水力瞬变特征线法和隐式差分法的对比分析
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设计计算
水力瞬变特征线法和隐式差分法
的对比分析
蒋仕章
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蒲家宁
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中国人民解放军后勤工程学院%蒋仕章
蒲家宁&水力瞬变特征线法和隐式差分法的对比分析’油气储运’())*’()$*%*(+*,-摘
要
液体在长输管道内不稳定流动问题可以采用各种数值解法并借助计算机来进行处
理’如特征线法.隐式差分法等-特征线法是广泛使用的数值方法’隐式差分法在液体长输管道不稳定流动问题分析中应用则比较少-分析了长输管道水力瞬变特征线法和隐式有限差分法的优缺点’并结合算例分析’指出隐式差分法适合于长输管道水力瞬变分析’计算误差较小-主题词
长输管道
特征线法
隐式有限差分法
对比分析
长输管道内液体的流动状态可分为稳定和不稳定两大类-稳定流动是管道流动的基本状态’不稳定流动则由稳定流动受到破坏而引起’例如开阀和关阀.
开泵和停泵.调节阀和安全阀动作.动力故障以及管道泄漏等各种原因而发生水力瞬变-工程上的不稳定流问题十分重要’因为它可能引起的管道超压.
噪声.抽空和振动比起由稳定流分析所得的结果要严重得多-
目前’液体在长输管道内不稳定流动问题常采用各种数值解法并借助计算机来进行有效的分析-美国学者斯特里特$/010********%在*678年创建的特征线法是最广泛使用的数值方法9*+8:
-文献;*<在流体动力学理论基础上’运用以特征线法为主的数值分析方法’结合具体实例说明了液体输送管道和管网系统水力瞬变的分析方法和动态控制的措施-特征线法具有理论严密’
物理意义明确’适用范围广等特点-隐式差分法在液体长输管道不稳定流动问题分析中应用则比较少-
一.管道水力瞬变数学模型
=.水击基本微分方程
*6)(年’意大利学者阿列维$10>??@5A @%以严密的数学方法’建立了不稳定流动的基本微分方程’
奠定了水击分析的理论基础9*+8:
-
*B C D E D F G H D E I
J D K G D L D K G M E N E N *OP
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D L D F G H D L D K G R
(
I J
B C D E D K S T U Q )$(%式中L VV 液体压头W
E VV 液体流量W
H VV 管内液流的平均流速W M VV 水力摩阻系数W P VV 流态指数W B VV 重力加速度W C VV 管道流通面积W R VV 水击波速W F VV 时间变量W K VV 管长变量-X .边.
初值条件液体长输管道系统由节点和元件组成’其中节点是长输管道系统的边界点’
节点的工艺要求即为动态的边界条件-元件是连续于节点间的工艺设备’它们可以是管道.泵.阀门等多种形式’元件通过量及其相应的元件参数反映出元件特性-根据质量守恒定律’在任何时间流进.流出任意节点Y 的流量必须相等’即
Z [\]Y
R Y [E
Y [
G E Y Q )$8%
#,)))*7’重庆市大坪长江二路*^,号W 电话&$)(8%7_(^,8*)-
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(*‘油气储运
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当#元件中流量流入"节点时’(%&
当#元件中流量流出"节点时)
’式中
*"++与第"
个节点相连元件的集合,-"#++与第"
个节点相连的元件#流入&出’"节点流量的绝对值,-"++"
节点与外界交换的流量&流入为正.流出为负’/此外.每个元件两端在靠近节点处的压力与节
点压力相等/长输管道初始条件可以通过实测或稳定计算获得/
二0计算方法
10特征线法
根据式&%’和式&2’.可以得到其特征线方程3*4
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7?
78
@
A B $C 4!&D ’*(
!567-78(79784:-;-;%(
78
@
A B $C (!&F ’在工程上.管道中液体大多数情况下.由于C G !
.式&D ’0式&F ’可近似为37?
78
$H !&I ’为了采用计算机求解.将这些方程变为有限差分形式/分别取时间步长和管段步长为J 8和J ?
.可将连续的?(8平面网格化&见图%’.得到沿*4和*(
的差分方程式&K ’和式&%=’/
*4!56-".#4%(-"(%.#J 84
9".#4%(9"(%.#J 84:-".#4%-"(%.#%(
J 8
@A B $4!&K ’为了保证特征线差分方程的收敛性和稳定性.
