平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位 移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使 得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具 有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决. 因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解 决物理问题，又是一个值得探讨的课题.
日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一
A
B
uuur 2 uuur uuur r r r r AC AC AC (a b) (a b)
rr rr rr rr aaabbabb
r2 r r r2 a 2a b b (1)
同理
uuur 2 DB
r a
2
rr 2a b
r2 b (2)
注意这种求 模的方法
(1) (2)得
y2.
设A（x1, y1),B( x2 , y2 ),
则 AB （x2 x1 )2 （y2 y1 )2 .
r
r
设a,b 是非零向量，a （x1, y1),b (x2, y2),
则 a b ab 0
x1 x2 y1 y2 0.
平面向量夹角的坐标表示
设 a （ x1 , y1 ), b ( x 2 , y 2 ), 且 a与 b夹 角 为 (0 180 )， 能否用向量的坐标表示两向量的夹角？
提示:
DB a b,AC a b.
r
r rr
rr
思考3 利用 a 2, b 1, a - b 2, 如何求a b ?
uuur AC 等于多少？
提示:
由 a b
2, 得
2
ab
=4
uuur r r r r | AC | a b (a b)2
即（a b）2 4,
2
2
a 2a b b 4,
cos a b
x1x2 y1 y2
.
ab
x12 y12
x22
y
2 2
其中 x12 y12 0， x22 y22 0.
已知M→N＝(3,4)，则|M→N|等于( D )
A．3
B．4
C. 5
D．5
已知向量 , , uuuuuuur
BA
=
1 2
,
3
2
uuuuuur
BC
=
平面向量数量积的坐标表示
ur
已知两个向量a
=(x1
,
y1),
ur
b
=(x2
,
y2
)，则
a b x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积
的运算可转化为向量的坐标运算.
向量的模
设 a (x, y),则 a
x2
y2或
2
a
x2
所以当k
1
时，k
r a
rr b与a
r3 3b平行.
此时k
r a
r b
3
1
r (a
r 3b).
r r r 3r
所以k a b与a 3b方向相反.
注意反向时系数 为负数，正向时
系数为正数
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、 全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解 决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具 体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.
【解析】
uuur
uuur
(1)AB (1，1),AC (1，5),
uuur uuur 所以2AB AC 2(1，1) (1，5) (1，7).
uuur uuur 即 2AB AC (1)2 72 5 2.
uuur uuur (2) cos BAC uAuBur uAuCur 111 5 2 13 .
F1
F2
0 180
G
思考3:上述结论表明，若重力 G一定，则拉力的
大小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这
个函数的定义域是什么？单调性如何？
提示:
|
F1
|
|G|
2 cos
,
0
180
2
增函数
思考4: | F1 |有最小值吗？| F1 |与|G |可能相等
(4)在 0°≤θ≤180°内，由 cos θ 的值求角 θ.
rr
rr r
已知 a 1, b 2且(a b)与a垂直，
rr 则a与b的夹角是（ D ）。
A.60o
B.30o
C.135o
D.45o
2.已知 a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且 c⊥a，b·c
＝1，则 c 的坐标为( C )
r a
r b.
由于 AuuRu与r 共AuuCur线，故设
r r
r n(a
r b),
n
R，
因为
uuur EB
uuur AB
uuur AE
r a
1
r b,
又因为 EuuRur与共EuuBu线r ， 2
所以设
uuur ER
uuur mEB
m(ar
1
r b).
uuur uuur uuur 2
因为 AR AE ER，
例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模
型，如图，AuuCur
uuur AB
uuur AD,
uuur DB
uuur AB
uuur AD,
你能发现平行
四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
D
C
uuur r uuur r
解：设 AB a, AD b，
uuur r r uuur r r
则AC a b, DB a b.
所以
r r
1
r b
r m(a
1
r b).
2
2
因此n(ar
r b)
1
r b
m(ar
1
r b )，
2
2
即(n
m)ar
(n
m
1)br
r 0.
