2019-2020学年浙江省杭州市拱墅区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）. 1．（3分）cos60︒的值是( ) A ．12B ．32C ．33D ．32．（3分）若23a b =，则下列比列式正确的是( ) A ．23a b= B ．23a b= C ．23b a = D ．23a b= 3．（3分）下列图形中，是相似形的是( ) A ．所有平行四边形 B ．所有矩形C ．所有菱形D ．所有正方形4．（3分）如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒5．（3分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件) 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数4288141176445724901若出售1500件衬衣，则其中的次品最接近( )件． A ．100B ．150C ．200D ．2406．（3分）如图，AB 是半圆O 的直径，40BAC ∠=︒，则D ∠的度数是( )A ．140︒B ．135︒C ．130︒D ．125︒7．（3分）已知点(3,)A m -，(3,)B m ，2(1,1)C m n -++在同一个函数的图象上，这个函数可能是( ) A ．2y x =+B ．2y x=-C ．22y x =+D ．22y x =--8．（3分）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且////AC EF DB．若5BE=，3BF=，AE BC=，则DECE的值为()A．23B．12C．35D．259．（3分）二位同学在研究函数2(3)()(y a x x aa=+-为实数，且0)a≠时，甲发现当01a<<时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程2(3)()50a x xa+-+=必有两个不相等的实数根．则()A．甲、乙的结论都错误B．甲的结论正确，乙的结论错误C．甲、乙的结论都正确D．甲的结论错误，乙的结论正确10．（3分）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，5AB=，4BC=．点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上．若这样的菱形能作出2个，则AD 的取值范围是()A．369378AD<B．1575837AD<C．575337AD<D．51538AD二、填空题：本题有6个小题、每小4分，共24分．11．（4分）一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是．12．（4分）如图，点A，B，C都在O上130AOC∠=︒，40ACB∠=︒，AOB∠=，弧BC=．13．（4分）已知二次函数2246y x x =-++，用配方法化为2()y a x m k =-+的形式为 ，这个二次函数图象的顶点坐标为 ．14．（4分）在Rt ABC ∆中，:1:2AC BC =，则sin B = ．15．（4分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CDE B ∠=∠，将CDE ∆沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若2AC BC =，则DECF的值为 ．16．（4分）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点F 在圆上，且DF CD =，2BE =，8CD =，CF 交AB 于点G ，则弦CF 的长为 ，AG 的长为 ．三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 17．（6分）如图，为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点A 测得河北岸的树C 在点A 的北偏东60︒方向，然后向东走10米到达B 点，测得树C 在点B 的北偏东30︒方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽．18．（8分）如图，某科技馆展大厅有A，B两个入口，C，D，E三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽大厅，参观结束后任选一个出口离开．（1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率．（2）求小购选择从入口A进入，从出口E离开的概率，（请用列表或画树状图求解）19．（8分）如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．（1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．（2）若水面上升1m，水面宽度将减少多少？20．（10分）如图，在ABC=，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC∆中，AB AC于点E．（1）求证：BD CD=．（2）若弧50∠的度数．DE=︒，求C（3）过点D作DF AB⊥于点F，若8=，求弧BD的长．AF BFBC=，321．（10分）如图，在ABC=，连结∆中，点D，E分别在边AC，AB上且AE AB AD ACDE，BD．（1）求证：ADE ABC∽．∆∆（2）若点E为AB中点，:6:5∆的面积．AD AE=，ABC∆的面积为50，求BCD22．（12分）已知二次函数24(y ax bx a =+-，b 是常数，且0)a ≠的图象过点(3,1)-． （1）试判断点(2,22)a -是否也在该函数的图象上，并说明理由． （2）若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求该函数的表达式． （3）已知二次函数的图象过1(x ，1)y 和2(x ，2)y 两点，且当1223xx 时，始终都有12y y >，求a 的取值范围．23．