二维射影变换及其性质

XXX19秋[1245] 几何学在线作业答案

XXX19秋[1245] 几何学在线作业答案单项选择题1.直线3x+2y+3=0的齐次线坐标是(3,-2,0)。

2.过点(0,0,0)且与向量a=(1,1,1),b=(2,3,4)平行的平面方程是x-2y+z=0.3.下列名称属于射影几何的是单比。

4.不属于仿射几何几何研究的对象是面积之比。

5.点C是线段AB的中点,D为该线段所在直线上的无穷远点，则交比(AB,CD)=1.6.下列命题叙述正确的是双曲抛物面上异族的任意两直母线必异面。

7.下列命题叙述正确的是两向量的差可以等于零向量。

8.下列命题叙述正确的是两向量的和不可能等于零向量。

9.下列变换群最大的是射影变换群。

10.点(2,1,0)到平面3x+4y+4=0的距离是2.11.不属于仿射几何研究的对象是长度。

12.下列曲线属于无心二次曲线的是双曲线。

13.直线关于(0,0,1)的对称式是(x,y,-z+2)。

14.已知向量a=(1,1,0),b=(1,2,1)，两向量的外积是(-1,1,1)。

15.方程xy=0表示的曲面是xoy和xoz两坐标面。

16.已知共点四直线a,b,c,d的交比(ab,cd)=4，则(db,ca)=3.B.×17、向量a,b,c相加的结果是三角形的周长。

(改写)18、正确的叙述是：两向量的外积是一个向量。

(改写)19、直纹面包括椭圆抛物面和双曲抛物面。

(改写)21、两向量平行可以推出两直线平行。

(保持不变)22、二次曲线的直径不一定通过中心。

(改写)23、配极对应不保持交比。

(保持不变)24、完全四点形和完全四线形是一对对偶图形。

(保持不变)25、旋转曲面的母线不唯一。

(改写)26、射影直线上不存在线段。

(改写)27、无穷远直线是射影变换的不变图形。

(改写)28、柱面和锥面的准线不唯一。

(改写)29、两平面间的中心射影是两平面间的透视对应。

(保持不变)30、透视仿射对应可以看成特殊的中心射影。

(保持不变)31、任何一个三元一次方程总是表示空间一个超平面。

二维射影变换及其性质

二维射影变换及其性质王玮数学科学学院06050203摘要二维射影变换是射影几何的一个重要分支,重点研究的是点和直线在射影变换下的不变性.本文着重研究了二维射影变换下二重元素的分布状况及其特征性质,从理论上解决了二维射影变换二重元素的结构问题.另外本文对二维射影变换的对合性和变换式的求法进行了探索.二维射影变换式的求法在现行的教科书中涉及较少,本文通过具体例子来说明二维射影变换式的几种求法. 关键词：二维射影变换,对合对应,特征方程,特征根,交比,矩阵引言射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。

欧式直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

一、二维射影变换定义1.1 设,'ππ为两个点场.若:'ϕππ→满足（1）ϕ为双射；（2）ϕ使得共线点变为共线点；（3）ϕ保持四点的交比不变，则称ϕ为点场π到点场'π的一个二维射影对应。

