高考中的分段函数
如何求解含参分段函数问题
思路探寻分段函数是中学数学中的重要内容之一.含参分段函数问题经常出现在高考试题中.含参分段函数问题侧重于考查分段函数的值域、定义域、单调性等.含参分段函数问题中不仅含有参数，还含有分段函数，因而这类问题通常较为复杂，往往要灵活运用分类讨论思想、方程思想、数形结合思想来辅助解题.下面结合实例探讨一下不同含参分段函数问题的解法.一、含有一个参数的分段函数问题当分段函数含有一个参数时，问题就具有不确定性，参数通常会出现在函数解析式中或区间分界点处，那么参数就会对函数的性质、图象有所影响，此时需运用分类讨论思想，对参数的取值进行分类，讨论每种情形下函数的解析式以及图象的变化情况，进而求得问题的答案.例1.已知函数f (x )={-x 2+ax ,x ≤1,ax -1,x >1,若存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，则实数a 的取值范围为.解：当a =0时，f (x )={-x 2,x ≤1,-1,x >1,f (x )的图象如图1所示，显然满足题意；当a ≠0时，设g (x )=-x 2+ax ，h (x )=ax -1，则g (x )是一个开口朝下的二次函数，其对称轴方程为x =a 2，h (x )是一次函数.当a2≥1，即a ≥2时，f (x )的大致图象如图2所示，显然不存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，故不满足题意；图1图2当0<a 2<1，即0<a <2时，f (x )的大致图象如图3所示，显然存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，故满足题意；当a 2<0，即a <0时，f (x )的大致图象如图4所示，显然存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，故满足题意.综上可知，实数a的取值范围为(-∞,2).图3该分段函数解析式中含参数a ，且函数f (x )在R 上不是单调函数，所以影响本题的两个关键要素是二次函数的对称轴x =a2以及a 的正负，所以我们从这两个要素入手，对参数进行分类讨论，即分a =0、a ≥2、0<a <2、a <0几种情况讨论函数f (x )的图象，并利用数形结合思想讨论f (x 1)=f (x 2)是否成立.例2.已知x ∈R ，函数f (x )={x -4,x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ,若函数f (x )恰有两个零点，则实数λ的取值范围为.5xy6o图5图6解：设g (x )=x -4，h (x )=x 2-4x +3，则g (x )的零点为x =4，h (x )的零点为x =1和x =3.当λ<1时，f (x )的大致图象如图5所示，此时f (x )在R 上有1个零点，故不满足题意；易验证当λ=1时，也不满足题意；李喜春47思路探寻当1<λ<3时，f(x)的大致图象如图6所示，此时f(x)在R上有2个零点，故满足题意；易验证当λ=3时，满足题意；当3<λ<4时，f(x)的大致图象如图7所示，此时f(x)在R上有3个零点，故不满足题意；易验证当λ=4时，也不满足题意；当λ>4时，f(x)的大致图象如图8所示，此时f(x)在R上有2个零点，故满足题意.综上可知，实数λ的取值范围为(1,3]⋃(4,+∞).7oo图78由题意可知，两个函数的零点是确定的，即x=1、3、4，三个零点将x轴分成四段，将四种情形下的λ的值分别代入函数式中进行检验，结合两个函数的图象，将数形结合起来，便可顺利解题.在解答含有一个参数的分段函数问题时，要注意关注参数所在的位置，明确参数对函数的影响，进而确定分类标准；然后运用分类讨论思想对每种情形逐一进行讨论；最后综合所得的结果即可.二、含有两个参数的分段函数问题在解答含有两个参数的分段函数问题时，首先不要只画出函数在定义域内的图象，而是要在同一坐标系中画出每一个区间段上的完整的函数图象；再结合图象，对参数进行分析，明确分类的标准，这样一个清晰的解题方案就形成了.例3.已知函数f(x)={(2a-1)x+3a-4,x≤t，x3-x,x>t，若无论t为何值，函数f(x)在R上总不单调，则实数a的取值范围为.解：设g(x)=(2a-1)x+3a-4，h(x)=x3-x，则h′(x)=3x2当x∈(-∞,+∞)时，h′(x)>0；当x时，h′(x)<0，所以函数h(x)在(-∞,和+∞)上单调递增，在上单调递减.当2a-1>0，即a>12时，在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的大致图象，如图9所示.观察图象可知始终存在实数t，使得函数f(x)在R上是单调递增函数，故不满足题意；当2a-1=0，即a=12时，在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的大致图象，如图10所示.观察图象可知，无论实数t为何值，函数f(x)在R上总不单调，故满足题意；当2a-1<0，即a<12时，在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的大致图象，如图11所示.99观察图象可知，无论实数t为何值，函数在R上总不单调，故满足题意.综上可知，实数a的取值范围为(-∞,12].本题中的分段函数解析式中含有参数a，分界点中也含有参数t，两个参数对函数的图象都有影响，对此，需从函数的单调性入手，分别讨论不同情形下，即当2a-1>0、2a-1=0、2a-1<0时，同一个坐标系中两个函数g(x)和h(x)的图象的变化趋势以及单调性.三、含有三个参数的分段函数问题当遇到含有三个参数的分段函数问题时，需对题目条件和参数进行认真的分析，并将抽象的解析式用图象呈现出来，明确参数对函数图象、性质、大小的影响，以确定分类讨论的标准，最终在不断的尝试和分析中确定一个好的方案对问题加以解答.