第2讲 简易逻辑
高中数学《集合、简易逻辑》
第1讲集合与简易逻辑本讲分两小节，分别为集合、简易逻辑，建议用时2.5课时．由于在二轮复习和三轮复习中都不会单独对集合进行系统复习，因此本讲侧重于集合部分，难度也略大．而对于简易逻辑，由于高考中对这部分知识的考查都是以其他数学知识为载体的，因此在本讲中不作为重点，只需要对基本概念与方法进行梳理即可．第一小节为集合，共4道例题．其中例1主要讲解集合的各个知识点；例2是对集合的概念部分的加深与巩固；例3是对集合关于运算封闭性的题型，主要是对集合的性质特征描述法的加深与巩固；例4是对集合与集合关系部分的加深与巩固．第二小节为简易逻辑，共2道例题．其中例5主要讲解命题的四种形式的转化；例6主要讲解充分性与必要性的判断．1.1集合知识结构图知识梳理一、集合的概念 1、元素与集合我们所感知的各种事物或符号，都可以称为对象．如果一些对象（可能是一个也可能是多个，亦有可能是无数个或零个）满足确定性、互异性及无序性，那么将这些对象组成的整体称为集合，每个对象都称为集合的元素．我们一般用大写字母（如A ）来表示集合，用小写字母表示集合中的元素（如a ）．对象x 是集合P 中的元素记为x P ∈（“∈”读作“属于”），对象y 不是集合P 中的元素记为y P ∉（“∉”读作“不属于”）．不含有任何元素的集合称为空集，记作∅．在中学数学阶段研究的集合以数集为主，常用数集有对应的符号表示：N （自然数集）、*N （正整数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、C （复数集）．另外，我们经常使用区间表示法来表示实数集的子集．【备注】注意角标“*”表示“非零”，如()(),00,*=-∞+∞R ；角标“2”表示“笛卡尔积”，如(){}2,|,x y x y =∈∈R R R ．2、集合的分类如果集合中的元素个数是有限的，则称之为有限集合；对应的，如果集合中的元素个数是无限的，则称之为无限集合．二、集合的表示法 1、列举法形如{},,,a b c d 的表示法．在使用列举法表示集合的时候需要注意集合元素的无序性及互异性．【备注】已知集合{,,M x xy =，{}0,,N x y =，若M N =，则x =1-；y =1-．2、特征性质描述法形如(){}|x p x 的表示法，其中x 称为代表元素，()p x 为集合的特征性质． 在使用特征性质描述法时要特别注意代表元素的形式．【备注】注意集合{}[)|,1,x y x y =∈=+∞R ；{}[)|,0,y y x y =∈=+∞R ；(){},|,x y y x y =∈R 表示函数y三、集合与集合的关系 1、包含关系① 注意区分符号“∈”和“⊆”的含义； ② 空集∅是任何集合的子集；③ A B ⊆的等价形式：()(),,,,UUUUA B A A B B B A AB A B ==⊆=∅=R ；④ 注意子集、真子集、非空子集、非空真子集的概念及计数．n （n ∈N ）元集合（我们把空集看作0元集合）的子集数为2n ，真子集和非空子集数均为21n -， 非空真子集数为22n -．【备注】集合本身作为明确的数学对象，也可以作为元素出现．如集合{}{},1,1∅中，集合∅、{}1都是该集合的元素，因此{}{},1,1∅∈∅同时{}{},1,1∅⊆∅．2、集合与集合的运算① 交、并、补运算都是两个集合间的运算；② 当出现多次运算时注意用括号保证运算顺序．【备注】事实上，我们还经常用到差集{}\|,A B x x A x B =∈∉，与对称差集()()\A B A B A B ∆=． 3、数轴法与韦恩图示法用数轴法可以清晰的描述集合与集合的包含关系，也可以快捷的进行集合与集合的运算．【备注】一般我们将数轴法与韦恩图示法看作研究集合与集合关系的工具，而不作为集合的表示法．（2012年北京）已知集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，则A B =（ ）A ．(),1-∞-B ．21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()3,+∞ 【解析】 D1、已知()0,U =+∞，10,2P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则UP =（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,+∞ D ．(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭2、 （2011年辽宁）已知M 、N 为集合I 的非空真子集，且M 、N 不相等，若IN M =∅，则MN =（ ）A ．MB ．NC ．ID ．∅3、（2009年广东）已知全集U =R ，集合{}|212M x x =--≤≤和{}|21,1,2,N x x k k ==-=的关系的韦恩图如图所示，则区域I 所示的集合的元素共有（ ）INMUA ．2个B ．3个C ．1个D ．无穷多个4、集合{}|1281,,M u u m n m n ==++∈Z ，{}|20163,,N u u p q p q ==+-∈Z 的关系为（ ）A ．M N ⊆且M N ≠B ．N M ⊆且M N ≠C ．M N =D ．以上都不对5、 已知{}|1M y y x ==+，(){}22,|1N x y x y =+=，则集合MN 的子集个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．46、已知集合{}2|3100A x x x =--≤，集合{}|121B x p x p =+-≤≤，若AB B =，则实数小题热身真题再现p 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．[]2,3C ．(),3-∞D ．()2,3 1 2 3 4 5 6 AABCBA考点：集合的概念与基本运算【例1】 ⑴（2010年丰台一模文）若集合{}0,1,2P =，()10,|,,20x y Q x y x y P x y ⎧⎫-+>⎧⎪⎪=∈⎨⎨⎬--<⎪⎪⎩⎩⎭，则Q 中的元素的个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9 ⑵（2009年山东）集合{}0,2,A a =，{}21,B a =．