2
因为向量ar ,br 不共线,
n m 0，所以n源自m 1 20.解得：n m= 1 .
uuur 所以AR
1
uuur 3 uuur AC,同理TC
1
uuur uuur AC,于是RT
rr
【解析】
r
(1)设 a 与rb 的夹角为 θ.
|a r
|＝r
12＋22＝
5，|b |＝
1＋λ2，
∵a ·arb⊥＝ r br(1，,r2∴)·(1ar，·brλ)＝＝01，＋∴2λ1.＋2λ＝0，∴λ＝－12.
(2)∵ a 与 b 的夹角为锐角， r
r
rr
∴ 因 ∴此caro与s1θ＋b>r02的，λ>夹且0，角c∴o为sλ锐θ>≠－角112时，.又，∴aλra的与·b取br >值共0 范线且围且a 为与同向b－时不21，，同2λ向＝∪．2(2. ，
rr
rr
因为（k a b）（a 3b），
rr r r 所以(k a b) (a 3b) 0.
即10(k 3) 4(2k 2) 0,
解得k 19. r rr r
所以k 19时，k a b与a 3b垂直.
(2)由10（2k 2) 4(k 3) 0, 解得k 1，
C．等腰三角形
D．形状无法确定
【解析】 ∵(C→A＋→CB)·(C→A－→CB)＝0，
∴C→A2－→CB2＝0，→CA2＝C→B2，∴CA＝CB，△ABC 为等腰
三角形．
微课2 利用向量解决力（速度、位移） 的合成与分解
例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体 向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小 与所耗力气的大小有什么关系？
个物体(如图).如果绳子的最大拉力为 F,物体受到
的重力为 G.
你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力 F1 的 大小与两绳之间的夹角θ的关系？
1.能利用向量的知识解决几何中的长度、角度、垂 直等问题. 2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、 相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积 表示． (重点、难点） 3.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模 型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤. 4.掌握向量在物理中应用的基本题型，进一步加深 对所学向量的概念和向量运算的认识.（难点）
AC
2
DB
2
2( a
2
2
b)
2
2
2( AB AD ).
平行四边形两条对角线长的平方和等于两 条邻边长的平方和的两倍.
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
【方法规律】
用向量方法解决平面几何问题的“三步法”：
（1）建立平面几何与向量的联 系，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为 向量问题. （2）通过向量运算，研究几何 元素之间的关系，如距离、夹角 等问题. （3）把运算结果“翻译”成几 何元素.
3 2
,
1 2
则∠ABC= ( A )
A.30° B.45° C.60° D.120°
已知
ar
r ＝(1,2)， b
＝(1，λ)，求满足下列条件的实数
λ 的取((12值)) 范aarr 与 与围bb．rr 的 的夹 夹角 角为 为锐90角°；．
【ar ·解br题的关符键号】．由向量的夹角公式 ，可转化为判 定
几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化
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课件5：2.5.1 平面几何中的向量方法~2.5.2 向量在物理中的应用举例
(2)因为 E 为 CD 的中点，所以 E(n4，m4 )，设 F(x,0)， 则A→E＝(n4，－34m)，A→F＝(x，－m)，因为 A，E，F 三点共线， 所以A→F＝λA→E，即(x，－m)＝λ(n4，－34m)，
所以－x＝mn4＝λ，－34mλ，
故 λ＝43，x＝n3，即 F(n3，0)．
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．形状无法确定
【解析】∵(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，
∴C→A2－C→B2＝0，C→A2＝C→B2，
∴CA＝CB，△ABC 为等腰三角形． 【答案】C
3．力 F＝(－1，－5)作用于质点 m，使 m 产生的位移 s＝(4,6)， 则力 F 对质点 m 做的功是________． 【解析】∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4,6)＝－34， ∴力 F 对 m 所做的功是－34. 【答案】－34
所以|A→F|＝13 n2＋9m2，即 AF＝13 n2＋9m2.
规律方法 1．利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的 向量最好是已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向 量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要 性质运算，最后把运算结果还原为几何关系． 2．若平面图形中存在垂直的线段(如直角三角形、矩形等)， 可建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算求解．
解:以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
(1)因为 D 为 AB 的中点， 所以 D(n2，m2 )， 所以|C→D|＝12 n2＋m2，|A→B|＝ m2＋n2， 所以|C→D|＝12|A→B|，即 CD＝12AB.
