2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第54讲 圆的方程
一
求圆的方程
【例 1】 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2， －2)， 且圆心 C 在直线 l：x－y＋1＝0 上，求圆心为 C 的圆的标 准方程．
【分析】 要求圆的标准方程，必须找出圆心坐标和半径．
【解析】 由已知求得 AB 的垂直平分线 l′的方程 为 x－3y－3＝0.
5.若圆 x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0 关于直线 x－y＋1＝0 对称，则实数 a 的值为 3 .
a2－1 【解析】 由已知，圆心(－ 2 ，－a)在直线 x－y＋1＝0 a2－1 上，则－ 2 ＋a＋1＝0，解得 a＝－1 或 a＝3. 而当 a＝－1 时，原方程不能表示圆； 当 a＝3 时，原方程表示圆．故 a＝3 为所求．
→ PB → PA· ＝(－2－x，－y)· (2－x，－y) ＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．
x2＋y2<4 由于点 P 在圆 O 内，故 2 2 ， x －y ＝2
由此得 y2<1. → PB → 所以PA· 的取值范围为[－2,0)．
【点评】本例是直线与圆的位置关系、等比数列、向 量的数量积的综合问题，问题分析求解的关键是运用转化 化归思想，即将题设和目标转化为坐标关系式，通过变式 运算实现问题的解决．
素材3
设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM、 为两边作平行四边形 MONP， ON 求点 P 的轨迹方程．
【解析】如图所示． 设 P(x，y)，N(x0，y0)， x y 则线段 OP 的中点坐标为(2，2)， x0－3 y0＋4 线段 MN 的中点坐标为( 2 ， 2 )．
|3k－3| 因为点 C 到直线 y＝kx 的距离 d＝ 2 ， k ＋1 |3k－3| 所以当 2 ＝ 6，即 k＝3± 2时，直线 OP 与 2 k ＋1 圆相切． y 所以x的最大值与最小值分别是 3＋2 2与 3－2 2.
(2)设 x＋y＝b，则 y＝－x＋b. 由图②知，当直线与圆 C 相切时，截距 b 取最值． |6－b| 而圆心 C 到直线 y＝－x＋b 的距离为 d＝ . 2
2.方程 ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0 表示圆，则 a 的取值范围是( A．a∈R C．a≠0 且 a∈R ) B．a≠1 且 a∈R D．a∈(1,4]
【解析】 方程表示圆，
a≠0 则 4a－1 2 4 2 [－ ] ＋a －4×0>0 a
，
解得 a≠0，a∈R，故选 C.
2 2 2
⑩ 点 在 圆 上 ： __________ ； _ 点 在 圆 外 ： _______ ； 点 在 圆 内 ： _ _______ .
【要点指南】 ① x a y b r ； ② (
2 2 2
D 2
，
E 2
)；
③
1 2
D E 4F； ④ ＞ ； ⑤ ； ⑥ ＜ ；
【解析】方法 1：设 P(x，y)，则 A(2x,2y)， 因为 A 点在圆 C 上，所以(2x)2＋(2y)2－4(2x)＝0， 即 x2＋y2－2x＝0，这就是所求点 P 的轨迹方程． 方法 2：连接 PC，则 PC⊥OA. 所以点 P 在以 OC 为直径的圆上，所以点 P 的轨迹方程 为(x－1)2＋y2＝1. 方法 3：连接 PC，则 PC⊥OA，设 P(x，y)，则 x· (x－2) ＋y· y＝0， 所以 x2＋y2－2x＝0， 这就是所求点 P 的轨迹方程．
2 2 2
x0
a y0 b r ；
2 2 2
x0
a y0 b r
2 2
2
1.圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0 的圆心和半径分别是( C ) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
素材4
2 已知以点 C(t，t )(t∈R，t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于 点 O、A，与 y 轴交于点 O、B，其中 O 为原点． (1)求证：△AOB 的面积为定值； (2)设直线 y＝－2x＋4 与圆 C 交于点 M、N，若|OM| ＝|ON|，求圆 C 的方程．
4 【解析】(1)证明：因为⊙C 过原点，所以 OC ＝t ＋t2，
(2)设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
1＋144＋D＋12E＋F＝0 则49＋100＋7D＋10E＋F＝0 81＋4－9D＋2E＋F＝0
，
D＝－2 解得E＝－4 F＝－95
.
所以所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－95＝0.