若{}0,1,2,4,16AB =，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 ⑶（2010年天津理）设集合{}|1,A x x a x =-<∈R ，{}|2,B x x b x =->∈R ，若A B ⊆，则实数,a b 必满足（ ）A ．3a b +≤B ．3a b +≥C ．3a b -≤D ．3a b -≥ ⑷对任意两个集合M 、N ，定义{}|,M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ∆=--，设{}2|,M y y x x ==∈R ，{}|3sin ,N y y x x ==∈R ，则M N ∆= ．⑸（2011年安徽）设集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}4,5,6,7,8B =，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是（ ）A ．57B ．56C ．49D ．48【解析】 ⑴B ．⑵D ．⑶D ．⑷[)()3,03,-+∞．⑸B ．考点：新定义集合【例2】 ⑴设,,x y z 都是非零实数，试用列举法将x y z xy xyzx y z xy xyz++++的所有可能值构成的集合表示出来． ⑵定义集合运算：(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈．设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B 的所有元素之和为（ ）A ．0B ．6C ．12D ．18 ⑶（2012年西城二模文）已知集合{}1220,,,A a a a =，0i a >（1,2,,20i =）．集合(){},|,,B a b a b a b A =-∈，则集合B 中的元素个数的最大值为（ ） A ．210 B ．200 C ．190 D ．180 【追问】若将条件“0i a >”改为“0i a ≥”，应当如何考虑？【解析】 ⑴{}3,1,1,5--．⑵D ．⑶C ．经典精讲【追问】选A ．将集合A 改为{}0,1,,19即在原来的基础上增加对角线上的20个有序数对．【拓1】 设1S 、2S 、3S 是三个由实数组成的非空集合．对于1,2,3的任意一个排列,,i j k ，均有对任意i x S ∈，j y S ∈，均有k x y S -∈．求证：()1230S S S ∈．【解析】 只需要证明某个集合中含有元素0．设1x S ∈，2y S ∈，则1°若x y =，则30x y S -=∈，命题成立； 2°若x y ≠，则列表如下： 123S S S x y x y x yy x---- 从表中知每个集合中均有非负数． 若某个集合中有0，则命题得证；否则，考虑1S 、2S 、3S 中的最小正数1x 、2x 、3x ．若1x 、2x 、3x 中没有相等的数，不妨设123x x x <<，则考虑3S 中的元素21x x -，而2130x x x <-<，与3x 是3S 中的最小正数矛盾．因此1x 、2x 、3x 一定有相等的数，进而命题得证．【备注】列表分析是处理由若干已知集合得到新集合问题时的重要方法．考点：集合对运算的封闭性【例3】 设符号“”是数集A 中的一种运算，如果对于任意的,x y A ∈，都有x y A ∈，则称集合A 是封闭的． ⑴判断集合{}|2,,A x x m n m n ==+∈Z 对实数的乘法是否封闭？⑵若集合{}22|,,,0B x x m n m n x ==+∈≠Q ，求证：集合B 对实数的乘法和除法均封闭．【解析】 ⑴设112x m n A =∈，222y m n A =∈，1122,,,m n m n ∈Z ．则())1212122122xy m m n n m n m n A =++∈，因此命题得证． ⑵设2211x m n =+，2222y m n =+，,0x y ≠，1122,,,m n m n ∈Q ，则()()22222222221212121212121212xy m m m n n m n n m m n n n m m n =+++=++-且0xy ≠，于是xy B ∈； 2212121212222222222m m n n n m m n x xy y y m n m n ⎛⎫⎛⎫+-==+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且0x y ≠，于是x B y ∈； 因此原命题得证．【拓2】 （2007年北京）已知集合{}12,,,k A a a a =（2k ≥），其中i a ∈Z （1,2,,i k =），由A中的元素构成两个相应的集合：(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，(){},|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈． 其中(),a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．⑴ 检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；⑵ 对任何具有性质P 的集合A ，证明：()12k k n -≤；⑶ 判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．【解析】 ⑴ 集合{}0,1,2,3不具有性质P ．集合{}1,2,3-具有性质P ，其相应的集合()(){}1,3,3,1S =--和()(){}2,1,2,3T =-． ⑵ 首先，由A 中元素构成的有序数对(),i j a a 共有2k 个． 因为0A ∉，所以(),i j a a T ∉（1,2,,i k =）；又因为当a A ∈时，a A -∉，所以当(),i j a a T ∈时，(),j i a a T ∉（1,2,,i k =）．从而，集合T 中元素的个数最多为()()21122k k k k --=，即()12k k n -≤． ⑶ m n =，证明如下：1°对于(),a b S ∈，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而(),a b b T +∈．