线性系统

线性系统理论论文

论文题目：线性系统理论综述

—连续系统线性二次最优控制学院：

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摘要 (3)

前言 (3)

第一章线性系统理论概述 (3)

1.1线性系统理论的研究对象 (4)

1.2 线性系统理论的主要任务 (4)

1.3 线性系统的主要学派 (5)

1.4 现代线性系统的主要特点 (5)

1.5 线性系统的发展 (6)

第二章连续系统线性二次最优控制 (6)

2.1最优控制问题 (6)

2.2最优控制的性能指标 (7)

2.3 最优控制问题的求解方法 (8)

2.4 线性二次型最优控制 (9)

2.5 连续系统线性二次型最优控制实例 (10)

2.6 小结 (13)

总结 (13)

参考文献 (13)

摘要

线性系统理论是现代控制理论中最基本、最重要也是最成熟的一个分支，是生产过程控制、信息处理、通信系统、网络系统等多方面的基础理论。本文对线性系统的历史背景、研究现状和发展趋势作了简单的综述。线性二次最优控制理论内容丰富、应用广泛，引起广泛地关注并取得了丰硕成果。最优控制问题就是在一切可能的控制方案中寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。本文基于连续系统线性二次最优控制，提出新的控制算法并结合实例进行了仿真验证。

关键字：线性系统；线性二次最优控制；控制系统；连续系统

前言

线性系统理主要阐述线性系统时域理论，给出了线性系统状态空间的概念、组成方法和基本性质，进而导出系统的状态空间描述。以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论[1]。随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。

随着航海、航天、导航和控制技术不断深入研究，系统的最优化问题已成为一个重要的问题。本文介绍了最优控制的基本原理，并给定了一个具体的连续线性二次型控制系统[4]，利用MATLAB软件对其最优控制矩阵进行了求解，通过仿真实验，设计得到最优控制效果比较好，达到了设计的目的。

第一章线性系统理论概述

作为现代控制理论中最基本、最成熟的分支之一—线性系统理论，具有其基本的重要性。回顾线性系统几十年的发展历程可以看到，它的每一个进步几乎都

反映了航空航天等尖端技术对控制的更高要求，它是那样的基本和如此的深刻[1]。很多实际系统（工程系统、生物系统、经济系统、社会系统等）都可用线性系统模型近似地描述，而线性系统理论和方法又比较成熟，因此它的应用范围十分广泛。除上述提到的航天领域外，在化工、机械、电机等技术领域中，线性系统理论都有应用实例。在科学领域中，线性系统理论的研究不但为控制理论的其他分支提供了理论基础，而且对数学研究也提出了一些有实际意义的新问题。

1.1 线性系统理论的研究对象

线性系统理论的研究对象为线性系统，它是实际系统的一类理想化了的模型，通常可以用线性的微分方程和差分方程来描述[2]。在系统与控制理论中，我们将主要研究动态系统，通常也称其为动力学系统。动态系统常可用一组微分方程或差分方程来表征，并且可对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。当描述动态系统的数学方程具有线性属性时，称相应的系统为线性系统。线性系统是一类最简单且研究得最多的动态系统。线性系统的一个基本特征是满足叠加原理，即若表示系统的数学描述为L,那么对任意两个输入变量u1和u2以及任意两个有限常数C1和C2，必有如公式（1-1）所示，此属性导致其在数学处理上的简便性，使其可以采用比较成熟的数学工具，如数学变换（Fourier 变换、Laplace 变换等）和线性代数，来研究它的运动和性质。

11221122()()()L c u c u c L u c L u +=+ （1-1）

1.2 线性系统理论的主要任务

简单说，线性系统理论主要研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系[3]。

（1）系统数学模型的建立

在对系统进行研究的过程中，建立合理的系统数学模型是首要的前提。在建立模型时，最重要的是确定什么是需要反应和研究的主要系统属性，并在此基础上来定出它的定量关系。

（2）系统分析

线性系统的分析包含两个大方面——定量分析和定性分析。

（3）系统设计

系统满足所规定的任务或性能指标。

1.3 线性系统的主要学派

在线性系统理论的研究领域中，随着所采用的数学工具和所采用的系统描述的不同，已经形成了四个平行的分支，它们反映了线性理论中的一些主要学派。

（1）线性系统的状态空间法

状态空间法是线性系统理论中一个最重要和影响最广的分支。状态空间法是一种时间域方法，其主要的数学基础是线性代数，在系统的分析和综合中所涉及的计算主要为矩阵运算和矩阵变换，并且这类计算很适合在计算机上进行。