例4.已知函数f(x)={e x+m-1,x≥0，ax+b,x<0，其中m<-1，x1∈R，且对于任意x1≠0，均存在唯一实数x2，使得48思路探寻数列是数学高考的必考内容之一.近几年的高考数学全国卷试题中的数列问题侧重于考查等差和等比数列的通项公式、性质、前n项和公式的应用.求数列和的方法很多，其中错位相减法比较常用.等比数列前n项和的公式Sn=a1(1-q n)1-q(q≠1)就是用错位相减法求得的.如果一个数列的通项公式可以变形为一个等差数列与一个等比的通项公式的乘积，我们就可以用错位相减法求数列的和.错位相减法的运用步骤为：第一步，根据数列的通项公式列出数列的前n项和式，并将其记为①式；第二步，在①式的左右两边同乘以等比数列的公比q，得到②式；第三步，将②式右边的式子与①式右边的错开一位，使q的指数相同的项对齐；第四步，将两式相减，合并同类项，并提取公因式；第五步，构造出等比数列，利用等比数列的前n 项和公式进行求和，并化简.例1.若数列{}a n是以a1为首项，d为公差的等差数列，数列{}b n是以b1为首项，q(q≠1)为公比的等比数列，令c n=a n b n，求数列{}c n的前项和T n.解：T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n−1b n−1+a n，①qTn=a1b1q+a2b2q+a3b3q+⋯+a n−1b n−1q+a n b n q=a1b2+a2b3+a3b4+⋯+a n−1b n+a n b n q，②由①-②得：(1-q)T n=a1b1+d(b2+b3+⋯+b n−1+b n) -a n b n q，当q≠1时，Tn=a1b1+d()b2+b3+⋯+b n−1+b n-a n b n q1-q=a1b1+déëêêùûúúb2()1-q n−11-q-a n b n q1-q周永松。
浅析新高考试题中的分段函数
试题分析浅析新高考试题中的分段函数文|陶庆梅函数既是中学数学中的核心内容，又是高等数学中最基础的知识。
在高中阶段乃至是在高考中，函数的相关内容都是重点和必考点，因此函数在高中数学中占有很高的地位。
历年高考答题中都会有函数相应内容的出现，而且考查的方式以及题型都在逐年变化。
在新高考函数类型中大多会将函数图象与函数解析式相结合（即数形结合），这一类型的试题大多会在高考填空或选择题中出现，该类题型主要是考查学生对函数表达式以及三角函数、对勾函数等的掌握程度，以及与之对应的图象转换进行判断和分析。
这题型在新高考数学中占一定比例的分值，是一种不容小觑的考试题型。
所以，教师在平时针对分段函数进行教学时应多通过一些典型的考试题目或者借助历年的考试真题，让学生有针对性地训练，提升学生分析问题和解决问题的能力，让学生对与分段函数相关的题型有进一步的了解以及更深刻的认识，从而促使学生在高考中对这一类问题的解决达到事半功倍的效果。
下面主要通过近几年的新高考试题来探讨分段函数在高考中的应对措施和解决方法。
一、分段函数中的奇偶性问题例1（2022上海8）若函数f（x）=a2x-1，x<0 0，x=0x+a，x>0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐为奇函数，则实数a的值为_________.﹢考点：函数的奇偶性函数的解析式（理性思维）分析：判断分段函数的奇偶性要分段进行判断、整体考虑，即在分段函数的定义域内根据函数奇偶性的定义分别考虑各个分段上函数f（-x）与f（x）的关系，判断各个分段上函数的奇偶性，然后综合在一起判断分段函数的奇偶性。
分段函数中奇偶性在高考试题中经常出现，但学生在利用函数奇偶性的定义判断和研究分段函数中奇偶性时，经常会犯以下几种错误：（1）函数的奇偶性的概念理解不清由奇偶函数的定义可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的；（2）函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，因此，“当x<0时，函数是偶函数；当x>0时，函数是偶函数”的说法是错误的。
高考数学微专题4 分段函数(含有绝对值的函数)的图象与性质 课件
实数 m 的最小值为( )
27 A. 8
29 B. 8
13 C. 4
15 D. 4
【思路分析】 根据已知计算出 f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，画出
图象，计算 f(x)＝332，解得 x＝289，从而求出实数 m 的最小值．
内容索引
【解析】 由题意，得当 x∈[1,2)时，f(x)＝12×f(x－1)＝12(1－|2x－3|)； 当 x∈[2,3)时，f(x)＝12f(x－1)＝14(1－|2x－5|)；…，可得在区间[n，n＋1)(n ∈Z)上，f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，所以当 n≥4 时，f(x)≤332.作出函 数 y＝f(x)的图象，如图所示，当 x∈72，4时，由 f(x)＝18(1－|2x－7|)＝332， 解得 x＝289，则 m≥289，所以实数 m 的最小值为289.
【答案】 ABD
1234
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－x2＋2， x≤1， 3. (2022 浙江卷)已知函数 f(x)＝x＋1x－1， x>1，
则 ff12＝
________；若当 x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则 b－a 的最大值是________.
1234
