数学文化12
和氏璧代表数字几
和氏璧代表数字几
中国文明的发展，是今天世界文明发展的基石，其中汇聚着智慧与力量，发展成至今的传统文化。
除了以制度、文言鼎盛之外，还有一种有着悠久传统的神奇数字——和氏璧。
和氏璧是中国悠久文明演变的一个标记，代表着中国古代数学文化的一个组成部分。
和氏璧，又叫三角形璧，指的是一种由三角形组成的古老算术玩具，它是由苏秦在公元前475年发明的，目前仍可发现的最古老的的数学术语之一。
每个三角形璧中，有3个原子，每个原子都有2个，和氏璧则有12个原子，3*2*2=12，按照古山法的说法，这就是和氏璧代表的数字——12。
和氏璧最初作为数学玩具而流传，但近代，它已经开始进入学校课堂，被作为一种数学训练，在课堂上被用来指导孩子们如何去解决困难的数学难题。
和氏璧是一种让孩子们可以同时锻炼思维和数学能力的一种很好的工具，也能让他们体会到乐趣。
随着信息技术的发展，虚拟的和氏璧也开始涌现在我们的视野之中。
凭借着互联网的力量，和氏璧游戏，小程序等等新技术，一台手机里也可以拥有虚拟的三角形璧，让如今的孩子们在互联网世界里也能体验到中国古代数字文化的魅力。
和氏璧，也就是三角形璧，曾经是中国古代的特殊数字玩具，也是当时数学文化的重要代表，生动地展示了中国悠久文明的底蕴，其中每个三角形璧代表的数字就是12（3*2*2=12）这个古老的算术道具，正虽经历了数千年的沧桑，在当下依然保持着迷人的魅力，借助网络的力量，能够让新一代子孙更加贴近传统文化，学习，运用和氏璧，推动中华文化永然长青发芽！。
数学文化网课新版答案
数学文化数学文化（一）12002年，为中国少年数学论坛活动题词“数学好玩”的是（D）。
A、邓东皋B、钱学森C、齐民友D、陈省身2“数学文化”一词最早进入官方文件，是出现在中华人民共和国教育部颁布的（C）。
A、《小学数学课程标准》B、《初中数学课程标准》C、《高中数学课程标准》D、《大学数学课程标准》3数学的研究对象是从众多物质形态种抽象出来的人脑的产物，这是它与其他自然科学研究的一个共同点。
（）正确答案：×4广义的数学文化，是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及他们的形成和发展。
（）正确答案：×数学文化（二）11998年以后，教育部的专业目录里规定了数学学科专业，包括数学与应用数学专业、（C）。
A、统计学B、数理统计学C、信息与计算科学专业D、数学史与数学文化2数学目前仅仅是一种重要的工具，要上升至思维模式的高度，还需学者们的探索。
（）正确答案：×3数学素养的通俗说法，是指在经过数学学习后，将所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。
（）正确答案：√数学文化（三）1“数学文化”课是以数学问题为载体，以教授数学系统知识及其应用为目的。
（）正确答案：×2反证法是解决数学难题的一种有效方法。
（）正确答案：√数学文化（四）1“哥尼斯堡七桥问题”最后是被谁解决的？（B）A、阿基米德B、欧拉C、高斯D、笛卡尔2在解决“哥尼斯堡七桥问题”时，数学家先做的第一步是（D）。
A、分析B、概括C、推理D、抽象3数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。
这句话出自（C）。
A、阿基米德B、欧拉C、恩格斯D、马克思4从牛顿的著作《自然哲学之数学原理》可以看出，他是不支持数学定义中的“哲学说”的。
（）正确答案：×5罗素关于数学概念的描述，是从数学的公理体系角度而言的。
（）正确答案：√数学文化（六）1一堆20粒的谷粒，甲乙两个人轮流抓，每次可以抓一粒到五粒，规定谁抓到最后一把谁赢。
12数学传统文化
第12讲数学文化教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读．[考情分析]预测2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．预测3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．预测4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目．如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．立体几何中的数学文化题[例1]《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为()A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺[思路分析]根据圆柱的体积公式，结合题中圆柱的体积和高以及有关单位的数据计算出圆柱的底面半径，再根据圆的周长公式，计算出圆柱底面圆周长．解析：设圆柱底面圆半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.答案：B[体会领悟]本题属于生活中谷物储存问题，源于《九章算术》第五章“商功”，结合立体几何中的基础知识进行设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养．我国古代数学强调“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活、生产联系紧密，体现出明显的问题式、综合性的特征．立体几何中几何体体积公式是常考内容，例如2014年湖北卷第8题和2015年高考全国卷Ⅰ第6题考查圆锥的体积公式．[例2]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d[思路分析]观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，结合“当其正视图和侧视图完全相同时”这个关键条件作答．解析：当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.答案：A[体会领悟] “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在高考中考查．