J 8和J ?间的关系见式&%%’/满足L M N O P Q R S T U V W X >Y
准则/
*
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\%‘第2=卷第%期蒋仕章等3水力瞬变特征线法和隐式差分法的对比分析
这种差分格式具有二阶精度!且绝对稳定"
三#算例分析
以文献$%&中一简单管道为例进行计算分析"管径’()*+,!管长-(.))),!管道当量长度-/
(.)0),!管道上游压头1)(2),!下游压头1%(+),!
自由流出!流动处于紊流区!流态指数3()*%+0!列宾宗摩阻系数4(+*5678,.9%*:50
!水击波速;(%))),87
"试进行终端阀门瞬时关闭的水击计算"
根据上述方法!采用<=7>?@A ?7=B 2*)语言编制了计算程序!对图.所示的管道系统进行了瞬变分析"
为便于两种方法计算结果的对比分析!将管道等分成三段!网格点编号为)#%#+和."计算结果见表%和表+"
从表中可以看出!分别用两种方法得到的计算
结果基本吻合"
特征线法计算结果
时间
67
9流量6,.
8D 9节点)节点%节点+
节点.)*)+%)*%+%)*%+%)*%+%)*%%*)+%)*%+%)*%+%)*%+%)*%+*)+%)*%+%)*%5*%)*).*)+%)*%%E *.5*%)*)E *)F%5G *.%E *.5*%)*)0*)F%5G *.F%:%*+5*%)*)2*)F%:+*:F%:%*+F%:.*))*)H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H 5*)F%:+*:F%:E *E F%:.*))*)时间679压头6,9
节点)节点%节点+节点.)*)
2)*)
E 2*5
..*.
+)*)
%*)2)*)E 2*5..*.+++*5+*)2)*)E 2*5++G *++++*5.*)2)*)+.0*2++G *++.0*2E *)2)*)+.0*2+E +*)+.0*20*)2)*)5%*5+E +*)+E :*E 2*)2)*)5%*5:.*0+E :*E 5*)
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表I 隐式有限差分法计算结果
时间
67
9流量6,.
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9节点)节点%节点+节点.)*)+%)*%+%)*%+%)*%+%)*%%*)+)+*5+)+*0+):*))*)+*)%G 0*)+)0*G .*E )*).*)+%:*G 2*..*0)*)E *)F%2+*0+2*)+*.)*)0*)F%02*:F%05*%+2*%)*)2*)F%0+*2F%0+*E F%E G *:)*)H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H 5*)F%E :*2F%:E *E F%55*0)*)时间67
9压头6,9
节点)节点%节点+节点.)*)2)*)E 2*5..*.+)*)%*)2)*)E 2*:+:*.+%+*E +*)2)*).5*%+%0*:+%0*E .*)2)*)+%:*:+%:*G +%:*E E *)2)*)+E )*0++%*+++%*G 0*)2)*)5)*G +E 2*G ++%*:2*)2)*)5%*)5G *++5:*)5*)2)*)25*5%)G *E FE 5*%
通过算例分析!可以得到如下结论"
6%9
无论是采用隐式差分法或特征线法!长输管道瞬变分析的工作量都是很大的!依靠手工计算无法完成!必须借助计算机"
6+9
特征线法和隐式差分法的系统模型差别很大"特征线法针对长输管道系统的各节点及内部网格点独立建立相应的低维线性或非线性代数方程组J 而隐式法则同时考虑所有节点和管道内部网格点!
建立一个统一的高维线性或非线性代数方程组"6.9
特征线法和隐式差分法各有优点和不足"由特征线法求解时!可以将管道水击基本微分方程化为特征差分方程!不需要求解庞大的线性或非线性
方程组!易于求解"但其时间步长和管段步长的比值要受到一定稳定条件的限制!为满足求解的数值稳定性!
时间层次往往只能取得很小"隐式差分法则能保证数值的绝对稳定性!并且时间步长可以取得较大"同时!在复杂长输管道系统的水力瞬变分析中!隐式差分法不像特征线法往往需要求助于一些特殊的处理方法!如需进行插值等"
参
考
文
献
%!蒲家宁K 管道水击分析与控制!机械工业出版社6北京9!%G G %"+!董启贤6译9K
管线中不稳定流的现代分析和控制!石油工业出版社6北京9!%G :5".!
