2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程课件理
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为2xa＋ya＝1，将(－5,2)代入所设
方程，解得a＝－
1 2
，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直
线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋
5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为16. 解 (1)由题意知，直线l存在斜率． 设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4， 它在x轴、y轴上的截距分别为－4k－3,3k＋4， 由已知，得(3k＋4)4k＋3＝±6，
答案
解得k1＝－23或k2＝－83. 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝ 16 x＋b，则它在x轴上 的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1. ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
答案
题型三 直线方程的综合应用
角度1 由直线方程求参数问题
1．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那
么b的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
答案 C
答案
解析
令x＝0，得y＝
b 2
，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为
解得k
＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围为[0，＋∞)．
答案
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A－1＋k 2k，0，B(0,1＋2k)．
依题意得－1＋k 2k＜0， 1＋2k＞0，
解得k＞0.
∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋k 2k·|1＋2k|
答案 A 解析 若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即a2－2－－1 a＝a3－3－－1 a，
整理得a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1± 2.
答案 解析
3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 点，则直线l斜率的取值范围为________．
3 )为端点的线段有公共
答案 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞)
答案
解析Hale Waihona Puke 如图，∵kAP＝12－ －01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
解析
1.直线的倾斜角与其斜率的关系
斜率k k＝tanα>0 k＝0
倾斜角α 锐角
0°
k＝tanα<0 钝角
不存在 90°
2．倾斜角变化时斜率的变化规律
答案
条件探究 把举例说明2(1)中所求直线绕点A(1,3)，顺时针旋转45°，求 所得直线的方程．
解 设举例说明2(1)中所求直线的倾斜角为α， 则由举例说明2(1)解析知tanα＝－43， 所以90°<α<180°， 此直线绕点A(1,3)顺时针旋转45°，所得直线的倾斜角为α－45°， 斜率k′＝tan(α－45°)＝t1a＋nαt－an1α＝1－＋43－ －431＝7，
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) 答案 D 解析 因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反 数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－ 1)．故选D.
答案 解析
2．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条 件的直线l的方程：
33∪[1，＋∞)．
答案 解析
2．(2018·广州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线
段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
1 A.3
B．－13
C．－32
D．23
答案 B
解析 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有
a＋7＝2， b＋1＝－2，
[考纲解读] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概 念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，并 能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平 行或垂直关系．(重点) 2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式 及一般式等)，并了解斜截式与一次函数的关 系．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是 命题的热点，但很少独立命题．预测2020年 高考对本讲内容的考查：①考查直线倾斜角 与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂 直的判定或应用，求直线的方程．试题常以 客观题形式考查，难度不大.
答案
＝12·1＋k2k2＝124k＋1k＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k＞0且4k＝1k，即k＝12， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
解析
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函 数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决． (2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程， 再结合函数的单调性或基本不等式求解．
(4)已知直线l的斜率为k(k≠0)，它在x轴，y轴上的截距分别为k,2k，则
直线l的方程为( )
A．2x－y－4＝0 B．2x－y＋4＝0
C．2x＋y－4＝0 D．2x＋y＋4＝0
答案 D
解析
由题意得，直线l的截距式方程为
x k
＋
y 2k
＝1，又因为直线l过
(k,0)，(0,2k)两点，所以
2k－0 0－k
2．小题热身
(1)已知直线l过点(0,0)和(3,1)，则直线l的斜率为( )
A．3
B．13
C．－13
D．－3
答案 B
解析 直线l的斜率为k＝13－ －00＝13.
答案 解析
(2)在平面直角坐标系中，直线 3x＋y－3＝0的倾斜角是( )
π A.6
B．π3
C．56π
D．23π
答案 D
解析 直线 3x＋y－3＝0的斜率为－ 3，所以倾斜角为23π.
＝k，解得k＝－2，所以直线l的方程为
x －2
＋
－y4＝1，即2x＋y＋4＝0.
答案 解析
经典题型冲关
题型一 直线的倾斜角与斜率
1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( )
A．[0，π)
C.0，π4 答案 B
B．0，π4∪34π，π D．0，π4∪π2，π
根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：
(1)当α取值在
0，π2
内，由0增大到
π 2
α≠π2
时，k由0增
大并趋向于正无穷大；
(2)当α取值在
π2，π
内，由
π 2
α≠π2
增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大
并趋近于0.
3．三点共线问题 若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方 程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解 决．
答案
点斜式方程为y－3＝7(x－1)， 整理得7x－y－4＝0.
答案
给定条件求直线方程的思路 (1)求直线方程常用的两种方法 ①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求 直线方程，则直接利用斜截式即可． ②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程 (组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例 说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．
1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数
m满足的条件是( )
A．m≠－32
B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
答案 D
解析 由2mm2－2＋mm＝－03，＝0， 解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．
答案 解析
2．过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原 点．
2．直线方程的五种形式
1．概念辨析 (1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.( × ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × ) (3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( × ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y －y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
1 2
2b|－b|＝14b2，且b≠0，因为
1 4
b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)
∪(0,2]．
解析
角度2 与直线方程有关的最值问题 2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为 坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
基础知识过关
1．直线的斜率
□ (1)当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即 01 k＝tanα .当
α＝90°时，直线l的斜率k不存在． (2)斜率公式 给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率
□ 公式为 02 k＝yx22－ －yx11 .
解得ba＝＝－－35，，
从而可知直线l的斜率为－7＋3－51＝－13.