定义 1.2 若两个平面间的一一对应满足下列条件：（1）保持点和线的结合性；（2）任何共线四点的交比等于对应四点的交比,则此一一对应叫做射影对应.定义 1.3 设在点场π和'π上咯取定了齐次射影坐标系，则下式所决定的对应()111112213322112222333311322333'',0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠*⎨⎪=++⎩为点场π到'π的一个非奇异线性对应.其中()()123123,,,',','x x x x x x 为对应点的齐次坐标，A 称为这个非奇异线性对应的矩阵.如果'ππ=，且对应点的齐次坐标是关于平面上同一个取定的射影坐标系而论的，则()*为点场π上的一个非奇异线性变换.定义1.4 两个同底的点场或线场之间的射影对应称为二维射影变换. 显然二维射影变换是特殊的二维射影对应，变换式相对于射影平面上的一个取定的射影坐标系进行的，()*表示了一个点与其像点的坐标之间的关系，二维射影变换具有二维射影对应的全部性质.同时，如果我们将()(12312,,,',',x x x x x)3'x 看成同一个点在平面上不同的射影坐标系下的坐标，则()*式即为射影坐标变换式，于是，射影坐标变换也可以视为射影变换. 二、二维射影变换式的求法二维射影变换式的求法在现行的射影几何教科书中涉及较少.本节通过具体例子说明二维射影变换式的求法.定理 2.1在一平面内无三点共线的四点(1,2,3,4)i P i =与另一平面内无三点共线的四点'(1,2,3,4)i P i =唯一确定一个射影对应,使()'1,2,3,4i i P P i →= 定理 2.2设平面π上无三点共线()()()112321233123,,,,,,,,,P a a a P b b b P c c c()4123,,P d d d 和另外无三点共线的四点()()11232123'',',','',',',P a a a P b b b()()31234123'',',','',','P c c c P d d d 成射影对应,则存在而且只有一个射影对应ϕ,使得()()112233''1,2,3,4,','i i x x p p i x A x A x x ϕϕρδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中：112131122232132333''''''''''''''''''a b c a b c a b c λλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1112131112223241122334132333112233,,'(1,2,3),''''''',i i a b c a b c BC i p p p p p a b c p p p λλλλλλδλλλλλλλλλλλδ--⎛⎫⎪===++= ⎪ ⎪⎝⎭++由确定，为一定常数.定理 2.3设共线四点的坐标为 ()()()112321233123,,,,,,,,,p a a a p b b b p c c c()4123,,,p d d d 则其交比为()412311112222,.11112222c ad b c a d b p p p p c b d a c b d a =定理2.4设射影标架{}123;A A A E =∑下（如图1）,任一点()123,,P x x x 在射影变换ϕ下的像点为()1123'',',',P x x x 则有()()131********:,'',''':x x A A E P A A E P x ===()()3232311231123',:,'',''':'x x x A A E P A A E P x x ===图 1A 1A A 3A'2A'3A'121. 举例（没有1哪来2 啊）下面举例说明二维射影变换式的求法.例 2.1 求射影变换,使点()()()()12341,0,1,0,1,1,1,1,1,0,0,1P P P P 分别变换点()()()()1234'1,0,0,'0,1,0,'0,0,1,'1,1,1.P P P P解法1：把射影变换式设出,利用点之间的对应关系求出(),1,2,3ij a i j =之间的关系,进而求出射影变换式. 设所求的射影变换式为：111112213322112222333311322333'',0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩由()()()()()()()()1,0,11,0,0,0,1,10,1,0,1,1,10,0,1,0,0,11,1,1→→→→得()()()()111131************2123222232122234233133323333132334330010;2;30;400a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aρρρρρρ=+=+=++=⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎩⎩⎩⎩ 由（1）、（2）、（3）、（4）解得112213233341232213140;;.a a a a a a a a a ρρ=========- 故所求射影变换式为：142431232414321334142433123''','''x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xρρρσρρρσρρρρσ=-+=-+⎧⎧⎪⎪=-+=-+⎨⎨⎪⎪=--+=--+⎩⎩即，01110110111--=≠--其中解法2：利用矩阵方法求射影变换式因为4123P P P P =+- ，即12311 1.λλλ===-，， 4123'''',P P P P =++ 即1'1λ=，23'1,' 1.λλ==从而100101010;011,001111B C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1011101111C --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭所以1A BC δ-==011101111-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,其中1δ=.即所求的射影变换式为：1232133123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中. 解法3：利用交比求变换式设射影变化将动点()123,,X x x x 变换为点()123'',','X x x x ,如图2所示图 2P 2P 3P 1直线13224,,PP P X P P 的线坐标分别为()()()3211,0,1,,,1,0,0x x x --.2P X与13P P 的交点E ,坐标为()11231,,x x x x x +-.2413P P PP 与的交点F ,坐标为（0,1,0）.根据定理 3有 ()2123131123101110,011110x x x x PP EF x x x x +-=+-.23123x x x x x -+=--+.直线23141,,P P PP P X 的线坐标分别为()()()21320,1,1,0,1,0,,,x x x x ---+-123P X P P 与的交点H ,坐标为()12322,,x x x x x --+--.()123132312312321010121,110011x x x x x x P P GH x x x x x x x ---+--+===---+--+- 由定理3.4得()()12132333'',;,''x x PP FE P P GH x x == 故所求射影变换式为1232133123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中.三、二维射影变换的二重元素定义3.1：二维射影变换的二重元素,就是指经过二维射影变换后不变的元素. 二维射影变换()111112213322112222333311322333'',0,0.1'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩存在二重元素的条件是它的特征方程()11121321222331323302a a a a a a a a a μμμ--=-存在.