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关
治K 偏微分方程数值解法!清华大学出版社6北
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水力瞬变特征线法和隐式差分法的对比分析
作者：蒋仕章， 蒲家宁
作者单位：中国人民解放军后勤工程学院,
刊名：
油气储运
英文刊名：OIL & GAS STORAGE AND TRANSPORTATION
年，卷(期)：2001，20(1)
被引用次数：7次
参考文献(4条)
1.蒲家宁管道水击分析与控制 1991
2.董启贤管线中不稳定流的现代分析和控制 1987
3.Wylie, E. B.Streeter, V. L Fluid Transients 1983
4.陆金甫.关 治偏微分方程数值解法 1987
相似文献(7条)
1.学位论文王明阳天然气长输管道仿真教学系统的开发2006
根据中国石油大学(北京)储运专业仿真实验室的建设要求，天然气长输管道教学仿真系统的开发是其任务之一。本项研究是以西气东输管道为研究对象，研制天然气长输管道教学仿真系统，其目的是用于辅助油气储运工程专业的本科教学工作。
本课题研究了西气东输管道系统的特征，以瞬变流理论为基础，根据动量、能量平衡原理，给出了管内瞬变流方程组，通过特征线法将其转化为有限差分形式，并将其线性化，建立数学模型；使用VC++编制相应的仿真程序，根据已建立的各种数学模型对天然气长输管道系统的动态过程参数进行计算；同时使用工业组态软件——“组态王”来制作图形界面和建立数据库，将数据库中的变量与图形界面中的各图元相连接，通过实时更新数据库来驱动画面；采用BLOCKDDE对界面和仿真计算程序模块之间进行数据传输。这种仿真系统是操作者掌握天然气长输管道动态运行时全线水力过程的变化和对全线的监控的一个有效工具。
2.学位论文康毅自适应扩展Kalman滤波器在长输管道泄漏点定位技术中的应用2005
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3.学位论文昝林峰输气管道实验室仿真教学软件开发研究2008
根据中国石油大学(北京)储运系仿真实验室的建设要求，天然气长输管道教学仿真系统的开发是其任务之一。本项研究是以西气东输管道为研究对象，研制天然气长输管道教学仿真系统，其目的是用于辅助油气储运工程专业的本科教学工作。
本课题对西气东输管道做了比较详细的调研，对西气东输工程概况有了比较深刻的了解，熟悉了管道的运行状况。在此基础之上建立了管道运行的稳态模型，包括管段模型、压缩机站模型、分输站模型。根据动量、能量平衡原理，建立了压缩机启停瞬态模型，通过特征线法将其转化为有限差分形式，并将其线性化，建立数学模型；使用VC++编制相应的仿真程序，根据已建立的各种数学模型对天然气长输管道系统的动态过程参数进行计算，实现实验室计算机模拟西气东输管道运行。
4.期刊论文刘晓娜.张廷全.Liu Xiaona.Zhang Tingquan复杂长输管道水力瞬变计算-天然气与石油2009,27(3) 建立了变径复杂输油管道水力瞬变流计算模型,在用特征线法进行数值计算时,采用了不同时间步长,用抛物线插值法处理管道相接处的边界.此方法与以往采用相同时间步长方法相比,具有计算量小,数值精度高等优点,能够更好地模拟实际工况中的水力瞬变过程.
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本项研究的目的是以抚顺石化分公司的抚顺—营口成品油长输管道为研究对象，研制开发基于模糊神经网络的管道泄漏监测系统。本课题研究了抚顺—营口成品油长输管道系统的特征，以瞬变流理论为基础，根据管道和泵站的能量、质量平衡原理，给出了基本管内瞬变流动力学方程组。考虑到输送油品的性质，如粘性、可压缩性等，给出了相应的不稳定流微分方程，通过特征线法将其转化为有限差分形式，并将其线性化，建立了数学模型。 本文还介绍了模糊神经网络的一些基础理论、常用模型，阐述了常用的网络结构，并给出了建立模糊神经网络模型的一般步骤和方法。本论文结合实际管道特点，建立了基于模糊神经网络的管道泄漏检测模型，对管线的各种运行状态和故障进行自动分析，区别管道正常调节状态和泄漏状态，提高了管道泄漏检测系统的准确性与可靠性。根据管道输油工况和瞬变流理论来分析计算管道内压力波的传播速度并进行实时修正，以提高对泄漏点的定位精度。最后介绍了基于模糊神经网络的输油管道泄漏监测系统的整体结构、硬软件特点和应用情况。
