随机误差的正态分布特点
3.3.随机误差的正态分布
例1 经过无数次测定并在消除了系统误差的情况下， 测 得 某 钢 样 中 磷 的 质 量 分 数 为 0.099% 。 已 知 σ=0.002%，问测定值落在区间0.095%-0.103%的概 率是多少？ x 解：根据得 u
0.103 0.099 u1 2 0.002
0.095 0.099 u2 2 0.002
2
2
e
u2 2
du 0.955
概率=面积=
1 2
u
0
e
u2 2
du
u
x
|u| 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
表3-1 正态分布概率积分表 面积 |u| 面积 |u| 面积 0.0000 1.1 0.3643 2.2 0.4821 0.0398 1.2 0.3849 2.2 0.4861 0.0793 1.3 0.4032 2.3 0.4893 0.1179 1.4 0.4192 2.4 0.4918 0.1554 1.5 0.4332 2.5 0.4938 0.1915 1.6 0.4452 2.58 0.4951 0.2258 1.7 0.4554 2.6 0.4953 0.2580 1.8 0.4641 2.7 0.4965 0.2881 1.9 0.4713 2.8 0.4974 0.3159 1.96 0.4950 3.0 0.4987 0.3413 2.0 0.4773 ∞ 0.5000
du 1
欲求测定值或随机误差在某区间出现 的概率 P，可取不同的 u值对上式积分求面 积而得到。 例如随机误差在±σ 区间（ u=±1 ）， （ u=±2 ）即测定值在 μ±σ 区间出现的概 率是：
简述随机误差正态分布的主要规律
简述随机误差正态分布的主要规律
随机误差正态分布是指测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律。
其主要规律包括以下几点:
1. 平均数和方差呈正态分布：随机误差的正态分布以测量平均值为重心，其分布形状类似于一个钟形曲线。
随着测量次数的增加，随机误差的方差会趋近于平均值，使得正态分布的曲线更加平缓。
2. 极端值的出现概率较小：正态分布的规律表明，测量结果中极端值的出现概率较小，而大多数测量结果都分布在平均值附近。
3. 误差分布的离散程度与测量次数有关：随着测量次数的增加，随机误差的分布形状不变，但是其离散程度会越来越大。
这主要是因为多次测量的结果会趋近于平均值，使得随机误差的分布更加集中。
4. 误差分布的形状与测量方法有关：不同的测量方法可能会导致误差分布的形状不同。
例如，在回归分析中，残差的正态分布形状取决于回归模型的准确度。
随机误差正态分布的主要规律表明，测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律，而随机误差的分布形状、离散程度和形状取决于测量方法和测量次数等因素。
2.1.1随机误差的正态分布性质
4.抵偿性：在等精度测量条件下，当测量次数趋于无穷时，全部随机误差的算数平均值趋于零。
任何一次测量，随机误差的存在都是不可避免的。这一事实可以由下述现象反映出来：对同一静态物理量进行等精度重复测量，每一次测量所获得的测定值都各不相同，尤其是在各个测定值的尾数上，总是存在着差异，表现出不定的波动状态。测定值的随机性表明了测量误差的，但在总体上却遵循一定的统计规律。在对大量的随机误差进行统计分析后，人们认识并总结出随机误差分布的如下几点性质：
1.有界性：在一定的测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率为零。也就是说，随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限。
2.单峰性：随机误差具有分布上的单峰性。绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，零误差出现的概率比任何其他数值的误差出现的概率都大。
随机误差的正态分布曲线
2
＝ y y
24
18.2.5 测量误差的合成
• 误差的合成就是已知被测量与各个参数的函数关系以及各 个参数测量值的分项误差，求被测量的总误差。 • 对于已定系统误差，则误差的大小、符号和函数关系均为 已知，可直接由前面的系统误差传递公式或随机误差传递 公式进行合成。
25
18.2.6 测量误差的分配
31
测量不确定度的来源