[例3] 我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π[思路分析] 根据题设所给的三视图，想象出图中所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，再根据祖暅原理和有关数据计算即可．解析：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C. 答案：C[体会领悟] 祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育出版社《数学必修2》(A 版)第30页“探究与发现”中专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化．数列中的数学文化题[例4] 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱 [思路分析] 读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于已知等差数列{a n }中，前5项和为5，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5，求a 1.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎨⎧ a 1＝43，d ＝－16，故选D.答案：D[体会领悟] 我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差数列问题．[例5] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里[思路分析] 读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于：已知等比数列{a n }中，公比q ＝12，前6项和S 6＝378，求a 2. 解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1(1－126)1－12＝ 378，解得a 1＝192，则a2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.答案：B[体会领悟]与等差数列一样，我国古代数学涉及等比数列问题也有很多，因此，涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．[例6]意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则a21＋a22＋a23＋…＋a22 015a2 015是斐波那契数列中的第________项．[思路分析]本题先根据题意明确该数列的递推公式，再依据所给式子中项的特点把递推公式恰当变形得出结论．解析：依题意得a1＝a2＝1，a n＋2＝a n＋1＋a n，a n＋1·a n＋2＝a2n＋1＋a n a n＋1，则a2 015a2 016＝a22 015＋a2 014a2 015，a2 014·a2 015＝a22 014＋a2 013a2 014，a2 013a2 014＝a22 013＋a2 012a2 013，…，a2a3＝a22＋a1a2，又a21＝a1a2，因此a2 015a2 016＝a22 015＋a22 014＋a22 013＋…＋a22＋a21，即a21＋a22＋a23＋…＋a22 015a2 015＝a2 016，即a21＋a22＋a23＋…＋a22 015a2 015是斐波那契数列中的第2 016项．答案：2 016[体会领悟]该题的命制以人民教育出版社《数学必修5》(A版)第32页“阅读与思考”中的“斐波那契数列”为背景，考查考生灵活处理递推数列问题的能力和转化与化归能力．斐波那契数列有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛应用．在高考中，也曾经很多次考查斐波那契数列问题．算法中的数学文化题[例7]如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8,12，则输出的a＝()A．4 B．2C．0 D．14[思路分析]读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．解析：由程序框图输入的a＝8，b＝12，按程序框图所示依次执行，可得b＝12－8＝4，a＝8；a＝8－4＝4，b＝4，a＝b，所以输出a＝4.故选A.答案：A[体会领悟]《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．本题程序框图的算法思路源于《九章算术》中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术”算法，2015年高考全国卷Ⅱ第8题也是此类问题．[例8]秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()A．20 B．61C．183 D．548[思路分析]读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．解析：初始值n ，x 的值分别为4,3，程序运行过程如下：v ＝1，i ＝3≥0，v ＝1×3＋3＝6，i ＝2≥0；v ＝6×3＋2＝20，i ＝1≥0；v ＝20×3＋1＝61，i ＝0≥0；v ＝61×3＋0＝183，i ＝－1＜0，结束循环，此时输出v 的值为183.故选C.答案：C[体会领悟] 秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的求值问题的算法．其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．本题程序框图的算法思路源于《数书九章》中多项式求值的“秦九韶算法”．[例9] 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为________．