二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。

本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。

一、二项分布
1.1义
在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。

1.2学期望与方差公式
假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：
$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$
其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即
$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$
数学期望和方差用如下公式表示：
$$E(X)=np$$
$$D(X)=np(1-p)$$
二、超几何分布
2.1义
超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。

超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：
$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。

2.2学期望与方差公式
数学期望和方差用如下公式表示：
$$E(X)=np$$
$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$
三、推导
3.1导期望
根据定义可得：
$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$
二项分布的推导：
$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$
$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：
$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$
所以：
$$E(X)=np $$
超几何分布的推导：
$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$
$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $
由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：
$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：
$$E(X)=np(N-n+1) $$
3.2导方差
根据定义可得：
$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$
二项分布的推导：
$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$
$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：
$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$
所以：
$$D(X)=np(1-p) $$
超几何分布的推导：
$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$
$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$
由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：
$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$
$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$
$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：
$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$
四、总结
从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式
都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。

在现实中，我们可以根据定义和推导出的公式，运用二项分布和超几何分布来描述各种重复实验的结果和规律，从而更好的理解实际的概率分布和研究问题。