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【解析】 f12＝－122＋2＝74，f74＝74＋47－1＝3278，所以 ff12＝3278.当 x≤1 时，由 1≤f(x)≤3，得 1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当 x>1 时， 由 1≤f(x)≤3 可得 1≤x＋1x－1≤3，所以 1<x≤2＋ 3.综上，由 1≤f(x)≤3， 得－1≤x≤2＋ 3，所以[a，b]⊆[－1,2＋ 3]，所以 b－a 的最大值为 3＋
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盘点高考中的分段函数问题
盘 点 高 考 中 的 分 段 函 数 问 题
广 西 武呜县 罗波 高级 中学 （ ３ １ ２ 韦金 香 ５ ０ １）
（ ． 、
ｃ＾
２
ｒ
） 一一 ＋５ （ ， ｘ 上是减 函数 ， 在 １ ＋Ｃ ］ ３ 无最 大值． 分段 函数是 指在 给定 定 义域 的不 同部 分有 不 同对 气ｋ － ｚ。 —域 厂 ３ （［ ＝ ｊ
点评 ： 解题 关键是先 求 出 厂 ２ ， （ ） 然后将 ｆ ２ 看成一 （）
个数 ， 求 其 函数 值 ． 再
一
即当 ｚ 一３ － ２ 时 ， （ 一３ ∈（ ， ） ＿ ） 一 ． 厂
点评 ： 已知 函 数 在 某 一 区 间 上 的 函数 解 析 式 ， 另 求 区 间 上 的 函 数 解 析 式 ， 将 所要 求 的 区 间上 的 变量 转 常
Ｃ （ ， ） ￣ １ ＋Ｃ ） ． １ ２ Ｕ（ ／ ０， ｘ ３
Ｄ． １， （ ２）
－ ） ｋ ｋ 厂 － ｘ，ＥＲ， （ 试讨论 函数 Ｆ（ ） 的单调性．
解：
一厂１ 一尼 — （） ｚ ｚ
ｉ ＜； ｘ一 ’
ｌ ～ 一ｋ （￣１ ， ｘｘ ） …“ … ．
区间 考 查 ： （ ｘ 一－ ｚ 或 （ ｘ 一 －ｆ ｘ 是 否 成 立． －－ ） 厂 ） 厂 （ － ） （）
６ ７
解 ：（ ） ｚ ， ｚ 一２ ＋３在 （ 。 ０ 上 是单 调增 函数 ， 一。 ， ］ 最
大值是 ３ ； － ） 厂 一 ＋３在（ ，］ （ Ｏ １ 上也是增 函数 ， 最大值是 ４ ；
ｒ ＋ ２（ ． ｚ ＜ 一 １ ）；
高考数学复习1分段函数
第一讲 分段函数【基础知识】1.定义：一般地在定义域不同的部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数.2.理解：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；分段函数的值域是各段函数值的并集。
（3）写分段函数的定义域时，区间端点位置要不重不漏.3. 类型：（1）取整函数：f(x)=[x]([x]表示不大于x 的最大整数）.（2）f(x)=（-1)x = -1,x 为正奇数1，x 为非付偶数（3）含绝对值符号的函数.如f(x)=|x+2|= x+2,x ≥2,-(x+2),x<-2（4）自定义函数. 如 -x-1,x ≤-1,f(x) = x 2-x-2,-1<x ≤2,x-2,x>24. 分段函数的图像（1）翻折法 （2）对折法 （3）分类讨论法【典型分析】题型一：分段函数的求值【例1】设函数,,,,)1()1(lg 2)(2>≤+=⎩⎨⎧--x x x x x x f 则f[f(-4)]=________.【例2】已知,,,,)0()0(log )(3≤>⎩⎨⎧+=x x b a x x f x 且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))等于________.【例3】已知函数,,,,)31()3()3()1()(<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x f x f x 则f(2+log 32)的值为_________.【例4】已知函数)34()0()0(1)1()(,,,,cos 2f x x x f x f x 则>≤⎩⎨⎧+-=π的值为________.【例5】函数,,,,)21()1(2)(2<<-⎩⎨⎧+-≤=x x x x x f 若f(x)=3,则x=________.题型二：分段函数与方程、不等式问题【例6】函数,,,,,)4()42()2(31)(≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x x f 若f(a)<-3,则a 的取值范围是________.【例7】已知函数,,,,)1()1()1(log 22)(21>⎩⎨⎧+--≤=-x x x x f x 且f(a)=-3，则f(6-a)=________.【例8】已知函数,,,,)0()0(2log )(31≤>⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x f x 若21)(>a f ,则a 的取值范围是______.。
考点04 分段函数(原卷版)
考点4 分段函数以及应用一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,x-<0 ,分别代入各段函数式计算)f=)(xf-(x-,当x=0有(xf与)(xf-的值，若有)定义时0f-，则)(x(xf是偶函数.f，则))0(=(xf是奇函数；若有f(x)=)（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.（2017山东文9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 81.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ）A.165B. 2C.6D.2172. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B. 41 B. 45C. 41或45D. 2【变式3：改编问法】已知f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=（ ）A ．