近世代数
《近世代数》PPT课件
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
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（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
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和
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联系在一起？
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例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
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• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
近世代数课后习题答案
近世代数课后习题答案近世代数课后习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是抽象代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，课后习题是巩固知识、加深理解的重要途径。
本文将为大家提供一些近世代数课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、群论1. 设G是一个群，证明恒等元素是唯一的。
答案：假设G中有两个恒等元素e和e'，则有e * e' = e'和e' * e = e。
由于e是恒等元素，所以e * e' = e' = e' * e。
再由于e'是恒等元素，所以e * e' = e =e' * e。
因此，e = e'，即恒等元素是唯一的。
2. 设G是一个群，证明每个元素在G中的逆元素是唯一的。
答案：假设G中的元素a有两个逆元素b和c，即a * b = e，a * c = e。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的逆元素a'，得到a' * (a * b) = a' * (a * c)。
根据结合律和逆元素的定义，等式右边可以化简为b = c。
因此，元素a的逆元素是唯一的。
二、环论1. 设R是一个环，证明零元素是唯一的。
答案：假设R中有两个零元素0和0'，则有0 + 0' = 0'和0' + 0 = 0。
由于0是零元素，所以0 + 0' = 0' = 0' + 0。
再由于0'是零元素，所以0 + 0' = 0 = 0' + 0。
因此，0 = 0'，即零元素是唯一的。
2. 设R是一个环，证明每个非零元素在R中的乘法逆元素是唯一的。
答案：假设R中的非零元素a有两个乘法逆元素b和c，即a * b = 1，a * c = 1。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的乘法逆元素a'，得到(a * b) * a' = (a * c) *a'。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数——精选推荐
近世代数⽬录基本概念元素。
集合。
空集合。
⼦集 。
真⼦集 。
A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。
幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。
交集。
并集。
性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。
关系：M ×M 的⼦集。
即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。
记做 aRb 和 a ¯R b 。
等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。
分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。
每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。
映射：集合 A ,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。
记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。
y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。
满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。
单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。
双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。
有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。
相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。
映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。
代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。
代数系统：有代数运算的集合。
（注意代数运算的封闭性。
即 d ∈M ）。
⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。
近世代数及其应用
近世代数及其应用近世代数是一门研究几何形状及其变化的数学分支。
它主要关注形状如何在空间中进行旋转、平移和缩放等变化，以及这些变化如何可以通过线性变换来表示。