将方程（2）的特征根代入二重点方程组()()()()1111221332112222333113223330030a x a x a x a x a x a x a x a x a x μμμ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩可求的二重点的坐标或二重点列的方程. 将特征方程（2）的根代入二重直线方程组()()()()1112123131212223231312323330040a t u a u a u a u a t u a u a u a u a t u -++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩可求的二重直线的坐标或二重线束的方程. 二维射影变换的二重元素与特征根的关系特征方程（2）是一个关于u 的三次方程,它的三个根的情况有三种可能：三个单根或一个单根与一个二重根或一个三重根,二重元素的个数与根的情况直接相关. 判断与某一特征根所对应的是二重根（二重直线）还是二重点列（二重线束）,只要将特征根代入特征方程（2）的系数矩阵D 来决定.111213212223313233(5)a a a D a a a a a a μμμ-=--（1）当系数矩阵的秩等于2,则可得一个二重点(二重直线). （2）当系数矩阵的秩等于1,则可得一个二重点列(二重直线束). 3.1特征根为三个根的情况当特征方程（2）有三个单根时,对于每个特征根,由方程组（3）可求出与之对应的一个二重点,则有三个不同的二重点,设为p 1, p 2, p 3;对偶地,由二重直线方程组（4）可求的三条二重直线,设为l 1, l 2, l 3.这三个二重点与三条二重直线之间有如下关系：由p 1, p 2为二重点,则直线p 1 p 2 必是一条二重直线（过两点的直线惟一确定）,故经过射影变换后直线p 1 p 2的对应仍是直线p 1 p 2 . 同理： p 3 p 2 、 p 3 p 1也是二重直线.因此,把特征根代入二重直线方程（4）中求出的三条直线l 1, l 2, l 3就是直线p 1 p 2、 p 3 p 2、 p 3 p 1.这样,当求出三个二重点p 1, p 2, p 3后,除了可以通过二重直线方程组（4）求二重直线,还可以用两点坐标之向量外积p 1× p 2、 p 3× p 2、 p 1× p 3求二重直线的坐标. 例3.1 求射影变换1122123123'4'63'x x x x x x x x x xρρρ=-⎧⎪=-⎨⎪=--⎩的二重元素. 解：由特征方程123410630,13 2.111μμμμμμ----=-==----=0得特征根:，，分别把特征根代入二重点方程()()()()()()121212340630001110165.10x x x x x x x μμμ--=⎧⎪-+=⎨⎪--+=⎩,得二重点坐标分别为，，，，，，把特征根分别代入二重直线方程组()()()[][][]123123346030110555610.10u u u u u u u μμμ-++=⎧⎪--+-=---⎨⎪-+=⎩,得二重直线坐标分别为，，，，，，这三条直线与三个二重点两两向量外积所得的直线相同()()[]()()[]()()[]001110110110165555165001610⨯=-⨯=-⨯=-，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 3.2特征根为一个单根及一个二重根的情况当特征方程（2）有一个单根及一个二重根时,对应于单根的必是一个二重点（二重直线）,但对于二重根却有两种情况：可能得到一个二重点（二重直线）或可能得到一个二重点列（二重线束）,这由系数矩阵（5）的秩来决定. 3.2.1系数矩阵的秩为2如果对应于单根的一二重点p 1,对应于二重根（系数矩阵（5）的秩为2）得另一二重点p 2,这时点p 1, p 2的连线必是两条二重直线l 1, l 2中的一条,而另一条二重直线也比过这两二重点中的某一点.对偶地,两条二重直线l 1, l 2的交点一定是p 1, p 2中的某一点,而且另一点也必定在此二直线中的一条上.因此只要把特征根代入求二重点和二重直线的方程组（3）,（4）中,就可以得到二重点和二重直线. 例 3.2.1 求射影变换11222323'26'2'3x x x x x x x xρρρ=+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩的二重元素. 解：由特征方程123260020,32013μμμμμμ--===--=0得特征根:，（二重根）对应于µ1=3的一个二重点p 1,把µ2=µ3=2代入系数矩阵（5）得秩等于2,也得一个二重点p 2.对偶地,对应于这两个根有两条二重直线. 把µ1=3和µ2=µ3=2代入二重点方程组()()()()()1221223260200,0,1,1,0,0.30x x x p p x x μμμ-+=⎧⎪-=⎨⎪-+-=⎩,得二重点分别为把µ1=3,µ2=µ3=2代入二重直线方程组()()()[][]112312320620,0,1,1,0,1,0.30l l μμμμμμμμ-=⎧⎪+--=-⎨⎪-=⎩得二重直线由此看到,p 1, p 2连线就是l 2,而直线l 2经过p 2,即l 1, l 2相交于p 2,而p 1在直线l 2上. 3.2.2系数矩阵的秩为1如果对应单根得一二重点p 1（二重直线l 1）,对应于二重根（系数矩阵的秩为1）得一二重点列l （二重线束o ）.这时二重直线l 1就是二重点列的底,而二重点就是二重线束束心o ,即l 1=l ,p 1=o ,因为二重点列上的点都是二重点,它们的底直线l 在射影变换中不会改变,从而成为二重直线.对偶地,二重线束束心o 在射影变换中不变,成为二重点.由此可知,在这种情况下,只要把特征方程（2）的根代入方程组（3）,就可以求出二重点与二重点列,则二重线束束心与二重直线也就得到了. 例3.2.2求射影变换11223223'''22x x x x x x x xρρρ=⎧⎪=⎨⎪=--+⎩的二重元素. 解：由特征方程123100010,2(1122μμμμμμ--===---=0得特征根单根），（二重根）对应于单根µ1=2得一二重点,对于二重根µ2=µ3=1,代入系数矩阵（5）, 其秩等于1,故得以二重点列. 把µ1=2,µ2=µ3=1代入二重点方程组()()()1211231231010(0,0,1)20.220x x p x x x x x x μμμ-=⎧⎪-=+-=⎨⎪--+-=⎩,得二重点列二重点列方程这时,在已知射影变换下,二重直线方程坐标是[1,2,-1],而二重直线方程的束心方程是：µ3=03.3特征根为三重根的情况当特征方程（2）的根式三重根时,对应于这个三重根也有两种可能：可能得到一个二重点（二重直线）,也可能得到一个二重点列（二重线束）.此时仍可用系数矩阵（5）的秩来判定. 3.3.1系数矩阵的秩为1如果把特征根代入系数矩阵（5）,得秩等于1,则对应于特征根有一个二重点列（二重线束）.这时二重线束的束心就在二重点列上.因此可通过二重点（二重直线）方程组得到二重点列（二重线束）. 例 3.3.1求射影变换11232233'2''x x x x x x x xρρρ=++⎧⎪=⎨⎪=⎩的二重元素. 解：由特征方程1120010,1(001μμμμ--=-=0得特征根三重根）把µ1=1代入系数矩阵（5）得秩等1,把µ1=1代入二重点方程组()()()123223312010010x x x x x x x μμμ-++=⎧⎪-=+=⎨⎪-=⎩,得二重点列2 将µ1=1代入二重直线方程组()()()()11212313102100.1002010u u u u x x u u μμμ-=⎧⎪+-==+=⎨⎪+-=⎩,得二重线束的束心方程其中束心，，在点列上.3.3.2系数矩阵的秩为2如果把特征根代入系数矩阵（5）的秩等于2,这时二维射影变换（1）只有一个二重点及一条二重直线,二重点与二重直线之间具有结合关系.此时可通过求二重点（二重直线）方程组得到二重点（二重直线）的坐标. 例 3.3.2求射影变换11222333'''x x x x x x x xρρρ=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩的二重元素。