如果(),a b 与(),c d 是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故(),a b b +与(),c d d +也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，2°对于(),a b T ∈，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而(),a b b S -∈．如果(),a b 与(),c d 是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也至少有一个不成立，故(),a b b -与(),c d d -也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 综合1°2°，m n =．考点：集合与集合的关系【例4】 设,a b ∈R ，函数()2f x x ax b =++，集合(){}|,A x x f x x ==∈R ，()(){}|,B x x f f x x ==∈R ． ⑴证明：A 是B 的子集； ⑵当{}1,3A =-时，求集合B ．【解析】 ⑴()()()()x f x f x f f x =⇒=，于是A 是B 的子集．⑵{}1,3,3,3B =--．【备注】教师可以借本题讲一下代数式的因式定理，该定理在解高次不等式时有重要作用．知识结构图1.2简易逻辑一、命题的概念⑴命题：可以判断真假的语句叫做命题．⑵逻辑联结词：“或（∨）”、“且（∧）”、“非（⌝）”． ⑶复合命题的真值表命题p ⌝与命题p 一真一假；命题p q ∧只有当命题p 和命题q 同时为真时才为真，其他时候均为假； 命题p q ∨只有当命题p 和命题q 同时为假时才为假，其他时候均为真． ⑶含有逻辑联结词“或”、“且”的命题的否定⑷含有全称量词、存在性量词的命题的否定二、“若则”型命题的四种形式及其关系对于条件p 和结论q ，“若p 成立，则q 成立”是一个命题，这个命题的真假反映着这一推理过程的正确与否．我们在判断这类命题的真假时，只关心推理过程是否严谨正确，而不关心条件和结论的真假．【备注】人教B 版课本（选修2-1）的例子：原命题：,x y ∀∈R ，如果0xy =，则0x =．逆命题：,x y ∀∈R ，如果0x =，则0xy =． 否命题：,x y ∀∈R ，如果0xy ≠，则0x ≠． 逆否命题：,x y ∀∈R ，如果0x ≠，则0xy ≠．一般情况下，我们可以将“,x y ∀∈R ，”省略，而不会对命题的表述以及相关命题的书写造成困扰．但如果我们要写该命题的否定，则一定不能省略“,x y ∀∈R ，”，例如此命题的否定为“,x y ∃∈R ，满足0xy =，但0x ≠．” 下面再给一例：命题p ：若0a <，则关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负数根．该命题的否定为“a ∃∈R ，满足0a <，但关于x 的方程2210ax x ++=没有负数根．” 而并非“若0a <，则关于x 的方程2210ax x ++=没有负数根．”知识梳理原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若p ⌝则q ⌝；逆否命题：若q ⌝则p ⌝．原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假． 【备注】例如以下两个命题等价：大前提：已知平面上不同的n 个点（3n ≥）组成的点集命题p ：若过点集中任意两点的直线上均存在点集中的另外一个点，则点集中的n 个点共线．命题q ：若点集中的n 个点不同时在某条直线上，则存在仅通过点集中的两个点的直线．三、充分条件与必要条件如果推理过程“p q ⇒”（读作p 可以推出q ）是正确的，那么称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；反之，如果推理过程“p q ⇒”是错误的，那么称p 是q 的不充分条件，q 是p 的不必要条件．特别的，如果推理过程“p q ⇔”是正确的，那么称p 是q 的充分必要条件，同时q 也是p 的充分必要条件，此时也称p 与q 是等价的．（2012年北京）设,a b ∈R ．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 B1、（2011年福建）若a ∈R ，则“2a =” 是“()()120a a --=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、（2009年安徽）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ） A ．p ：a c b d +>+ q ：a b >且c d >B ．p ：1a >，1b > q ：()x f x a b =-（0a >，且1a ≠）的图象不过第二象限C ．p ：1x = q ：2x x =D ．p ：1a > q ：()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在()0,+∞上为增函数3、（2011年山东）对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数的”（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、“0ab >且a b ≠”是“方程221x y a b+=表示椭圆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、（2011年江西）已知1α、2α、3α是三个相互平行的平面，平面1α、2α之间的距离为1d ，平面2α、3α之间的距离为2d ．