二
与圆有关的最值问题
【例 2】已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求 y－x 的最大值和最小值； (2)求 x2＋y2 的最大值和最小值．
【分析】根据代数式的几何意义，借助于平面 几何知识，数形结合求解．
【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0) 为圆心， 3为半径的圆． (1)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距． 当 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小 值． |2－0＋b| 此时 ＝ 3，即 b＝－2± 6. 2 故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
3.当 a 取不同的实数时， 由方程 x2＋y2＋2ax＋2ay －1＝0 可以得到不同的圆，则( A ) A．这些圆的圆心都在直线 y＝x 上 B．这些圆的圆心都在直线 y＝－x 上 C．这些圆的圆心都在直线 y＝x 或 y＝－x 上 D．这些圆的圆心不在同一条直线上
4.经过圆 C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4 的圆心且斜率 为 1 的直线方程为( A ) A．x－y＋3＝0 B．x－y－3＝0 C．x＋y－1形的对角线互相平分，
x0＝x＋3 x x0－3 y y0＋4 故2＝ 2 ，2＝ 2 ，从而 ， y0＝y－4
因为点 N(x＋3，y－4)在圆上， 故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求点 P 的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 9 12 21 28 但应除去两点(－5， 5 )和(－ 5 ， 5 )(点 P 在 OM 所在的直线上时)．
掌握圆的标准方程和一般方程，能根据 条件用待定系数法求得圆的方程，并能 应用圆的方程知识解决简单的问题．
1． 圆 的 标 准 方 程 为 ① _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 其 中 圆 心 为 ( a， b )， 半 径 为 r ( r＞ 0 )． 特 别 地 ， 圆 心 在 原 点 ， 半 径 为 r的 圆 的 方 程 为 x y r .
2 2 2
2． 圆 的 一 般 方 程 为 x y D x E y F 0
2 2
( D E 4 F ＞ 0 )， 圆 心 为 ② _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，
2 2
半 径 r ③ ____________ ＞0. 注意：
1 当 D 2 2 当 D
2 2
⑦根据题意，选择标准方程或一般方程； ⑧ 根 据 条 件 列 出 关 于 a， b， r 或 D 、 E 、 F 的 方 程 组 ； ⑨ 解 出 a， b， r 或 D ， E ， F ， 代 入 标 准 方 程 或 一 般 方 程 ； ⑩ x0 a y0 b r ；
x－3y－3＝0 圆心 C 的坐标是方程组 的解， x－y＋1＝0
x＝－3 解得 . y＝－2
半径 r＝|AC|＝ 1＋32＋1＋22＝5. 故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
【点评】 充分探究已知条件所涉及的几何性质并灵活 运用，既能准确获知求解思路，又能简化解答过程．
2 2
22 2 4 所以设圆 C 的方程为(x－t) ＋(y－ t ) ＝t ＋t2.
2
4 令 x＝0，得 y1＝0，y2＝ t ；令 y＝0，得 x1＝0，x2＝2t.
2
E 4 F ④ _ _ _ 0时 ， 表 示 圆 ；
2
E 4 F ⑤ _ _ _ 0时 ， 表 示 一 个 点 (
2 2
D 2
，
E 2
)；
3 当 D 2
E 4 F ⑥ _ _ _ 0时 ， 不 表 示 任 何 图 形 ．
3． 确 定 圆 的 方 程 的 方 法 和 步 骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法， 大 致 步 骤 为 ： ⑦ ______________ ； ⑧ ______________ ； ⑨ ____________ . 4． 点 与 圆 的 位 置 关 系 点和圆的位置关系有三种：设圆的标准方程 为 x a y b r ， 点 M ( x 0， y 0 )．
素材1
根据下列条件求圆的方程： (1)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)； (2)过三点 A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
【解析】(1)过切点 P(3，－2)且与直线 x＋y－1＝0 垂直的直线方程为 y＋2＝x－3， y＝－4x 联立可求得圆 与 心为(1，－4)． 所以半径 r＝2 2. 所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
【点评】 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不 同常采用以下做法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆与圆的几何性质列方程． ④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足 的关系式等． 此外还有交轨法、参数法等．不论哪种方法，充分利用圆 与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键．
四
与圆的方程有关的综合问题
【例 4】在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 x－ 3y＋4＝0 相切． (1)求圆 O 的方程； → (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、 两点， B 圆内的动点 P 使|PA|， → → → PB → |PO|，|PB|成等比数列，求PA· 的取值范围．
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2013届高考数学一轮复习课件(文科)11.3《圆的方程》新人教版必修2
(2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x＋2y＝0 的对称点仍在这个圆 上，且与直线 x－y＋1＝0 相交的弦长为 2 2，求圆的方程．
解析：(1)方法一：从数的角度，选用标准式 设圆心P(x0，y0)，则由|PA|＝|PB|得：(x0－5)2＋(y0－2)2＝ (x0－3)2＋(y0－2)2，
又 2x0－y0－3＝0，两方程联立得：xy00＝ ＝45.， |PA|＝ 10， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10. 方法二：从数的角度，选用一般式：设圆方程 x2＋y2＋Dx＋
C．2x－y＋4＝0
D．2x－y＝0
3．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的圆与 x 轴相切于原点，
则( B )
A．D＝0，E＝0，F≠0 C．E＝0，F＝0，D≠0
B．D＝0，F＝0，E≠0 D．F＝0，E≠0，F≠0
4．直线 y＝x＋b 平分圆 x2＋y2－8x＋2y＋8＝0 的周长，则 b
Ey＋F＝0，则圆心(－D2 ，－E2)，
52＋22＋5D＋2E＋F＝0， ∴32＋22＋3D＋2E＋F＝0，
2×－D2 －－E2－3＝0.
