2018-2019学年安徽省合肥市科技大学附中八年级(上)期中数学试卷

2018-2019学年安徽省合肥市科技大学附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm3．（3分）已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是（）A．18cm B．21cm C．18cm或21cm D．无法确定4．（3分）在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB：BC＝（）A．3：4B．4：3C．1：2D．2：15．（3分）如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是（）A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定6．（3分）下列定理的逆命题为假命题的是（）A．两直线平行，内错角相等B．直角三角形的两锐角互余C．若|a|＝|b|，则a＝bD．对顶角相等7．（3分）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．15°或75°B．140°C．40°D．140°或40°8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．（3分）如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5B．5C．5.5D．610．（3分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）11．（3分）如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为．12．（3分）如图，△ABC中，AB+BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D和E，则△BCD的周长是．13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝β度，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…∠A2017BC与∠A2017CD的平分线交于点A2018，得∠A2018．则∠A2018＝度．14．（3分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正确的是．三、解答题（15-18题，每题5分，19题6分，20、21题每题7分，22、23题每题9分）15．（5分）已知：如图，AP＝DP，∠A＝∠D．（1）求证：△ABP≌△DCP．（2）求证：∠1＝∠2．16．（5分）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE 的度数．17．（5分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．18．（5分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．19．（6分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，求∠CEF的度数．20．（7分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF 分别交AB，AC于点E，F，若D为底边BC边上的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值是多少？21．（7分）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）证明：∠1＝∠3．22．（9分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A 向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P，Q两点分别从B，A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点P，Q两点分别从B，A两点同时出发，△CQP的周长为18cm，问：经过几秒后，△CQP是等腰三角形？23．（9分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且AD＝AB．（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF＝AD（2）如图2，如果∠EDF＝60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．2018-2019学年安徽省合肥市科技大学附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（3分）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B、8+7＝15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．3．（3分）已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是（）A．18cm B．21cm C．18cm或21cm D．无法确定【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长＝5+5+8＝18cm；（2）当腰是8cm时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长＝5+8+8＝21cm．因此这个等腰三角形的周长为18或21cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．（3分）在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB：BC＝（）A．3：4B．4：3C．1：2D．2：1【考点】三角形的面积．【分析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：∵AD、CE分别是△ABC的高，∴S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，∵AD＝2，CE＝4，∴AB：BC＝AD：CE＝2：4＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列出方程是解题的关键．5．（3分）如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是（）A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定【考点】全等图形．【分析】根据全等三角形的书写，DE与BC是对应边，再根据全等三角形对应边相等即可求出DE的长度也就是BC的长度．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴DE＝BC，∵BC＝7cm，∴DE＝7cm．故选：C．【点评】本题主要考查全等三角形的规范书写问题，全等三角形的对应顶点的字母要写在对应位置上，还考查了全等三角形对应边相等的性质．6．（3分）下列定理的逆命题为假命题的是（）A．两直线平行，内错角相等B．直角三角形的两锐角互余C．若|a|＝|b|，则a＝bD．对顶角相等【考点】命题与定理．【分析】根据逆命题的定义一一判断即可．【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等两直线平行，是真命题，本选项不符合题意．B、直角三角形两锐角互余的逆命题是，两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．C、若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题为若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题，本选项不符合题意．D、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（3分）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．15°或75°B．140°C．40°D．140°或40°【考点】等腰三角形的性质．【分析】首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【解答】解：当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成50°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为40°；当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为40°，三角形的顶角为140°．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解答此题时考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选：D．【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．9．（3分）如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5B．5C．5.5D．6【考点】三角形的面积；三角形中位线定理．【分析】根据中线的性质，可得△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝，△AEG的面积＝，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积＝×△BCE的面积＝，进而得到△AFG的面积．【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，∴△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝，同理可得△AEG的面积＝，△BCE的面积＝×△ABC的面积＝6，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝，∴△AFG的面积是×3＝，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．10．（3分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN，∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故（4）错误，故选：B．【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）11．（3分）如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为65°．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据折叠的性质得到∠3＝∠5，∠4＝∠6，利用平角的定义有∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，则2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，而∠1+∠2＝130°，可计算出∠3+∠4＝115°，然后根据三角形内角和定理即可得到∠A的度数．【解答】解：如图，∵△ABC的一角折叠，∴∠3＝∠5，∠4＝∠6，而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，∴2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，∵∠1+∠2＝130°，∴∠3+∠4＝115°，∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°．故答案为：65°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了折叠的性质．作出辅助线，把图形补充完整是解题的关键．12．（3分）如图，△ABC中，AB+BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D和E，则△BCD的周长是10．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴△BCD的周长＝BC+BD+DC＝BC+BD+AD＝AB+BC＝10，故答案为：10．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝β度，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…∠A2017BC与∠A2017CD的平分线交于点A2018，得∠A2018．