最新 【数学】2018年高考二轮考点专题突破检测：概率与统计专题集合、简易逻辑 精品

专题达标检测一、选择题1．从2 011名学生中选出50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随 机抽样从2 011人中剔除11人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则 在2 011人中，每人入选的概率 ( ) A ．都相等，且为140 B ．都相等，且为502 011C ．均不相等D ．不全相等 解析：每人入选的概率相等． 概率为2 0002 011×502 000＝502 011，故选B.答案：B2．(2009·山东理)某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据 分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小 于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A ．90B ．75C ．60D ．45解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样 本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.故选A. 答案：A3．在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有 ( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项解析：T r ＋1＝C r 24(x 12)24－r (x －13)r ＝C r 24x 12－5r 6(0≤r ≤24) ∴r 可取值为0,6,12,18,24∴符合要求的项共有5项，故选C. 答案：C4．(2010·广东佛山)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线 y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A.12B.13C.14D.16解析：S 阴＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫x3232－x 3310＝13，S 正＝1，∴P ＝S 阴S 正＝13，故选B.答案：B5．(2010·山东)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)．若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2) ＝ ( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 解析：P (－2≤ξ≤2)＝1－2P ( ξ>2) ＝1－0.046 ＝0.954. 答案：C6．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m 的值为( )A.13B.14C.16D.18解析：本题考查随机变量的期望及有关的运算，由η＝12ξ＋7⇒Eη＝12Eξ＋7⇒34 ＝12·Eξ＋7⇒Eξ＝94⇒94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112，又14＋m ＋n ＋112＝1，联立求解可得m ＝13.答案：A 二、填空题 7．(ax －1x)10的展开式中x 4项的系数为210，则实数a 的值为________． 解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 10(ax )10－r (－1)rx －r 2＝ C r 10a 10－r (－1)r x 10－3r 2，令10－3r 2＝4得r ＝4，由C 410a 6＝210，得a 6＝1，故a ＝±1. 答案：±18．左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球，4个白球．若从左口袋 里取出1个球装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为________．解析：分两种情况，从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里，则从右边口袋里取出的是红球，其概率是35×26＝15；从左边口袋里取出的是白球，再从右边的口袋里取出的是红球，其概率是25×16＝115，所求概率为15＋115＝415.答案：4159．(2010·广东河源)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个 三角形，如果随机选择3个点，则刚好构成直角三角形的概率为________． 解析：∵直角三角形的斜边是圆的直径，而圆周上的10个等分点能组成5条直径，∴直角三角形的个数为5C 18＝40(个)．而每3个点能构成的三角形有C 310＝120(个)，∴所求概率为P ＝40120＝13.答案：1310．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望Eξ＝解析：x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4②由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.答案：0.4三、解答题11．(2010·湖南)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X12．(2010·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6 万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布 列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 解：(1)由题设知，X 的可能取值为10,5,2，－3，且 P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02. 由此得X 的分布列为(2)设生产的4n )件． 由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145，又n ∈N ，得n ＝3或n ＝4.所以P ＝C 34·0.83·0.2＋C 44·0.84＝0.819 2. 故所求概率为0.819 213．(2010·四川)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A)＝P (B)＝P (C)＝16.P (A B C )＝P (A)P (B )P (C )＝16×⎝⎛⎭⎫562＝25216.答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫16k ⎝⎛⎭⎫563－k ，k ＝0,1,2,3 所以中奖人数ξ的分布列为Eξ＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝12.专题达标检测一、选择题1．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1≤x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a ≥2 D ．a >2解析：∁R B ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，又A ∪(∁R B )＝R .数轴上画图可得a ≥2，故选C.答案：C2．已知命题p ：14≤2x ≤12，命题q ：x ＋1x ∈⎣⎡⎦⎤－52，－2，则下列说法正确的是 ( ) A ．p 是q 的充要条件 B ．p 是q 的充分不必要条件 C ．p 是q 的必要不充分条件 D ．