（2）线性系统的几何理论

几何理论的特点是把对线性系统的研究化为转台空间中的几何问题，主要数学工具是几何形式的线性代数，基本思想是把能控性和能观性等系统结构特性表述为不同的状态子空间的几何性质。

（3）线性系统的代数理论

线性系统的代数理论是用抽象代数工具研究线性系统的一种方法。代数理论的主要特点是，把系统各组变量间的关系视为代数结构之间的映射关系，从而可以对线性系统的描述实现完全的形式化和抽象化。

（4）多变量频域方法

多变量频域方法的实质是以状态空间法为基础，采用频率域的系统描述和频率域的计算方法来分析和综合线性定常系统。

1.4 现代线性系统的主要特点

与经典线性控制理论相比，现代线性系统理论的主要特点是：

a)研究对象一般是多变量线性系统，而经典理论主要以单输入单输出系统

为研究对象。因此，现代线性系统理论具有大得多的适用范围。

b)除输入变量和输出变量外，还着重考虑描述系统内部状态的状态变量，

而经典理论只考虑系统的外部性能（输入与输出的关系）。因此，现代线

性系统理论所考虑的问题更为全面和更为深刻。

c)在分析和综合方法方面以时域方法为主，兼而采用频域方法。而经典理

论主要采用频域方法。因此，现代线性系统理论能充分利用这两种方法。

而时域方法对动态描述要更为直观。

d)使用更多的数学工具，除经典理论中使用的拉普拉斯变换外，现代线性

系统理论大量使用线性代数、矩阵理论和微分方程理论，对某些问题还

使用泛函分析、群论、环论、范畴论和复变函数论等较高深的数学工具。

因此，现代线性系统理论能探讨更一般更复杂的问题。

1.5 线性系统的发展

20世纪50年代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推动了线性系统的研究，于是在1960年以后从经典阶段发展到现阶段。美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。20世纪60年代以后，现代线性系统理论又有了新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。随着计算机技术的发展及普及，线性系统分析和综合中的计算问题（特别是病态问题和数值稳定性问题），以及利用计算机对线性系统进行辅助设计的问题，也都得到了广泛和充分的应用。

随着人工智能的发展和引入了新的计算机结构，控制理论和计算机科学的联系愈来愈密切。近来已有一些专家系统可以自动寻求最优随机控制和滤波问题的理论解和数量解。在控制框架上将符号运算和数值运算相结合的研究工作正在进展。智能控制的概念也在发展中，其目标之一就是将当前的控制理论和尚未形成的人工智能成功的合成一体。离散事件系统理论架起了一座通向扩展了的状态机器理论的桥梁，在将来可能为评价计算机系统理论的性能提供一个建模工具。

第二章连续系统线性二次最优控制

2.1最优控制问题

设系统状态方程为：

[]00)(,),(),()(x t x t t u t x f t x ==?

（2-1）

式中，x(t)是n 维状态向量；u(t)是r 维控制向量；n 维向量函数是x(t)、u(t)和t 的连续函数，且对x(t)与t 连续可微；u(t)在[]f t t ,0上分段连续。

所谓最优控制问题，就是要寻求最优控制函数，使得系统状态x(t)从已知初态转移到要求的终态)(f t x ，在满足如下约束条件下[5-6]：

（1）控制与状态的不等式约束

[]0),(),(≥t t u t x g （2-2） （2）终端状态的等式约束

[]0),(=f f t t x M （2-3）

使性能指标

[][]?+Θ=f f t t t t t u t x F t t x J f 0

d ),(),(),( （2-4） 达到极值。式中是m 维连续可微的向量函数，r m ≤；是s 维连续可微的向量函数，n s ≤；和都是x(t)与t 的连续可微向量函数。