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根据管道正常运行的稳态温度场、停输降温过程中不稳定温度场数学模型和再启动过程中的数学模型，利用有限元法、冲击波理论和双特征线法编制了含蜡原油长输管道停输再启动过程中数值模拟计算程序，并在求解过程中，提出了不同埋深处用不同热影响半径的思想，不仅简化了运算程序，而且使计算结果更接近实际，这对管道的经济和安全运行有着重要意义。
利用程序模拟了某一实际管道不同季节在定压情况下的再启动过程，结果表明在管内冷油温度较高的情况下，流量变化一直呈上升趋势；而管道末端油温则主要呈现两种不同的变化趋势。
论文还讨论了影响温度和流量变化的因素，并利用再启动完全恢复后的结果与管道正常运行时的参数进行了对比，结果表明在任何情况下，两者的误差都在允许范围内。
引证文献(7条)
1.刘晓娜.张廷全复杂长输管道水力瞬变计算[期刊论文]-天然气与石油 2009(3)
2.赵会军.吕丹丹用自适应网格法计算管道的水力瞬变[期刊论文]-油气储运 2008(5)
3.贾发贤王滩电厂循环水系统过渡过程的计算研究[学位论文]硕士 2006
4.黄贤荣水电站过渡过程计算中的若干问题研究[学位论文]硕士 2006
5.冯淑萍榆中钢厂供水泵站水锤防护研究[学位论文]硕士 2005
6.唐晓寅.叶江涛长管水击最大水击压强的解析[期刊论文]-后勤工程学院学报 2004(2)
7.穆祥鹏长距离输水系统的过渡过程数值计算及水力特性研究[学位论文]硕士 2004
本文链接：https://www.360docs.net/doc/875599262.html,/Periodical_yqcy200101004.aspx
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第四节 水锤计算的特征线法
第四节水锤计算的特征线法 前面介绍了水锤计算的解析法。解析法的优点是应用简便，但难以求解较为复杂锤问题。水锤计算的特征线法原则上可以解决任何形式的边界条件问题，可以较合理应水轮机的特性，能较方便地计人摩阻的影响，也便于用数字计算机计算。 特征线法有两种，一种以ζ-v（或H-V）为坐标场，一种以x-t为坐标场，两法的结果是一致的。 图14-12 简单管示意图 一、以ζ-v为坐标场的特征线法 图14-12表示一特性沿管长不变的水管，P为管中任意一点，距A点和B点的距离分为和。根据基本方程式(14-5)和式(14-6)可导出求解P、B、A三点水锤压强时征线方程。 （一）任意断面P的水锤求解 根据基本方程式（14-5）和式（15一6），P点在时刻t的压强和流速变化为 式中上标“P”表示地点，下标“t”表示时间，例如，表示P点在时刻t的水头，余类推。对于某一确定的断面P，为一常数，为便于书写，在波函数F和f中略去了。 对于A点，在时刻可写出下列相似的方程 因F是由A向P传播的反向波，故。由于水管特性不变，。考虑以上关系，将式(a)和式(b)两组方程相减，得 以上二式消去f，并将ζ=△H/Ho、v=V/Vmax和ρ=cVmax/2gHo。 对于B点，在时刻可以写出与式(b)相似的方程
因f是由B向P传播的正向波，故，将式(c)与(a)两组方程相减，以上法处理，得 从形式上看，式（14-35）是反x向写出的，称之为反向方程，在ζ-v坐标场上是一根斜率为2ρ的直 线，如图14-13中的线；式（9-36）是顺x向写出的方程，成为正向方程，在ζ-v坐标场上是一根斜率为-2ρ的直线，如图14-13中的线。 图14-13 ζ-v坐标场上得特征线 在式（14-35）和式（14-36）中，如已知A点在时刻和B点在时刻的压强和流速 ，即可求出P点在时刻t的压强和流速。和为图14-13中Pt的坐标值，可用 和两条直线的交点求出。用特征线法求解压强和流速的方法就是过去广为采用的水锤计算的图解法。 （二）进口B点的水锤求解 已知P点在时刻t的压强和流速，列出PB间反向方程 压力水管进口为水库或平水建筑物，,故由上式可确定未知量。 （三）管末A点的水锤求解 已知P点在时刻t的压强和流速，列出PA间的正向方程
对流扩散方程有限差分方法.