答案 解析
题型二 直线方程的求法
1．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中
线所在的直线方程为________．
答案 x＋13y＋5＝0 解析 BC的中点坐标为 32，－12
2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何1第1讲直线斜率与直线方程课件文
3．直线方程
名称 几何条件
方程
局限性
点斜式 过点(x0，y0)，_y_－__y0_＝_k_(_x－__x_0)____ 不包括__垂_直__于_x_轴_____
斜率为 k
的直线
斜截式 斜率为 k，纵 ____y_＝_k_x_＋_b______ 不包括__垂_直__于_x_轴_____
截距为 b
的直线
1．必明辨的 3 个易错点 (1)利用两点式计算斜率时易忽视 x1＝x2 时斜率 k 不存在的情 况． (2)用直线的点斜式求方程时，注意分 k 存在与不存在讨论，否 则会造成失误． (3)直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件．
2．必会的 2 种方法 求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写 出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必 要时要分类讨论． (2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程．
所以实数 m 的取值范围为－23≤m≤12. 【答案】 (1)α＋45°或 α－135° (2)－23，12
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率 k＝tan α 的取值范围． ②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 α 的取值范 围． 求倾斜角时要注意斜率是否存在．
(2)斜率的求法 ①定义法：若已知直线的倾斜角 α 或 α 的某种三角函数值，一 般根据 k＝tan α 求斜率． ②公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据 斜率公式 k＝xy22－ －yx11(x1≠x2)求斜率．
2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝tan α，倾斜角是 90°的直线 没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝ xy22－ －yx11＝xy11－ －yx22.
2020高三数学一轮复习(人教版理)：直线的倾斜角与斜率、直线方程
答案
1 (2)2
与直线方程有关的最值问题的解题思路 1．借助直线方程，用 y 表示 x 或用 x 表示 y。 2．将问题转化成关于 x(或 y)的函数。 3．利用函数的单调性或基本不等式求最值。
【变式训练】 (1)当 k>0 时，两直线 kx－y＝0,2x＋ky－2＝0 与 x 轴围 成的三角形面积的最大值为________。
解 (1)设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－4×13＝－43。又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝－43(x－1)，即 4x＋3y－13＝0。
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为2xa＋ay＝1，将(－5,2)代入所设方 程，解得 a＝－12，所以直线方程为 x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方 程为 y＝kx，则－5k＝2，解得 k＝－25，所以直线方程为 y＝－25x，即 2x＋5y＝ 0。故所求直线方程为 2x＋5y＝0 或 x＋2y＋1＝0。
解析 (1)由题意知 cosθ≠0，则斜率 k＝tanα＝scions2θθ－－01＝－cosθ∈ [－1,0)∪(0,1]，那么直线 AB 的倾斜角的取值范围是0，π4∪34π，π。
答案 (1)0，4π∪34π，π
(2)已知两点 M(2，－3)，N(－3，－2)，斜率为 k 的直线 l 过点 P(1,1)且 与线段 MN 相交，则 k 的取值范围是________。
【数学】2020届高考数学一轮复习：第八章 平面解析几何
第八章⎪⎪⎪平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率＝tan_α.(2)P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)在直线l 上，且1≠2，则l 的斜率＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用范围斜截式 纵截距、斜率 y ＝＋b 与轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率y －y 0＝(－0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式A ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线 若点P 1，P 2的坐标分别为(1，y 1)，(2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°解析：选D 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是( )A.y －y 1x －x 1＝表示过点P 1(1，y 1)，且斜率为的直线方程 B ．直线y ＝＋b 与y 轴交于一点B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a ＋yb＝1D ．方程(2－1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(－1)表示过点P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)的直线解析：选D 对于A ，直线不包括点P 1，故A 不正确；对于B ，截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确；对于C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为x a ＋yb ＝1，故C 不正确；对于D ，此方程为直线两点式方程的变形，故D正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：＋y ＋2＝0在轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：＋y ＋2＝0，令y ＝0，得＝－2，即直线l 1在轴上的截距为－2；令＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝－2，即－y －2＝0.答案：－2 －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于轴的直线；两点式方程不能表示垂直于，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．直线cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π2∪⎣⎡⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈[－1,1]，所以－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上均为增函数， 故θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.故选B. 2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为－5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为， 则所求直线方程为y －10＝(－5)， 即－y ＋10－5＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得＝34.故所求直线方程为3－4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为－5＝0或3－4y ＋25＝0. 答案：－5＝0或3－4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：选C 因为直线l 的斜率＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.故倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则PA ≤≤PB ，而PB ＞0，PA ＜0，故＜0时，倾斜角α为钝角，＝0时，α＝0，＞0时，α为锐角．又PA ＝－2－(－1)1－0＝－1，PB ＝1－(－1)2－0＝1，∴－1≤≤1. 又当0≤≤1时，0≤α≤π4；当－1≤＜0时，3π4≤α＜π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：[－1,1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b 的值． 解：∵AB ＝0－2a －2＝－2a －2，AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12.[谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，的值由－∞趋近于0(≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A (1，y 1)，B (2，y 2)，一般根据斜率公式＝y 2－y 1x 2－x 1(1≠2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为A ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率＝－AB . 考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)，∴直线方程为y ＝14，即－4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1，解得a ＝5，∴直线方程为＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为－4y ＝0或＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(＋1)，即3＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(－3)． 即所求直线的方程为－y ＋1＝0或＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________．(2)过点(2,1)且在轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程为________． 解析：(1)由3＋y ＋1＝0，得此直线的斜率为－3， 所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(＋3)， 即3－y ＋6＝0.(2)由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为＋y －3＝0或＋2y －4＝0. 答案：(1)3－y ＋6＝0 (2)＋y －3＝0或＋2y －4＝0考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝(－2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)． ∵直线l 与轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得＜0. ∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝⎛⎭⎫2－1k ·(1－2)＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2 ⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k ) ＝4，当且仅当－1k＝－4，即＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(－2)，即＋2y－4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)(＜0)，∴截距之和为2－1k ＋1－2＝3－2－1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2＝－1k ，即＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(－2)， 即＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)(＜0)， ∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋(－k )≥4， 当且仅当－＝－1k ，即＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(－2)，即＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝2＋2＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2＋2，设P (0，y 0)， 则＝20＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤≤1，即0≤20＋2≤1，故－1≤0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：a －2y ＝2a －4，l 2：2＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12. [通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线＋my ＝0和过定点B 的动直线m －y －m ＋3＝0交于点P (，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线＋my ＝0与m －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：－y ＋1＋2＝0(∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求的取值范围；(3)若直线l 交轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝(＋2)＋1，故无论取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)直线l 的方程为y ＝＋2＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得≥0，故的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2， ∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2)．