D＝－8， 解得：E＝－10，
F＝31.
∴圆的方程是 x2＋y2－8x－10y＋31＝0.
方法三：从形的角度． AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心 P 应在 AB 中垂线 x ＝4 上，则由2x＝x－4y－3＝0， 得圆心 P(4,5)， ∴半径 r＝|PA|＝ 10. ∴圆的方程是(x－4)2＋(y－5)2＝10. 显然，充分利用平面几何知识明显降低了计算量． (2)设 A 关于直线 x＋2y＝0 的对称点为 A′， 由已知 AA′为圆的弦， ∴A 与 A′的对称轴 x＋2y＝0 过圆心．
解析：(1)方法一：从数的角度，选用标准式 设圆心P(x0，y0)，则由|PA|＝|PB|得：(x0－5)2＋(y0－2)2＝ (x0－3)2＋(y0－2)2，
又 2x0－y0－3＝0，两方程联立得：xy00＝ ＝45.， |PA|＝ 10， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10. 方法二：从数的角度，选用一般式：设圆方程 x2＋y2＋Dx＋
C．2x－y＋4＝0
D．2x－y＝0
3．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的圆与 x 轴相切于原点，
则( B )
A．D＝0，E＝0，F≠0 C．E＝0，F＝0，D≠0
B．D＝0，F＝0，E≠0 D．F＝0，E≠0，F≠0
4．直线 y＝x＋b 平分圆 x2＋y2－8x＋2y＋8＝0 的周长，则 b
Ey＋F＝0，则圆心(－D2 ，－E2)，
52＋22＋5D＋2E＋F＝0， ∴32＋22＋3D＋2E＋F＝0，
2×－D2 －－E2－3＝0.
D＝－8， 解得：E＝－10，
F＝31.
∴圆的方程是 x2＋y2－8x－10y＋31＝0.
方法三：从形的角度． AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心 P 应在 AB 中垂线 x ＝4 上，则由2x＝x－4y－3＝0， 得圆心 P(4,5)， ∴半径 r＝|PA|＝ 10. ∴圆的方程是(x－4)2＋(y－5)2＝10. 显然，充分利用平面几何知识明显降低了计算量． (2)设 A 关于直线 x＋2y＝0 的对称点为 A′， 由已知 AA′为圆的弦， ∴A 与 A′的对称轴 x＋2y＝0 过圆心．
圆的方程课件PPT
2．点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置有 如表所示的对应关系.
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d 与 r 的关系 ___d_>_r___ ___d_＝__r__ ___d_<_r___
自主探究 探究 1：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？ 为什么？
解：
法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则b5＝－0a，2＋2－b2＝r2， 3－a2＋－2－b2＝r2.
a＝4， 解得b＝0，
r＝ 5.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
法二：
∵圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段 AB 的中垂线上． AB 中垂线的方程为 y＝－12(x－4)， 令 y＝0，得 x＝4.即圆心坐标 C(4,0)， ∴r＝|CA|＝ 5－42＋2－02＝ 5， ∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
【答案】未必表示圆，当 r≠0 时，表示圆心为(a，b)，半径 为|r|的圆；当 r＝0 时，表示一个点(a，b)．
探究 2：由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 【答案】由圆的标准方程可直接得到圆的圆心坐标和半径．
预习测评 1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和 半径分别是( ) A．(－1,5)， 3 B．(1，－5)， 3 C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
错解：由题意可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂直 平分线 x＝2 上，由xy＝＝22，x， 可得圆心 C(2，4)，r＝|AC|＝ 17， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17.