对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[ 2 1 11 1122h u u u v h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j -+-+++-=-+-τ （3） 若令 h a τ λ=，2h v τ μ=，则（3）式可改写为 )2()(2 111111 n j n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4） 从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1 +n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对 流扩散方程的显示格式。 假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1 +n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处 进行Taylor 展开： )(),(),(211ττO t u t x u t x u u n j n j n j n j +??? ?????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????-==-- 代入(4)式，有 2 111 1122),(h u u u v h u u a u u t x T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-+++---+-= τ )()()(2222 h O v x u v h O a x u a O t u n j n j n j ?-????????-?+????????++????????=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n j n j n j ?-++????????-??? ?????+????????=τ
第一节 一阶线性方程的特征线解法
第一节一阶线性方程的特征线解法 ) ,(),(),(),(t x D u t x C u t x B u t x A t x =++1.一阶线性方程的一般形式： 的已知函数。为其中),(),(),,(),,(),,(t x t x D t x C t x B t x A （1） 时，即 当0),(≡t x D 0 ),(),(),(=++u t x C u t x B u t x A t x （2） 称方程为齐次的，否则为非齐次的。
2.一阶线性方程的Cauchy 问题?? ?==++)()0,(),(),(),(),(x x u t x D u t x C u t x B u t x A t x ?（3） ??? ??==c x t x B dt t x A dx )0(),(),(（4） 称(4)为(3)的特征方程，其解称为(3)的特征线。3.一阶线性方程的Cauchy 问题的求解：特征线法 思路：利用(4)将(3)转化为常微分方程的初值问题先求特征线上点对应的函数关系，任意化即可。
例1：?? ?∈=>∈=+光滑)()()()0,() 0,(000x R x x x t R x a x t ρρρρρ解： 特征方程为：?????== c x a dx dt )0( 1特征线为： c at c t x +=),(沿着特征线),,(c t x x =() t c t x t U ),,()(ρ=满足以下常微分初值问题：?????====??+??=??+??=) ()0,()0),0(()0(00c c x U t a x t dt dx x dt dU ρρρρρρρ
隐式有限差分编程
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for(j=1;j 新疆大学毕业论文(设计) 题目:求解热传导方程的高精度隐式差分格式所属院系：数学与系统科学学院 专业：信息与计算科学 声明 本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。 声明人（签名）： 年月日 亚库甫江.买买提同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。 指导教师（签名）： 年月日 新疆大学 毕业论文（设计）任务书 班级：信计07-2 姓名：亚库甫江.买买提论文（设计）题目：求解热传导方程的高精度隐式差分格式 专题：毕业设计 论文（设计）来源：教师自拟 要求完成的内容：学习和掌握一维热传导方程已有的各种差分 格式的基础上，扩散方程对空间变量应用紧 致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构 造热传导方程的精度为() 24 τ+数值格式， O h 讨论格式的稳定性，最后数值例子来验证。发题日期：2012 年12月25日完成日期：2012 年5月28 日实习实训单位：数学学院地点：数学学院 论文页数：19页；图纸张数：4 指导教师：开依沙尔老师 教研室主任 院长（系主任） 摘要 本文首先对热传导方程经典差分格式进行复习和讨论，然后热传导方程对空间变量四阶紧致格式进行离散,时间变量保持不变，把一维热传导方程转化为常微分方程组的初值问题, 再利用梯形方法构造热传导方程方程的时间二阶空间四阶精度的一种差分格式，并稳定性进行分析，数值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明, 该方法是有效求解热传导方程的数值计算. 