(参考数据：sin15°≈0.258 8，sin7.5°≈0.130 5)[思路分析] 读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．解析：n ＝6，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598＜3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6＞3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.答案：24[体会领悟] 更相减损术、秦九韶算法和割圆术分别在人民教育出版社《数学必修3》(A 版)第36页，第37页，第45页“算法案例”中出现．其中更相减损术和秦九韶算法分别在2015年和2016年高考全国卷Ⅱ中考过，因此以后全国卷考查割圆术的可能性较大．概率统计中的数学文化题[例10] 欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．[思路分析] 将实际问题转化为数学中的几何概型问题，关键是要求出铜钱的面积和中间正方形孔的面积，然后代入几何概型计算公式进行求解．解析：依题意，所求概率为P ＝12π·(32)2＝49π. 答案：49π[体会领悟] 从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例．三角函数中的数学文化题[例11] 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan (θ＋π4)＝________.[思路分析] 本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角θ满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可．解析：依题意得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin θ－5cos θ＝1(0＜θ＜π2)，即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan(θ＋π4)＝tan θ＋11－tan θ＝－7. 答案：－7[体会领悟] 1 700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流，等等．不等式中的数学文化题[例12] 设a ＞0，b ＞0，则2ab a ＋b为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段CD 的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．[思路分析] 将线段OD ，CD 融入相关直角三角形中，利用三角形相似进行计算，再结合调和平均数的定义即可得到正确结果．解析：因为Rt △DEC ∽Rt △DCO ，所以DE CD ＝CD OD ，从而DE ＝CD 2OD .依题意可得OD ＝a ＋b 2，CD ＝ab ，所以DE ＝2ab a ＋b，即线段DE 的长度是a ，b 的调和平均数． 答案：DE[体会领悟] 早在4世纪，古希腊数学家帕波斯在其代表作《数学汇编》第3卷第2部分就给出了算术平均、几何平均、调和平均三种平均数的理论．嵌入几何意义考查不等式，凸显经典数学名题的深邃内涵和命题专家的过人之处．解析几何中的数学文化题[例13] 2016年1月14日，国防科工局宣布，“嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1＜c 2a 2； ④c 1a 2＞a 1c 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[思路分析] 注意到椭圆Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，因此可以从椭圆的焦距入手求解．解析：观察图形可知a 1＋c 1＞a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2＞0，c 1＞c 2＞0，知a 1－c 1c 1＜a 2－c 2c 2，即a 1c 1＜a 2c 2，从而c 1a 2＞a 1c 2，c 1a 1＞c 2a 2，即④式正确，③式不正确．故选D.答案：D[体会领悟] 命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于应用之中的好题．[传统文化训练一] 单独成册一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴1＋3＋6＋…＋n (n ＋1)2＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1) ＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《张丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( )A.47尺布B.5229尺布C.815尺布D.1631尺布解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229. 答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1(n －1)n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝n 2·n －1n ＝n (n －1)． 答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32VC ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 828 03，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B.