B ．C ．1D ．﹣1【变式4：函数迭代】已知a ∈R ，函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a = ．2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.2.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】设函数的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，4]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞）【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1] B ．[，] C ．[，] D ．[，2]3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3．（2021年高考天津卷9）设a ∈R ，函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭3.2【典型考题变式】【变式1：改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【变式2：改编条件】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=f （1﹣x ）﹣kx+k 恰有三个不同的零点，则k 的取值范围是（ ） A ．（﹣2]∪{} B ．（﹣2+，0]∪{} C ．（﹣2]∪{} D ．（﹣2+，0]∪{}【变式3：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式4：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 .4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是 （ ）4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0） B ．[0，+∞） C ．[﹣1，+∞） D ．[1，+∞）【变式2：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【变式3：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【变式4：改编问法】已知函数，则函数f (x )的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，] B ．[，+∞）C ．[，]D ．（，）【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【变式3：改编问法】已知函数则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）不是周期函数B ．f （x ）在上是增函数C ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）D ．f （x ）的图象上存在不同的两点关于原点对称6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，则不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ）的解集是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为（ ） A ．[4，5） B ．（4，5] C ．[4，+∞） D ．（﹣∞，4]三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练一、单选题1．（2021·四川成都零模（文））已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a=-∑的值为（ ） A ．40402021B ．20192021C ．20192020D ．201910103．（2021·山东高三其他模拟）已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭4．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义：(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数＝的非有效数字的个数，如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=，则下列说法错误的是（ ）A ．当1,1M N >>时，()()()W M N W M W N ⋅=+B ．当0n <时，()W N n =-C ．当0,()1n W N n >=+D ．若1002,lg 20.301N ≈＝，则()31W N =5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，方程()10f x -=有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．()1,+∞6．（2021·山东济南模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．（2021·山西名校联考）已知函数()cos ()ln f x x g x x ==，用max{,}a b 表示a ，b 中的最大值，则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．