2.2最优控制的性能指标

自动控制的性能指标是衡量系统性能好坏的尺度，其内容与形式取决于最优控制所要完成的任务，不同的控制问题应取不同的性能指标，其基本类型如下[7-8]：

（1）积分型性能指标

[]?=f t t t t t u t x F J 0

d ),(),( （2-5） 表示在整个控制过程中，状态x(t)与控制u(t)应达到某些要求。例如：

①最小时间控制

取 =1

则 f f t t t t t J -==?00

d （2-6） ②最小燃料消耗控制

取 [])(),(),(t u t t u t x F =

[]t t u t x f ),(),(0x []t t u t x g ),(),([]f f t t x M ),([]f t t x f ),(Θ[]t t u t x F ),(),([]t t u t x F ),(),(

则 ?=f t t t J 0

d u (t ) （2-7） ③最小能量控制

取 [])(),(),(2t u t t u t x F =

则 ?=f t t t u J 0

2(t )d （2-8） ④无限时间线性调节器

取∞→f t ，且

[])()()()(2

1),,(T T t Ru t u t Qx t x t u x F += 其中，0≥Q ，0>R ，均为加权矩阵，则

[]t t t Ru t u t Qx t x J d )()()()(2

10T T ?∞+= （2-9） ⑤无限时间线性跟踪器

[][]{}

t t Ru t u t z t y Q t z t y J d t )()()()())((210T T ?∞+--= （2-10） 其中，y(t)是系统输出向量，z(t)是系统希望输出向量。

在性能指标式（2—8）、（2—9）、（2—10）中，被积函数都是x(t)、y(t)-z(t)或u(t)的平方项组成，这种性能指标的形式叫做二次型性能指标。

（2）末值型性能指标

[]f f t t x J ),(Θ= （2-11）

表示系统在控制过程结束后，要求系统的终端状态)(f t x 应达到某些要求，在

实际工程中，例如要求导弹的脱靶量最小、机床移动的准确停止等。中断时刻可以固定，也可以自由，视最优控制问题的性质而定。

（3）复合型性能指标

[][]t t t t t u t x F t t x J f f f d ),(),(),(0

?+Θ= （2-12） 表示对控制过程及控制过程结束后的终端状态均有要求是最一般的性能指标形式。

2.3 最优控制问题的求解方法

(1) 解析法。当性能指标与约束条件为显式解析表达式是，适用解析法。通

常是用求导方法或变分方法求出最优控制的必要条件，从而得到一组方程式或不等式，然后求解这组方程或不等式，最后得到最优控制的解析解。

(2) 数值计算法。当性能指标比较复杂或不能用变量的显函数表示时，可以

采用试探法，即直接搜索逐步逼近，经过若干次迭代，逐步逼近到最优点。

(3) 梯度法。这是一种解析和数值计算相结合的方法。

2.4 线性二次型最优控制

对于性能指标是二次型函数的线性系统叫做线性二次型最优控制。线性二次型最优控制方法的对象是以状态空间表达时给出的线性系统，而性能指标是对象状态和控制输入的二次型函数[10-11]。二次型问题就是在线性系统的约束条件下，选择控制输入使得二次型目标函数达到最小。本文主要介绍连续系统线性二次型最优控制。

设线性连续订场系统的状态方程为：

0)0(),()()(x x t Bu t Ax t x =+=? （2-13）

式中，x(t)是n 维状态向量；u(t)是r 维控制向量，且不受约束；A 为n ×n 维常数矩阵，B 为n ×r 维常数矩阵。

系统的性能指标为：

()

t Ru u Qx x J d 210T T ?∞+= （2-14） 式中，终端时间f t 无限，Q 为n ×n 维常数矩阵；R 为r ×r 维常数矩阵；R>0,T R R =。若下列条件之一满足：