（12分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，BD 交于点F ．（1）若点E 为CD 中点，25AB =，求AF 的长． （2）若tan 2AFB ∠=，求DFBF的值． （3）若点G 在线段BF 上，且2GF BG =，连结AG ，CG ，DEx DC=，四边形AGCE 的面积为1S ，ABG ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值．参考答案一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（3分）cos60︒的值是( ) A ．12B ．32C ．33D ．3解：1cos602︒=． 故选：A ．2．（3分）若23a b =，则下列比列式正确的是( ) A ．23a b= B ．23a b= C ．23b a = D ．23a b= 解：23a b =， ∴23b a =， 故选：C ．3．（3分）下列图形中，是相似形的是( ) A ．所有平行四边形 B ．所有矩形C ．所有菱形D ．所有正方形解：A 、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； B 、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； C 、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；D 、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．故选：D ．4．（3分）如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒解：五边形ABCDE 为正五边形， (52)1801085ABC C -⨯︒∴∠=∠==︒，CD CB =，180108362CBD ︒-︒∴∠==︒， 72ABD ABC CBD ∴∠=∠-∠=︒，故选：C ．5．（3分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件) 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数4288141176445724901若出售1500件衬衣，则其中的次品最接近( )件． A ．100 B ．150C ．200D ．240解：42881411764457249011500(1)151.6501001502005008001000++++++⨯-=++++++件故选：B ．6．（3分）如图，AB 是半圆O 的直径，40BAC ∠=︒，则D ∠的度数是( )A ．140︒B ．135︒C ．130︒D ．125︒解：AB 是半圆O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90904050B BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 180B D ∠+∠=︒， 18050130D ∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．7．（3分）已知点(3,)A m -，(3,)B m ，2(1,1)C m n -++在同一个函数的图象上，这个函数可能是( ) A ．2y x =+ B ．2y x=-C ．22y x =+D ．22y x =--解：(3,)A m -，(3,)B m ，∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x =+不关于y 轴对称，2y x=-的图象关于原点对称，因此选项A 、B 错误； 20n >， 21m n m ∴++>；由(3,)A m -，2(1,1)C m n -++可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， D ∴选项正确故选：D ．8．（3分）如图，AB 与CD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，且////AC EF DB ．若5BE =，3BF =，AE BC =，则DECE的值为( )A ．23B ．12 C ．35D ．25解：设CF x =， //EF AC ， ∴BF BECF AE =， ∴353x x =+， 解得92x =， 92CF ∴=， //EF DB ，32932DE BF CE CF ===． 故选：A ．9．（3分）二位同学在研究函数2(3)()(y a x x a a=+-为实数，且0)a ≠时，甲发现当01a <<时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程2(3)()50a x x a+-+=必有两个不相等的实数根．则( )A ．甲、乙的结论都错误B ．甲的结论正确，乙的结论错误C ．甲、乙的结论都正确D ．甲的结论错误，乙的结论正确解：由函数2(3)()y a x x a =+-可知，函数与x 轴的两个交点的横坐标分别是3-和2a，∴函数顶点的横坐标为232a -+，01a <<，∴23122a -+>-， ∴函数的顶点不一定在第四象限，故甲的结论错误；2(3)()50a x x a +-+=可以化为2(32)10ax a x +--=，△222420(32)49849()099a a a a a =-+=-+=-+>，2(3)()50a x x a∴+-+=必有两个不相等的实数根，故乙的结论正确； 故选：D ．10．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =．点D 为边AC 上的动点，作菱形DEFG ，使点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上．若这样的菱形能作出2个，则AD 的取值范围是( )A ．369378AD< B ．1575837AD <C ．575337AD <D ．51538AD解：如图1中，当四边形DEFG 是正方形时，设正方形的边长为x ．