近世代数的研究内容包括几何变换、向量空间、矩阵、行列式、特征值和特征向量等。
近世代数在计算机图形学、机器人学、几何建模和计算机视觉等领域有广泛的应用。
在计算机图形学中，近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。
在机器人学中，近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。
在几何建模中，近世代数用于建立三维几何模型，并进行几何变换。
在计算机视觉中，近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。
1.计算机图形学在计算机图形学中，近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。
例如，在游戏开发中，近世代数可用于控制三维模型的运动和姿态，以生成真实感十足的动画效果。
在三维建模软件中，近世代数也可用于控制三维几何图形的变换，方便用户进行几何建模和设计。
2.3.机器人学在机器人学中，近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。
例如，在机器人抓取物体时，近世代数可用于控制机器人的末端机械臂的运动轨迹，使其能够精确地抓取目标物体。
在机器人导航时，近世代数也可用于表示机器人的位置和方向，方便机器人进行自主导航。
3.几何建模在几何建模中，近世代数用于建立三维几何模型，并进行几何变换。
例如，在机械设计中，近世代数可用于建立三维机械零件模型，并对其进行旋转、平移和缩放等变换，以方便设计师进行零件布局和装配规划计算机视觉4.在计算机视觉中，近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。
例如，在图像识别中，近世代数可用于对图像进行旋转、平移和缩放等变换，以提高图像识别的准确率。
在视频监控中，近世代数也可用于检测图像中的运动目标，并对其进行跟踪。
5.地理信息系统在地理信息系统中，近世代数用于表示地理数据的旋转、平移和缩放等变换。
例如，在地图制作中，近世代数可用于控制地图投影的旋转、平移和缩放，以生成适合不同使用场景的地图。
近世代数(抽象代数)课件
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
第一章 群 论
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯
一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
近世代数发展简史
近世代数发展简史引言概述：近世代数是数学中一个重要的分支，它的发展可以追溯到16世纪。
近世代数的发展不仅对数学本身产生了深远的影响，也在其他科学领域中发挥了重要作用。
本文将介绍近世代数的发展历程，分为五个部份，分别是：1. 代数基础的奠定；2. 方程论的发展；3. 群论的兴起；4. 环论的发展；5. 近世代数的应用。
一、代数基础的奠定：1.1 古希腊代数的起源：古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得等人奠定了代数的基础，提出了平方数和立方数的概念，并研究了它们的性质。
1.2 文艺复兴时期的代数发展：文艺复兴时期，数学家卡尔丹诺和维埃塔等人开始研究代数方程，并提出了求解一元二次方程的方法。
1.3 笛卡尔的坐标系：17世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将代数问题转化为几何问题，为代数的发展开辟了新的道路。
二、方程论的发展：2.1 代数方程的分类：18世纪，数学家拉格朗日将代数方程分为代数方程和超越方程，并研究了它们的性质和解法。
2.2 高次方程的解法：19世纪初，数学家阿贝尔和伽罗瓦等人独立地证明了五次及以上的代数方程无法用根式解出，这一结果被称为“阿贝尔-伽罗瓦定理”。
2.3 线性代数的发展：19世纪，数学家凯莱和哈密尔顿等人提出了线性代数的概念，研究了线性方程组和线性变换等内容。
三、群论的兴起：3.1 群的定义与性质：19世纪，数学家狄利克雷和凯莱等人提出了群的定义，并研究了群的性质，如封闭性、结合律和逆元等。
3.2 群论的应用：群论不仅在代数中有广泛应用，还在物理学、化学和密码学等领域中发挥了重要作用。
3.3 群论的扩展：20世纪，数学家冯·诺伊曼和埃米·诺特等人进一步发展了群论，提出了正规子群、商群和群同态等概念。
四、环论的发展：4.1 环的定义与性质：20世纪初，数学家费罗和诺特等人提出了环的定义，并研究了环的性质，如加法和乘法的封闭性、结合律和分配律等。
4.2 环论的应用：环论在代数几何、代数编码和数论等领域中有广泛应用，为解决实际问题提供了有力的工具。
近世代数基础课件
第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
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第六章 群论补充
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第1讲 共轭元与共轭子群 1 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
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第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
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四 代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
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1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算 映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