直线l 与1α、2α、3α分别交于1P 、2P 、3P ，那么“1223PP P P =”是“12d d =”的（ ）小题热身真题再现A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件1 2 3 4 5 AABCC考点：命题的否定与四种命题【例5】 ⑴（2009年天津）命题“0x ∃∈R ，020x ≤”的否定是； ⑵条件命题“2x =或3x =”的否定是； ⑶（2010年天津）命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是 ；⑶（2011年陕西改）设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的逆否命题是 ．【解析】 ⑴“0x ∀∈R ，020x >”；⑵“2x ≠且3x ≠”；⑶“若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数”． ⑷“若a b ≠，则a b ≠-”；考点：命题的充分性与必要性 【例6】 判断下面每个小题中命题p 是命题q 的什么条件？用“充要条件”，“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“既不充分也不必要条件”回答． ⑴前提：集合|01x A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}|03B x x =<<． 命题p ：“x A ∈”；命题q ：“x B ∈”．⑵命题p ：“tan 1x =”；命题q ：“π2π4x k =+（k ∈Z ）”． ⑶前提：已知α、β为两个不同的平面，a 、b 为α内两条不同的直线． 命题p ：“a β∥且b β∥”；命题q ：“αβ∥”． ⑷前提：,a b 为两个非零实数．命题p ：“1a b <”；命题q ：“1ba>”． 【解析】 ⑴ 充分不必要条件；⑵ 必要不充分条件； ⑶ 必要不充分条件；⑷ 必要不充分条件．【拓3】 ⑴前提：a 、b 为非零向量．命题p ：“a b ⊥”；命题q ：“()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”．经典精讲⑵前提：{}n a 为数列．命题p ：“n *∀∈N ，1n n a a +>”；命题q ：“数列{}n a 为递增数列”． ⑶前提：,a b 为实数．命题p ：“220a b a b +--=”；命题q ：“0a ≥，0b ≥且0ab =”． ⑷前提：记实数12,,,n x x x 中的最大数为()12max ,,,n x x x ，最小数为()12min ,,,n x x x ．ABC △的三边长为a 、b 、c （a b c ≤≤），定义倾斜度为max ,,min ,,a b c a b c l b c a b c a ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．命题p ：“1l =”；命题q ：“ABC △为等边三角形”．【解析】 ⑴ 必要不充分条件；⑵ 充分不必要条件； ⑶ 充要条件；⑷ 必要不充分条件．一、选择题 1、（2011年广东）已知集合(){}22,|1,,A x y x y x y =+=∈R ，(){},|,,B x y y x x y ==∈R ，则AB 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 C ． 2、（2010年全国课标）已知集合{}|2,A x x x =∈R ≤，{}|4,B x x x =∈Z ≤，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2【解析】 D 3、（2011年江西）若集合{}|1213A x x =-+≤≤，2|0x B x x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤，则A B =（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|01x x <≤C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|01x x ≤≤【解析】 B4、 集合{}|03,A x x x =<∈N ≤的真子集个数为（ ） A ．16 B ．15 C ．8 D ．7 【解析】 D5、 若“()p q ⌝∧”为真命题，则（ ）A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题【解析】 D6、 命题“0x ∃∈R ，0sin 1x ≤”的否定为（ ）A ．0x ∃∈R ，0sin 1x ≥B ．0x ∀∈R ，0sin 1x ≤C ．0x ∃∈R ，0sin 1x >D ．0x ∀∈R ，0sin 1x >课后习题11【解析】 D7、 设a 、b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“a b a b +=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 B8、 设0abc ≠，“0ac >”是“方程22ax by c +=表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 B二、填空题9、 集合{}4,5,7,9A =，{}3,4,7,8,9B =，U A B =，则()U A B 中的元素共有 个．【解析】3． {}4,7,9A B =，{}3,4,5,7,8,9A B =，(){}3,5,8U A B =．10、已知集合{}2|1M x x ==，集合{}|1N x ax ==，若N M ⊆，那么a 的值是________． 【解析】 0,1±． 11、 （2009年湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．【解析】 12．12、 （2009年北京）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．【解析】6．13、 已知函数()ln 4y x =-的定义域为A ，集合{}|B x x a =<，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 ()4,+∞14、 下列命题中，真命题是 ．