又－1＋2kk＜0且1＋2＞0，∴＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2)＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4＝1k ，即＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为－2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华一中模拟)直线＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可知斜率＝－1a 2＋1，设倾斜角为α，则tan α＝－1a 2＋1，而－1≤－1a 2＋1＜0，∴－1≤tan α＜0，又∵α∈[0，π)，∴3π4≤α＜π，故选B.2．直线sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为1，2，3，则( ) A ．1＜2＜3 B ．3＜1＜2 C ．3＜2＜1 D ．1＜3＜2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜3＜2，因此1＜3＜2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝3－＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝32－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知， θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．＋y ＝0 B ．－y ＋2＝0 C ．＋y ＋2＝0D ．－y ＝0解析：选B 因为B (3,1)，C (1,3)， 所以BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为－y ＋2＝0.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线－2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3＋2B ．y ＝3－2C ．y ＝3＋12D ．y ＝－3＋2 解析：选A ∵直线－2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：a ＋y ＋b ＝0和直线l 2：b ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合．4．若直线－2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．函数y ＝a 1－(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在m ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a 1－(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn ＞0)． ∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2 n m ·m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n 的最小值为4.6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即＋13y ＋5＝0.答案：＋13y ＋5＝07．若直线a ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为________________．解析：由a ＋y ＋3a －1＝0，可得a (＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝0，y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2＋3y －6＝0上，设直线2＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2＋3y ＋12＝0.答案：2＋3y ＋12＝08．若圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0关于直线a －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是________．解析：由圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0知其标准方程为(＋1)2＋(y －3)2＝9， ∵圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0关于直线a －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)． ∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号． 故1a ＋3b 的最小值是163.答案：1639．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝(＋3)＋4，它在轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3＋4，由已知，得(3＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得1＝－23或2＝－83.故直线l 的方程为2＋3y －6＝0或8＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16＋b ，它在轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为－6y ＋6＝0或－6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得OA ＝tan 45°＝1， OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝，l OB ：y ＝－33. 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以AB ＝AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(－1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)－2y －3－3＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e ＞0，所以e ＋1ex ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e ＝1e x ，即＝0时取等号)，所以e ＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当且仅当＝0时取等号)．所以当＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(－0)，即＋4y －2＝0.该切线在轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1.因为1＝3a ＋2b ≥2 6ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号． 此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率存在且＜0， 可设直线l 的方程为y －2＝(－3)(＜0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3)， S △ABO ＝12(2－3)⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9＝4－k，即＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为1，2，则有l 1∥l 2⇔1＝2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为1，2，则有l 1⊥l 2⇔1·2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 点P 0(0，y 0)到直线l ：A ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线A ＋By ＋C 1＝0与A ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．(2018·金华四校联考)直线2＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线m ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线m ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(,1－)，∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(，y )，则y ＝1－，即动点P 的轨迹方程为＋y －1＝0.原点到直线＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值． 答案：＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：－y －1＝0与直线l 2：＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：－y －1＝0与直线l 2：＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线a ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线a ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D. 2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4－1和＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为＝－4a 和y ＝a 4－34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2－4b ＋2和y ＝－a b －2＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线a ＋by －6＝0与直线2＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：m ＋8y ＋n ＝0和l 2：2＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823 C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1：－y ＋6＝0，l 2：－y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|P Q |min ＝|3×2＋4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝(＋1)，即－y ＋＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3－1|＝|－3－3|，∴＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(＋1)，即＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为＋3y －5＝0或＝－1.法二：当AB ∥l 时，有＝AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(＋1)，即＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为＝－1.故所求直线l 的方程为＋3y －5＝0或＝－1. 答案：＋3y －5＝0或＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2－3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为－y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：a ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上． 所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0， 解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三对称问题(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2＋y－8＝0和l2：－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为＋4y－4＝0.答案：＋4y－4＝02．已知直线l：2－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________．解析：法一：在l：2－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2－3y－9＝0.法二：设P(，y)为l′上任意一点，则P(，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－)－3(－4－y)＋1＝0，即2－3y－9＝0.答案：2－3y－9＝0角度二：点关于线对称3．已知直线l：2－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．解：(1)设A ′(，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9－46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2－y ＋3＝0关于直线－y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．－2y ＋3＝0 B ．－2y －3＝0 C ．＋2y ＋1＝0D ．＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (，y )，则P 关于－y ＋2＝0的对称点为P ′(0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(0，y 0)在直线2－y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(＋2)＋3＝0， 即－2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (1，y 1)及N (，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(1，y 1)与P 2(2，y 2)关于直线l ：A ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(2，y 2)(其中B ≠0，1≠2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2的对称点为(，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(－3)，即3＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－(－4)(＋4)，即－3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)．2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：－y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：－y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6－y －6＝0. 