平面运动

5、刚体的平面运动5.1内容提要刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定面间的距离保持不变，这种运动称为刚体的平面运动。

5.1.1平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度的三种求法如表5-1所示。

通常，瞬心法和投影法应用较多。

瞬心法的关键是确定平面图形在每一瞬时的瞬心位置，表5-2给出了按已知运动条件确定平面图形瞬心位置的几种方法。

表5-1 平面图形内各点的速度的求法方 法 速度表达式基点法 （合成法）‘，MO O M v v v += ω⋅'=M O v MO ’ M O v MO '⊥‘投影法[][]AB B AB A v v =瞬心法AC A v v =ω⋅=CA v A AC v A ⊥5.1.2平面图形内各点的加速度平面图形内任一点的加速度，等于基点O '的加速度与该点绕基点转动的法向加速度与切向加速度的矢量和，即τO M n O M O M a a a a '''++=式中，2ω⋅'='O M a n O M ，方向由点M 指向基点O '；ατ⋅'='O M a O M ，方向垂直于O M '，且指向与α一致。

表5-2 几种常见情况的速度瞬心确定方法刚体运动情况瞬心位置 说明 刚体运动情况瞬心位置说明 轮沿固定面纯滚动瞬心在轮与固定面的接触处 两点速度平行且垂直于两点的连线瞬心位于两点的连线与两速度矢端连线的交点处 已知平面上任意两点速度的方位瞬心在两点速度垂线的交点上 两点速度平行且不垂直于两点的 连线瞬心位于无穷远处，该瞬时，角速度为零，各点速度相等，这种情况称为瞬时平动5.2解题要点5.2.1习题类型刚体平面运动的习题，从运动构件看，有杆和轮子的单独平面运动，以及由它们通过连接点（铰结点或接触点）所组成的平面机构。

从分析方法分，有单纯的平面运动分析，还有刚体的平面运动和点的合成运动的综合分析。

所求解的问题是转动刚体（包括平面运动刚体）的角速度、角加速度和指定点的速度和加速度。

5.2.2解题思路在实际的平面机构中，往往包含有平动、定轴转动和平面运动刚体。

因此首先应对整个机构进行全面的运动分析，正确判断机构中的刚体属于那种类型的运动。

其次，根据题目的已知条件，明确机构中的运动传递关系。

解题的过程是从已知到未知的过程，一般情况下，从已知运动的刚体着手，通过连接点的运动分析，最终求解指定刚体或点的运动。

这里要特别注意，连接点的运动分析是解题的关键，若两刚体相铰结，该铰接点的速度和加速度是唯一的，即二刚体在铰接点具有相同的速度和加速度；若两刚体相接触，且无相对滑动，则两刚体的接触点具有相同的速度，但加速度不同，例如圆轮在固定平面上的直线纯滚动；若两刚体接触并有相对滑动时，二接触点的速度、加速度都不相同，但可判定两刚体接触点的相对速度方位在接触面的公切线上，其指向相反。

例如例4-4中，直杆AB 在定轴转动的套筒C 中滑动时，AB 杆上与转轴C 相接触点C 的速度和加速度是用点合成运动方法分析的。

5.2.3速度分析在求平面运动刚体上一点速度的三种方法中，基点法是基本的方法，速度瞬心法是选速度为零的点为基点的基点法，而速度投影法是速度合成矢量或在特殊轴上的投影法，它们反映了平面运动刚体上各点的速度分布规律。

（1）应用基点法时，一般选该图形上速度是已知的点为基点，按基点法公式进行分析和计算。

（2）当已知刚体上两点的速度方向及其中一点速度的大小时，应用速度投影定理能最简便地求出另一点速度的大小。

但不能用此法求刚体的角速度。

（3）瞬心法可求刚体转动的角速度及其上任一点的速度。

由于瞬心法简便、直观，能形象地表示刚体上各点的速度分布规律，求刚体上多点的速度时尤为方便，故应用也最广泛。

读者应牢固掌握确定瞬心位置的方法，并且注意以下各点：（a ）当瞬心在无穷远时，此瞬时刚体的角速度为零，则刚体作瞬时平动。

瞬时平动指刚体在该瞬时各点的速度相等，但各点的加速度不等，即角加速度不为零。

读者应明确刚体平动与瞬时平动的区别。

（b ）每个作平面运动的刚体，在每一个瞬时都有各自的速度瞬心和角速度，即瞬心是唯一的。

平面机构中若有多个作平面运动的刚体，必须分别标明它们各自的速度瞬心和角速度。

（c ）瞬心的速度为零，但加速度一般不为零，因而速度瞬心的位置是随时间而变化的。

5.2.4加速度分析求平面图形的角加速度或其上任一点的加速度时，须进行加速度分析，一般有基点法（合成法）和加速度瞬心法。

由于加速度瞬心的位置难以确定，故常采用基点法。

选加速度已知的点作基点，应用加速度的合成矢量式进行分析和计算。

该矢量是一个平面矢量等式，只能求解两个未知量，通常多用投影法进行具体计算。

解题时应注意：（a ）当求加速度时，一般须先作速度分析，以便求得有关的法向加速度。

（b ）由于速度瞬心的加速度并不等于0，即速度瞬心与加速度瞬心不在同一个点，因此，在图示加速度时，不能把速度瞬心视为“转轴”面表示加速度的分布规律。

（c ）半径为R ，圆心为C 的圆轮，沿固定面作纯滚动时，轮与固定面的接触点C 为速度瞬心。

此时，0,0≠=c c a v ，并有RaR v C C ==αω,。

ω、α分别为轮的角速度及角加速度，C v 、a C 分别为轮心C 的速度和加速度。

5.3范例分析例5-1 图5-1（a ）所示机构中，曲柄OA=0.2 m ，以匀角速度ω0=10rad/s 逆时针转动，并带动长为1m 的连杆AB ，滑块B 沿铅直线运动。