高三一轮复习圆与方程复习课课件
垂径定理的推论
不在同一直线上的三点可以确定一个圆。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的弧也相等。
圆周角定理的推论
弦心距定理的推论
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的圆周角也相等。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦的中 垂线必经过圆心。
03
圆的综合问题
圆的方程
圆的标准方程
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$为圆心，$r$为半径。
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的 半径。
切线长定理
经过圆外一点引圆的两条 切线，则这一点到切点的 距离等于从这点向圆所作 的两条切线的长度相等。
圆的综合问题
弦长问题
利用弦长公式计算弦长。
最值问题
利用几何意义求最值。
轨迹问题
利用轨迹方程求解。
THANKS
顶点。
垂径定理
02
过圆心且垂直于该圆的直径的直线平分该直径，且平分该直径
所对的弧。
切线性质
03
圆的切线垂直于过切点的半径。
圆与直线的位置关系
相交
直线与圆Байду номын сангаас两个不同的交点。
相切
直线与圆有一个或两个相同的交点。
相离
直线与圆没有交点。
圆的几何意义
圆心角
同弧或等弧所对的圆心角相等。
弦长
过圆心的弦为直径，长度为直径的弦长度为最短。
圆的性质
1 2
圆上三点确定一个圆的定理
不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，且只 有一个。
圆内接四边形的性质
对角互补，即相对的两个角的角度和为 $180^circ$。
3
《圆的方程》课件
核心要点
理解圆的定义、性质、与直 线和圆的交点，以及各种应 用场景。
实践练习
通过练习题和实际问题，巩 固对圆的方程与应用的理解。
圆的方程
1 一般式
圆的一般式方程是(x - a)²+ (y - b)²= r²。
2 标准式
圆的标准式方程是(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)是圆心坐标。
3 参数方程
圆的参数方程是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)是圆心坐标。
圆与直线的交点
应用举例
游乐园中的摩天轮
摩天轮是由一系列圆形构成的， 给游客带来乘风破浪的感觉。
地球的轨道
射箭运动中的心
地球绕太阳运行的轨道接近椭圆， 而不完全是一个完美的圆。
在射箭运动中，靶心通常是一个 圆，射手需要准确瞄准并打在靶 心上。
结论和要点
重要结论
圆的方程有多种形式，包括 一般式、标准式和参数方程。
《圆的方程》PPT课件
欢迎来到《圆的方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索圆的定义、性 质以及各种方程和应用举例。让我们开始这个精彩的旅程吧！
圆的定义和性质
1 什么是圆？
圆是平面上所有离圆心距 离相等的点的集合。
2 关键性质
圆的重要性质包括半径、 直径、弧长、面积等。
3 有趣的事实
圆在自然界和建筑中广泛 应用，如太阳、月亮、车 轮等。
1
切线
当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点。
2
相交两点
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点。
3
不相交
当直线不与圆相交时，直线与圆没有交点。
【精品】圆的方程(高三一轮复习公开课)ppt课件
(x
4)
2
M
O
x
B
得圆心C坐标为(2,1), 故CA2=10
所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10
例3.求圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋Байду номын сангаас5=0 分成1∶2两部分的圆的方程．
解：如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0
分成1:2两部分，所以∠AOB＝120°
圆心到直线3x＋4y＋15＝0
圆心：( 4, 3 ), 半径r = 5
例2. 求过点A(5，2)和点B(3，-2)，圆心在直线
2x-y=3上的圆C的方程．
(法二) 解: 如图,线段AB的中点M坐标为(4,0)
线段AB的斜率为2，则它的 y
数 形
中垂线斜率为 1 则中垂线方程为2 y1(x4)
C
A
结 合
由
2x y 3
y
1 2
的距离 d 15 3
32 42
在△AOB中，可求得OA＝6
M
所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.
高考链接
1.(10天津卷文14)已知圆C的圆心是直线 xy+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相
切,则圆C的方程为__(_x__1_)_2_ __y_2_ __2___.
2.(09广东卷文13)以点(2，-1)为圆心与直线 x+y=6相切的圆的方程为(_x_ _2 _)_2__(_y__1)_2_ _2 _25 _.