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第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律 运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律
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第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
近世代数笔记
近世代数笔记世代数，也称为代数学，是数学中的一个重要分支，研究代数结构及其上的操作。
在近代数学发展中，代数学作为数学的基础学科，发挥着重要作用。
以下是一些关于近世代数的笔记：一、代数结构代数结构是代数学中的一个重要概念，指具有某种代数运算的数学结构。
常见的代数结构包括群、环、域等。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构；环是一种具有加法和乘法运算的代数结构；域是一种具有加法、乘法、单位元和逆元的代数结构。
研究代数结构可以帮助我们更深入地理解数学中的抽象概念和结构。
二、线性代数线性代数是代数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换和矩阵。
线性代数在科学和工程领域有着广泛的应用，如解线性方程组、求特征值和特征向量、研究线性映射等。
掌握线性代数知识可以帮助我们更好地理解和应用代数学中的相关概念。
三、代数方程代数方程是代数学中的一个重要内容，研究方程及其根的性质和解法。
在代数方程中，常见的问题包括一元多项式方程的解法、代数方程组的求解、代数方程的根与系数之间的关系等。
通过学习代数方程，我们可以更好地理解和应用代数学中的代数概念和方法。
四、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉领域，研究代数结构与拓扑结构的关系。
代数拓扑在数学中有着重要的地位，如同调理论、同伦论、拓扑群等都是代数拓扑的经典应用。
通过学习代数拓扑，我们可以更深入地理解代数学和拓扑学的交叉点，为数学研究提供新的视角和方法。
总之，代数学作为数学的基础学科，对于数学的发展和应用具有重要意义。
通过学习代数学，我们可以更好地理解和应用数学中的抽象概念和方法，为数学研究和实际应用提供新的思路和途径。
希望以上的笔记内容可以帮助大家更好地理解近世代数的相关知识。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：${}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
—一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
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§9.2 一些群的理论与半群性质: 一些群的理论与半群性质:
半群的子代数也是半群. 循环半群是可换半群. (19)关于群的基本理论 19)关于群的基本理论 群方程可解性:a x = b(或x a = b)对x存在唯一解; 群方程可解性:a b(或x b)对x存在唯一解; 群的消去律:a b = a c(或b a = c a)必有b = c; 群的消去律:a (或b a)必有b c; 任一群必与变换群同构; 与一个群同构或满同态的代数系统必为群; 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群;
§8.4 常用代数系统
(6)代数系统的构成
交换律
Ο可换群 可换群
生成元 (一个二元运算 ) Ο循环群 循环群 结合律 半群 单位元,逆元 群 Ο 子集上的群 Ο Ο子群 子群 交换律 特殊群 Ο可换半群 可换半群 Ο变换群 变换群 单位元 特殊群 Ο单元半群 单元半群 生成元 Ο正规子群,商群 正规子群, 正规子群 Ο循环半群 循环半群 (两个二元运算:, ) 代数系统 可换群, 半群, 对分配群 环 交换律 可换环 单位元, Ο Ο 逆元 Ο域 域
(15)正规子群:(H, ) 是群(G,) 的子群, 15)正规子群:( 是群( 的子群, 如对a 都有:aH Ha则称( 如对a∈G都有:aH = Ha则称(H,)是(G,)的正规 子群. 子群. (16)陪集:H是G的子群,Ha={ha | h∈H}, aH = 16)陪集:H 的子群,Ha= {ah | h∈H }分别称H在G中的一个右陪集或左陪集. 分别称H 中的一个右陪集或左陪集. (17)商群:H是G的正规子群,对Ha,Hb∈G/H, 17)商群:H 的正规子群,对Ha,Hb∈G/H, 二元运算(Ha) Hb) Hab构成群,则称H 二元运算(Ha)(Hb)=Hab构成群,则称H是G的商群. (18)单元半群性质: 18)单元半群性质: 单元半群的子系统若包含单位元也是单元半群. 可列个元素的单元半群的运算组合表每行(列) 均不相同. 循环单元半群是可换单元半群. 可换单元半群的所有等幂元素是一个子单元半群.
§8.3 同构与同态
(4)同构:(X, )与(Y,)存在一一对应函 同构:( 数g : X→Y使得如x1 , x2∈X,则有:g(x1 x2)=g(x1) 使得如x 则有:g g(x2)此时则称(X, )与(Y,)同构. 此时则称( 同构. (5)同态:(X , )与(Y,)存在函数g : X→Y 同态:( 存在函数g 使得如x 使得如x1 , x2∈X,则有:g(x1 则有:g x2)=g(x1)g(x2) 此时则称( 此时则称(X, )与(Y,)同态. 同态.
第十一章 格与布尔代数
§11.1 格与布尔代数 11.
(26)格:(P,+, 26)格:( ) 中 ,两 个运算的结合律,吸收律, 个运算的结合律,吸收律,交换律; (27)布尔代数:格(B,+, ) 27)布尔代数:格( 中 , 两个运算的分配律 , 单位元 , 逆 两个运算的分配律, 单位元, 元.
