 线段的中垂线上的点到线段两个端点的距离相等
到线段两个端点的距Байду номын сангаас相等的点在这条线段的中垂线上
（5）角平分线 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上
四：命题 1.命题的结构: 条件，结论
（2）性质： 对顶角相等
2.垂直
性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短
3.平行：
（1）三线八角；同位角、内错角、同旁内角. （2）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（3）平行线的性质 两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补 （4）平行线的判定 内错角相等，两直线平
相交线与平行线
一：线段，射线，直线
1:比较
名称
图 形 表示方法
端点
线段 A a
线段AB
B 线段 a
两个
射线 O
M
(人教版七年级数学)第1讲-相交线与平行线(经典讲义)
第一讲相交线与平行线◆了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．◆了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义．◆知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．◆知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．◆知道两直线平行的条件并会正确判断．◆知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质．◆体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离．◆利用相关知识会进行有关推理和计算．◆会借助长方体了解直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．➢点、线、角1．点、直线、面（不定义概念）及其表示；2．射线、线段、线段的中点及其表示；3．两点确定一条直线；4．两点之间线段最短（两点之间的距离）；5．角、角的顶点、边、角平分线的表示及其性质；6．角的分类（锐角、直角、钝角、平角、周角）、度量（度、分、秒）及计算．➢关系角及其性质1．对顶角、余角、补角（邻补角）、同位角，内错角、同旁内角；2．对顶角相等；3．同角（或等角）的余角（或补角）相等．➢相交线、平行线1．垂线、垂线段最短（点到直线的距离）；2．过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线和已知直线垂直；3．会过一点画（作）已知直线的垂线；（一落，二靠，三画）4．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；5．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．6．三线八角与平行线的关系；①判定公理：同位角相等，两直线平行．∵∠1=∠2，∴a∥b．②判定定理1：内错角相等，两直线平行．∵∠1=∠2，∴a∥b．③判定定理2：同旁内角互补，两直线平行．∵∠1+∠2=1800，∴a∥b．④性质公理：两直线平行，同位角相等．∵a∥b，∴∠1=∠2．⑤性质定理1：两直线平行，内错角相等．∵a∥b，∴∠1=∠2．⑥性质定理2：两直线平行，同旁内角互补．∵a∥b，∴∠1+∠2=1800．7．平行线之间的距离.8．会过直线外一点，画已知直线的平行线．【例题1】（06南通）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于（）A．144°41′ B．144°81′ C．54°41′ D．54°81′【例题2】（05南通）已知，如图（1）直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（） A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END【例题3】（06南通）如图（2），AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于G，若∠EFG=72°，则∠EGF等于（）A．36° B．54° C．72° D．108°【例题4】（04南通）如图（3），在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列棱中与面CC1D1D垂直的棱（）A．A1B1 B．CC1 C．BC D．CD【例题5】如图所示，已知∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在OB上有一点P，从P 点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）A．60° B．80° C．100° D．120°【例题6】如图，已知∠C=∠AOC，OC平分∠AOD，OC⊥OE，∠D=54°．求∠C、∠BOE的度数．【例题7】探究：如图所示，已知： AB∥CD，分别探究下面三个图形中∠A、∠C、∠P之间的数量关系，并选一个给予证明．【精练1】如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（）A．∠1+∠2 B．∠2-∠1图（3）图（1）图（2）例5图C．180°-∠2 +∠1 D．180°-∠1+∠2【精练2】如图1，小明要由A村去B村，现有三条路可走，走路最近理由是．【精练3】如图2，要从水渠向水池C引水，在哪里开沟可使水渠最短，请画出图形．