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，2222543AC AB BC ∴=-=-=，则35CD x =，54AD x =， AD CD AC +=， ∴35354x x +=， 6037x ∴=， 336537CD x ∴==， 观察图象可知：36037CD <时，菱形的个数为0．如图2中，当四边形DAEG 是菱形时，设菱形的边长为m ．//DG AB ， ∴CD DGAC AB =， ∴335m m-=， 解得158m =， 159388CD ∴=-=，如图3中，当四边形DEBG 是菱形时，设菱形的边长为n ．//DG AB ， ∴CG DG CB AB =， ∴445n n -=， 209n ∴=， 2016499CG ∴=-=， 2220164()()993CD ∴=-=， 观察图象可知：当36037CD <或433CD <时，菱形的个数为0，当3637CD =或9483CD <时，菱形的个数为1，当369378CD <时，菱形的个数为2．此时1575837AD < 故选：B ． 二、填空题：本题有6个小题、每小4分，共24分．11．（4分）一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是 5． 解：在一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除了颜色外其余都相同， ∴从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为：215325=++． 故答案为：15． 12．（4分）如图，点A ，B ，C 都在O 上130AOC ∠=︒，40ACB ∠=︒，AOB ∠= 80︒ ，弧BC = ．解：224080AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，1308050BOC AOC AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴BC 的度数为50︒．故答案为80︒，50︒．13．（4分）已知二次函数2246y x x =-++，用配方法化为2()y a x m k =-+的形式为 22(1)8y x =--+ ，这个二次函数图象的顶点坐标为 ．解：2222462(2)62(1)8y x x x x x =-++=--+=--+，∴顶点(1,8)．故答案为：22(1)8y x =--+，(1,8)．14．（4分）在Rt ABC ∆中，:1:2AC BC =，则sin B 55或12． 解：①当90C ∠=︒时，设AC x =，2BC x =，由勾股定理，得22(2)5AB x x =+=．由三角函数的正弦等于对边比斜边，得5sin 5AC B AB x=== ②当90A ∠=︒时，1sin 2AC B BC ==． 综上所述，sin B 5或12． 512． 15．（4分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CDE B ∠=∠，将CDE ∆沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若2AC BC =，则DE CF 的值为 4．解：如图，设DE 交CF 于O ．设OD a =．由翻折可知：DC DF =，EC EF =，DE ∴垂直平分线段CF ，90DOC ∴∠=︒，OC OF =，CDE B ∠=∠，tan tan CDO B ∴∠=∠， ∴2OC AC OD BC ==， 2OC OF a ∴==，4CF a =，90ECO DCO ∠+∠=︒，90DCO CDO ∠+∠=︒，ECO CDO ∴∠=∠，tan 2OE ECO OC∴∠==， 4OE a ∴=，5DE a =，∴5544DE a CF a ==， 故答案为54． 16．（4分）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点F 在圆上，且DF CD =，2BE =，8CD =，CF 交AB 于点G ，则弦CF 的长为 485，AG 的长为 ．解：连结BC ，DF ，OC ，连结DO 并延长交CF 于点H ，弦CD AB ⊥于点E ，8CD =，142CE CD ∴==， 设OC x =，则2OE x =-，222OE CE OC +=，222(2)4x x ∴-+=，解得5x =，5OC ∴=，523OE ∴=-=，DF CD =，DF CD ∴=，CFD COB ∠=∠，DH CF ⊥，90FHD OEC ∴∠=∠=︒，DHF CEO ∴∆∆∽， ∴DF DH FH OC CE OE ==， ∴8543DH FH ==， 245FH ∴=，325DH =， 4825CF FH ∴==， 327555OH DH OD =-=-=， CFD COB BOD ∠=∠=∠，BOD GOH ∠=∠，GOH DFH ∴∠=∠，90GHO OEC ∠=∠=︒，GHO CEO ∴∆∆∽，∴OG OH OC OE =， ∴7553OG =， 73OG ∴=， 78533AG OA OG ∴=-=-=． 故答案为：485，83． 三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．17．（6分）如图，为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点A 测得河北岸的树C 在点A 的北偏东60︒方向，然后向东走10米到达B 点，测得树C 在点B 的北偏东30︒方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽．解：由题意得，30CAB ∠=︒，60CBD ∠=︒，30ACB CBD CAB ∴∠=∠-∠=︒，CAB ACB ∴∠=∠，10BC AB ∴==，CD BD ⊥，353CD BC ∴== 答：河宽为5318．（8分）如图，某科技馆展大厅有A ，B 两个入口，C ，D ，E 三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽大厅，参观结束后任选一个出口离开．（1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口C 离开的概率．（2）求小购选择从入口A 进入，从出口E 离开的概率，（请用列表或画树状图求解）解：（1）他选择从出口C 离开的概率为13；（2）画树形图如图得：由树形图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A 进入，从出口E 离开的只有1种结果，∴选择从入口A 进入，从出口E 离开的概率为16． 