无数二、多选题9．（2021·重庆高三三模）()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则下列说法中正确的是（ ） A ．f ()x 的值域为[]0,2B ．当(]3,5x ∈时，()f x =C ．()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈ D ．方程3f x x 恰有5个实数解10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间11．（2021·山东章丘模拟）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．15D ．1612．（2021·重庆一中高三模拟）已知()3,1011,02x ax x f x a x -⎧-<<⎪⎪+=⎨⎪-≥⎪⎩是定义在()1,-+∞上的函数，则（ ）A ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为()3,+∞C ．若()f x 为减函数，则a 的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 为减函数，则a 的取值范围为()0,1三、填空题13．（2021·福建宁德）已知函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =-，则0x =___________.14．（2021·广东六校联考）若a ＞0且a ≠1，且函数,1()2,1x a x f x ax a x ⎧≥=⎨+-<⎩在R 上单调递増，那么a 的取值范围是________．15．（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））已知函数1ln ,0()2,0x x x f x x +>⎧=⎨≤⎩，则1f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．16．（2021·百师联盟联考）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12x x a x f =+-，则()()3f f =______．17．（2021·广东5月卫冕联考）若函数()23222,126,1x m x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩有最小值，则m 的一个正整数取值可以为___________.18．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．。
分段函数
主题一 函数分段函数专篇在新课标中，对分段函数的要求有了进一步的提高，在近几年的高考试题中，考察分段函数的题目频频出现，分段函数已经成为高考的必考内容。
一.分段函数的定义在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
例：1. 已知函数)(x f y =的定义域为区间[]2,0，当[]1,0∈x 时，对应法则为x y =，当(]2,1∈x 时，对应法则为x y -=2，试用解析式法与图像法分别表示这个函数。
2. 写出下列函数的解析表达式，并作出函数的图像：（1）设函数)(x f y =，当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，2)(=x f（2）设函数)(x f y =，当1-≤x 时，1)(+=x x f ；当11<<-x 时，0)(=x f ；当1≥x 时，1)(-=x x f二.对分段函数的理解分段函数的表达式因其特点可分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图像也有几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的值域，也就是几个部分上的函数值集合的并集，最好的求解方法是“图像法”。
重要的是，分段函数虽由几部分构成，但它代表的仍是一个函数。
求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用那一段的解析式。
作分段函数的图像时，则应按分段分别作出其图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留定义域内的一段图像即可，即“分段作图”。
例如：()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<≤≤=128)12(2)84(8402x x x x xy定义域为[](](][]12,012,88,44,0= ，值域为[]{}[)[]8,08,088,0=例：1. 设x 是任意一个实数，y 是不超过x 的最大整数，试问x 和y 之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图像。
新高考数学课件-3-1-2第3课时-分段函数
下面通过对称轴的位置对 h(x)的最值情况进行分类讨论：
当a
1 2
时，对称轴距离区间右侧
x＝2
更远，故 hx max
h2
5 4a
，
∴ 5 4a 4 ，即 a 1 ； 4
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新教材同步学案 数学 必修 第一册
解：(1)∵函数 f x 对一切实数 x，y 都有 f x y f y xx 2y 1 成立，且 f 1 0， 令 y＝1，则 f x 1 f 1 xx 3 ， f x 1 x x 3 x 12 x 1 2 ． f x x2 x 2 .
