2021届高一数学单元测试卷(必修第一册)第八章 数学建模(能力提升)(原卷版)

第八章 数学建模能力提升

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题 1．有一组数据，如表所示：

下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）．

A ．指数函数

B ．反比例函数

C ．一次函数

D ．二次函数

2．某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式为20.3210x y -=?+（010x <<，

*N x ∈）

，若每台产品的售价为6万元，则当产量为8台时，生产者可获得的利润为（ ） A ．18.8万元 B ．19.8万元 C ．20.8万元 D ．29.2万元

3．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和

小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A 元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B 元，则（ ）．

A ．A

B <

B ．A B =

C ．A B >

D ．A ，B 大小不确定

4．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（ ）

A ．一次函数模型

B ．二次函数模型

C ．指数函数模型

D ．对数函数模型

5．向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h 随时间t 变化的大致图像是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10％，但数学成绩每次都比上次降低了10％，期末时这两科分值恰好均为m 分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果（ ）

A ．提高了

B ．降低了

C ．不提不降（相同）

D ．是否提高与m 值有关系

7．某市家庭煤气的使用量3(m )x 和煤气费()f x (元) 满足关系,0()(),C x A f x C B x A x A <≤?=?

+->?

，已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：

若四月份该家庭使用了3

20m的煤气，则其煤气费为（）元

A．10.5B．10C．11.5D．11

8．甲、乙二人同时从A地赶住B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步；乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，且两人骑车的速度均大于跑步的速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下：

则上述四个函数图象中，甲、乙两人运行的函数关系的图象应该分别是（）

A．图①、图①B．图①、图①C．图①、图①D．图①、图①9．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为

A．B．

C．D．

10．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（）

A．一次函数模型B．二次函数模型

C．对数函数模型D．指数函数模型

11．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：

现有如下4个模拟函数：

①y＝0.6x﹣0.2；①y＝x2﹣55x+8；①y＝log2x；①y＝2x﹣3.02．

请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反应这些数据的规律，应选（）

A．①B．①C．①D．①

12．图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是（）

A ．捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期

B ．由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少

C ．捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述

D ．捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少

二、填空题 13．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格()f t 与时间t 满足关系

()111,020,241,2040t t f t t t ?+≤

()t N ∈，销售量()g t 与时间t 满足关系()14333g t

t =

-+()040,t t N ≤≤∈则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值为______.

14．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，

有人根据函数图像提出关于这两个旅行者的如下信息：（1）骑自行车比骑摩托车者早出发3h ，晚到

1h ；

（2）骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；（3）骑摩托车者在出发1.5h 后追上了骑自行车者，其中正确信息的序号__________．

15．《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（

两）还差30文钱，买八

两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文．

16．李老师每天开车上班，10月李老师共加了两次油，每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米均耗油量为_______升.

三、解答题 17．用水清洗一份蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12

，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()211f x x

=+. （1）求()0f 的值，并解释其实际意义；

（2）现有()0a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪

种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.

18．湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台．．．．．

需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台．．．

的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x -<≤??=?+->?+?

. （1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.

19．养鱼场中鱼群的最大养殖量为 t m ，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量 t y 和实际养殖量 t x 与空闲率的乘积成正比，比例系数为()0k k >．注：-=养鱼场中鱼群的最大养殖量实际养殖量空闲率养鱼场中鱼群的最大养殖量

（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

（2）求鱼群年增长量的最大值；

（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．

20．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角（阴影三角形）被锈蚀，其中4AE =米，6CD =米，为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上.

（1）设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，并求出x 的取值范围；

（2）求矩形BNPM 面积的最大值.

21．某企业生产某产品，年产量为x 万件，收入函数和成本函数分别为2()590R x x x =-+（万元），

()30C x x =（万元），若税收函数()T x tx =（万元），（其中常数%t 为税率）.

（1）设20t =，当年产量x 为何值时，该产品年利润y （纳税后）有最大值，并求出最大值； （2）若该企业目前年产量为2万件，通过技术革新等，年产量能够有所增加，为使在增加产量的同时，该企业年利润也不断增加，求政府对该产品征税时t 的取值范围.

22．“菊花”型烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h （单位：米）与时间t （单位：秒）存在函数关系，并得到相关数据如表：

（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h 与时间t 的变

化关系：1y kt b =+，22y at bt c =++，3t y ab =，确定此函数解析式并简单说明理由；

（2）利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求此时烟花距地面的高度．