圆的方程(高三一轮复习公 开课)
基础训练 1.以点（-1,2）为圆心，5为半径的圆
的标准方程是 (x 1 )2 (y 2 )2 2 .5
2.圆的方程为x2+y2-2x-4y-4=0，则此圆
2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第8章第47讲圆的方程
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两 点：(－95，152)和(－251，258)(点 P 在 OM 所在直线上时的情 况)．
与圆有关的最值问题
【例4】 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1) y 的最大值和最小值；
x
2 y－x的最大值和最小值； 3 x2＋y2的最大值和最小值．
因为圆在直线y＝x上截得的弦长为2 7 所以圆心到直线y＝x的距离 d＝| 2b |＝ r2 7 2＝ 9b2 7
2 解得b＝1或b＝－1，则a＝3或a＝－3. 所以所求圆的方程为(x－3)2＋( y－1)2＝9 或(x＋3)2＋( y＋1)2＝9.
圆的一般方程
【例1】 已知过A(0,1)和B(4，a)且与x轴相切的圆只 有一个，求a的值及圆的方程．
求轨迹方程的步骤通常可以简化为 (1)建系，设点； (2)列式； (3)化简．坐标系的选取决定着方程化简 的繁简，设点时，通常求哪个点的轨迹 方程，就假设那个点的坐标为(x，y)，同 时，解题中还需区分轨迹方程与轨迹．
【变式练习 3】设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2 ＋y2＝4 上运动，以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹．
【解析】设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为点A、B在此圆上，所以E＋F＋1＝0，① 4D＋aE＋F＋a2＋16＝0，② 又知该圆与x轴(直线y＝0)相切， 所以由＝0，D2－4F＝0，③ 由①、②、③消去E、F可得： 1 (1－a)D2＋4D＋a2－a＋16＝0，④ 4
由题意方程④有唯一解， 当a＝1时，D＝－4，E＝－5，F＝4； 当a 1时，由＝0可解得a＝0， 这时D＝－8，E＝－17，F＝16. 综上可知，所求a的值为0或1. 当a＝0时，圆的方程为x2＋y2－8x－17y＋16＝0； 当a＝1时，圆的方程为x 2＋y 2－4x－5y＋4＝0.
福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第54讲 圆的方程
素材2
如果实数 x，y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求： y (1)x的最大值与最小值； (2)x＋y 的最大值与最小值．
【解析】(1)设 P(x，y)， 则 P 点的轨迹就是已知圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝6. y 而x＝k，则直线 OP 的方程为 y＝kx. 由图①可知，当直线 OP 与圆相切时，斜率取得最 值．
【解析】 方程表示圆，
a≠0 则 4a－1 2 4 2 [－ ] ＋a －4×0>0 a
，
解得 a≠0，a∈R，故选 C.
3.当 a 取不同的实数时， 由方程 x2＋y2＋2ax＋2ay －1＝0 可以得到不同的圆，则( A ) A．这些圆的圆心都在直线 y＝x 上 B．这些圆的圆心都在直线 y＝－x 上 C．这些圆的圆心都在直线 y＝x 或 y＝－x 上 D．这些圆的圆心不在同一条直线上
掌握圆的标准方程和一般方程，能根据 条件用待定系数法求得圆的方程，并能 应用圆的方程知识解决简单的问题．
1． 圆 的 标 准 方 程 为 ① __________ ， 其 中 圆 心 为 ( a， b )， 半 径 为 r ( r＞ 0)． 特 别 地 ， 圆 心 在 原 点 半 径 为 r的 圆 的 方 程 为 x y r .
2 2 2
x0 a
2
y0 b r ；
2 2
x0 a
2
y0 b r
2
2
1.圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0 的圆心和半径分别是( C ) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
2.方程 ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0 表示圆，则 a 的取值范围是( A．a∈R C．a≠0 且 a∈R ) B．a≠1 且 a∈R D．a∈(1,4]
高三数学复习课件：圆与方程(共12张PPT)
作业：
学业水平考试试题选编（8）
一个交点 无交点
相切 相离
直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
通法
小结：
本节课你学到了什么？
圆心坐标（- , - ）, 半径 r=
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r
代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2
圆与方程
复习课
默写：
1、圆的标准方程，并写出圆心坐标和半径 2、圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径 3、点与圆的位置关系性质 4、直线与圆 的位置关系及性质
学习目标：
1、掌握圆的标准方程和一般方程的特征和应用 2、掌握直线与圆的位置关系和性质，并能应用性质解决 相关问题 3、掌握空间坐标和空间中两点间距离公式
2.直线与圆的位置关系
1、直线和圆相离
•C2
2、直线和圆相切
•C2
3、直线和圆相交
•C2
判定方法
d r 0
d r 0
d r
几何法
0
代数法
圆的方程课件高三数学一轮复习
3. 若坐标原点在圆（ x － m ）2＋（ y ＋ m ）2＝4的内部，则实数 m 的
取值范围为 （－ 2， 2 ）.