答案：B6．(2017·武汉调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin∠AOD ＝AD AO ＝513.∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·石家庄模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)A ．10步，50步B ．20步，60步C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B.答案：B二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k (5k －1)212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π[传统文化训练二] 单独成册对应学生用书第175页一、选择题1．(2017·长沙模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( )A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A. 答案：A2．(2017·沈阳模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()A ．21B ．22C ．23D ．24解析：当n ＝21时，21被3整除，执行否．当n ＝22时，22除以3余1，执行否；当n ＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n ＝23.故选C.答案：C3．(2017·南昌模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有________钱．( )A ．28B ．32C ．56D ．70解析：设甲、乙、丙三人各持有x ，y ，z 钱，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z 2＝90y ＋x ＋z 2＝70z ＋x ＋y 2＝56，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝72y ＝32z ＝4，所以乙手上有32钱．答案：B 4．(2017·石家庄模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD .且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝(x 3)2＋(3－x 3)2 ＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66 (x －32)2＋34，故选A.答案：A 5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2的虚部是( ) A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：依题意得，e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2＝(cos π4＋isin π4)(cos 3π4＋isin 3π4)＋2i ＝－1＋2i ，其虚部是2，选D.答案：D6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a ＞b ，继续循环； n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a ＞b ，继续循环； n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a ＞b ，继续循环； n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516，b ＝32，此时，a ＜b . 输出n ＝4，故选C.答案：C7．(2017·衡水中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( )A ．12日B ．16日C ．8日D ．9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n (a 1＋a n )2＋n (b 1＋b n )2＝2 250，即。
数学文化
1799年，拿破伦远征军的士兵在埃及古港口罗赛塔发现一块石 碑，碑上刻有用三种文字----希腊文、埃及僧侣文和象形文记述的 同一铭文，才使精通希腊文的学者找到了解读埃及古文字的钥匙。 古埃及人在一种用纸莎草压制 成的草片上书写，这些纸草书有的 幸存至今。我们关于古埃及数学的 知识，主要就是依据了两部纸草书---莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。 ● 莱茵德纸草书最初发现于埃及 底比斯古都废墟，1858年为苏格兰 收藏家莱茵德(H.Rhind)购得，因名。 该纸草书现存伦敦大英博物馆,见 图
最初的几何知识从人们对 形的直觉中萌发出来。这组照 片显示了早期人类不止是对圆、 三角形、正方形等一系列几何 形式的认识，而且还有对全等、 相似、对称等几何性质的应用。 在不同地区，几何学的来 源不尽相同： ● 古埃及： 土地的丈量 ● 古印度：宗教实践 ● 古代中国：天文观测
1.2 河谷文明与早期数学
纸草书中有些问题可以被归之为我们今天所说的代数学范畴， 它们相当于求解形如 x + ax + bx = c或 x + ax = 的一次方程。 b 埃及人称未知数为“堆”(aha,读作“何”)。如莱茵德纸草书第 24题：已知“堆”与七分之一“堆”相加为19，求“堆”的值。 纸草书作者所用的解法实质是一种算术方法，即现在所谓的 “假位法”： 先假设一个特殊的数作为“堆”值（多半是假值），将其代入 等号左边去运算，然后比较得数与应得结果，再通过比例方法算 出正确答数。 1 在上例中，数7作为未知数 x 的试验值，于是 x + x = 8，而应 7 得结果是 19 ，这两个结果之比为 19 等于 2 + 1 + 1 ，将7乘以 （