关键词: 热传导方程,高精度紧致格式; 梯形方法；两层隐格式; Crank-Nicolson格式 ABSTRACT This paper first study on some classical finite difference for the heat conduction equation, secondely secondely we apply compact finite difference approximation of fourth order for discretizing spatial derivatives but leave the time variable Continuous. This approach results in a system of ODEs, which can then be used trapezodial formula derived fourth order in space and second order in time unconditionally stable implicit scheme .the stability and local truncation error of the obtained method are analysied. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving diffusion equation Keywords: Heat conduction eqution;Higher- oder compact scheme; Trapezodial formula ;Two- level implict scheme; Crank- Nicolson scheme !!!!!!!!!!!!!!!!"" " " 设计计算 水力瞬变特征线法和隐式差分法 的对比分析 蒋仕章 # 蒲家宁 $ 中国人民解放军后勤工程学院%蒋仕章 蒲家宁&水力瞬变特征线法和隐式差分法的对比分析’油气储运’())*’()$*%*(+*,-摘 要 液体在长输管道内不稳定流动问题可以采用各种数值解法并借助计算机来进行处 理’如特征线法.隐式差分法等-特征线法是广泛使用的数值方法’隐式差分法在液体长输管道不稳定流动问题分析中应用则比较少-分析了长输管道水力瞬变特征线法和隐式有限差分法的优缺点’并结合算例分析’指出隐式差分法适合于长输管道水力瞬变分析’计算误差较小-主题词 长输管道 特征线法 隐式有限差分法 对比分析 长输管道内液体的流动状态可分为稳定和不稳定两大类-稳定流动是管道流动的基本状态’不稳定流动则由稳定流动受到破坏而引起’例如开阀和关阀. 开泵和停泵.调节阀和安全阀动作.动力故障以及管道泄漏等各种原因而发生水力瞬变-工程上的不稳定流问题十分重要’因为它可能引起的管道超压. 噪声.抽空和振动比起由稳定流分析所得的结果要严重得多- 目前’液体在长输管道内不稳定流动问题常采用各种数值解法并借助计算机来进行有效的分析-美国学者斯特里特$/010********%在*678年创建的特征线法是最广泛使用的数值方法9*+8: -文献;*<在流体动力学理论基础上’运用以特征线法为主的数值分析方法’结合具体实例说明了液体输送管道和管网系统水力瞬变的分析方法和动态控制的措施-特征线法具有理论严密’ 物理意义明确’适用范围广等特点-隐式差分法在液体长输管道不稳定流动问题分析中应用则比较少- 一.管道水力瞬变数学模型 =.水击基本微分方程 *6)(年’意大利学者阿列维$10>??@5A @%以严密的数学方法’建立了不稳定流动的基本微分方程’ 奠定了水击分析的理论基础9*+8: - *B C D E D F G H D E I J D K G D L D K G M E N E N *OP Q )$*% D L D F G H D L D K G R ( I J B C D E D K S T U Q )$(%式中L VV 液体压头W E VV 液体流量W H VV 管内液流的平均流速W M VV 水力摩阻系数W P VV 流态指数W B VV 重力加速度W C VV 管道流通面积W R VV 水击波速W F VV 时间变量W K VV 管长变量-X .边. 初值条件液体长输管道系统由节点和元件组成’其中节点是长输管道系统的边界点’ 节点的工艺要求即为动态的边界条件-元件是连续于节点间的工艺设备’它们可以是管道.泵.阀门等多种形式’元件通过量及其相应的元件参数反映出元件特性-根据质量守恒定律’在任何时间流进.流出任意节点Y 的流量必须相等’即 Z [\]Y R Y [E Y [ G E Y Q )$8% #,)))*7’重庆市大坪长江二路*^,号W 电话&$)(8%7_(^,8*)- ‘ (*‘油气储运 ())*年 有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。 1.基本思想 有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。 2.技术要点 如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/875599262.html, 利用特征线法求解方程u +b·Du+cu=f（x，t）的初值问题 作者：吴建成王平心 来源：《科技视界》2013年第24期 【摘要】本文研究具有初值条件u（x，0）=g（x）的方程u+b·Du+cu=f（x，t）的初值问题。方程u+b·Du+cu=f（x，t）是具有常系数的一阶非齐次线性偏微分方程，这类方程在变分法、质点力学和几何学中都出现过，因此研究这类方程的目的是更好地应用于这些学科。求解这类方程的最基本方法是特征线法。它是把偏微分方程转化为常微分方程或常微分方程组，通过求解这些常微分方程得到所要求的解。本文分别运用特征线法以及特征线法的特殊情况求解了该初值问题，两种方法所得到的解是一致的，都是u（x，t）=g（x-bt）（x+b（u-t），u）du。因此，有了通过特征线法所求得的该初值问题的解的公式，我们可以更好地研究相关的一些实际问题。 【关键词】线性偏微分方程；初值问题；特征线法；常微分方程 0 引言 1）初值问题 其中，c∈R1，b=（b1，b2，…，bn）∈R都是常数。x=（x1，x2，…，xn）是n维空间变量，t是时间变量（x，t）是已知函数。 2）分析 上述初值问题中的方程（1）是一阶非齐次线性偏微分方程，在大多数常微分方程和偏微分方程教程中，一阶偏微分方程通常受到简单的处理，原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程。