解析：∵原点（0，0）在圆（ x － m ）2＋（ y ＋ m ）2＝4的内部，
∴（0－ m ）2＋（0＋ m ）2＜4，解得－ 2 ＜ m ＜ 2 .
目录
高中总复习·数学（提升版）
2＋ y 2＝4（ y ≠0）
（
x
－1）
直角顶点 C 的轨迹方程为
.
解析：法一 设 C （ x ， y ），因为 A ， B ， C 三点不共线，所
以 y ≠0.因为 AC ⊥ BC ，且 BC ， AC 斜率均存在，所以 kAC ·kBC
＝－1，又 kAC ＝
， kBC ＝
，所以
· ＝－1，化简得 x
第三节 圆的方程
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标
准方程与一般方程.
2. 能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
目录
1
C O N T E N T S
2
3
知识 体系构建
考点 分类突破
课时 跟踪检测
PART
1
知识 体系构建
课前自修
必备知识 系统梳理 基础重落实
2＋（ y ＋
（
x
－1）
0）和（0，1）均在☉ M 上，则☉ M 的方程为
1）2＝5 .
解析：法一
设☉ M 的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r 2，则
2＋ − 1 = 0，
= 1，
（3 − ）2 ＋2 ＝ 2 ， 解得 ＝ − 1， ∴☉ M 的方程为（ x －1）2
取值范围为 （－ 2， 2 ）.
解析：∵原点（0，0）在圆（ x － m ）2＋（ y ＋ m ）2＝4的内部，
∴（0－ m ）2＋（0＋ m ）2＜4，解得－ 2 ＜ m ＜ 2 .
目录
高中总复习·数学（提升版）
2＋ y 2＝4（ y ≠0）
（
x
－1）
直角顶点 C 的轨迹方程为
.
解析：法一 设 C （ x ， y ），因为 A ， B ， C 三点不共线，所
以 y ≠0.因为 AC ⊥ BC ，且 BC ， AC 斜率均存在，所以 kAC ·kBC
＝－1，又 kAC ＝
， kBC ＝
，所以
· ＝－1，化简得 x
第三节 圆的方程
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标
准方程与一般方程.
2. 能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
目录
1
C O N T E N T S
2
3
知识 体系构建
考点 分类突破
课时 跟踪检测
PART
1
知识 体系构建
课前自修
必备知识 系统梳理 基础重落实
2＋（ y ＋
（
x
－1）
0）和（0，1）均在☉ M 上，则☉ M 的方程为
1）2＝5 .
解析：法一
设☉ M 的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r 2，则
2＋ − 1 = 0，
= 1，
（3 − ）2 ＋2 ＝ 2 ， 解得 ＝ − 1， ∴☉ M 的方程为（ x －1）2
高考数学一轮专项复习ppt课件-圆的方程(北师大版)
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值 例5 (2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)yx的最大值和最小值；
如图，方程 x2＋y2－4x＋1＝0 表示以点(2,0)为 圆心， 3为半径的圆. 设yx＝k，即 y＝kx， 则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线 与圆相切，斜率取得最大、最小值.
则3－a2＋b2＝r2， a2＋1－b2＝r2，
a＝1，
解得b＝－1， r2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则 M－D2 ，－E2，
2·－D2 ＋－E2－1＝0， ∴9＋3D＋F＝0，
1＋E＋F＝0，
思维升华
求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b， r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而 求出D，E，F的值.
跟踪训练1 (1)(2024·郑州模拟)已知点A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)， M(a,2)四点共圆，则a＝__±___5___.
所以 x＋22＋y2＝2 x－22＋y2，
整理可得，3x2＋3y2－20x＋12＝0， 即 x2＋y2－230x＋4＝0. 所以点 M 的轨迹是圆，方程为 x2＋y2－230x＋4＝0.
命题点2 定义法 例3 (2023·茂名模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点， AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是 A.y2＝4x