2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例(教学设计)
2.5.1平面几何中的向量方法 2.5 .2向量在物理中的应用举例（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.运用向量方法解决某些简单的物理问题.二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力. 经历用向量方法解决某些简单的物理问题的过程；体会向量是一种处理物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.[教学难点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题一、复习回顾1．向量的概念；2．向量的表示方法：几何表示、字母表示；3．零向量、单位向量、平行向量的概念；4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；8．要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；9．理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.10．理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；11．能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；12．能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；13．会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.二、师生互动，新课讲解由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例1（课本P109例1）（课本P109例1）()2222|||.|2||||ABCD AC BD AC DB AB AD =++ 已知平行四边形的对角线为、求证：()()()22222222222222|||2|||2|2|||?,||||?|||||.|AC AC AB ADAB AD AB AD DB DB AB AD AB AD AB ADAC DB AB AD ===++===+-+++=- 证得明：由变式训练1：证明：直径所对的圆周角为直角。
高一数学2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例
2
体会
数学在现实生活中的作用 .
教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算
.
教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题
.
教学过程：
一、复习引入：
1. 讲解上节作业题 .
已知 A(1, 0), 直线 l : y 2 x 6, 点 R是直线 l上的一点 , 若 RA 2 AP ,求点 P的轨迹方程 .
教学过程： 一、复习引入：
2. 5.1 平面几何中的向量方法
1. 两个向量的数量积： a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示 : a b x1x2 y1 y2.
3. 向量平行与垂直的判定 :
a // b x1 y2 x2 y1 0.
a b x1x2 y1 y2 0.
4
2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与平行四边形法则是什么？
二、讲解新课：
例 1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在
单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力
. 你能从数学的角度解释这种形象吗？
探究 1.设两人拉力分别为 F1 ， F2 ，其夹角为 ，旅行包的重力为 G 。 (1) 为何值时， | F1 |最小，最小值是多少 ?
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
a aa
a
x 2 y2
a
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二、讲解新课： 例 1. 平 行 四 边 形 是 表 示 向 量 加 法 与 减 法 的 几 何 模 型 . 如 图 ，
课件8：2.5.1 平面几何中的向量方法~2.5.2 向量在物理中的应用举例
则
A(0，1)，P
22λ，
22λ，E1，
22λ，F
22λ，0.
于是P→A＝－
22λ，1－
22λ，E→F＝
Байду номын сангаас
22λ－1，－
2
2
λ.
因为P→A·E→F＝－
2
2
λ
22λ－1＋1－
22λ－
22λ＝
－
2
2
λ
22λ－1＋1－
22λ＝0，
所以P→A⊥E→F，即 PA⊥EF.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可 以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
所以|C→D|＝12 n2＋m2，|A→B|＝ m2＋n2， 所以|C→D|＝12|A→B|，即 CD＝12AB. (2)解：因为 E 为 CD 的中点，所以 E4n，m4 ， 设 F(x，0)，则A→E＝4n，－43m，A→F＝(x，－m)． 因为 A，E，F 三点共线，
所以A→F＝λA→E.即(x，－m)＝λ4n，－34m.