答案：6－y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2－y ＋2＝0上，点C 在轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2－y ＋2＝0的对称点为A 1(1，y 1)，点A 关于轴的对称点为A 2(2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2－y ＋2＝0对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝(4－0)2＋(－5－7)2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线a ＋3y ＋3＝0和直线＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线a ＋3y ＋3＝0和直线＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(－2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)． 3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6＋5y －1＝0B ．5＋6y ＋1＝0C ．5－6y －1＝0D ．6－5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(－1)，即6－5y －1＝0.4．已知点P (4，a )到直线4－3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3－2y －1＝0,6＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________． 解析：依题意知，63＝a－2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6＋ay ＋c ＝0可化为3－2y ＋c2＝0，又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：a ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：－ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q |2的值为( )A.102B.10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线a ＋y －1＝0与过定点Q 的直线－ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以P Q 为直径的圆上， ∵|P Q |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|M Q |2＝|P Q |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2－3在＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－32，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为＝2－3＝－1，所以切线的方程为＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722.3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3＋4y －12＝0与6＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q |的最小值为2910.4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2－3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (，y )＝0，P 1(1，y 1)和P 2(2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (，y )＝0，知方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(1，y 1)为直线l 上的点，则f (1，y 1)＝0，f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0化为f (，y )－f (2，y 2)＝0，显然P 2(2，y 2)满足方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0，所以f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：－y －1＝0和l 2：－1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． 所以BC 边所在直线方程为2－y ＋3＝0. 答案：2－y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝(－3)， 即－y ＋4－3＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴＝2或＝－23.∴所求直线l 的方程为2－y －2＝0或2＋3y －18＝0. 答案：2－y －2＝0或2＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q |＝[2－(－1)]2＋(－1－3)2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2－y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为－2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2－y －5＝0， 得20－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(－4)，即6－5y －9＝0.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件理新人教A版
跟踪训练 (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) C.0，π4
B．0，π4∪34π，π D．0，π4∪π2，π
答案：B
(2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l
答案：A
3．(必修2·习题3.1A组改编)已知直线斜率的绝对值为1，则其倾斜角为
．
答案：π4或34π
4．(必修2·3.2练习改编)过点(5,0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程
为
．
答案：3x＋5y－15＝0或7x＋5y－35＝0
考点一|直线的倾斜角与斜率 (易错突破)
【例1】 (1)若ab<0，则过点P 0，－1b 与Q 1a，0 的直线PQ的倾斜角的取值范围
(4)当直线不过原点时， 设所求直线方程为2xa＋ay＝1， 将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12， 此时直线方程为x＋2y＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k＝－25，
直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0. 综上可知，所求直线方程为 x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
名师点拨 1.给定条件求直线方程的思路 (1)考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况． (2)在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程． (3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．
是
．
(2)直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，求a的取值范围．
[解析]
(1)kPQ＝
－1b－0 0－1a
＝
a b
<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜
角的取值范围为π2，π.
2020高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程知能训练轻松闯关文北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程知能训练轻松闯关文北师大版1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )A．30°B．60°D．120°C．150°解析：选B.直线的斜率为k＝tan α＝，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°. 2．(2016·河北省衡水中学一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )B．y＝x－2A．y＝x＋2C．y＝x＋D．y＝－x＋2解析：选A.因为直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝x＋2，故选A. 3．(2016·太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )B．－1A.3D.2C．－3解析：选B.依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－. 4．直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )A．0≤α＜πB．0≤α≤或＜α＜πC．0≤α≤D.≤α＜或＜α＜π解析：选B.直线l的斜率为k＝＝1－m2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以＜α＜π或0≤α≤.故选B. 5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是( )解析：选C.因为x＜0时，ax＞1，所以0＜a＜1.则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，在y轴上的截距＞1.故选C. 6．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，＋∞)C．[－2，0)∪(0，2]解析：选C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．7．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：4 8．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．解析：当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－，则有－>1或－<0，解得－1<a<－或a<－1或a>0.综上可知，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．答案：∪(0，＋∞) 9．(2016·沈阳质量监测)若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线经过点(1，2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×＝3＋＋，因为＋≥2＝2，所以a＋b≥3＋2.答案：3＋22 10．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a＝________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，当a＝时，面积最小．答案：1211．根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α＜π)，从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.故所求直线方程为y＝±(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3，4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. 1．已知两点P(a，3)，Q(－1，2)，且实数a∈，则直线PQ的倾斜角α的范围为________．解析：当a＝－1时，直线PQ的方程为x＝－1，此时直线PQ的倾斜角α＝.当a≠－1时，由题意，得直线PQ的斜率为k＝tan α＝.又a∈，所以k∈(－∞，－]∪，所以α∈∪.故直线PQ 的倾斜角α的范围为.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π2．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－x ＋.由题意得－＝1，解得m ＝－1.(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝.3．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R)．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a ＞－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ，N(0，2＋a)，因为a ＞－1，所以S△OMN＝××(2＋a)＝×[（a ＋1）＋1]2a ＋1 ＝≥×＝2，当且仅当a ＋1＝，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8_1直线的倾斜角与斜率、直线方程课件文新人教A版
解析
设 P(x，x2)，直线 AP 的斜率为 k，则 k＝xx2＋－1214＝x－12。因为－12<x<32，
所以直线 AP 斜率的取值范围是(－1,1)。
答案 (－1,1)
三、走出误区
微提醒：①由直线方程求斜率的思路不清；②忽视斜率和截距对直线位
置的影响；③忽视直线斜率不存在的情况。
4．直线 l：xsin30°＋ycos150°＋a＝0 的斜率为( )
A．
3 3
B． 3
C．－ 3
D．－
3 3
解析 设直线 l 的斜率为 k，则 k＝－csoisn13500°°＝ 33。 答案 A
5．如果 A·C<0 且 B·C<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－CA>0，在 y 轴上 的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
(2)由已知设直线 y＝3x 的倾斜角为 α，则所求直线的倾斜角为 2α。 因为 tanα＝3，所以 tan2α＝1－2tatannα2α＝－34。 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－43(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0。 (3)由题意可知，所求直线的斜率为±1。 又过点(3,4)，由点斜式得 y－4＝±(x－3)。 所求直线的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0。
1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采 用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否 为零)。
2024届高考数学一轮复习+第八章《平面解析几何》第一节+直线的倾斜角与斜率、直线方程+课件
1.求倾斜角的取值范围的方法
（1）利用 求解.