理由是．【精练4】如图3，已知，∠1=35°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．则∠2= 度，∠3= 度，∠4= 度．【精练5】（05年临汾）如图4，将一副三角板的直角顶点重合，•摆放在桌面上，•若∠AOD=145°，则∠BOC=_______度．【精练6】（05年烟台）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐的角∠A是120○，第二次拐的角∠B是150○，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是【精练7】判断题：（1）和为180°的两个角是邻补角．（）（2）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．（）（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．（）（4）邻补角的角平分线所在的两条直线互相垂直．（）（5）两条直线相交，所成的四个角中，一定有一个是锐角．（）【精练8】如图1，直线AB、CD相交于点O，∠1＝∠2．则∠1的对顶角是_____，∠4的邻补角是______．∠2的补角是_________．图3图4图3图1图2【精练9】如图2，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝_____．【精练10】如图3，∠1＝82°，∠2＝98°，∠3＝80°，则∠4＝．【精练11】下列语句中，正确的是（）A．有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角 B．互为邻补角的两个角不相等C．两边互为反向延长线的两个角是对顶角 D．交于一点的三条直线形成3对对顶角．【精练12】如图，AB∥CD．若∠2是∠1的两倍，则∠2等于（）A．60°B． 90°C． 120°D． 150°【精练13】一学员在广场上练习驾驶汽车，若其两次拐弯后仍沿原方向前进，则两次拐弯的角度可能是（） A．第一次向左拐30○，第二次向右拐 30○B．第一次向右拐30○，第二次向左拐130○C．第一次向右拐50○，第二次向右拐130○D．第一次向左拐50○．第二次向左拐130○【精练14】如图，已知：AB∥CD，∠1=55°∠2=80°，求∠3的度数．【精练15】如图，已知： AB∥CD，BE∥CF．求证：∠1=∠4．。
相交线与平行线讲义
相交线与平行线讲义(总9页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-本章总结本章主要讲述的知识点有相交线与平行线。
其中相交线当中，两线相交，共产生两对对顶角，还引入了邻补角的概念。
相交的一种特殊情况是垂直，两条直线交角成90︒。
经过直线外一点，作直线的垂线，有且只有一条；点到直线上各点的距离中，垂线段最短。
两条直线的另外一种关系是平行，平行就是指两条直线永不相交。
平行线之间的距离处处相等。
过直线外一点，作已知直线的平行线，有且只有一条。
当同一平面内的三条直线相交时，有三种情况：一种是只有一个交点；一种是有两个交点，即两条直线平行被第三条直线所截；还有一种是三个交点，即三条直线两两相交。
两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。
平行线判定定理：两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢答案是可以的。
两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB∠∠∠∠∠∠︒∠∠︒∠∠︒∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。
人教版初一数学7年级下册 第5章(相交线与平行线)平行线 课件(共42张ppt)
③百米直跑道的两边．
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
2 下列说法中，正确的有( B ) ①在同一平面内不相交的两条线段必平行； ②在同一平面内不相交的两条直线必平行； ③在同一平面内不平行的两条线段必相交； ④在同一平面内不平行的两条直线必相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3 a，b，c是平面内任意三条直线，交点可以有 ( B) A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个 C．1个或2个 D．以上都不对
例6 如图，P是三角形ABC内部的任意一点． (1)过P点向左画射线PM∥BC交AB于点M，过 P点向右画射线PN∥BC交AC于点N； (2)在(1)中画出的图形中，∠MPN的度数一定等 于180°，你能说明其中的道理吗？
导引：在(1)中,按照过直线外一点画已知直线的平行线 的方法画图即可.在(2)中,要说明∠MPN＝180°, 可转化为说明点M, P, N在同一条直线上．
（来自《教材》）
解：(1)如图(1)所示． (2)如图(2)所示． (1)
（来自《教材》）
(2)
2 在如图所示的各图形中，过点M画PQ∥AB. 解：略.
知识点 3 平行线的基本事实1：确定性
(1) 经过点C可以画几条直 a
线与直线AB平行？ A
(2) 过点D画一条直线与
AB平行.
b
C
B D
(3) 通过画图，你发
解：与棱AD平行的棱有A′D′，B′C′，BC， 记作AD∥A′D′，AD∥B′C′，AD∥BC. 与棱D′C′平行的棱有DC，AB，A′B′， 记作D′C′∥DC, D′C′∥AB, D′C′∥A′B′.