实际上，一阶偏微分方程在变分法、质点力学和几何光学中都出现过，在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用。例如在种群分析中，个体（不必是生物体，如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合）根据统计样本随着时间的变化会变得不合格，因此研究一阶偏微分方程有着实际意义。 一阶偏微分方程的特点是：其通解可以通过解一个常微分方程组而得到，称这种求解方法为特征线法[1]。而高阶偏微分方程和一阶偏微分方程组没有这个特点。特征线法是一种重要 又实用的方法，利用该方法证明了半有界弦振动的一维半线性波动方程的间断初边值问题的分片光滑解的全局存在性定理[2]；用该方法给出了一类仓库货物储存模型解的递推表达式，并 证明其光滑性从而得到了经典解的唯一性[3]；通过运用特征线法，讨论了无粘性Burgers方程 河流水质模拟计算思路 河流水质模型采用如下方程： S dt dC x C E x C u t C L ++ ??=??+??2 （1） 中：C —水质指标浓度； L E —纵向扩散系数； u —平均流速； S —外部的源和漏(如支流的影响等)； t —时间 ； x —所考察的距离。 以《水环境数学模型》（P39-47）隐式差分法求解如下： 由于dt dC 为水质指标浓度C 的函数，不妨设KC dt dC =，忽略支流影响。则方程（1）可化成下面形式： ) (2 1211 11 2 1 1 1111 j i j i j i j i i j i j i j i i j i j i C C K x C C u x C C C E t C C -+-+-+++++- ?--?+-=?- （2） 对方程（2）整理得： )2 ( )1( )2 2 1( 11112 1 12 1 12 K x u C x u t C C x E C K x E t C x E i j i i j i j i i j i i j i i - ?+?- ?=?- + ?+?+?--+-+++ （3） 令： 2 x E i i ?- =γ 2 2112 K x E t i i + ?+?= β 2 x E i i ?- =α ) 2 ( )1( 11K x u C x u t C i j i i j i i -?+?- ?=-δ 方程（3）可简化为： i j i i j i i j i i C C C δγβα=++++++-1 11 1 1 （4） 边界条件： i=1时 '11 1 11 1 1δγβ=+++j j C C 2 11' 1x E ?+ =δδ i=n 时 1 11112+-+++-=j n j n j n C C C n j n n j n n C C δβα=+++-1 ' 1 1' n n n γαα-=' n n n γββ2' += 矩阵形式： ? ????? ???????? ?---' ' 1112 2 211 n n n n n βαγβαγβαγβ ??????? ?????????=??????? ?????????-+-n n j n n C C C C δδδδ12'11 121 河流水质模拟计算流程符号说明： Dx —空间步长 Dt —时间步长 Cj —j 时刻各断面的污染物浓度 E —j 时刻各断面的纵向扩散系数 U —j 时刻各断面平均流速 K —污染物的衰减系数 NT —模拟的次数 其中：A,a,b,c,d,x 为计算辅助矩阵。 计算流程图见图一 小振幅波有限差分方法数值模拟 摘要：文章研究了二维水槽下线性势流方程小振幅波的数值解，采用crank-nicolson隐式有限差分方法对线性势流方程组进行离散.通过坐标变换将随不规则物理区域变换成一个固定的正方形计算区域，运用交错网格对计算区域进行分割。数值模拟自由面小振幅波的波高，计算出自由面波高的误差值.数值结果表明数值解很好地吻合解析解以及小振幅波具有驻波的线性特征和波节不动性。abstract： the model of small-amplitude water wave has been developed based on potential flow theory. there are numerical experiments of water wave motion undertaken in a two dimensional tank. crank-nicolson’s implicit scheme is adopted to discretize the equations about the linear potential flow. firstly， coordinate transformation is introduced to map the time-dependent irregular physical domain to a time-independent fixed square calculation domain. secondly， a staggered mesh system is applied to divide calculation domain. the numerical results agree well with analytic result and small-amplitude wave have standing wave linear features and node immobility. 