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.
2.斜率的两种求解策略
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定（过一定点作直线与已知线段没有交点或相交时，常借助数形结合的方法求解）
5. （2022江西上饶重点中学六校联考）已知点 和 在直线 的同侧，则直线 的倾斜角的取值范围是_ _______.
[解析] “点 和 在直线 的同侧”的充要条件是 ，解得 ，即直线 的斜率的取值范围是 ，故其倾斜角的取值范围是 .
关键能力·突破
考点一 直线的倾斜角与斜率
2.直线的倾斜角 和斜率 之间的对应关系
0
0
不存在
牢记口诀：“斜率变化分两段， 是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
3.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，可正，可负，也可为零，而“距离”是一个非负数.
〔课前自测〕
1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.
（1） 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )
（2）由（1）知 ， ， ， ， . ，当且仅当 时取等号，此时直线 的方程为 .
方法感悟（1）直线过定点问题一般将直线的方程化为点斜式，得到定点坐标.（2）求解与直线方程有关的最值问题，应先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式（或函数单调性）求解最值.
迁移应用
3. （2021吉林高三模拟）已知直线 .
[解析] 设直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率 ，所以 ，故 .
变式2 若将本例（2）中“ ”改为“ ”，其他条件不变，则直线 的斜率的取值范围为_ ______.
2020高考文科数学第8章-平面解析几何
高考数学第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[基础知识深耕]一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.【拓展延伸】 斜率与倾斜角的关系 1．求斜率可用k ＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，其中α为倾斜角，斜率k是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率．倾斜角为π2的直线不存在斜率．如图(1)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，随α增大k 单调递增且k ≥0；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，随α增大k 单调递增且k ＜0.(1) (2)8-1-1如图(2)，k2＞k1＞0＞k4＞k3(斜率为k1，k2，k3，k4的直线对应的倾斜角为α1，α2，α3，α4)，π＞α4＞α3＞π2＞α2＞α1＞0.2．在平面直角坐标系中，直线越陡，|k|越大．二、直线方程【易错提醒】使用直线方程应注意的问题使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率．截距式的使用条件是截距存在且不为零等．【方法技巧】巧用斜率公式求最值对于求形如k＝y2－y1x2－x1的分式、y＝c＋dxa＋bx的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，数形结合进行求解．[基础能力提升]1．给出下列命题①根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置；②坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；③直线的倾斜角越大，其斜率就越大；④直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α； ⑤斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等． 其中正确的是( )A ．①③④B ．②③C ．①D ．①④⑤ 【解析】 由确定直线的几何要素和直线的斜率与倾斜角的关系可知①正确，②③④⑤均错误．【答案】 C2．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角α为( ) A.π6B ．π3 C.23π D.56π【解析】 由题意可知tan α＝33，∴α＝π6. 【答案】 A3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4【解析】 由题意可知4－m＝1，∴m＝1.m＋2【答案】 A4．过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为()A.3x－3y＋6＋3＝0 B．3x－3y－6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0【解析】由点斜式得，y－2＝tan 150°(x＋1)，即3x ＋3y－6＋3＝0.【答案】 D1．一条规律——斜率与倾斜角的关系斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．2．两种方法——求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)．求出待定系数，从而求出直线方程．3．三个注意点(1)求直线的倾斜角时要注意其范围．(2)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(3)应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点．第二节两条直线的位置关系[基础知识深耕]一、两条直线的位置关系1．两直线的平行与垂直(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．【拓展延伸】 常见的直线系方程1．设定点P (x 0，y 0)的直线系：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0(A2＋B 2≠0)，还可以表示为y －y 0＝k (x －x 0)(斜率不存在时可设为x ＝x 0)．2．平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．3．垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.4．过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．二、三种距离1．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.2．点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3．两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[基础能力提升]1．下列说法正确的是()①若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2；②若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等；③若直线l1，l2的斜率均不存在，则l1∥l2；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行．A．①③B．②④C．①③④D．④【解析】①③中直线l1，l2有可能重合，②中直线l1，l2有可能斜率均不存在，只有④正确．【答案】 D2．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y 轴交于点P，则点P的坐标为()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)【解析】由题意，设P(0，y)，则y－1＝2，∴y＝3，选D.0＋13．若直线ax ＋y ＋5＝0与x －2y ＋7＝0垂直，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12【解析】 由a ×1＋1×(－2)＝0得a ＝2. 【答案】 A4．已知直线l 1：3x －4y ＋4＝0与l 2：6x －8y －12＝0，则直线l 1与l 2之间的距离是( )A.85 B ．2C.45D.25【解析】 l 2可化为：3x －4y －6＝0，故l 1，l 2之间的距离d ＝|4＋6|5＝2.三个注意点：(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同．第三节 圆的方程 [基础知识深耕]一、圆的定义及方程 1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 2．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径长．特别地，当圆心在原点时，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)． 3．圆的一般方程对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， (1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径长为12 D 2＋E 2－4F 的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，它不表示任何图形． 【拓展延伸】 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件当A ＝C ≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0时，二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2A ，－E 2A 为圆心，D 2＋E 2－4AF2|A |为半径的圆． 【方法技巧】 求圆的方程的一般步骤：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程． 二、点A (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系1．几何法(1)|AC |＜r ⇔点A 在圆内；(2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上； (3)|AC |＞r ⇔点A 在圆外． 2．代数法(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点A 在圆内； (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点A 在圆上； (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点A 在圆外．[基础能力提升]1．给出下列命题：①方程(x －a )2＋(y －b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆；②方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆；③若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①D ．③【解析】①错误，如当t＝0时，该方程表示一个点，②错误，如a＝1时，该方程不表示任何图形；③正确．故选D.【答案】 D2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0【解析】圆的圆心坐标为(1,2)，代入四个选项可知C 符合，选C.【答案】 C3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1【解析】因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.【答案】 A4．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．【解析】设圆心坐标为(a,0)，易知(a－5)2＋(－1)2＝(a－1)2＋(－3)2，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.