• 测量过程中有许多引起不确定度的来源 • 测量不确定度常见的10项可能来源：
– – – – – – – – – – 1)被测量的定义不完整； 2)被测量的定义复现不理想； 3)抽样的认识不足，或对环境条件的测量和控制 不完善； 5)模拟式仪器的读数偏差； 6)测量仪器分辨力和鉴别阈值不够； 7)计量标准器和标准物质不准确； 8)用于数据计算的常量和其他参量不准确 9)测量方法、测量系统和测量程序中的近似和假设； 10)在表面上看来相同的条件下，被测量在重复观测中的变化
• 精度：反映测量结果与真值接近程度的量 • 精度与误差相对应，误差越小，精度越高，反之 亦然 • 分类
– 准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度（测量 结果偏离真值的程度） – 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度（测量 结果的分散程度） – 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的 影响程度（常用测量不确定度或极限误差表示）
28
29
30
18.3 测量不确定度
• 测量不确定度是指对测量结果不确定性的评价，是表征被 测量的真值在某个量值范围的一个估计，测量结果中所包 含的测量不确定度用以表示被测量值的分散性。 • 所有的不确定度分量均用标准差表征，它们或者由随机误 差引起，或者由系统误差引起，都对测量结果的分散性产 生相应的影响 。
误差的统计概率
误差的统计概念一.随机误差的正态分布1. 正态分布随机误差的规律服从正态分布规律，可用正态分布曲线（高斯分布的正态概率密度函数）表示：(13)式中：y—概率密度；μ—总体平均值；σ—总体标准偏差。
正态分布曲线依赖于μ和σ两个基本参数，曲线随μ和σ的不同而不同。
为简便起见，使用一个新变数（u）来表达误差分布函数式：(14)u的涵义是：偏差值（x-μ）以标准偏差为单位来表示。
变换后的函数式为：(15)由此绘制的曲线称为“标准正态分布曲线”。
因为标准正态分布曲线横坐标是以σ为单位，所以对于不同的测定值μ及σ，都是适用的。
图1：两组精密度不同的测定值图2：标准正态分布曲线的正态分布曲线“标准正态分布曲线”清楚地反映了随机误差的分布性质：（1）集中趋势当x=μ时（u=0），，y此时最大，说明测定值x集中在μ附近，或者说，μ是最可信赖值。
（2）对称趋势曲线以x=μ这一直线为对称轴，表明：正负误差出现的概率相等。
大误差出现的概率小，小误差出现的概率大；很大误差出现的概率极小。
在无限多次测定时，误差的算术平均值极限为0 。
（3）总概率曲线与横坐标从-∝到+∝在之间所包围的面积代表具有各种大小误差的测定值出现的概率的总和，其值为1（100%）(16)用数理统计方法可以证明并求出测定值x出现在不同u区间的概率(不同u值时所占的面积)即x落在μ±uσ区间的概率：置信区间置信概率u= ± 1.00 x= μ± 1.00σ68.3%u= ± 1.96 x= μ± 1.96σ95.0%u= ± 3.00 x= μ± 3.00σ99.7%二. 有限数据随机误差的t分布在实际测定中，测定次数是有限的，只有和S，此时则用能合理地处理少量实验数据的方法—t分布1. t分布曲线（实际测定中，用、S代替μ、σ）t分布曲线与标准正态分布曲线相似，纵坐标仍为概率密度，纵坐标则是新的统计量t（17）无限次测定，u一定→P 就一定；有限次测定：t一定→P 随ν(自由度)不同而不同。
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
§1—2随机误差的正态分布
b.
-
0
+
x
X -
2.正态分布曲线的讨论
特点:
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准偏差
（1）y极大值在 x = μ 处；
于x = μ 对称；
x 轴为渐近线.
（2）拐点在 x = μ ± σ 处.
表示为N(, 2)
（1）测定值的正态分布
(u )du 1
同理，由标准正态分布曲线方程还 可求得在无限多次测量中，某一范围内测 量值或随机误差出现的机会（概率）的最 终趋势是多少. 2 u 即 u2 1
P
u1
2
e 2 du
标准正态分布曲线 N (0,1)
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
-3 -2 - -3 -2 -
对称性: 曲线以x =这条直线为对称轴.