19．（8分）如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m 时，桥洞顶部离水面4m ． （1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．（2）若水面上升1m ，水面宽度将减少多少？解：以C 为坐标原点建立坐标系，则(6,4)A --，(6B ，4)(0C -，0) 设2y ax =，把(6,4)B -代入上式，3640a +=，解得：19a =-， 219y x ∴=-；令3y =-得：2139x -=-， 解得：33x =±，∴若水面上升1m ，水面宽度将减少1263-．20．（10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：BD CD =．（2）若弧50DE =︒，求C ∠的度数．（3）过点D 作DF AB ⊥于点F ，若8BC =，3AF BF =，求弧BD 的长．【解答】（1）证明：如图，连接AD ．AB 是圆O 的直径，AD BD ∴⊥．又AB AC =，BD CD ∴=．（2）解：弧50DE =︒，50EOD ∴∠=︒．1252DAE DOE ∴∠=∠=︒． 由（1）知，AD BD ⊥，则90ADB ∠=︒，902565ABD ∴∠=︒-︒=︒．AB AC =，65C ABD ∴∠=∠=︒．（3）8BC =，BD CD =，4BD ∴=．设半径OD x =．则2AB x =．由3AF BF =可得3342AF AB x ==，1142BF AB x ==， AD BD ⊥，DF AB ⊥，2BD BF AB ∴=，即21422x x =． 解得4x =．4OB OD BD ∴===，OBD ∴∆是等边三角形，60BOD ∴∠=︒．∴弧BD 的长是：60441803ππ⨯=．21．（10分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上且AE AB AD AC =，连结DE ，BD ．（1）求证：ADE ABC ∆∆∽．（2）若点E 为AB 中点，:6:5AD AE =，ABC ∆的面积为50，求BCD ∆的面积．【解答】（1）证明：AE AB AD AC =，::AE AC AD AB ∴=，A A ∠=∠，ADE ABC ∴∆∆∽．（2）解：点E 为AB 中点，AE BE ∴=，:6:5AD AE =，∴设6AD x =，则5AE x =，10AB x =，AE AB AD AC =， 5102563AE AB x x AC x AD x ∴===， 73CD AC AD x ∴=-=， ∴725CD AC =， ABC ∆的面积为50，BCD ∴∆的面积7501425=⨯=． 22．（12分）已知二次函数24(y ax bx a =+-，b 是常数，且0)a ≠的图象过点(3,1)-．（1）试判断点(2,22)a -是否也在该函数的图象上，并说明理由．（2）若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求该函数的表达式．（3）已知二次函数的图象过1(x ，1)y 和2(x ，2)y 两点，且当1223x x 时，始终都有12y y >，求a 的取值范围．解：（1）将点(3,1)-代入解析式，得31a b +=， 2(13)4y ax a x ∴=+--，将点(2,22)a -代入24y ax bx =+-，得42(13)42222a a a a +--=--≠-， ∴点(2,22)a -不在抛物线图象上；（2）二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴△2(13)160a a =-+=，1a ∴=-或19a =-， 244y x x ∴=-+-或214493y x x =-+-； （3）抛物线对称轴312a x a -=， 当0a >，31223a a -时，35a ； 当0a <，31223a a -时，35a （舍去）； ∴当35a 满足所求； 23．（12分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，BD 交于点F ．（1）若点E 为CD 中点，25AB =，求AF 的长． （2）若tan 2AFB ∠=，求DF BF的值． （3）若点G 在线段BF 上，且2GF BG =，连结AG ，CG ，DE x DC =，四边形AGCE 的面积为1S ，ABG ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值．解：（1）点E 为CD 中点，25AB AD CD ===， 5DE ∴=，222055AE AD DE ∴=+=+=， //AB CD ，ABF EDF ∴∆∆∽，∴12DE EF AB AF ==， 2AF EF ∴=，且5AF EF +=， 103AF ∴=； （2）如图1，连接AC ，四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，2BD =，AO BD ⊥，AO BO CO DO ===，22AO DO BO AB ∴===， tan 2AO AFB OF∠==， 1224OF AO AB ∴==， 24DF OD OF AB ∴=-=，324BF OB OF AB =+=， ∴13DF BF =； （3）如图2，设AB CD AD a ===，则2BD a =，DE x DC=， DE xa ∴=，21122ADE S AD DE xa ∆∴=⨯⨯=， ABF EDF ∆∆∽， ∴DE DF x AB BF==， DF x BF ∴=，21112ABF S a x ∆∴=+， 2GF BG =，22136(1)ABG ABF a S S S x ∆∆∴===+， AB CB =，ABG CBG ∠=∠，BG BG =， ()ABG CBG SAS ∴∆≅∆ABG CBG S S ∆∆∴=，1S ∴=四边形AGCE 的面积2221226(1)a a xa x =--⨯+∴22121193343()24S x x x S =-++=--+ ∴当12x =时，12S S 的最大值为194．。