关键词：小振幅波；crank-nicolson隐式有限差分方法；交错网格 key words： small-amplitude wave；crank-nicolson implicit 隐式差分法程序及结果#include for(i=2;i<10;i++) { B[i]=a; W[i]=b-A[i-1]*B[i]; A[i]=c/W[i]; } Z[1]=f[1]/W[1]; for(i=2;i<10;i++) { Z[i]=((f[i]-a*Z[i-1])/W[i]); } h[9][k+1]=Z[9]; for(i=1;i<9;i++) { h[9-i][k+1]=(Z[9-i]-A[9-i]*h[10-i][k+1]); } } printf("当时间步长%.2f时：\n",T); printf(" i,k \t i=0 \t i=1 \t i=2 \t i=3 \t i=4 \t i=5 \t i=6 \t i=7 \t i=8 \t i=9 \t i=10 \t"); k=0; for(k=0;k<11;k++) { printf("k=%d\t",k); for(i=0;i<11;i++) { printf("%.2f\t",h[i][k]); } } printf("继续？（1/0）"); scanf ("%d",&flag); return flag; } 输入时间步长：0.1 当时间步长为0.10时： i,k i=0 i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 i=6 i=7 i=8 i=9 i=10 k=0 10.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 第九章期权定价的有限差分方法 在本章中，我们将给出几个简单的例子来说明基于偏微分方程（PDE）框架的期权定价方法。具体的方法的是利用第五章中讲述的有限差分方法来解决Black-scholes偏微分方程。在9.1节中，我们会回顾衍生品定价的数值解法以及指出如何利用适当的边界条件来模拟一个特定的期权。在9.2节中我们将会应用简单的显式（差分）方法来求解一个简单的欧式期权。正如你已熟知的那样，这种方法只能解出一些可以从金融角度来解释的不稳定的数值解。在9.3节中我们将可以看到使用完全的隐式方法可以解决这种不稳定问题。在9.4节中我们将介绍Crank-Nicolson方法在障碍期权定价中的应用，它可以看做是一种显式与完全隐式方法的混合。最后，在9.5节中，我们会看到迭代松弛方法可以用于解决使用全隐式方法来解决美式期权定价时由于存在提前执行的可能性而导致的自由边界问题。 9.1 使用有限差分法解BS方程 在2.6.2节中，我们给出了一个标的资产在时间t的价格为)(t S的期权，该期权的价格是一个函数), S (t f满足偏微分方程 (t S f，且), （9.1）通过不同的边界条件可以让这个方程刻画不同的期权的特征。在某些地方可能因为假设的改变或者对路径依赖的改变而导致方程式的具体形式改变，但是此处仅仅作为一个起点，帮助读者了解如何应用基于有限差分方法来解决期权定价的问题。 正如我们在第五章中遇到的情况那样，要用有限差分方法来解偏微分方程，在此处我们必须建立资产价格和时间的离散网格。设T是 期权的到期日，而Smax是一个足够大的资产价格，在我们所考虑的时间范围内，)(t S的数值不能超过Smax。设定Smax是因为偏微分方程的区域关于资产价格是无边界的。但是为了达到计算的目的，必须要求它是有界的。Smax相当于+∞。网格通过点(S,t)取得，其中(S,t)满足 δ, M= S = S S，Sδ，Sδ2，……,max δ。 t N= t, tδ，tδ22，……,T = 本章中使用网格符号为,我们回顾一下（9.1）方程式的几种不同解法： 向前差分 向后差分 中心（或对称）差分 对于第二个差分式子，有 至于究竟采用哪种方法进行离散化，我们将在后面的实际操作过程中对显式和隐式的方法作出详细的阐述说明。 另一个值得我们注意的问题是如何设置边界条件。对于执行价格 特征线法 tezhengxianfa 特征线法 method of characteristics 一种基于特征理论的求解双曲型偏微分方程组的近似方法。它产生较早，19世纪末已经有效地为人们所使用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，并在一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的 应用。 考虑两个自变量的一阶拟线性方程组 [658-04](1)式中U、F为维向量，为×阶矩阵。如果矩阵有个实的特征值，且有个线性无关的左特征向量,即存在可逆矩阵 [658-05]和实对角矩阵 [658-06]使 [658-17]则称方程组(1)为双曲型的，其中[2kg](=1,2,…,)为矩阵的特征值。此时(1) 可改写成 [658-07](2)如果用、表示U、F的元素，那么(2)可改写成 [658-08] (3)引入方向：[658-10]，于是有 [658-09]。可见，(3)的第个方程中只包含函数,,…,在方向上 的方向导数。因此，它是由方程 [658-10](4)所确定的曲线上的函数值之间的一个关系式。也就是说，(4)所确定 的曲线上的函数值是不能任意给定的,必须满足方程(3)中的第个方程。通常称该曲线为第族特征线,而称(3) 中的第个方程为第族特征线上的相容关系。利用特征线(4)上的相容关系(3)来求方程(1)的解的方法叫特征 线法。 下面以＝2情况为例来说明此种方法。设在两个邻近的点和上已知函数值相应为(,)和(,)，并 设过的第一族特征线与过的第二族特征线相交于（图1[特征线法求解过程示意图] ）。此时,可用如下的方法来近似地求出点的位置和其上的函数值。 第一族特征线的方程是[658-11],故点的坐标(,)和点的坐标(,)之间有如下的近似 关系： [658-12](5)和上面一样，上标()表示它是点[2kg]上该量的值。类似 地，在点2[2kg]的坐标(,)和的坐标(,)之间有如下的近似关系： [658-13](6)从方程(5)和(6)可解得点的坐标的近似值。 另外,根据(3)在第一族特征线上函数值之间有关系 [658-14]本科毕业设计--求解热传导方程的高精度隐式差分格式
水力瞬变特征线法和隐式差分法的对比分析
(完整版)有限差分方法概述
利用特征线法求解方程u +b·Du+cu=f(x,t)的初值问题
《水环境数学模型》(P39-47)隐式差分法求解
小振幅波有限差分方法数值模拟
隐式差分法
第九章期权定价的有限差分方法.doc
特征线法