图像的等距变换,相似变换,仿射变换,射影变换及其matlab实现

图像的等距变换，相似变换，仿射变换，射影变换及其matlab实现第二次写CSDN文档，上一篇的排版实在太烂了，于是决定认真学习一下markdown的语法。

好了，废话不多说，今天，我们学习一下图像（2维平面）到图像（2维平面）的四种变换，等距变换，相似变换，仿射变换，投影变换首先介绍它的原理，最后介绍matlab的实现1.数学基础射影变换矩阵H属于射影群PL(n)中的一个，仿射群是由PL(3)中最后一行为(0,0,1)的矩阵组成的子群，包括仿射群，欧式群，其中欧式群是仿射群的子群，其左上角的矩阵是正交的，当它的行列式为1是称为定向欧式群，距离是欧式群的不变量，但不是相似群的不变量，而夹角是这两个群的不变量。

听了这么多群，不变量的数学概念，可能有点晕，下面我用最直观的语言解释。

线性空间中的线性变换可以用矩阵来描述，因此我们用矩阵来刻画这四种变换。

我们以数学系的经典代数入门教材北大版的《高等代数》为例，研究这些变换是如何进行的2. 等距变换等距变换（isometric transform），保持欧式距离不变，当图像中的点用齐次坐标表示时，变换矩阵如下所示：???x′y′1???=???εcos(θ)εsin(θ)0?εsin(θ)?εcos(θ)0txty1??? ???xy1???当ε=1是保向的，ε=?1是逆向的，等距变换可以更简单的写成x′=HEx=(R0t1)x其中R是旋转矩阵。

t是平移矢量，有3个自由度（1旋转角θ+两个平移tx,ty），需要2组点4个方程求解，等距变换的不变量是:长度，角度，面积。

用matlab实现等距变换如下：clear;close all;clcI=imread('book1.jpg');figure,imshow(I);[w,h]=size(I);theta=pi/4;t=[100,100];s=0.5;% test Eucludian transformH_e=projective2d([cos(theta) -sin(theta) t(1);sin(theta) cos(theta) t(2);0 0 1]');newimg=imwarp(I,H_e);figure,imshow(newimg); 12345678910111213141234567891011121314可以看出，等距变换就是对图像的旋转+平移3. 相似变换相似变换（similarity transform）：等距变换+均匀缩放，当图像中的点用齐次坐标表示时，变换矩阵如下所示：???x′y′1???=???scos(θ)ssin(θ)0?ssin(θ)?scos(θ)0txty1?? ????xy1???当s=1是保向的，s=?1是逆向的，相似变换可以更简单的写成x′=HSx=(sR0t1)x其中R是旋转矩阵。

二维射影对应与透视对应的探讨

ｆｌａ６ｂ３。ｂ１ｂ２ｌ）ａｂ）（— （一
定理１３透视变换ｐｌ口２ｂ：Ｘ＝６：＋ｂ ’
ｌ６
６＋口ｂ＋口６ｌ２２３３
６（ｌａ：６０） ’ ｌｂ２＋３的特征不变量是＋ｂ ≠
口６＋３ｂ／３
口ｂ２３
将（）２式整理得：
（）２
Ｉ（＋ｚ＋３＝ｚ２６＋ｚｚａ２Ｚａｚ＋Ｚｐｌ６ｌｚＩ）ｂ３，
｛２￣Ｚ＋３＝Ｚ— ｚ，ｂ（＋２ＺＰｚｂｚｚ）Ｉｚ＋２＋３）Ｚ— ｚ（ｌａｚａ￣＝３６３２ｚ．
若ｚ＋ｚ＋３０则点０ｌａＺＺ＝，２在直线ａ．
若ｚ＋ｚ＋３，ｌａＺＺ≠０则有Ｐ＝。口ｚ２６＋２＋ｂ ≠ ，０代入（）２得
维普资讯
４８５
西南民族大学学报・自然科学版
Ｊｎｕ
．
２０８０
文章编号：０３２４（０８０－４５０１０－８３２０）３０５－５
二维射影对应与透视对应的探讨
赵云梅 ‘ ，万飞
（１河学院数学学院，云南蒙自６１０；２．红６１０．红河学院教师教育学院，云南蒙自６１０６１０）摘要：本文研究了二维射影变换与透视变换的关系，利用利用代数方法得到了二维射影变换是透视变换的充分必要
’ ．
（）５
。ｌ２２６≠０和ｂ，６＋ａｂ＋３ ≠０