埃及人在体积计算中达到了很高的水平，代表性例子是莫斯 科纸草书中的14题。这道题给出了计算平截头方锥体积的公式， 用现代符号表示相当于：
数学文化(12)
与段落“8”类似地可以得到公式： f (n) = L(n −1) + f (n −1) 与段落“9”类似地可以得到公式： F (n) = f (n −1) + F (n −1) 。 这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波那契数列的递推 公式有区别，但思想精神是相通的。
144
也许还能从中找到理解一般情形的线索。
3 条直线分平面为 7 个部分；4 条直线就分平面为 11 个部分了， 即增加了 4 部分；从 3 条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出 4 部分？分析一下：新添的直线与原来 3 条直线每条都相交，而且交 在与原交点不同的点，这就交出了 3 个新交点，这 3 点把新添的直线 分为 4 段，每一段把它穿过的（由前 3 条直线分成的）那个区域一分 为二，因此“平面分割”增加了 4 个部分，这就是“4”的来历，而 且这个分析表明，这个“4”也正是 3 点把直线分为 4 部分的“4”， 也就是“11”左肩上的“4”。11=4+7 原来是这样产生的。这种分析 令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。
+
cHale Waihona Puke (x (γ−α )(x −α )(γ
− −
β) β)
。
经验证，它符合要求，称为插值公式。即该函数在α, β ,γ 三点， 插进去的都是预先指定的值 a,b, c 它简单，明快，可顺利地推广到任意 有限多个点插值的情况。这样，就可以用一个连续的函数去拟合离散 的测量结果。
华罗康由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。正是他把 上述解决问题的基本思想称为“单因子构件凑成法”，并概括成如下 的“合成原则”：要做出具有平行的，类似的几个性质 A，B，C 的一 个数学结构，而 A，B，C 分别以某种量α , β ,γ 刻划，这时，可用“单 因子构件凑成法”：先作 B，C 不发生作用，而 A 取单位量的构件， 再作 C，A 不发生作用，B 取单位量的构件；再作 A、B 不发生作用， C 取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原则在有 的书里称为“孙子—华原则”。
数学文化汇总
1、一门学科，成功运用（）才能走向成熟。
（单选题）A、物理B、哲学C、文学D、数学D2、通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。
（判断题）√3、数学文化中的文化是指狭义的文化（判断题）×4、数学的研究可以用到不同的自然科学。
（判断题）√5、对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。
（）（判断题）×6、数学文化的研究对象是人。
（判断题）√7、大学生素质文化教育这个词是何时提出来的（单选题）A、上世纪六十年代B、上世纪七十年代C、上世纪八十年代D、上世纪九十年代D1、数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的（判断题）√2、数学训练能提高一个人的（单选题）A、推理能力B、抽象能力C、分析和创造能力D、以上都正确D3、用数学方法可以解决实际生活中的问题。
（判断题）√4、数学学科专业不包括（）（单选题）A、数学B、应用数学C、热力统计学D、统计学C5、数学文化课的教学方式不包括（单选题）A、启发式教学B、讨论式教学C、研究式教学D、实验式教学D6、有关“数学素养”通俗说法错误的是（单选题）A、从数学角度看问题B、对从事工作合理量化和简化C、解决问题时逻辑推理意识D、以上全部不是D1、数学文化不采用（）教学。
（单选题）A、启发式B、讨论式C、座谈式D、探索性C2、数学文化主要是关于（）的课程。
（单选题）A、数学知识B、数学理论C、数学应用D、数学思想D3、一般数学课程试以（）为线索组织教材。
（单选题）A、数学问题B、知识系统C、数学方法D、数学思路B4、狭义的数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展（判断题）√5、数学文化有助于培养学生的综合能力（判断题）√6、数学文化课与高等数学课程没有什么区别（判断题）×7、通常被用于证明某个给定命题在整个或者局部自然数范围内成立的数学方法是（单选题）A、类比法B、化归法C、逐步逼近法D、数学归纳法D数学文化（四）1、数学是哲学这种观点来自于古希腊（判断题）√2、数学的特点不包括（单选题）A、抽象性B、精确性C、简洁性D、应用广泛性C3、提出“数学式研究现实世界中数与形直接各种形式模型结构的一门科学”的人是（单选题）A、徐利治B、恩格斯C、方延明D、顾沛C4、创新说是说数学是一种创新。
数学文化
假设:数学文化是一门科学
• 文化的特性
• 历史性 • 现实性 • 未来性
• 数学文化的独特性
• 研究对象的科学性 • 研究方法的先进性 • 研究成果的通用性
数学研究视域中的文化元素
• 数学研究领域中的文化元素 • 数学研究对象中的文化元素 • 数学研究分支中的文化元素
数学研究领域中的文化元素
• • • • • • • • • • 数学文化绪论 数学文化研究的问题 数学文化中的方法论 数学中的美 西方的数学文化 中国古代的数学文化 经济学中的数学 军事与数学 数学教育的文化功能 社会学中的数学
• • • • •
数学文化的内涵 数学文化在不同教育活动中的作用 数学文化在不同文化背景下的功能 数学文化的继承与传播 数学文化在中学教学中的实践
数学文化的创新观
• 数学文化的原创性 • 数学创造与科学研究 爱因斯坦的相对论,牛顿的物理学研究等 • 数学创新的方法 • 数学创造意识的培养