则∠A2018＝度．【考点】规律型：图形的变化类；三角形内角和定理．【分析】设∠ABC＝2α，所以∠ACD＝2α+β，由角平分线的性质可知∠A1CD＝∠ACD ＝+α，∠A1BC＝∠ABC＝α，由三角形的外角性质可知∠A1＝，同理可求出∠A2＝，∠A3＝，根据规律即可求出∠A2018＝．【解答】解：设∠ABC＝2α，∴∠ACD＝2α+β，∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1∴∠A1CD＝∠ACD＝+α，∠A1BC＝∠ABC＝α，∵∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴∠A1＝同理可得：∠A2＝，∠A3＝，∴∠A2018＝故答案为：【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是根据三角形的性质找出∠A1、∠A2、∠A3……的规律，本题属于中等题型．14．（3分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正确的是①②④．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再根据图形表示出表示出AE、AF，再整理即可得到AC﹣AB＝2BE．【解答】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，故①正确；又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC，故②正确；在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴AB+BE＝AC﹣FC，∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，即AC﹣AB＝2BE，故④正确；由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，综上所述，正确的是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．三、解答题（15-18题，每题5分，19题6分，20、21题每题7分，22、23题每题9分）15．（5分）已知：如图，AP＝DP，∠A＝∠D．（1）求证：△ABP≌△DCP．（2）求证：∠1＝∠2．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据AAS即可判断．（2）利用全等三角形的性质以及等边对等角即可证明．【解答】证明：（1）在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（AAS）．（2）∵△ABP≌△DCP，∴BP＝PC，∴∠1＝∠2【点评】本题考查全等三角形的判定和性质．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于基础题．16．（5分）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE 的度数．【考点】三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义求出∠CAE的度数，再根据直角三角形的性质求出∠CAD的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝40°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝80°，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝10°．答：∠DAE的度数是10°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．17．（5分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE＝∠DEF，进而可得AC∥DE；（2）根据△ABC≌△DFE可得BC＝EF，利用等式的性质可得EB＝CF，再由BF＝13，EC＝5进而可得EB的长，然后可得答案．【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE＝∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF，∴CB﹣EC＝EF﹣EC，∴EB＝CF，∵BF＝13，EC＝5，∴EB＝＝4，∴CB＝4+5＝9．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．（5分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；作图—复杂作图．【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上；∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB＝PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图所示：【点评】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．19．（6分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，求∠CEF的度数．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接OB，根据中垂线的性质就可以得出AO＝BO，就有∠OAB＝∠OBA，根据角平分线的性质就可以求出∠EBO的度数，通过△ABO≌△ACO就有BO＝CO，就有∠OBC＝∠OCB，再由轴对称就可以求出OE＝CE，从而求出结论．【解答】解：连接OB，∵OD垂直平分AB，∴AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA．∵AB＝AC，∠BAC＝50°∴∠ABC＝∠ACB＝65°．∵OA平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝25°，∴∠OBA＝25°，∴∠OBC＝40°．在△ABO和△ACO中，∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB＝40°．∵△EOF与△ECF关于EF对称，∴△EOF≌△ECF，∴OE＝CE，∠OEF＝∠CEF＝∠OEC．．∴∠ECO＝∠EOC＝40°，∴∠OEC＝100°，∴∠CEF＝50°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，解答时运用全等三角形的性质及轴对称的性质求解是关键．20．（7分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF 分别交AB，AC于点E，F，若D为底边BC边上的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值是多少？【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．【分析】如图，连接AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，推出AD的长为BM+MD 的最小值．【解答】解：如图，连接AD．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×AD＝12，∴AD＝6，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝8．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（7分）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）证明：∠1＝∠3．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠A＝∠C，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠1＝∠3．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．22．（9分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A 向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P，Q两点分别从B，A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点P，Q两点分别从B，A两点同时出发，△CQP的周长为18cm，问：经过几秒后，△CQP是等腰三角形？【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】（1）经过1秒后，PB＝2m，PC＝8m，CQ＝6m，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP；（2）可设点Q的运动时间为ts时△CPQ是等腰三角形，则可知PB＝2t，PC＝10﹣2t，CQ＝12﹣4t，分三种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）△BPD与△CQP是全等．理由如下：当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2s时，有BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm，则CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm，CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm，∵D是AB的中点，∴BD＝AB＝×12＝6cm，∴BP＝CQ，BD＝CP，又∵△ABC中AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，有BP＝2t，AQ＝4t，则CP＝10﹣2t，CQ＝12﹣4t，∵C△CPQ＝18cm，∴PQ＝18﹣（10﹣2t）﹣（12﹣4t）＝6t﹣4，∵0＜AQ≤AC，∴0＜4t≤12，即0＜t≤3，要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：①当CP＝CQ时，10﹣2t＝12﹣4t，∴t＝1，此时PQ＝18﹣CP﹣CQ＝18﹣8﹣8＝2，过A作AE⊥BC于点E，过Q作QF⊥BC于F，则BE＝CE＝BC＝5，QF∥AE，∴△CQF∽△CAE，∴，即，∴QF＝，∴PQ＜QF，这与PQ＞QF矛盾，故t＝1不成立，应舍去；②当PQ＝PC时，10﹣2t＝6t﹣4，∴t＝，③当QP＝QC时，6t﹣4＝12﹣4t，∴t＝．综上，经过秒或秒时，△CQP是等腰三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．23．（9分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且AD＝AB．（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF＝AD（2）如图2，如果∠EDF＝60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再证出∠ADE＝∠ADF＝90°﹣60°＝30°，由含30角的直角三角形的性质得出AE＝AD，AF＝AD，即可得出结论；（2）连接BD，证明△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠ABD＝∠DAC，得出∠EDB＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠ADE＝∠ADF＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AD，AF＝AD，∴AE+AF＝AD+AD＝AD；（2）解：线段AE，AF，AD之间的数量关系为：AE+AF＝AD，理由如下：连接BD，如图所示：∵∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠ABD＝∠DAC，∵∠EDB+∠EDA＝∠EDA+∠ADF＝60°，∴∠EDB＝∠ADF，在△BDE与△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AE+BE＝AD，∴AE+AF＝AD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．。