射影与射影变换的性质与应用

射影与射影变换的性质与应用射影几何是几何学的一个分支，主要研究高维空间中的射影与射影变换的性质与应用。

射影几何的研究对于空间形态的描述和数学建模具有重要的意义。

本文将介绍射影与射影变换的基本概念、性质以及在几何学和计算机图形学中的应用。

一、射影的基本概念射影是指从一个几何对象映射到另一个几何对象的操作。

在射影几何中，我们使用齐次坐标来描述几何对象。

齐次坐标是指用n+1个数表示n维空间中的点，通过对这些数进行比例变换可以得到等价的点。

例如，在二维平面中，一个点的齐次坐标可以表示为(x, y, 1)，其中x和y是点在平面上的坐标。

二、射影变换的性质射影变换是指通过矩阵乘法对几何对象进行映射的操作。

射影变换具有以下性质：1. 保直线性：射影变换将直线映射为直线，保持直线上的所有点的次序关系。

2. 保比例性：射影变换将平行线段映射为平行线段，并且保持线段之间的比例关系。

3. 保交比性：射影变换可以保持射影空间中的交比关系，即一组点的交比在变换后保持不变。

4. 保角度性：射影变换可以保持两条直线之间的夹角不变。

5. 组合性：射影变换可以通过矩阵乘法的组合实现。

三、射影与射影变换在几何学中的应用1. 透视投影：透视投影是一种射影变换，将三维场景投影到二维平面上。

透视投影在计算机图形学中广泛应用于生成逼真的虚拟场景。

2. 图像处理：射影变换可以用于图像的旋转、缩放和扭曲等操作，以及图像的透视校正和纠正。

3. 几何建模：射影变换可以用于对三维几何模型进行旋转、平移和缩放等操作，以及模型的投影和透视变换。

四、射影与射影变换在计算机图形学中的应用1. 三维渲染：射影变换在三维渲染中用于将三维物体的坐标映射到二维屏幕上，实现真实感的显示。

2. 图形变换：射影变换在图形变换中用于对图形图像进行旋转、平移、缩放和扭曲等操作。

3. 图像合成：射影变换可以用于对多个图像进行叠加和融合，生成新的合成图像。

五、射影与射影变换的应用案例1. 虚拟现实：射影变换在虚拟现实中用于实现真实感的三维场景投影和交互。

二维射影变换的不变元

高等几何课程论文二维射影变换的不变元姓名：学号：学院：专业：2016年5月27日二维射影变换的不变元摘要本文主要是研究二维射影变换中的不变元的求法以及性质.基于平面射影几何中二维射影变换不变元素的存在性，利用线性代数的方法，讨论研究了射影平面中不变元素的求法.此外，根据系数矩阵特征值的不同情况，分类讨论特征值的重数与不变元的关系以及不变点和不变直线之间的关系.关键词射影变换不变元不变点不变直线特征值一、不变元1.1定义经射影变换后认为它自身的元素，称为射影变换的不变元（亦称固定元素）.经射影变换后保持不变的点，称为不变点（或固定点）；经射影变换后保持不变的直线，称为不变直线.1.2分类⎩⎨⎧不变直线不变点，不变元二、不变元求法下面讨论不变点和不变直线的求法.2.1不变点设点）（321,,y y y Y 是射影变换,0|)(|),3,2,1('3133≠==∑=⨯j ij j ij i a i x a x ρ （1）的不变点，则）（321,,y y y Y 与其对应点）（',',''321y y y Y 重合，有α===332211'''y y y y y y （α为比例因子），即).3,2,1('==i y y i i α代入（1）式，并令,ραμ=得⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=++-.0)(,0)(,0)(333232131323222121313212111y a y a y a y a y a y a y a y a y a μμμ （2）由于）（321,,y y y 是点的齐次坐标，不能同时为0，故齐次线性方程组（2）关于321,,y y y 有非零解的充要条件是0332313322212312111=--μμμ-a a a a a a a a a （3）将方程组（3）的特征根带入方程组（2），解方程组，即可得到相应的不变点.2.2不变直线再求由射影变换（1）式的不变直线。

6.4二维射影对应(变换)

存在, 使
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33 | A E | f ( ) 0. (2.23)
§ 6.4 二维射影对应（变换）
定理4.2 射影变换有不变点的矩阵A有特征根. 推论4.3平面上任一射影变换至少有一个不变点.
注: 已知四对对应元素的坐标, 求射影对应式,与一维类似,
§ 6.4 二维射影对应（变换）
二、二维射影变换对于二维射影对应 : ', 若' =, 则称为二维射影变换. 注1 对于射影变换, (x1, x2, x3)与(x'1, x'2, x'3)为相对于上同一个射影坐标系的对应点坐标. 注2 射影坐标变换式(1.19)也可看做射影变换, 定理 2.29为推论1.7的推广.
注2. 因A是非异方阵, 可求出射影对应(2.21)的逆对
应.
1 : xi Aji x'j
j 1 3
(i 1, 2,3),| Aji | 0, 0
(1)
其中 =|A|/, Aji为aji的代数余子式. (Aji)=A*亦为非异方阵, 从而射影对应的逆对应仍然为射影对应.
§ 6.4 二维射影对应（变换）
注1 透视对应是特殊的射影对应, 反之未必. 注2 二维射影对应使得：点点; 直线直线. 因此, 也称此处的二维射影对应为直射(二维同素射影对应).
§ 6.4 二维射影对应（变换）
代数定义设在射影平面 , '上各取定了射影坐标系. 称由
x1' a11 x1 a12 x2 a13 x3 ' x2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x' a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3

二维射影对应

不变点不变元素二维射影变换的重要内容之一.
不变直线
二维射影对应
1、不变点
P(x1,x2,x3)为射影变换
:
xi aij x j
j 1
3
| A | 0, i 1, 2,3
的不变点存在0, 使得xi'= xi
xi aij x j
j 1
3
| A | 0, i 1, 2,3
a12 a22 a32
3
a13 a23 , a33
| A | 0,
上面的对应也写成
xi j | 0, 0.
二维射影对应
定义设 , '为两个点场. 若： ' 满足 (i) 为双射, (ii) 使共线点变为共线点, (iii) 保持共线四点的交比不变, 则称为点场到'的一个二维射影对应. 定理非奇异线性对应等价于射影对应。
二维射影对应
由此得 1 : 2 : 3 : 4 3: 4 : 3:1 于是得到齐次射影坐标变换式
x1 9 x1 8 x2 x2 3 x1 4 x2 6 x3 x 4 x 3 x3 . 1 3
其中Aij是aij的代数余子式。
1u1 a11u1 a21u2 a31u3 , 2u2 a12u1 a22u2 a32u3 , u a u a u a u , 13 1 23 2 33 3 3 3
二维射影对应
其中 =
存在 , 使
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 | AT E | f ( ) 0. a33

第三章射影变换

第三章射影变换与射影坐标本章首先引入射影不变量——交比。

然后在此基础上，讨论了一维基本形之间的射影对应与射影变换，以及二维射影对应和射影变换，还定义了一维和二维射影坐标。

§1 交比与调和比点列中四点的交比与调和比定义1.1 共线的四个不同点A ，B ，C ，D 的交比等于单比（ABC ）与单比（ABD ）的比，记作：（AB ，CD ），即（AB ，CD ）=)()(ABD ABC其中A ，B 叫基点偶，C ，D 叫分点偶。