数学文化的社会观
谢谢！
数学学科的特点
• 数学对象:思维材料的形式化抽象 1与磁场、分子、细胞的区别 • 数学思维:策略创造与逻辑演绎的结合 中国剩余定理、费尔玛定义、哥德 巴赫猜想 • 数学语言:通用的、简约的科学语言 1906京师大学堂算学课本
抽象性 严谨性 应用广泛性
甲 乙 丙 丁 上 下 十六 七 二十三
二
三
三
五
• 数学是人类理解世界的一把钥匙 • 数学文化的社会功能 模型、符号、审美 • 数学与经济 • 数学与政治 • 数学与军事
数学文化的方法论
• 数学赖以产生和发展的基本方法 归纳法、演绎法、类比法 分析法、综合法、抽象法 • 建立数学体系的方法 极限法、公理法、模型法 • 处理数学问题常用的二种方法 映射法、数学实验法
数学文化作业答案(全正确答案)
1数学的研究对象是（）A、B、C、D、2一门学科，成功运用（）才能走向成熟。
D、3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是（）C、4数学素养对于文科生并不重要正确答案：×5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。
正确答案：√6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：×7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：×8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、9数学文化这个词最早出现于：B、10数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。
正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。
正确答案：√12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、13以下不属于数学文化的侠义意思的是：A、B、C、D、14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。
正确答案：×15数学的研究可以用到不同的自然科学。
正确答案：√16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。
（）正确答案：×17数学文化的研究对象是人。
正确答案：√18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、20数学文化一词在中国最早何时出现？A、1数学素养不包括（）A、B、C、D、2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√3数学训练能提高一个人的A、B、C、D、4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？A、B、C、D、6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√7数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。
正确答案：√8专业“数学素养”有几点？（）B、9以下不是开数学文化课的指导思想的的是：C、10用数学方法可以解决实际生活中的问题。
正确答案：√11数学文化是以浅显数学知识为载体，讲述数学的思想、精神、方法、观点的一门课程。
正确答案：√12目前社会并不重视数学素养。
走进数学文化12年级讲故事
走进数学文化12年级讲故事数学，它像一个人。
有些人外表英俊潇洒，让人心生爱慕；而有的人外貌平凡无奇却不乏魅力……要想在这茫茫的宇宙中找到另一半数学可真是难上加难啊!但数学与我们的日常生活又息息相关：衣食住行、吃喝拉撒都离不开数学;打仗也需要用数学方法计算炮弹的发射速度和目标位置等。
可见，如果没有了数学，我们将会被困在时间的荒野里四处游荡，寸步难移。
所以说:数学对于我们每个人来说都很重要。
今天就由我给同学们讲几则小故事吧!第1则《东郭先生》从前，有一户姓东的农民，他养着两头牛，其中一头病倒了，躺卧在地上起不来。
主人把它牵出去卖掉，买回一只羊羔喂养。
过了十多天，那头老牛死了，主人便把羊羔宰杀煮熟后分成三份，一份自己留下，一份送邻居，剩余的一份准备拿到集市上去卖钱。
恰巧碰上了正赶路经过此地的一位客商，看到这情景，连忙走上前去问道:“你为什么要杀掉这头牛呢?”东郭先生答道:“因为它得了瘟疫，已经快要死了呀!”客商听罢哈哈大笑，指责东郭先生太愚蠢了，并告诉他:“你既然知道它得了瘟疫，怎么还能够忍心杀害它呢?现在最明智的做法应该是立刻把它埋葬才对呀!”东郭先生听完之后，恍然大悟，惭愧万分，羞愧至极，低着头灰溜溜地逃跑了。
“大家好！”这句话伴随着一阵清脆悦耳的声音传入我的耳朵里，原来是我们班的数学课代表——张艺璇。
她长着一双水灵灵的眼睛，高挺的鼻梁，樱桃般红润的嘴唇，乌黑亮丽的秀发披散在肩膀上，显得格外美丽动人。
瞧，她迈着轻盈的脚步向我们走来。
接着，她又带领我们进入了数学文化的世界。
首先，她给我们介绍了数字王国的一员——阿拉伯数字。
阿拉伯数字是古印度人创造的，早期的阿拉伯数字叫做“印度数字”或者“印度-阿拉伯数字”。
公元7世纪初，阿拉伯人征服了印度，统治了整个伊斯兰教世界，阿拉伯人根据印度人使用的婆罗米数字，结合本民族语言特点，制定了一套适合阿拉伯人书写的数字符号系统，称作“阿拉伯数字”。
后来，阿拉伯帝国强盛起来，阿拉伯数字逐渐流传到欧洲各国，再后来，阿拉伯数字传播到全球。
高考数学艺体生文化课第十二章选做题第1节极坐标参数方程直角坐标方程的互化课件
1，
所以直角坐标方程为x2 y2 1(x 1) . 4
9.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点,极轴为x轴
的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为
.