表明测量数据具有明显的向 总体平均值集中的趋势；
决定正态分布曲线的中心位置。
测量值出现正,负误差的机会相等. 单峰性:
1 y 2π
x =时,y值最大,表现为一个峰形.
σ决定正态分布曲线的形状；
σ越小，数据越集中，测定值落在
附近的概率越大。
当 σ ，µ 确定，正态分布曲线的位置和形状也确定，
P=95.5% ½ a
=0.47%
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
u
α=4.5%
P 置信度
a 显著性水平
P+ a = 1
-3
-2
-1
0
68.3% 95.5% 99.7%
0
2 3 + +2 +3
第二章随机误差
特征量为：
2
2
2
六、t分布
316
设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布
N（0，1），Y服从自由度为的χ2分布，则随机变 X t 量 Y / 的概率密度
f x
(
1
2
（2－32） （2－33）
)
( )
2
(1
x
2
15
设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从
标准正态分布N（0，1），则随机变量 2 2 的概率密度为 2 X 12 X 2 X
x 1 1 2 2 x e f x 2 2 ( ) 2 0
x0 x0
第一节 随机误差概述
二、随机误差产生的原因
随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不 能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素 中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有 的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化， 而这些微小变化又给测量带来误差。
例
题
举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允 许范围为（20±2）℃。为此，测量在恒温室内进行， 恒温室温度控制能力达到（20±0.5）℃，满足测量要 求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化 中，围绕平均温度20℃有微小的波动，温度时高时低， 变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长 度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响 又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法 确定，因此造成随机误差。
误差的分布；正确求解极限误差。
重点和难点
3- 3
随机 误差 产生 的原 因
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随机误差的正态分布特点
随机误差通常被认为是由各种因素引起的不可预测的变异性，例如测量或实验过程中的人为和自然干扰，以及数据收集和处理的不确定性。
这些因素的影响会导致数据的偏离和差异，从而使得实验结果变得不可靠和不稳定。
因此，对随机误差的探究和理解对于正确解释和分析实验结果的意义至关重要。
随机误差的分布通常被假定为正态分布。
正态分布是一种连续的概率分布，其形态呈钟形曲线，峰度和偏度等特征近似于标准正态分布，即均值为0，标准差为1、正态分布是自然界中许多现象的常见分布，例如身高，体重，智力测试等等。
正态分布的标准形态不但为实验结果提供了基准，而且由于大部分偏差朝向中心，它还提供了一种可能的集中度和置信度计算方法。
正态分布的主要特征是其对称性和峰度。
正态分布在其均值处具有最高点，分布的两侧在均值附近呈对称分布。
峰度表示了数据分布的点y的高度，并表明其分布的“平坦度”或“峰态”，即其重心集中在中央区域或更靠近极端区域的程度。
峰度测量也提示数据分布的尾部形状，即数据离平均值越远，其分布的密度越小。
正态分布的峰度为3，表示数据紧密分布在平均值附近。
如果数据分布的峰度比3高，则表明数据集有更多的频率差异，并且更广泛地分布在更极端的值周围。
如果数据分布的峰度比3低，则表明数据集在平均值周围不够集中，并且在两侧较为平缓。
除了对称性和峰度之外，正态分布的另一个重要特征是其标准差和方差。
标准差指示数据集各数据值距均值的平均分散程度。
标准差小意味着数据值不太偏离平均值，而标准差大则意味着数据值更加分散。
方差是标准差的平方，并提供了描述随机误差大小和分布的第二种方法。
在科研实验中，随机误差经常作为实验结果的一部分。
理解随机误差的数据分布特征，特别是其正态分布的性质，可以使用通用的统计方法来分析和解释实验数据。
常见的统计方法包括t检验，方差分析和回归分析等。
对于一些应用场景，随机误差分析的结果具有重要的实际意义，因为它可以衡量测试呈现的不稳定性，并帮助提高实验数据处理的准确性和可靠性。
总之，随机误差的正态分布特点包括对称性、峰度、标准差和方差，这些特性可以给出实验结果的统计研究提供基准。
对随机误差分布的合理理解和分析是解释实验结果和取得可靠实验结论的关键。