p 是q 的既不充分也不必要条件解析：14≤2x ≤12⇒－2≤x ≤－1，即x ∈[－2，－1]而若x ＋1x ∈⎣⎡⎦⎤－52，－2，则x ∈[－2，－12]． 又[－2，－1] ⎣⎡⎦⎤－2，－12. ∴p 是q 的充分不必要条件． 答案：B3．(2010·湖南)⎠⎛241xdx 等于 ( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：∵⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 22－ln 2＝2ln 2－ln 2＝ln 2.答案：D4．(2010·课标全国)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 解析：∵f (x )＝x 3－8(x ≥0)且f (x )是偶函数；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，(x －2)3－8>0， 或⎩⎪⎨⎪⎧ x －2<0，－(x －2)3－8>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x >4，或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x <0. 解得x >4或x <0，故选B 答案：B5．(2010·浙江)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4] 解析：∵f (0)＝4sin 1>0， f (2)＝4sin 5－2<0，∴函数f (x )在[0,2]上存在零点； ∵ f (－2)＝－4sin 1＋1<0， ∴函数f (x )在[－2,0]上存在零点； 又∵2<5π4－12<4，f ⎝⎛⎭⎫5π4－12＝4－⎝⎛⎭⎫5π4－12>0， 而f (2)<0，∴函数f (x )在[2,4]上存在零点．故选A. 答案：A6．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如右图所示，且|x 1|<|x 2|，则有 ( ) A ．a >0，b >0，c <0，d >0B ．a <0，b >0，c <0，d >0C ．a <0，b >0，c >0，d >0D ．a >0，b <0，c >0，d <0解析：因f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意可知导函数f ′(x )的图象如右图所示，所以 a <0，c >0，－2b3a <0，则b <0，由原函数图象可知d >0.答案：C 二、填空题7．已知函数f (x )＝ax 4＋b cos x －x ，且f (－3)＝7，则f (3)的值为________．解析：设g (x )＝ax 4＋b cos x ，则g (x )＝g (－x )．由f (－3)＝g (－3)＋3，得g (－3)＝f (－ 3)－3＝4，所以g (3)＝g (－3)＝4，所以f (3)＝g (3)－3＝4－3＝1. 答案：18．已知函数f (x )＝k x 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)的单调减区间是(0,4)，则k 的值是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x∵函数的单调减区间是(0,4)，∴f ′(4)＝0，∴k ＝13.答案：139．(2010·烟台模拟)已知函数f (x )的值域为[0,4](x ∈[－2，2])，函数g (x )＝ax －1，x ∈ [－2,2]，任意x 1∈[－2,2]，总存在x 0∈[－2,2]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知[0,4]是g (x )值域的子集． 而g (x )的值域为[－2|a |－1,2|a |－1]．显然－2|a |－1<0，故只需2|a |－1≥4，即|a |≥52，∴a ≥52或a ≤－52.答案：a ≥52或a ≤－5210．(2010·潍坊模拟)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x最近的整数，记作{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①函数y ＝f (x )的定义域为R ，值域为⎣⎡⎦⎤0，12； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1； ④函数y ＝f (x )在[－12，12]上是增函数．其中正确的命题的序号是________． 解析：①由定义知：－12<x －{x }≤12∴0≤|x －{x }|≤12∴f (x ) 的值域为⎣⎡⎦⎤0，12， ∴①对，②对，③对，④错． 答案：①②③ 三、解答题11．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．解：(1)由－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)， 又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)因为∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． 由⎝⎛⎭⎫ax －1a (x ＋4)≤0，知a ≠0. ①当a >0时，由⎝⎛⎭⎫x －1a 2(x ＋4)≤0，得C ＝⎣⎡⎦⎤－4，1a 2，不满足C ⊆∁R A ； ②当a <0时，由⎝⎛⎭⎫x －1a 2(x ＋4)≥0，得C ＝(－∞，－4)∪⎣⎡⎭⎫1a 2，＋∞，欲使C ⊆∁R A ，则1a 2≥2， 解得－22≤a <0或0<a ≤22.又a <0，所以－22≤a <0. 综上所述，所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－22，0. 12．(2010·湖南)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．(1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．(1)证明：易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R ,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋ (b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )>0. 故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2(2)解：由(1)知，c ≥|b |.当c >|b |时，有M ≥f (c )－f (b )c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2bb ＋c .令t ＝b c ，则－1<t <1，c ＋2b b ＋c ＝2－11＋t .而函数g (t )＝2－11＋t(－1<t <1)的值域是⎝⎛⎭⎫－∞，32.因此，当c >|b |时，M 的取值集合为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 当c ＝|b |时，由(1)知，b ＝±2，c ＝2.此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c ) －f (b )≤32(c 2－b 2)恒成立．综上所述，M 的最小值为32.13．(2009·湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥 墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)用m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解：(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小。