【答案】
x y
1 cos sin
( 为参数)
【解析】 曲线C的直角坐标方程是(x 1)2 y2 1,
其参数方程为
则 | P1P2 |
12
2 2
212
cos(1
2
),
S△ABC
|
1 2
12
sin(1
2) |.
3.常用曲线的参数方程
曲线
直角坐标方程
直线
y-y0=tanα·(x-x0)
圆 椭圆
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
参数方程
x y
x0 y0
t t
cos sin
(t为参数)
专题训练
专题训练1 写出下列直线的参数方程和极坐标方程: 1.直线过点(1,0)倾斜角为45°.
【解析】 参数方程
:
x
1
2t 2 (t为参数);
y
2t 2
极坐标方程 : cos sin 1 0(或 2 cos( π ) 1).
4
2.直线过点(2,1)斜率为 3.
【解析】 参数方程
5
5
tan 4 ,即为直线斜率.
3
4.已知直线l1:
x y
1 2t 2 kt
(t为参数),l2:
x y
s 1
2s
(s为参数),若l1∥l2,则
k= ;若l1⊥l2,则k= .
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非欧几何的提出 非欧几何的确认和发展
数学中心的迁移 数学奖励 中国现代数学研究的兴起
1826年2月23日是一个值得纪念的日子，在俄罗斯喀山 大学发生了一件事，使大家认为这一天是非欧几何诞生的 日子，这一天，俄罗斯的数学家罗巴切夫斯基在喀山大学 物理系宣读了他的论文《简要叙述平行线定理的一个严格 证明》，这标志着几何学的根本变革，而且也标志着近代 数学的开始。 z若一直线落在两直线上所构成的同旁内角都小于两直角， 那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于直角的一 侧相交。
i =1 j =1
n
n
gij 是参数的函数
三维常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形： 曲率为正常数 曲率为负常数 曲率恒等于零
过已知直线外一点，不能做任何 平行于该给定直线的直线（钝角）
直线可以无限延长并不意味着其长短而言是无限的
黎曼是现代数学史上最具有创造性的数学家之一。1849年 黎曼发表《单复变函数一般理论基础》。 黎曼先生提交的博士论文提供了可信的证据，表明作者对 的论文所涉及的主题进行了全面、深入的研究，显示了一个 具有创造了的、活跃的、真正数学的头脑以及了不起的富有 成果的独创性 后来他在狄利克雷之后继承了高斯在哥廷根的数学教授， 但是，在他正值创作高峰时去世，死时还不到40岁。 黎曼是一个富有想象的天才，他的想法即使没有证明， 也鼓舞了整整一个世纪的科学家
三角形三内角之和小于两直角，且如果三角形变大，使它 所有三条高都无限增长，则它的三个内角全都趋于零 如果两个三角形的三个角相等，它们就全等 圆周长 p 不与半径 r 成正比，而是更迅速的增长
p = πk (e − e ) k 是依赖于长度单位的常数
1 r2 p = 2πr (1 + +" ) 2 6k
罗巴切夫斯基1792年出生于高尔基城的一个贫穷的公务员 家庭，1856年卒于喀山，1807年进入喀山大学学习，并且在 数学方面表现出不凡的才能，但是他本人富于幻想、倔强并且 自命不凡，以致于学校的行政管理人员认为他是“令人愤怒的” 在欣赏他的教授的庇护下，于1811年获得物理数学硕士学位， 1827年任喀山大学校长。数年后喀山成为俄罗斯的一流的学府 几何学上的哥白尼
首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理 公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。假设第五公设 是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来，那么，在 新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾，至少第五公设 和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾， 就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五 公设不可证”。 过平面直线外一点，至少可以引两条直线与已知直线不相交