【答案】(x－2)2＋y2＝101．一个条件——二元二次方程与圆的关系二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为D2＋E2－4F＞0.2．两种方法——圆及圆心的确定(1)确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．(2)求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在任一弦的中垂线上．③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[基础知识深耕]一、直线与圆的位置关系与判断方法【拓展延伸】圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x ＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.二、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).【拓展延伸】圆系方程设两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1＞0)和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2＞0)，则圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，①若令λ＝－1，则(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，②其中：(1)若C1和C2相交，则①式表示过两圆交点的圆，但不包括C2；②表示两圆的公共弦所在的直线方程．(2)若两圆相切，则②式表示内公切线方程．(3)若两圆相离，则②式表示两圆连心线C1C2的垂线的方程．[基础能力提升]1．给出下列命题：①如果直线与圆组成的方程组只有一个实数解，则直线与圆相切；②直线y＝kx＋1可能与圆x2＋y2＝1相离；③从圆外一点P(x0，y0)引圆的切线，则切线必有两条．其中正确的有()A．①②③B．①③C．①②D．②③【解析】∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，故直线与圆必有公共点，所以②错误，①③均正确．【答案】 B2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为()A. 3 B．2 C. 6 D．2 3【解析】由题意可知，该直线方程为3x－y＝0.又圆x2＋y2－4y＝0的圆心为(0,2)，半径r＝2.所以圆心到直线的距离d＝22＝1.弦长为24－1＝2 3.【答案】 D3．过坐标原点且与圆x2－4x＋y2＋2＝0相切的直线方程为()A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x＋y＝0或x－y＝0 D．x＋3y＝0或x－3y＝0【解析】设所求直线为y＝kx，由题意可知|2k|1＋k2＝2，∴k＝±1.故所求直线方程为x＋y＝0或x－y＝0.【答案】 C4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36【解析】圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为(0,3)，半径r＝1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝36，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(b －3)2＝6－1，b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±4，b ＝6，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36. 【答案】 D1．两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：运用根与系数关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].2．三个性质解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．第五节椭圆[基础知识深耕]一、椭圆的定义及标准方程1．定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若2a＞|F1F2|，则集合P为椭圆；(2)若2a＝|F1F2|，则集合P为线段；(3)若2a ＜|F 1F 2|，则集合P 为空集． 2．标准方程中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为：x2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)；中心在坐标原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x2b 2＝1(a ＞b ＞0)．【拓展延伸】 焦点三角形椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，注意以下公式的灵活运用：(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ；(3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ＝b2tanθ2.二、椭圆的几何性质【拓展延伸】 1.点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.2．一些特殊结论(1)|PF1|的范围为[a－c，a＋c]；(2)通径(过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦叫通径)长度为2b2 a.[基础能力提升]1．给出下列命题：①动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆；②椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)；③方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0)表示椭圆方程； ④P 是椭圆上的任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则|PF 1|·|PF 2|≤a 2.其中正确的是( )A ．①②③④B ．②③C ．①②D ．②④ 【解析】 ①错误，因为|AB |＝4；②正确，因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ；③错误，如A ＝B ＝1，其表示圆；④正确，因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1||PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝a 2.【答案】 D2．一椭圆的焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则该椭圆的方程为( )A.x 2169＋y2144＝1 B ．x 2144＋y2169＝1 C.x 2169＋y225＝1D.x 2144＋y225＝1【解析】由题意可知c＝5,2a＝26，即a＝13. ∴b2＝a2－c2＝144.又椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为x2169＋y2144＝1.故选A.【答案】 A3．已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m的值是()A.23B．43C.53 D.83【解析】由题意可知a2＝m，b2＝2，e＝ca＝1－b2a2＝12，即1－2m＝12，∴m＝83.【答案】 D4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B ．35 C.25D.15【解析】 由题意可知，2a,2b,2c 成等差数列． 即2b ＝a ＋c ，又c 2＝a 2－b 2，所以3a 2－2ac －5c 2＝0， 解得3a ＝5c ，即e ＝c a ＝35. 【答案】 B1．两种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．2．三种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法．但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．第六节双曲线[基础知识深耕]一、双曲线的定义及标准方程1．双曲线定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c) ，则点P的轨迹叫做双曲线．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．【拓展延伸】 1.焦点三角形的面积利用定义、余弦定理可推出焦点三角形的面积S△PF1F2＝b2 tan θ2(其中点P为双曲线上异于顶点的任意一点，∠F1PF2＝θ)．2．方程Ax2＋By2＝1(AB＜0)表示的曲线特征方程Ax2＋By2＝1(AB＜0)包含双曲线的焦点在x轴上或y轴上两种情况，方程可变形为x21A＋y21B＝1，当1A＜0时，表示焦点在y轴上的双曲线；当1B＜0时，表示焦点在x轴上的双曲线．二、双曲线的几何性质【拓展延伸】 1.点P(x0，y0)和双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的关系(1)P在双曲线内⇔x20a2－y20b2＞1(含焦点)；(2)P在双曲线上⇔x20a2－y20b2＝1；(3)P在双曲线外⇔x20a2－y20b2＜1.2．一些特殊的结论(1)|PF1|的取值范围为[c－a，＋∞)；(2)通径长为2b2 a；(3)焦点到渐近线的距离为b.[基础能力提升]1．给出下列命题：①平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线；②平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线；③方程x 2m －y2n ＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线． 其中正确的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【解析】 ①错误，由题意可知|PF 1|－|PF 2|＝6，故点P 的轨迹是双曲线的下支．②错误，∵|F 1F 2|＝8，∴点P 的轨迹是两条射线． ③错误，如m ＜0，n ＜0，则其表示焦点在y 轴上的双曲线．【答案】 A2．设P 是双曲线x 216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对【解析】 由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8， 又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2＞1，∴|PF 2|＝17. 【答案】 B3．若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12x D ．y ＝±22x【解析】 ∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3， ∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y22a 2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x . 【答案】 B4．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为( ) A. 2B ． 3C ．2 2D ．2 3【解析】双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，点P(2,0)到渐近线的距离为|2b|a2＋b2＝2，所以a2＝b2，所以双曲线的离心率为2，故选A.【答案】 A1．一个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2．二种方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法根据题目的条件，若满足定义，求出相应的a ，b 的值即可求得方程．