g(x)中的最小者)． (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域和值域． 【解析】 (1)图象法：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图
D．±1或－2
【解析】
当a≥0时，有
1 2
a－1＝a，解得a＝－2(舍)．当a<0时，有
1 a
＝a，
即a2＝1，解得a＝－1(a＝1舍)．故选B.
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新教材同步学案 数学 必修 第一册
题型二 分段函数的图象
例2 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和
答：函数y＝2x(x∈R)的图象和y＝x2(x∈R)的图象合起来不能表示函数图 象，因为取某个x值时，y值不一定唯一．
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新教材同步学案 数学 必修 第一册
3．在同一个直角坐标系中分别画出函数y＝2x(x<0)和y＝x2(x≥0)的图象， 这两个函数图象合起来还能表示函数图象吗？如何写它的解析式？
“分段函数”在高考中的分类解析
— —
本质 就是 “ 与 方程 的交 汇” ． 不同点在于前者“ 定性” ，
后者 “ 定 量” ． 例 ７ （２ ０ １ ０ 年 福 建 卷 ） 函 数
，■ 解析
本题 主要 考 查 函数 解 析 式 的 求 法 和 转 化 思 想 的应用 能 力 可 以结合 已知 的 Ｏ ≤ ≤ １时
静纷赛解钎
营 心
◇
云南
李 祖 斌
所谓“ 分 段 函数 ” ， 是 指 在 定 义域 的 不 同 子集 上 ， 有不 同 的解 析式 的 函数． 随着 分 段 函数 在 生 活 中 的广
｛ ： 二 ， 三 萋 ： 若 ， ｃ ｚ ： ２ ， 则 ｚ 一 ——． 析由 ｛ 墨， 解 得 ｘ － ｌ ｏ ｇ ａ ２ ， 又 由 ， 无
４ 与 方 程 的 交 汇
瑗 羧 蓬 富
这类综 合 题 有 ２种 策 略 ： 一是代数法 ， 即从 方 程
出发 ， 根据 自变 量 的 取 值不 同分 情 况 解 方 程 ； 二 是 几 何法 ， 把 问题 转 化为 图象 交点 的横坐 标． ； 例 ４ （ ２ ０ ０ ９年 北 京 卷 ） 已 知 函 数 ｆ（ ）一
， 解析 ２．． 析不 等式 等 价 于
／ ｘ ＞ ｌ ＇
２ ～
，
解
当 ≥ １时 ， ｌ ｏ ｇ ｌ ｘ ￣Ｏ ； 当 ｘ ＜ ｌ时 ， ０ ＜２ ＜ 故 值 域是 （ 一ｃ × ３ ， ２ ） ．
不 等式 组 ， 可得 ０ ≤ ≤ １或 Ｘ ＞１ ， 即 ｚ ≥０ ， 故 选 Ｄ． ６ 与 函数 性质 的 交汇
２ 求 函 数 值
这类题 型 主要 是 由 函 数 的 奇 偶 性 、 单 调性 、 周 期 性 等 结合起 来 ， 综合 考查 学生 分析 、 解决 问题 的能 力．
全国高考数学复习微专题：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
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高考中的分段函数
云南省下关第一中学 郭润仙
分段函数既能考查函数的概念及性质,又能体现分类讨论,数形结合的数学思想方法,故成为高考命题热点之一.下面就高考中分段函数的题型及解题策略做一归纳,希望同学们能有所收获.
一. 求分段函数的函数值
已知分段函数解析式求对应的函数值,这类问题是高考数学试题最常考的题型,解决这类问题的关键就是弄清自变量所在区间,然后代入对应区间的解析式求值;若是求"层层套"的函数值,要从内到外逐层计算.
