三角函数的应用与举例

一．选择题（共17小题）

1．（2016?黄山一模）如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P 的高度之和为（）

A．5 B．4C．4D．4

2．（2015?大连二模）如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为（）

A．h=5.6+4.8sinθ B．h=5.6+4.8cosθ

C．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）

3．（2014?南海区模拟）一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是（）海里．

A．30（+）B．30（﹣）C．30（﹣）D．30（+）4．（2014秋?武汉校级月考）如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）

A．（+）m B．（5+）m C．m D．4m

5．（2013秋?资阳区校级期末）为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米

的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基的俯角为45°，那么塔的高度

是（）米．

A．B．C．D．30

6．（2010?黄冈模拟）若动直线x=a与函数与

的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（）

A．B．1 C．2 D．3

7．（2010?温州模拟）设动直线x=a与函数f（x）=2sin2（+x）和g（x）

=cos2x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（）

A．B．C．2 D．3

8．（2010?宁德模拟）M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（）

A．π B．C．D．2π

9．（2009秋?揭西县校级月考）在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数

和描述，如果两个振动源同时启动，

则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（）

A．仍保持平静B．不断波动

C．周期性保持平静D．周期性保持波动

10．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它内接矩形面积的最大值为（）A．10 B．15 C．25 D．50

11．（2015秋?成都校级期末）夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季

某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin

（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（）

A．25°C B．26°C C．27°C D．28°C

12．（2015秋?宜昌校级期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所

示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针

从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t 的函数关系为（）

A．B．

C．D．

13．（2015春?孝南区校级月考）矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO 的大小为（）

A．B．C．D．

14．（2014秋?三元区校级月考）某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础

上，按月呈f（x）=Asin（ωx+?）+B的模型波动（x

为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为（）

A．（1≤x≤12，x∈N*）

B．（1≤x≤12，x∈N*）

C．（1≤x≤12，x∈N*）

D．（1≤x≤12，x∈N*）

15．（2013?息县校级一模）设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t （时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间

图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（）

A．B．

C．D．

16．（2011?蚌山区校级模拟）要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C 点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（）

A．10m B．20m C．20m D．40m

17．（2006春?北京校级期末）稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方米面积的价格，单位为元）与第x季度之间近似满足：y=500sin

一、二季度平均单价如下表所示：

约是（）A．10000元B．9500元C．9000元D．8500元

二．填空题（共13小题）

18．（2014?浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）

19．（2007?江苏）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B

两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d=，其中t∈[0，60]．

20．（2013?乌鲁木齐一模）点A（x，y）在单位圆上，从A0（）出发，

沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周．则经过时间t后，y关于t的函数解析式为．

21．（2013秋?青原区校级月考）如图所示，扇形OAB中，∠AOB=，半径

r=2cm，内接矩形EFGH，它的一条边EF在OB上，则矩形面积的最大值

为．

22．（2012?杭州二模）已知扇形的圆心角为2θ，半径为r，分别

按图1，图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形面积的最大值为r2tanθ，

则按图2作出的矩形面积的最大值为．

23．（2012?闵行区一模）如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以BC中点E 为圆心、以1为半径在矩形内部作四分之一圆弧CD（其中D为OA中点），点P是弧CD上一动点，PM⊥BC，垂足为M，PN⊥AB，垂足为N，则四边形PMBN的周长的最大值为．

24．（2012?闵行区一模）如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为．

25．（2012春?中山市校级月考）如图所示，某游乐园内摩天轮的中心O点距

地面的高度为50m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，

经过tmin后，点P的高度（单位：m），那么在摩天轮

转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续

min．

26．（2011?河南模拟）动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针

方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是（，），

则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区

间是．

27．（2010?江苏模拟）函数y=﹣2sin（4x+）的图象与x轴的交点中，离

原点最近的一点的坐标是．

28．（2010春?闸北区期末）在公园中有一个作均速旋转运动的摩天轮，已知

小明从摩天轮的最低点进入吊篮，他离地高度h（米）与乘坐摩天轮的时间t

（分钟）之间的关系为：，则小明重新回到摩天轮的最低点所

花时间最少是分钟．

29．（2009秋?黄浦区校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数

的图象和直线的交点个数是．

30．（2009秋?余姚市校级期中）若电灯B可在过桌面上一点O且垂直于桌面

的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0的距

离，可使点A处有最大的照度？（∠BAO=φ，BA=r，照度与sinφ成正比，与r2成反比）

三角函数的应用与举例

参考答案

一．选择题（共17小题）

1．D；2．D；3．A；4．A；5．A；6．C；7．D；8．C；9．A；10．C；11．C；12．C；13．D；14．D；15．C；16．D；17．C；

二．填空题（共13小题）

18．；19．；20．y=sin；21．；22．r2tan

；23．；24．6-2；25．4；26．[0，2]，[8，12]或（0，2），

（8，12）；27．（，0）；28．8；29．2个；30．a；

三角函数的图像与性质

第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性．如2012年新课标全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z)

[探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数

初中数学《锐角三角函数的应用》教案

初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。情感态度与价值观积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。教学过程一、问题引入，了解仰角俯角的概念。提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？

2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形

第四章三角函数与三角形4-7应用举例

第4章第7节一、选择题 1．(2010·广东六校)两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )km.( ) A ．a B.2a C ．2a D.3a [答案] D [解析] 依题意得∠ACB ＝120°. 由余弦定理 cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2????－1 2＝3a 2 ∴AB ＝3a .故选D. 2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC 中，“sin A >32”是“∠A >π 3 ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 在△ABC 中，若sin A >32，则∠A >π3，反之∠A >π3时，不一定有sin A >3 2 ，如A ＝5π6时，sin A ＝sin 5π6＝sin π6＝1 2 . (理)在△ABC 中，角A 、B 所对的边长为a 、b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 当a ＝b 时，A ＝B ， ∴a cos A ＝b cos B ；当a cos A ＝b cos B 时，由正弦定理得 sin A ·cos A ＝sin B ·cos B ，

∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π 2. 则a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. 所以“a ＝b ”?“a cos A ＝b cos B ”， “a cos A ＝b cos B ”?/ “a ＝b ”，故选A. 3．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，观测得∠ABC ＝120°，则AC 两地的距离为( ) A ．10km B.3km C ．105km D ．107km [答案] D [解析] 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠B ＝120°，由余弦定理得， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120° ＝102＋202－2×10×20×????－1 2＝700， ∴AC ＝107km.∴选D. 4．(文)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 [答案] B [解析] sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴a 2＋b 2＝c 2，故选B. (理)(2010·河北邯郸)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( ) A.54 B. 2 C ．1 D.32 [答案] D [解析] ∵sin 2A ＋cos 2B ＝1，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∵0