(2)待定系数法①待定系数法的步骤定位：确定焦点位置定值：根据条件确定相关参数设方程：由焦点位置设方程②待定系数法求双曲线方程的常用方法a ．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)；b ．若渐近线方程为y ＝±ba x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；c ．若过两个已知点则设为x 2m ＋y2n ＝1(mn ＜0)．第七节 抛物线 [基础知识深耕]一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．二、抛物线的标准方程与几何性质【拓展延伸】 1.抛物线的焦半径抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．有以下结论(p＞0)：(1)对于抛物线y 2＝2px ，|PF |＝p 2＋x 0； (2)对于抛物线y 2＝－2px ，|PF |＝p 2－x 0； (3)对于抛物线x 2＝2py ，|PF |＝p 2＋y 0； (4)对于抛物线x 2＝－2py ，|PF |＝p 2－y 0. 2．焦点弦：线段AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)x 1x 2＝p 24；(2)y 1y 2＝－p 2；(3)弦长l ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，当且仅当x 1＝x 2时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径；图8-7-1(4)S △AOB ＝p 22sin θ；(5)1|AF |＋1|BF |＝2p ；(6)A ，O ，B ′三点共线，A ′，O ，B 三点共线；(7)∠A ′FB ′＝90°；(8)以AB 为直径的圆与准线相切．3．过抛物线y 2＝2px 的顶点O 任意作两条互相垂直的弦OA ，OB ，则直线AB 恒过定点(2p,0)．[基础能力提升]1．给出下列命题：①平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线；②方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4；③抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形；④AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .其中不正确的命题为( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①③④【解析】 ①错误，点F 不在定直线l 上时，满足题设的轨迹为抛物线；②错误，由x 2＝1a y 可知焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线为y ＝－14a ；③错误，该图形不是中心对称图形；④正确．故选B.【答案】 B2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716B ．1516 C.78 D ．0【解析】M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.【答案】 B3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x【解析】因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.【答案】 B4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是()A．4 B．6C．8 D．12【解析】如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A 交直线l于点B，则|AB|＝2，由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.【答案】 B1．一种转化——转化思想在定义的中应用抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离．2．两个易误点——对抛物线的定义及标准方程的释疑(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．(2)抛物线标准方程中参数p易忽视只有p＞0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．3．熟知焦点弦的有关结论(详见本节知识延伸)．第八节直线与圆锥曲线的位置关系[基础知识深耕]一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．1．当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．2．当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．二、圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1 k2|y2－y1|.【拓展延伸】中点弦的几个常见结论(1)AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一条弦，弦中点M的坐标为(x0，y0)，则AB的斜率为－b2x0a2y0.运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵A，B都在椭圆上．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0， ∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2x 0a 2y 0.故k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. (2)运用类比的方法可以推出：已知AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的弦，弦中点M (x 0，y 0)，则k AB ＝b 2x 0a 2y 0. (3)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的弦AB 的中点M (x 0，y 0)，则k AB ＝p y 0. [基础能力提升]1．给出下列命题：①直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点；②直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点；③直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点；④如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|；⑤若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.其中正确的是()A．①②B．②③C．①④D．①④⑤【解析】②不正确，当直线l与双曲线C的渐近线平行时不成立，③⑤不正确，如l为抛物线C的对称轴．【答案】 C2．若直线y＝kx与双曲线x29－y24＝1相交，则k的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 【解析】 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ， 若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23. 【答案】 C3．斜率为3的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点且与该抛物线交于A ，B 两点，是|AB |＝________.【解析】 如图，分别过A ，B 作AA 1，BB 1垂直准线x ＝－1于A 1，B 1，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过F 作FM ⊥AA 1于M ，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |cos 60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程学案理20200521
8．1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程[知识梳理] 1．直线的斜率(1)当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即k ＝tan α.当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．(2)斜率公式给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，P 2两点的直线的斜率公式为 k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式[诊断自测]1．概念思辨(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.( )(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A2P109A组T2)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C.(2)(必修A2P95T3)倾斜角为150°，在y轴上的截距为－3的直线方程为________．答案y＝－33x－3解析由直线的倾斜角为150°，知该直线的斜率为k＝tan150°＝－33，依据直线的斜截式方程y＝kx＋b，得y＝－33x－3.3．小题热身(1)(2017·贵州模拟)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 由点斜式方程知直线l 的方程为y －5＝－34(x ＋2)，即3x ＋4y －14＝0.故选A.(2)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 答案 D解析 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋a a，得a ＝－2或a ＝1.故选D.题型1 直线的倾斜角与斜率典例 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．数形结合，由斜率公式求得k PA ，k PB .答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1．求直线倾斜角或斜率的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率．见典例．冲关针对训练已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．答案 －23≤m ≤12解析如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l＝－1m ，∴－1m ≤－2或－1m ≥32，解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.题型2 直线方程的求法典例 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．根据已知条件代入相应公式，分别为斜截式、截距式、点斜式．解 (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35.∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34.又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5.即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0.(2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0， 即l 过点(0,0)和(3,2)．∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1. ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2a＝1.∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 方法技巧给定条件求直线方程的思路1．求直线方程常用的两种方法(1)直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如本例(1)、(3)求直线方程，则直接利用斜截式即可．(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如本例(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．2．设直线方程的常用技巧(1)已知直线纵截距b 时，常设其方程为y ＝kx ＋b 或y ＝b . (2)已知直线横截距a 时，常设其方程为x ＝my ＋a .(3)已知直线过点(x 0，y 0)，且k 存在时，常设y －y 0＝k (x －x 0)． 冲关针对训练根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13，故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，满足题意． 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.题型3 直线方程的综合应用角度1 由直线方程求参数问题典例(2018·泰安模拟)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.将l 1，l 2分别化为y －2＝a 2(x －2)，y －2＝－2a2(x－2)，知l 1，l 2恒过定点P (2,2)．答案 12解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．角度2 与直线方程有关的最值问题典例 过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程．本题采用基本不等式法求最值．解 (1)设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b＝1.又∵2a ＋1b≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)设所求直线l 的方程为y －1＝k (x －2)． 则可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)，∴截距之和为2k －1k＋1－2k ＝3－2k －1k≥3＋2(－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝3＋2 2.此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－22.故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0.方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．冲关针对训练已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y－2＝0.1.(2017·大庆模拟)两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )答案 B解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.2．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2答案 D解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.3．(2018·江西南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°答案 A解析 由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，2为半径的圆的一部分，如图所示．由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A.4．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．答案 5解析 易知A (0,0)，B (1,3)，且PA ⊥PB ，∴|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时取“＝”)．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 D解析 直线斜率为－33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D. 2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( ) A ．40° B ．50° C ．130° D ．140°答案 B解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax－by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4答案 D解析 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为3π4.故选D.4．(2018·衡阳期末)已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3答案 A解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝ 3.故选A.5．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1) 答案 D解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.6．(2017·河南新乡一中周考)若m ，n 满足m ＋2n －1＝0，则直线mx ＋3y ＋n ＝0过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16C.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 答案 B解析 ∵m ＋2n －1＝0，∴m ＋2n ＝1.∵mx ＋3y ＋n ＝0，∴(mx ＋n )＋3y ＝0，当x ＝12时，mx ＋n ＝12m ＋n ＝12，∴3y ＝－12，∴y ＝－16，故直线过定点⎝⎛⎭⎪⎫12，－16.故选B. 7．若经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案 B解析 解法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.解法二：设方程为x a ＋y b＝1， 将(1,4)代入得1a ＋4b＝1.a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥9， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小． 所以直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.故选B. 8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9．(2017·烟台期末)直线mx ＋n2y －1＝0在y 轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝－2B ．m ＝3，n ＝2C ．m ＝3，n ＝－2D ．m ＝－3，n ＝2答案 A解析 根据题意，设直线mx ＋n2y －1＝0为直线l ，另一直线的方程为3x －y －33＝0， 变形可得y ＝3(x －3)，其斜率k ＝3，则其倾斜角为60°，而直线l 的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的倾斜角为120°，且斜率k ＝tan120°＝－3，又由l 在y 轴上的截距是－1， 则其方程为y ＝－3x －1；又由其一般式方程为mx ＋n2y －1＝0，分析可得m ＝－3，n ＝－2.故选A.10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3答案 C解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图． 当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2.故m 2＋n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－13解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13.12．(2018·石家庄期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16 解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ， 直线方程为x a ＋y12－a＝1，把A (－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1，整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1， 整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x－2y ＋2＝0.综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α； ②若直线斜率k ＝－1，则它的倾斜角为135°；③已知点A (1，－3)，B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°；④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4)； ⑤若直线斜率为34，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④解析 ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又4－23－1＝1，故直线必过点(3,4)，故④正确；⑤斜率为34的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故⑤错误．三、解答题15．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件文新人教A版
＝
a b
<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜
角的取值范围为π2，π.
(2)当 a＝－1 时，直线 l 的倾斜角为 90°，符合要求；当 a≠－1 时，直线 l 的斜率 为－a＋a 1， 则有－a＋a 1>1 或－a＋a 1<0，解得－1<a<－12或 a<－1 或 a>0.综上可知，实数 a 的 取值范围是－∞，－12∪(0，＋∞)．
考点三|两条直线的位置关系 (方法突破)
【例3】 (1)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1
＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B.必要不充分条件
C．充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
名师点拨 判断两直线平行或垂直的两个策略 (1)设A2B2C2≠0，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条 件为AA12＝BB12≠CC12.更一般地，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行 的充要条件为A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0. (2)利用两直线的斜率判定两直线的平行、垂直关系时，注意斜率不存在的情况不 能忽略．
ax＋by＝1 (a≠0，b≠0)
一般式
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
不含直线x＝x1(x1＝x2) 和直线y＝y1(y1＝y2)
不含垂直于坐标轴和 过原点的直线 平面直角坐标系内的 直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1，P2的中点M的坐标为(x，