华罗庚
陈省身 吴文俊
许宝禄
直线，如果不相交即平行，那么过直线外一点有无穷多直线与 给定的直线平行
b
夹角 β 的一半称为“平行角” 平行角是点A 到直线 a 的距离
A b
a
'
β
d 的函数。记之为 π(d )
π π(d ) → , d → 0 2 π(d ) → 0, d → ∞
Bห้องสมุดไป่ตู้
如果在无穷远处作与此垂线夹角很小的直线，那么我们可以 沿着这条“倾斜”的直线前进而永远不与直线 a 相遇
过直线外一点 A做两条平行 直线 b, b' 不与直线 a 相交，所有 过 A 且不与 a 相交的直线的极限
b A b'
a B ' 这样的极限直线有两条，并且它们也不和直线 a 相交，设c , c
c , c ' 便构成了所有不与 a 相交的直线的边界。 c , c ' 称为 a 的“平行线”，而两条边界内的所有直线叫不相交
数学发展中心的迁移
希腊 印度、阿拉伯、中国
法国
英国
意大利
欧洲
德国 美国
高斯
狄利克雷、黎曼
克莱因
希尔伯特
诺特、理查.库朗、外尔、德恩、诺依格包尔、冯.诺依曼
数学与力学 普林斯顿 研究所
数学奖励 菲尔兹奖和沃尔夫奖 1983 1984 丘成桐 陈省身 微分几何、偏微分方程、相对论 整体微分几何
高等数学教育的兴办 1912年，中国第一个大学数学系—北京大学数学系成立 冯祖荀—郑之蕃 1917年，胡明复以论文《具边界条件的线性积-微分方程论》 获美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国 数学家。
1799年高斯意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理 推出，并在1813年发展了这种平行公设在其中不成立的新几 何，称为“反欧几里得几何”—非欧几何 黄蜂就会围着耳朵飞 匈牙利青年波约将自己的文章《绝对空间的科学》 寄给高斯：称赞他就等于称赞我自己，整篇文章的内容， 所采取的思路和获得的结果，与我在30至35年前的思考不 谋而和 春天的紫罗兰在各处盛开
r k
−
r k
非欧几何的确认与发展 内蕴微分几何：一张曲面本身就是一个空间，而不依赖于 背景空间。 1854年，黎曼发表《关于几何基础的假设》，将欧氏空间 中的内蕴几何推广到任意空间的内蕴几何。他把 n 维空间称 作一个流形，流形中的一个点，可以用 n个参数 xi表示（坐标）
ds 2 = ∑∑ gij dxi dx j
贝尔特拉米的模型是从内蕴几何观点中提出的—伪球面 它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得。 罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面” 片上的几何关系相符合。
y
x
在欧氏平面上取一个圆，而且只考虑整个圆的内部，他约 定把圆内部叫做“平面”，圆的弦叫“直线”。这种圆内部的普通 几何事实就变成罗巴切夫斯基的定理。 通过圆内不在一只弦上的一点，至少可以引两条弦不与已 知弦相交。 通过点 A不和已知弦 BC 相交的弦中，有两条边界弦。
萨凯里四边形是一个等腰双
AC = BD , ∠A 直角四边形， π = ∠B = 2
D
C
π 直角假设：∠C = ∠D = 2 π 钝角假设：∠C = ∠D > 2 π 锐角假设：∠C = ∠D < 2
A
B
在锐角假设中推出一系列新奇有趣的结果：三角形三内角之和 小于两直角；过直线外一点有无穷多条直线不与该给定的直线 相交
1927年，清华大学算学系成立。郑之蕃任第一任主任。 后来熊庆来出任算学系主任。不久，杨武之回国加入清华 1930年，中国大学的第一个研究生院在清华成立，1931年 开始招收数学研究生 1929年和1931年，陈建功和苏步青先后回国，受聘于 浙江大学，1931年在浙江大学创办中国第一个数学讨论班
现代数学研究的兴起 陈建功 苏步青 江泽涵 熊庆来 曾炯之