为( C ) A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形 D．形状无法确定 【解析】因为(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，
所以C→A2－C→B2＝0，C→A2＝C→B2，
所以 CA＝CB，△ABC 为等腰三角形．
4. 一物体受到相互垂直的两个力 F1，F2 的作用，两力 大小都为 5 3 N，则两个力的合力的大小为________．
类型 2 平面几何中的长度问题 典例 2 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，设 AC＝m， BC＝n. (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD＝12AB； (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F.求 AF 的长度(用 m，n 表示)．
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举
2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例一览众山小诱学导入材料：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.问题：如何从数学的角度解释这种现象？图2-5-1导入：我们把上面的问题抽象为如图2-5-1所示的数学模型.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力)，就得到了问题的数学解释.在这里不妨设|F 1|=|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F 1|=2cos 2||θF .通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，2θ由0°到90°逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.温故知新1.什么是向量加法的平行四边形法则和三角形法则？答:平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和.三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和.2.什么是平面向量的基本定理？答:平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.3.如何计算向量的数量积？答:已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b =0.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
必修四2-5-1~2平面向量应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
→ ＝a，AD → ＝b，由 E、F 分别为对应边的三等分点，得 解 设AB 1 1→ → → → FO＝FA＋AO＝－ a＋ AC 3 2 1 1 1 1 ＝－3a＋2(a＋b)＝6a＋2b. 1→ 1 → 1 1 1 1 → → → OE＝OC＋CE＝2AC＋3CD＝2(a＋b)－3a＝6a＋2b. → ＝OE → ，又 O 为其公共点，故 E、O、F 在同一直线上． ∴FO
2．5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1． 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题及 其他一些实际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高运 算能力和解决实际问题的能力． 3． 掌握用向量方法解决实际问题的基本方法； 向量方法解决几 何问题的“三步曲”． 【核心扫描】 1．用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问 题．(重点) 2．用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．用向量解决平面几何问题的步骤及方法 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
可简述为：图形到向量→向量的运算→向量和数到图形．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)一般可选择以下两种方法： ①基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基 底表示相关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算． ②坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化 为向量的坐标运算．
课前探究学习
课堂讲练互动
数学(2.5.2向量在物理中的应用举例)
向量的表示方法
总结词
向量可以用箭头表示，箭头的长度代 表大小，箭头的指向代表方向。
详细描述
在数学和物理中，向量通常用箭头表 示，箭头的长度代表向量的模长，箭 头的指向代表向量的方向。在坐标系 中，向量也可以用坐标表示。
向量的运算规则
总结词
向量具有加法、减法、数乘等基本运算规则，这些运算规则遵循平行四边形法 则或三角形法则。
04
向量在物理中的重要性
描述物理现象的数学工具
向量是描述物理现象的重要数 学工具，如力、速度、加速度 等物理量都可以用向量表示。
向量具有大小和方向两个要素， 能够准确地描述物理量的变化 和方向。
向量运算（加法、数乘、向量 的模等）能够描述物理量的合 成与分解。
解决物理问题的有效方法
向量在解决物理问题中具有高效性和准确性，通过向量的运算和变换可以简化问题。
向量在解决力学、电磁学、振动与波动等问题中具有广泛的应用，能够提供简洁明 了的解决方案。
向量方法可以避免复杂的解析过程，提高解题效率。
连接数学与物理的桥梁
向量作为数学和物理之间的桥梁，能 够将数学理论应用于实际物理问题。
向量的引入和发展推动了数学和物理 学的发展，促进了科学技术的进步。
通过向量的应用，能够将抽象的数学 概念与具体的物理现象联系起来，促 进数学与物理的相互理解和应用。
详细描述
在物理中，力的合成与分解是常见的运算。例如，当一个物体受到两个力的作用时，可 以通过向量的合成求出这两个力的合力；同样地，当需要将一个力分解为若干个分力时， 也可以通过向量的分解来实现。力的合成与分解在工程、力学等领域有着广泛的应用。
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，通 过向量运算可以方便地描述它们的方向和大小。
课件9：2.5.1 平面几何中的向量方法~2.5.2 向量在物理中的应用举例
又∵点 R 在直线 l：y＝2x－6 上，∴y0＝2x0－6，
∴16－－x20x＝0＝2x2－y，2，②
①
由①得 x0＝3－2x，代入②得 6－2(3－2x)＝2y，
整理得 y＝2x，即为点 P 的轨迹方程．
类型 3 向量在物理中的应用
例 3 (1)一个质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：
由向量垂直的条件知，BP⊥DC．
名师指津 垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转
化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运 算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使 问题获解，如本题便是将向量B→P，C→D由基底B→A，B→C线性 表示．当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的 夹角是明确的，且长度易知．
名师指津 1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求 边长及角，也可以用向量法求解． 2．如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所 做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位 移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．
跟踪训练 4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向 上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用 在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m，则力F和 摩擦力f所做的功分别为多少？(|g|＝10 m/s2)
解：设木块的位移为 s，则： W＝F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20× 23＝500 3(J)． 因为 F 在竖直方向上的分力的大小为 |F1|＝|F|·sin 30°＝50×12＝25(N)， 所以物体所受的支持力的大小为 |FN|＝|mg|－|F1|＝8×10－25＝55(N)．
预习自测 2.已知力 F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从 A(2，0)移 动到 B(－2，3)，则 F 对物体所做的功为________焦耳． 【解析】 由已知位移A→B＝(－4，3)， ∴力 F 做的功为 W＝F·A→B＝2×(－4)＋3×3＝1. 【答案】 1
平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例
也即 a＝bcos C＋ccos B.