特殊子环 特殊环 (两个二元运算:, )
两个运算的结合律,交换律,吸收律
°单位元,无零因子 Ο整环 整环 Ο理想 理想 Ο商环 商环
格 两个运算的分配律 分配格 Ο Ο Ο布尔代数 布尔代数 两个运算的单位元,逆元 两个运算有单位元 Ο有界格 有界格 两个运算有逆元 Ο有补格 有补格
第九章 群论
§9.1 一些群的定义
第十章 环论
§10.1 环和域 10. ( 20 ) 环: ( R , + , ) , 对+的可换群, 对 20) 环:( 对+的可换群 , 的半群, 的半群, 对+的分配律; (21)理想:(D,+, ),环(R,+, )的子 21)理想:( 环,满足:a∈R , b∈D,必有:a b∈D , b a∈D; 满足:a 必有:a (22)整环:环(R,+, )中,运算 22)整环:环( 元,无零因子; 有单位
§8.2 代数系统常见的一些性质
(3)代数系统常见性质 1)结合律:(a b) c=a (b c) 结合律:( 2)交换律:a b=b a 交换律:a 3)分配律:a (b+c)=(a b)+(a c) 分配律:a 4)单位元:a 1=a 单位元:a 5)逆元:a a-1=1 逆元:a 6)零元:a 0=0 零元:a 7)生成元
(23)域:环(P,+, )中,运算 交换律,有 23)域:环( 交换律, 单位元, 单位元,逆元;
(24)环的基本理论 24) 环的基本运算性质: a 0 = 0 a = 0; a (-b)=(-a) b = -(a b) (-a) (-b)=a b)= b 环中无零因子 环满足消去律; 环中无零因子 环中子系统S是子环的充要条件是a∈s 则必有a-1∈S. 环中子系统S是子环的充要条件是a 则必有a (25)域的基本理论 25)域的基本理论 1)域是整环; 上以代 数运算为研究对象的学科. 本篇共三章 , 数运算为研究对象的学科 . 本篇共三章, 第五章代数系统基础介绍代数系统的一般 原理与性质, 第六章群论, 原理与性质, 第六章群论,主要介绍具有 代表性的代数系统-群, 代表性的代数系统-群 , 最后第七章其它 代数系统, 代数系统 , 介绍除群外常见的一些代数系 统 , 如环 , 域 , 格与布尔代数等 , 这三章 如环, 格与布尔代数等, 相互配合构成了代数系统的完整的整体. 相互配合构成了代数系统的完整的整体.
有限群必与置换群同构; 循环群要么与(I,+)同构,要么与(Zm,+ 循环群要么与(I,+)同构,要么与(Zm,+m)同构; 一个群子集H构成群(H,o)的充分必要条件:a,b∈H 一个群子集H构成群(H,o)的充分必要条件:a,b∈ 则a b∈H ,a∈H 则a-1 ∈H; ,a∈ 一个群子集H构成子群(H,o)的充分必要条件:a,b 一个群子集H构成子群(H,o)的充分必要条件:a,b ∈H 则a b-1 ∈H ; 一个有限群的阶一定被它的子群的阶所等分(拉格朗日定 理); f是群(G, )与(G′,)的满同态,K是f的核,则必有: 是群(G )与(G )的满同态,K (G/k , )与(G′,)同构; )与(G
第八章 代数系统
§8.1 代数系统一般概念
1.代数系统中的基本概念 ( 1 ) 代数系统:集合上具有封闭性的运算组成代数系统 (S , ). (2)子代数:代数系统(S, ),(S′,)满足: 子代数:代数系统( ① S′S ′S ② 如 a , b∈S′,ab = a b 则称(S′,)为(S, )的子代 则称( 数.
(7)半群——代数系统满足交换律 )半群——代数系统满足交换律 (8)单元半群——半群存在单位元 )单元半群——半群存在单位元 (9)群——半群存在单位元与逆元 )群——半群存在单位元与逆元 (10)可换群——群满足交换律 10)可换群——群满足交换律 (11)变换群——集合A上所有的变换构成的集合E 11)变换群——集合A上所有的变换构成的集合E (A),对于复合变换°所构成的代数系统(E(A), ) ),对于复合变换°所构成的代数系统(E 是一个群,称变换群. (12)循环群——群有生成元. 12)循环群——群有生成元. (13)有限群:群(S, )中S为有限集. 13)有限群:群( 为有限集. (14)子群:群(G,)上G的子集所构成的群. 14)子群:群( 的子集所构成的群.
c≤a且c≤b c≤a∧b (c≤a且c≤bc≥a∧b≥c) c≤a且 c≤a∧ c≤a且c≤bc≥a∧b≥c)
(29)布尔代数的基本理论 29) — 布尔代数(B,+, )满足:(对+与 ) 布尔代数( 满足:( 交换律 结合律 等幂律 吸收律 分配律 零一律 同一律 互补律 双补律 德摩根律
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(28)格的基本理论 28)格的基本理论 1) 一个偏序格必是一个代数格,反之亦然; 一个偏序格必是一个代数格, 2)格的运算性质. 格的运算性质. a≤a∨b , b≤a∨b a≤a∨ b≤a∨ (a∨b≥a , a∨b≥b) b≥b)
a≤c且b≤c a∨b≤c (a≤c且b≤cc≥a∨b) a≤c且 a≤c且b≤cc≥a∨ a∧b≤a , a∧b≤b (a≥a∧b , b≥a∧b) a≥a∧ b≥a∧