例1.(2015 理5)设函数211log (2),1,
()2,1,
x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 【答案】C
【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以
22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．
例2(2015陕西文4) 设
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】
例3(2015 全国课标1文10)已知函数1222,1
()log (1),1
x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，
且()3f a =-，则(6)f a -= ( ) A.74- B.54- C.34- D.14
- 【答案】A
【解析】试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1
()2
23a f a -=-=-，则121a -=-，此
等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =， ∴(6)f a -=(1)f -=117
224
---=-
，故选A. 二. 求分段函数的值域或最值
已知分段函数解析式求值域或最值,是高考数学试题的最基本题型.解决这类问题的关键就是求出分段函数中每一个区间对应函数值的范围或每一个区间上的最值(再进行比较),借助于图象也是解决这类问题的常用方法.
例4(2015浙江文12)已知函数，则 ，
的最小值是 ． 【答案】
例5( 2015福建理14)若函数 （ 且 ）的值域是
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
三.分段函数的性质的判断与应用
1. 分段函数的单调性: 分段函数的单调性必须每一段都单调,而且要关注分段点处的情况.
2. 分段函数的奇偶性:必须对每一段的奇偶性进行单独讨论,由函数及偶性的定义,得出奇
偶性的结论,或由函数图象来判断.
例6(2014福建理7)已知函数()⎩
⎨⎧≤>+=0,cos 0
,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）
A.()x f 是偶函数
B. ()x f 是增函数
C.()x f 是周期函数
D.()x f 的值域为[)+∞-,1
解析: 做出函数的图象,则可直观看出, ()x f 不是偶函数,不是增函数,不是周期函数, 其值域是[)+∞-,1,故选D
例7(2015湖北理6)已知符号函数
是
上的增函数，
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】试题分析：因为
是
上的增函数，令
，所以
，
因为，所以是上的减函数，由符号函数知，
.
三. 分段函数与方程的交汇(或求分段函数的零点)
分段函数与方程的交汇性试题是今近年来高考数学试题的热点题型. .解决这类问题要对不同区间进行分类讨论,列出不同方程来求解,然后整合. 求分段函数的零点问题主要是零点个数问题,常转化为两个函数图象的交点个数问题去解决,关键是作出函数的图象. 例8(2015理山东（10）)设函数f(x)={3x −1 ,x <1
2x ,x ≥1
,则满足
的取值范
围是（）
（A ）[2
3
,1] （B ）[0,1] （C ）[2
3
,+∞） （D ）[1, +∞）
【答案】C
例9(2015天津理（8）)已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )
（A ）7,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】试题分析：由()()2
2,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0
(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0
()(2)42,
0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪
=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩
， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪
=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图
象的4个公共点，由图象可知
7
24
b <<
.
四.分段函数与不等式的交汇
分段函数与不等式的交汇性试题是今近年来高考数学试题的亮点,难度偏大. .解决这类问题要对不同区间进行分类求解,然后整合,或利用分段函数的单调性结合图象求解.
例10(2013全国课标1文（15）)设函数()113,1,,1,
x e x f x x x -⎧<⎪
=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取
值范围是________. 解析:依题意,2)(,11
≤=≤-x e
x f x 解得2ln 1+≤x 又1≤x 故1≤x
2)(,13
1
≤=≥x x f x 解得8≤x 又1≥x 故81≤≤x 综上知 x 的取值范围是
(]8,∞-
例11(2013全国1理11)已知函数()f x =22,0
ln(1),0
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围
是( )
A .(,0]-∞
B .(,1]-∞
C .[-2,1]
D .[-2,0]
【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，∴由|()f x |≥ax 得，202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩且0
ln(1)x x ax >⎧⎨
+≥⎩， 由20
2x x x ax
≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除Ａ，Ｂ， 当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D.
通过以上例子我们不难发现解决分段函数的问题,根据解析式若能画出大致图象,其值域,最值,单调性,奇偶性等问题就会迎刃而解,方程,不等式的问题用数形结合思想,分类讨论的思想来解,使问题得到大大化简,效果明显.总之,解决分段函数的策略一句话来说就是"分段函数,分段解决”。