当︒=45θ时，曲柄与连杆相互垂直，求此瞬时连杆的角速度、角加速度及滑块B 的速度、加速度。

（a ）（b ）图5-1解：解题思路：AB 杆作平面运动，A 点的速度、加速度均为已知，可利用瞬心法求解AB 杆的角速度和点B 的速度，利用基点法求解AB 杆的角加速度和点B 的加速度。

1、 速度分析作B A v v 、垂线，交点C 即为速度瞬心，如图（b ）所示。

s m OA v A /20=⋅=ω s rad ACv AAB /2==ω （顺时针） s m s m BC v AB B /83.2/22==⋅=ω )(↑ 2、 加速度分析以点A 为基点，则点B 的加速度为nBA BA A B a a a a ++=τ （1）各加速度方向如图（b ）所示。

将式（1）沿x 方向投影，有nBA B a a -=︒45cos22/66.5242s m AB a AB B -=-=⋅-=ω )(↓将式（1）沿y 方向投影，有τBA A B a a a +-=︒45cos220/1622)24(s m OA a BA =⋅-+⋅=ωτ 2/16s rad ABa BA AB==τα (顺时针)讨论：加速度计算中，常将矢量式沿坐标轴投影，在计算中切不可等同与平衡方程。

例5-2 曲柄OA 以匀角速度0ω绕水平固定轴O 作逆钟向转动，通过连杆AB 带动轮B 在水平直线轨道上作纯滚动，如图5-2所示，已知轮B 的半径为R ，R OA 3=，AB =2R 。

在图示瞬时曲柄处于铅垂位置，试求该瞬时轮上D 点的速度和加速度。

（a ）（b ）图5-2解：解题思路：本例中，杆AB 和轮B 都作平面运动，曲柄OA 作定轴转动，欲求轮B 上点D 的速度和加速度，应先求出B 点的速度、加速度，然后再求出D 点的速度、加速度。

1、速度分析和计算由于连杆AB 在图示瞬时作瞬时平动，速度瞬心在无穷远处，其角速度0=AB ω，AB 杆上各点速度相等，因而B 点的速度大小为003ωωR OA v v A B =⋅== （←）轮B 的速度瞬心在点C （图a ），其角速度003/3/ωωυω===R R Bc B （1）由速度瞬心法，轮上D 点的速度为00632ωωωR R CD v D =⋅=⋅=其方位垂直于CD ，指向如图（a ）所示。

2、加速度分析和计算取AB 杆上的A 点为基点，则B 点的加速度nBA BA A B a a a a ++=τ其中，B a 沿水平方向，20203ωωR OA a A =⋅=，因AB 杆作瞬时平动，0=AB ω，故02=⋅=AB n BA AB a ω，但0≠α，故AB AB AB R AB a αατ2=⋅=。

于是以B a 为对角线，可作出B 点的加速度合成矢量图，如图（b ）所示。

可知B 点加速度为)(30tan 3tan 20020←=⋅==ωωθR R a a A B轮B 的有加速度20/ωα==R a B （ 逆时针方向 ）为了求轮上D 点的加速度，可取轮上B 点为基点，根据基点法的加速度公式，则有nDB DB B D a a a a ++=τ式中，20ωατR R a DB ==，2023ωωR R a n DB ==，（←），将D 点的加速度合成矢量式分别向x 、y 轴投影，得204ωR a a a n DB B Dx =+=20ωτR a a DB Dy ==故D 点加速度的大小为2202212.417ωωR R a a a Dy Dx D ==+= 它与x 轴正向的夹角︒==-04.14tan 1DxDy a a a讨论关于瞬时平动刚体的加速度瞬心位置。

本例中，杆AB 在图示瞬时作瞬时平动，其特点是杆上各点的速度相等而加速度不等，若杆的角速度0=AB ω而角加速度0≠AB α。

此时，则0=nBA a ，B 点的加速度合成矢量或成为τBA A B a a a +=与基点法的速度矢量式具有完全相同的结构形式，可类似于确定速度瞬心的位置一样，确定杆瞬时平动时的加速度瞬心。

即过A 点和B 点分别作A a 和B a 的垂线，其交点Q 就是此瞬时杆AB 的加速度瞬心（图b ）。

则有2203/3/ωωα===R R AQ a A AB （逆时针方向） 20ωαR BQ a AB B =⋅= （←）所得结果与上述用基点法所求得的结果完全相同。

同样，可以简便地求出杆上任一点的加速度。

例5-3 图5-3机构由曲柄连杆机构使齿条CD 作直线平动。

曲柄OA 绕轴O 顺钟向转动，其转速为n =60r/min ，OA =10cm ，AB =20cm ，齿轮O 1与O 2上下均与齿条啮合。

当︒=90ϕ时，求平台CD 的速度和加速度。

图5-3解：解题思路：本题为一多构件组成的平面机构，其中曲柄OA 作定轴转动，杆O 1O 2和齿条CD 作平动，齿轮O 1、O 2和连杆AB 作平面运动。

求解时，应按照运动传递的顺序，从已知运动的构件，即曲柄着手，依次通过联系点A 、B 和O 2的运动分析，最后通过轮上啮合点M 而求得齿条CD 的速度和加速度。

1、速度分析和计算OA 杆作匀速度转动，其角速度s rad n /230ππω==（顺时针方向）而 s cm OA v A /20210ππω=⨯=⋅=（→）由A 点和B 点的速度方位，可知图示瞬时AB 杆作瞬时平动，则有0=AB ω。