2021/7/28
15
向量在解析几何中的应用 【例 2】 已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点 D、E、F 分别为边 BC、CA、AB 的中点． (1)求直线 DE、EF、FD 的方程； (2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程．
(A)y2＝8x (B)y2＝－8x (C)y2＝4x (D)y2＝－4x
解析：根据已知条件|MN―→||MP―→|＋MN―→·NP―→＝0 便可找到 P(x，y)的轨迹方程． 由已知得，MP―→＝(x＋2，y)，NP―→＝(x－2，y)． 又 MN―→＝(4,0)， ∴|MN―→||MP―→|＝4 x＋22＋y2， MN―→·NP―→＝(4,0)·(x－2，y)＝4(x－2)． 由|MN―→||MP―→|＋MN―→·NP―→＝0 可得 4 x＋22＋y2＋4(x－2)＝0 即－ x＋22＋y2＝x－2， 两边平方并化简得 y2＝－8x，故选 B.
对于这种类型的题目一定要先把物理现象分析清楚，把握住物理量之间的关 系，然后用向量的知识求解，最后要用物理知识进行检验．
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基础达标 1．在△ABC 中，AB＝AC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则( D ) (A)BD―→＝CE―→ (B)BD―→与 CE―→共线 (C)DE―→＝BC―→ (D)DE―→与 BC―→共线
(A)0.5 h (B)1 h (C)1.5 h (D)2 h
解析：台风中心移动 t h，城市 B 处在危险区，则(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°≤900. ∴ 2－12≤t≤ 2＋12. ∴B 城市处在危险区的时间为 1 h．故选 B.
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向量在解析几何中的应用 【例 2】 已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点 D、E、F 分别为边 BC、CA、AB 的中点． (1)求直线 DE、EF、FD 的方程； (2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程．
(A)y2＝8x (B)y2＝－8x (C)y2＝4x (D)y2＝－4x
解析：根据已知条件|MN―→||MP―→|＋MN―→·NP―→＝0 便可找到 P(x，y)的轨迹方程． 由已知得，MP―→＝(x＋2，y)，NP―→＝(x－2，y)． 又 MN―→＝(4,0)， ∴|MN―→||MP―→|＝4 x＋22＋y2， MN―→·NP―→＝(4,0)·(x－2，y)＝4(x－2)． 由|MN―→||MP―→|＋MN―→·NP―→＝0 可得 4 x＋22＋y2＋4(x－2)＝0 即－ x＋22＋y2＝x－2， 两边平方并化简得 y2＝－8x，故选 B.
对于这种类型的题目一定要先把物理现象分析清楚，把握住物理量之间的关 系，然后用向量的知识求解，最后要用物理知识进行检验．
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基础达标 1．在△ABC 中，AB＝AC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则( D ) (A)BD―→＝CE―→ (B)BD―→与 CE―→共线 (C)DE―→＝BC―→ (D)DE―→与 BC―→共线
(A)0.5 h (B)1 h (C)1.5 h (D)2 h
解析：台风中心移动 t h，城市 B 处在危险区，则(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°≤900. ∴ 2－12≤t≤ 2＋12. ∴B 城市处在危险区的时间为 1 h．故选 B.
2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)
2.一艘船从 O 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂 直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；