总结
找平行线要注意两点： (1)在同一平面内； (2)不相交(无限延伸)．
(完整版)相交线与平行线讲义OK
相交线与平行线讲义例题分析：【知识点一】相交线的性质：两条直线相交，有且只有一个交点。
例1、（河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A、一定有一个锐角 B、一定有一个钝角C、一定有一个直角D、一定有一个不是钝角例2、（绵阳）在一个平面上任意画3条直线，最多可以把平面分成的部分是（）A、4个B、6个C、7个D、8个例3、（鄂州）在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是（）A、2个B、3个C、4个D、5个例4、（宿迁）一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．例5、在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（）A、7个B、6个C、5个D、4个例6、平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（）A、24条B、21条C、33条D、36条例7、如右图，两条非平行的直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截，交点为PQ ，那么这3条直线将所在平面分成（ ）A 、5个部分B 、6个部分C 、7个部分D 、8个部分【知识点二】对顶角、邻补角： 对顶角定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。
邻补角定义：两个角有一个公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。
对顶角的性质：对顶角相等。
邻补角的性质：邻补角互补。
例1、（漳州）如右图，直线b a 、相交于点o ，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）A 、50°B 、60°C 、140°D 、160°例2、（辽宁）如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC=100°， 则∠BOD 的度数是（ ）A 、20°B 、40°C 、50°D 、80°例3、（湘西州）如图，直线AB ，CD 相交于O 点，若∠1=30°，则∠2，∠3的度数分别为（ ）A 、120°，60°B 、130°，50°C 、140°，40°D 、150°，30° 例4、如右图，图中有 对对顶角．例5、（1）延长射线OM ；（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若∠A+∠B+∠C=180°，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．以上说法正确的有（ ）例7例1例2 例3例4A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个例6、命题①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直线都相等；⑥任何数都有倒数；⑦如果22b a =，那么b a =；⑧如果∠A+∠B=90°，那么∠A 与∠B 互余．其中真命题有（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个【知识点三】垂线：垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
《平行线》相交线与平行线PPT精品课件
5.2 平行线及其判定 5.2.1 平行线
导入新知 生活中好多事物给我们线的感觉，那么下列这些线给我们
什么印象呢？ 如图，电梯的扶手给我们
什么印象？
电梯扶手所在直线会相交吗？
导入新知
那么铁轨给我们什么印象？
还有什么地方给我们相同的印
象呢？
铁轨所在直线会相交吗？
导入新知
课堂检测
2.在同一平面内，下列说法：
①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个
公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确
的个数为（ C ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
课堂检测
3.完成下列推理，并在括号内注明理由.
因为 AD∥BC，PQ∥AD，所以PQ∥BC(如果两条直线都与第
三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)；
(3)经测量DQ=CQ，AD+BC=2PQ成立.
课堂检测 拓广探索题
如图，直线a ∥b，b∥c，c∥d，那么a ∥d吗？为什么？ a bc d
解： a ∥d ，理由如下： 因为 a ∥b，b∥c，所以 a ∥c （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行） 因为 c∥d，所以 a ∥d （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行）
下列说法正确的是( B ) A.两条不相交的直线一定相互平行 B.在同一平面内，两条不平行的直线一定相交 C.在同一平面内，两条不相交的线段一定平行 D.在同一平面内，两条不相交的射线互相平行
巩固练习
下列说法中，正确的个数有（ B） （1）在同一平面内不相交的两条线段必平行 × （2）在同一平面内不相交的两条直线必平行 √ （3）在同一平面内不平行的两条线段必相交 × （4）在同一平面内不平行的两条直线必相交 √
相交线与平行线讲义 1
相交线与平行线讲义一、章节知识点总结和回顾(一)、知识结构图相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线平行线及其判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质命题、定理平移（二）、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
命题：判断一件事情的语句叫命题。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
（三）、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：平行线的判定：性质1：两直线平行，同位角相等。
判定1：同位角相等，两直线平行。
性质2：两直线平行，内错角相等。
判定2：内错角相等，两直线平行。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
（四）、经典例题例1 如图，直线AB,CD,EF相交于点O，∠AOE=54°，∠EOD=90°，求∠EOB，∠COB的度数。
EDC BA例2 如图AD 平分∠CAE ，∠B = 350，∠DAE=600，那么∠ACB 等于多少？例3 三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不 相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数为( )。