交比又称交叉比和复比。

由交比和单比的定义，我们可AD BC BDAC BDAD BC ACABD ABC CD AB ⋅⋅===)()()(，其中AC ，BC ，AD ，BD 是有向线段的数量。

我们不难得出：（1）点偶C ，D 不分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹥0；（2）点偶C ，D 分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹤0；（3）当C ，D 重合时，（AB ，CD ）=1；（4）当A ，C 重合时，（AB ，CD ）=0。

定理1.1 基点偶与分点偶交换，交比值不改变，即（AB ，CD ）=（CD ，AB ）证明由定义1.1，（CD ，AB ）=),(CD AB BCAD BDAC CB DA DB CA =⋅⋅=⋅⋅ 定理1.2 基点偶的两个字母交换或分点偶的两个字母交换，交比的值变成原来的交比值的倒数，即（BA ，CD ）=（AB ，DC ）=),(1CD AB证明（AB ，DC ）=),(1)()(1)()(CD AB ABD ABC ABC ABD == 又（BA ，CD ）=（CD ，BA ）=),(1),(1CD AB AB CD =推论同时交换每个点偶里的字母，交比的值不改变，即（AB ，CD ）=（BA ，DC ）定理1.3 交换中间的两个字母或两端的两个字母，交比的值等于1减去原来的交比值，即（AC ，BD ）=（DB ，CA ）=1－（AB ，CD ）证明（AC ，BD ）AD CB CD AB ⋅⋅=AD CB BD CB BC AC ⋅++=))(( AD CB BDAC CB BD CB AC ⋅⋅+++=)(AD CB BD AC ⋅⋅+=1=1+)(ADBC BDAC ⋅⋅-=1－（AB ，CD ）共线四点1，2，3，4一共有4！=24中不种的排列，所以有24个交比，根据交比的运算性质，它们只有6个不同的交比值，即（12，34）=（34，12）=（21，43）=（43，21）=m（21，34）=（34，21）=（12，43）=（43，12）=m1（13，24）=（24，13）=（31，42）=（42，31）=1－m（13，42）=（42，13）=（31，24）=（24，31）=m-11（14，23）=（23，14）=（41，32）=（32，41）=1－m 1（14，32）=（32，14）=（41，23）=（23，41）=1-m m例1 已知（P 1P 2，P 3P 4）=3，求（P 4P 3，P 2P 1）和（P 1P 3，P 2P 4）的值解（P 4P 3，P 2P 1）= （P 2P 1 ，P 4P 3）=（P 1P 2，P 3P 4）=3 （P 1P 3，P 2P 4）=1－（P 1P 2，P 3P 4）=1－3=－2下面研究交比的代数表示定理1.4 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1。

二维射影变换及其性质

二维射影变换及其性质王玮数学科学学院06050203摘要二维射影变换是射影几何的一个重要分支,重点研究的是点和直线在射影变换下的不变性.本文着重研究了二维射影变换下二重元素的分布状况及其特征性质,从理论上解决了二维射影变换二重元素的结构问题.另外本文对二维射影变换的对合性和变换式的求法进行了探索.二维射影变换式的求法在现行的教科书中涉及较少,本文通过具体例子来说明二维射影变换式的几种求法. 关键词：二维射影变换,对合对应,特征方程,特征根,交比,矩阵引言射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。

欧式直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

一、二维射影变换定义1.1 设,'ππ为两个点场.若:'ϕππ→满足（1）ϕ为双射；（2）ϕ使得共线点变为共线点；（3）ϕ保持四点的交比不变，则称ϕ为点场π到点场'π的一个二维射影对应。