（1）,,0T Q Q Q =>阵对{A ，B}完全可控；

（2）,,0T Q Q Q =≥阵对{A ，B}完全可控，阵对{A ，D}完全可观，Q DD =T ，D 为任意矩阵，则有最优反馈矩阵：

P B R K T 1-= （2-15）

和唯一的最优控制：

)()()(T 1*t Px B R t Kx t u --=-= （2-16）

以及最优性能指标：

)0()0(2

1T *Px x J =

（2-17） 式中，P 是常值正定矩阵，它是以下里卡提代数方程的唯一解： 0T 1T =+-+-Q P B PBR P A PA （2-18）

闭环系统：

()

0T 1)0(),()(x x t x P B BR A t x =-=-? （2-19）

是渐近稳定的，其解为最优轨线)(*t x 。 2.5 连续系统线性二次型最优控制实例

已知系统动态方程：

u x x ??????????+??????????---=?

1006116100010 []x y 011=

系统结构如图2-1所示。

图2-1 系统结构图

由结构图有系统的控制信号：

Kx r k x k x k x k r k x k x k x r k u -=++-=+--=1

3322111332211)()()( 式中反馈增益矩阵K:

[]321k k k

K = 系统性能指标： ()

t Ru u Qx x J d 210T T ?∞+=

其中????

??????=100010001000Q ，[]1=R ，试计算最优状态反馈矩阵K 是J 最小并对其闭环系统进行单位阶跃给定响应的仿真。

下面是该题目的MATLAB 程序：

clc;

clear all;

a=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];

b=[0;0;1];

c=[1 0 0];

d=[0];

Q=[1000 0 0;0 1 0;0 0 1];

R=[1];

K=lqr(a,b,Q,R);

k1=K(1);

ac=a-b*K;

bc=b*k1;

cc=c;

dc=d;

step(ac,bc,cc,dc);

运行结果：

K=[26.1870 12.6189 1.8891]

bc =[0;0;26.187]

得到闭环系统单位阶跃给定响应的仿真曲线如图2-2所示。

图2-2闭环系统单位阶跃给定响应曲线

经状态最优反馈后，闭环系统单位阶跃给定响应曲线略微超调后立即单调衰减，这样的仿真曲线是很理想的，确实反映了最优控制的效果。

若本题要求采用输出反馈，即

)()(t Ky t u -=

使性能指标为：

()

t Ru u Qy y J d 210T T ?∞+= 其中 ????

??????=100010001000Q ，[]1=R 计算最优反馈矩阵[]3

21k k k K

=使J 最小并对其闭环系统进行单位阶跃给定响应的仿真。 此时该题目的MATLAB 程序：

clc;

clear all;

a=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];

b=[0;0;1];

c=[1 0 0];

00.51 1.5

2 2.53

Step Response

Time (sec)A m p l i t u d e

d=[0];

Q=diag([1000]);

R=[1];

K=lqry(a,b,c,d,Q,R);

k1=K(1);

ac=a-b*K;

bc=b*k1;

cc=c;dc=d;

step(ac,bc,cc,dc);

运行结果：

K=[26.187 12.488 1.8087]

bc =[0;0;26.187]

得到闭环系统单位阶跃给定响应的仿真曲线如图2-3所示。

图2-3闭环系统单位阶跃给定响应曲线

对比图2-2和图2-3可见，经最有输出反馈后，闭环系统阶跃给定响应曲线与经状态反馈后的阶跃响应曲线相差无几。

2.6 小结

本章主要介绍了连续线性二次型最优控制的MATLAB 实现，在本文写作过程中，我不仅巩固了所学的最优控制理论的相关知识，同时学习了用MATLAB 00.51 1.5

2 2.53

Step Response

Time (sec)A m p l i t u d e

进行连续线性二次型最优控制的实现方法，这些都会对我以后的学习和工作有很多帮助，感觉很有收获。

总结

经过之前课程的学习和本篇论文的撰写，对线性系统理论又有了深层次的了解。线性系统理论是系统与控制论中最为成熟和最为基本的一个组成分支，系统与控制理论的其他分支都不同程度的受到线性系统理论的概念、方法和结果的影响与推动，对我们今后更深一层次的学习会有很大的影响和帮助。时至今日，最优控制理论的研究在广度和深度上都有了很大的发展，取得了丰硕的成果，本文只是介绍其中的一点点，会在以后的学习中继续探索。

参考文献

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