①n ∀∈R ，2n n ≥； ②2,n n n ∀∈<R ；③2,,n m m n ∀∈∃∈<R R ； ④,,n m mn m ∃∈∀∈=R R ．【解析】 ④三、解答题15、已知X 是方程20x px q ++=的实数解集，{}1,3,5,7,9A =，{}1,4,7B =，且X A =∅，X B X =，求,p q 的值．【解析】 8p =-，16q =．16、 已知集合{}2|320,A x ax x x =-+=∈R ．12 ⑴若A =∅，求实数a 的取值范围；⑵若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；⑶求集合{}|,M a a A =∈≠∅R ．【解析】 ⑴98a >． ⑵9|8M a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤． 17、 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假：⑴对数函数都是单调函数；⑵至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．【解析】 ⑴全称命题，真命题；⑵ 特称命题，真命题．18、 已知0a >，设命题p ：函数x y a =在R 上单调递增；命题q ：不等式210ax ax -+>对任意实数x 恒成立．若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求a 的取值范围．【解析】 (][)0,14,+∞。
专题02 简易逻辑
简易逻辑条件及充要条件的意义．2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．第1课时逻辑联结词和四种命题1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成；命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题．2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的当p与q都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形．二、四种命题1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题：、否命题：逆否命题： . 2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同．3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（）A．p:0＝∅；q:0∈∅B．p：在∆ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；:q y＝sin x在第一象限是增函数C ．),(2:R b a ab b a p ∈≥+；:q 不等式x x >的解集为()0,∞-D ．p ：圆()1)2(122=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x ＝4解：由已知条件，知命题p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故选(C)．变式训练1：如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题.那么（ ）A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题C ．命题p 和命题“非q ”真值不同D ．命题q 和命题p 的真值不同解： D例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3) 若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零.解：(1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.例3. 已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论．解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．⎪⎩⎪⎨⎧>⇔<->-=∆⇔200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．⇔31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧≥⇒≥≤>3312m m m m 或；(ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧≤<⇒<<≤21312m m m ．综合，得m 的取值范围是{21≤<m m 或3≥m }．变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a x在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p 和q中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解 ： 由函数y=a x在R 上单调递减知0<a<1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,则y=⎩⎨⎧<≥-).2(2),222a x aa x ax （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a>1，即a>.21即q 真⇔a>.21若p 真q 假,则0<a ≤;21若p 假q 真，则a ≥1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是0<a ≤21或a ≥1.例4. 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．