定义 1.2 若两个平面间的一一对应满足下列条件：（1）保持点和线的结合性；（2）任何共线四点的交比等于对应四点的交比,则此一一对应叫做射影对应.定义 1.3 设在点场π和'π上咯取定了齐次射影坐标系，则下式所决定的对应()111112213322112222333311322333'',0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠*⎨⎪=++⎩为点场π到'π的一个非奇异线性对应.其中()()123123,,,',','x x x x x x 为对应点的齐次坐标，A 称为这个非奇异线性对应的矩阵.如果'ππ=，且对应点的齐次坐标是关于平面上同一个取定的射影坐标系而论的，则()*为点场π上的一个非奇异线性变换.定义1.4 两个同底的点场或线场之间的射影对应称为二维射影变换. 显然二维射影变换是特殊的二维射影对应，变换式相对于射影平面上的一个取定的射影坐标系进行的，()*表示了一个点与其像点的坐标之间的关系，二维射影变换具有二维射影对应的全部性质.同时，如果我们将()(12312,,,',',x x x x x)3'x 看成同一个点在平面上不同的射影坐标系下的坐标，则()*式即为射影坐标变换式，于是，射影坐标变换也可以视为射影变换. 二、二维射影变换式的求法二维射影变换式的求法在现行的射影几何教科书中涉及较少.本节通过具体例子说明二维射影变换式的求法.定理 2.1在一平面内无三点共线的四点(1,2,3,4)i P i =与另一平面内无三点共线的四点'(1,2,3,4)i P i =唯一确定一个射影对应,使()'1,2,3,4i i P P i →= 定理 2.2设平面π上无三点共线()()()112321233123,,,,,,,,,P a a a P b b b P c c c()4123,,P d d d 和另外无三点共线的四点()()11232123'',',','',',',P a a a P b b b()()31234123'',',','',','P c c c P d d d 成射影对应,则存在而且只有一个射影对应ϕ,使得()()112233''1,2,3,4,','i i x x p p i x A x A x x ϕϕρδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中：112131122232132333''''''''''''''''''a b c a b c a b c λλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1112131112223241122334132333112233,,'(1,2,3),''''''',i i a b c a b c BC i p p p p p a b c p p p λλλλλλδλλλλλλλλλλλδ--⎛⎫⎪===++= ⎪ ⎪⎝⎭++由确定，为一定常数.定理 2.3设共线四点的坐标为 ()()()112321233123,,,,,,,,,p a a a p b b b p c c c()4123,,,p d d d 则其交比为()412311112222,.11112222c ad b c a d b p p p p c b d a c b d a =定理2.4设射影标架{}123;A A A E =∑下（如图1）,任一点()123,,P x x x 在射影变换ϕ下的像点为()1123'',',',P x x x 则有()()131********:,'',''':x x A A E P A A E P x ===()()3232311231123',:,'',''':'x x x A A E P A A E P x x ===图 1A 1A A 3A'2A'3A'121. 举例（没有1哪来2 啊）下面举例说明二维射影变换式的求法.例 2.1 求射影变换,使点()()()()12341,0,1,0,1,1,1,1,1,0,0,1P P P P 分别变换点()()()()1234'1,0,0,'0,1,0,'0,0,1,'1,1,1.P P P P解法1：把射影变换式设出,利用点之间的对应关系求出(),1,2,3ij a i j =之间的关系,进而求出射影变换式. 设所求的射影变换式为：111112213322112222333311322333'',0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩由()()()()()()()()1,0,11,0,0,0,1,10,1,0,1,1,10,0,1,0,0,11,1,1→→→→得()()()()111131************2123222232122234233133323333132334330010;2;30;400a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aρρρρρρ=+=+=++=⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎩⎩⎩⎩ 由（1）、（2）、（3）、（4）解得112213233341232213140;;.a a a a a a a a a ρρ=========- 故所求射影变换式为：142431232414321334142433123''','''x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xρρρσρρρσρρρρσ=-+=-+⎧⎧⎪⎪=-+=-+⎨⎨⎪⎪=--+=--+⎩⎩即，01110110111--=≠--其中解法2：利用矩阵方法求射影变换式因为4123P P P P =+- ，即12311 1.λλλ===-，， 4123'''',P P P P =++ 即1'1λ=，23'1,' 1.λλ==从而100101010;011,001111B C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1011101111C --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭所以1A BC δ-==011101111-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,其中1δ=.即所求的射影变换式为：1232133123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中. 解法3：利用交比求变换式设射影变化将动点()123,,X x x x 变换为点()123'',','X x x x ,如图2所示图 2P 2P 3P 1直线13224,,PP P X P P 的线坐标分别为()()()3211,0,1,,,1,0,0x x x --.2P X与13P P 的交点E ,坐标为()11231,,x x x x x +-.2413P P PP 与的交点F ,坐标为（0,1,0）.根据定理 3有 ()2123131123101110,011110x x x x PP EF x x x x +-=+-.23123x x x x x -+=--+.直线23141,,P P PP P X 的线坐标分别为()()()21320,1,1,0,1,0,,,x x x x ---+-123P X P P 与的交点H ,坐标为()12322,,x x x x x --+--.()123132312312321010121,110011x x x x x x P P GH x x x x x x x ---+--+===---+--+- 由定理3.4得()()12132333'',;,''x x PP FE P P GH x x == 故所求射影变换式为1232133123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中.三、二维射影变换的二重元素定义3.1：二维射影变换的二重元素,就是指经过二维射影变换后不变的元素. 二维射影变换()111112213322112222333311322333'',0,0.1'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩存在二重元素的条件是它的特征方程()11121321222331323302a a a a a a a a a μμμ--=-存在.将方程（2）的特征根代入二重点方程组()()()()1111221332112222333113223330030a x a x a x a x a x a x a x a x a x μμμ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩可求的二重点的坐标或二重点列的方程. 将特征方程（2）的根代入二重直线方程组()()()()1112123131212223231312323330040a t u a u a u a u a t u a u a u a u a t u -++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩可求的二重直线的坐标或二重线束的方程. 二维射影变换的二重元素与特征根的关系特征方程（2）是一个关于u 的三次方程,它的三个根的情况有三种可能：三个单根或一个单根与一个二重根或一个三重根,二重元素的个数与根的情况直接相关. 判断与某一特征根所对应的是二重根（二重直线）还是二重点列（二重线束）,只要将特征根代入特征方程（2）的系数矩阵D 来决定.111213212223313233(5)a a a D a a a a a a μμμ-=--（1）当系数矩阵的秩等于2,则可得一个二重点(二重直线). （2）当系数矩阵的秩等于1,则可得一个二重点列(二重直线束). 3.1特征根为三个根的情况当特征方程（2）有三个单根时,对于每个特征根,由方程组（3）可求出与之对应的一个二重点,则有三个不同的二重点,设为p 1, p 2, p 3;对偶地,由二重直线方程组（4）可求的三条二重直线,设为l 1, l 2, l 3.这三个二重点与三条二重直线之间有如下关系：由p 1, p 2为二重点,则直线p 1 p 2 必是一条二重直线（过两点的直线惟一确定）,故经过射影变换后直线p 1 p 2的对应仍是直线p 1 p 2 . 同理： p 3 p 2 、 p 3 p 1也是二重直线.因此,把特征根代入二重直线方程（4）中求出的三条直线l 1, l 2, l 3就是直线p 1 p 2、 p 3 p 2、 p 3 p 1.这样,当求出三个二重点p 1, p 2, p 3后,除了可以通过二重直线方程组（4）求二重直线,还可以用两点坐标之向量外积p 1× p 2、 p 3× p 2、 p 1× p 3求二重直线的坐标. 例3.1 求射影变换1122123123'4'63'x x x x x x x x x xρρρ=-⎧⎪=-⎨⎪=--⎩的二重元素. 解：由特征方程123410630,13 2.111μμμμμμ----=-==----=0得特征根:，，分别把特征根代入二重点方程()()()()()()121212340630001110165.10x x x x x x x μμμ--=⎧⎪-+=⎨⎪--+=⎩,得二重点坐标分别为，，，，，，把特征根分别代入二重直线方程组()()()[][][]123123346030110555610.10u u u u u u u μμμ-++=⎧⎪--+-=---⎨⎪-+=⎩,得二重直线坐标分别为，，，，，，这三条直线与三个二重点两两向量外积所得的直线相同()()[]()()[]()()[]001110110110165555165001610⨯=-⨯=-⨯=-，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 3.2特征根为一个单根及一个二重根的情况当特征方程（2）有一个单根及一个二重根时,对应于单根的必是一个二重点（二重直线）,但对于二重根却有两种情况：可能得到一个二重点（二重直线）或可能得到一个二重点列（二重线束）,这由系数矩阵（5）的秩来决定. 3.2.1系数矩阵的秩为2如果对应于单根的一二重点p 1,对应于二重根（系数矩阵（5）的秩为2）得另一二重点p 2,这时点p 1, p 2的连线必是两条二重直线l 1, l 2中的一条,而另一条二重直线也比过这两二重点中的某一点.对偶地,两条二重直线l 1, l 2的交点一定是p 1, p 2中的某一点,而且另一点也必定在此二直线中的一条上.因此只要把特征根代入求二重点和二重直线的方程组（3）,（4）中,就可以得到二重点和二重直线. 例 3.2.1 求射影变换11222323'26'2'3x x x x x x x xρρρ=+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩的二重元素. 解：由特征方程123260020,32013μμμμμμ--===--=0得特征根:，（二重根）对应于µ1=3的一个二重点p 1,把µ2=µ3=2代入系数矩阵（5）得秩等于2,也得一个二重点p 2.对偶地,对应于这两个根有两条二重直线. 把µ1=3和µ2=µ3=2代入二重点方程组()()()()()1221223260200,0,1,1,0,0.30x x x p p x x μμμ-+=⎧⎪-=⎨⎪-+-=⎩,得二重点分别为把µ1=3,µ2=µ3=2代入二重直线方程组()()()[][]112312320620,0,1,1,0,1,0.30l l μμμμμμμμ-=⎧⎪+--=-⎨⎪-=⎩得二重直线由此看到,p 1, p 2连线就是l 2,而直线l 2经过p 2,即l 1, l 2相交于p 2,而p 1在直线l 2上. 3.2.2系数矩阵的秩为1如果对应单根得一二重点p 1（二重直线l 1）,对应于二重根（系数矩阵的秩为1）得一二重点列l （二重线束o ）.这时二重直线l 1就是二重点列的底,而二重点就是二重线束束心o ,即l 1=l ,p 1=o ,因为二重点列上的点都是二重点,它们的底直线l 在射影变换中不会改变,从而成为二重直线.对偶地,二重线束束心o 在射影变换中不变,成为二重点.由此可知,在这种情况下,只要把特征方程（2）的根代入方程组（3）,就可以求出二重点与二重点列,则二重线束束心与二重直线也就得到了. 例3.2.2求射影变换11223223'''22x x x x x x x xρρρ=⎧⎪=⎨⎪=--+⎩的二重元素. 解：由特征方程123100010,2(1122μμμμμμ--===---=0得特征根单根），（二重根）对应于单根µ1=2得一二重点,对于二重根µ2=µ3=1,代入系数矩阵（5）, 其秩等于1,故得以二重点列. 把µ1=2,µ2=µ3=1代入二重点方程组()()()1211231231010(0,0,1)20.220x x p x x x x x x μμμ-=⎧⎪-=+-=⎨⎪--+-=⎩,得二重点列二重点列方程这时,在已知射影变换下,二重直线方程坐标是[1,2,-1],而二重直线方程的束心方程是：µ3=03.3特征根为三重根的情况当特征方程（2）的根式三重根时,对应于这个三重根也有两种可能：可能得到一个二重点（二重直线）,也可能得到一个二重点列（二重线束）.此时仍可用系数矩阵（5）的秩来判定. 3.3.1系数矩阵的秩为1如果把特征根代入系数矩阵（5）,得秩等于1,则对应于特征根有一个二重点列（二重线束）.这时二重线束的束心就在二重点列上.因此可通过二重点（二重直线）方程组得到二重点列（二重线束）. 例 3.3.1求射影变换11232233'2''x x x x x x x xρρρ=++⎧⎪=⎨⎪=⎩的二重元素. 解：由特征方程1120010,1(001μμμμ--=-=0得特征根三重根）把µ1=1代入系数矩阵（5）得秩等1,把µ1=1代入二重点方程组()()()123223312010010x x x x x x x μμμ-++=⎧⎪-=+=⎨⎪-=⎩,得二重点列2 将µ1=1代入二重直线方程组()()()()11212313102100.1002010u u u u x x u u μμμ-=⎧⎪+-==+=⎨⎪+-=⎩,得二重线束的束心方程其中束心，，在点列上.3.3.2系数矩阵的秩为2如果把特征根代入系数矩阵（5）的秩等于2,这时二维射影变换（1）只有一个二重点及一条二重直线,二重点与二重直线之间具有结合关系.此时可通过求二重点（二重直线）方程组得到二重点（二重直线）的坐标. 例 3.3.2求射影变换11222333'''x x x x x x x xρρρ=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩的二重元素。