证明：假设c b a ,,都不大于0，即,0≤a ,0≤b 0≤c ，则0≤++c b a 而623222222πππ+-++-++-=++x z z y y x c b a ＝3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x 0)1()1()1(222≥-+-+-z y x ，03>-π．00≤++>++∴c b a c b a 这与相矛盾．因此c b a ,,中至少有一个大于0．变式训练4：已知下列三个方程：①x 2＋4ax －4a ＋3＝0，②x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，③x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.解：设已知的三个方程都没有实根．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=∆<--=∆<-+=∆08)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a 解得123<<-a ．故所求a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－23．1．有关“p 或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式．2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法．3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．第2课时 充要条件p q ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件．2．必要条件：如果q p ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件．3．充要条件：如果p q ⇒且q p ⇒则p 叫做q 的 条件．例1．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由．1． A ：R p p ∈≥,2，B ：方程+++p px x 203=有实根；2． A ：)(,2Z k k ∈=+πβα，B ：)sin(βα+βαsin sin +=；3．A ：132>-x ；B ：0612>-+x x ；4．A ：圆222r y x =+与直线++by ax 0=c 相切，B ：.)(2222r b a c +=分析：要判断A 是B 的什么条件，只要判断由A 能否推出B 和由B 能否推出A 即可．解：(1) 当2≥p ，取4=p ，则方程0742=++x x 无实根；若方程+2x 03=++p px 有实根，则由0>∆推出20)3(42-≤⇒≥+-p p p 或≥p 6，由此可推出2≥p ．所以A 是B 的必要非充分条件．(2)若πβαk 2=+则βαsin sin +αααπαsin sin )2sin(sin -=-+=k 02sin )sin(,0==+=πβαk 又所以βαβαsin sin )sin(+=+成立若βαβαsin sin )sin(+=+成立 取απβ==,0，知πβαk 2=+不一定成立，故A 是B 的充分不必要条件． (3) 由21132><⇒>-x x x 或，由0612>-+x x 解得23>-<x x 或，所以A 推不出B ，但B 可以推出A ，故A 是B 的必要非充分条件．(4) 直线0=++c by ax 与圆22y x +2r =相切⇔圆(0，0)到直线的距离r d =，即22b a c +＝2c r ⇔＝222)(r b a +.所以A 是B 的充要条件.变式训练1：指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1）在△ABC 中，p ：∠A=∠B ，q ：sinA=sinB （2）对于实数x 、y ，p ：x+y ≠8,q:x ≠2或y ≠6; （3）非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B（4）已知x 、y ∈R ，p ：（x-1）2+（y-2）2=0，q ：（x-1）（y-2）=0.解： （1）在△ABC 中，∠A=∠B ⇒sinA=sinB ，反之，若sinA=sinB ，因为A 与B 不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p 是q 的充要条件.(2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,显然⌝q ⇒⌝p.但⌝p ⌝q,即⌝q 是⌝p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B,所以p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p ⇒q 但q p,故p 是q 的充分不必要条件.例2. 已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：若方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1、x 2． 则0＜x 1＜1、0＜x 2＜1，∵x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ∴0＜－m ＜2，0＜n ＜1 ∴－2＜m ＜0，0＜n ＜1 ∴p 是q 的必要条件．又若－2＜m ＜0，0＜n ＜1，不妨设m ＝－1，n ＝21．则方程为x 2－x ＋21＝0，∵△＝(－1)2－4×21＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p 是q 的非充分条件． 综上所述，p 是q 的必要非充分条件．变式训练2：证明一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性：若ac<0,则b 2-4ac>0,且ac<0,∴方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根，则∆=b 2-4ac>0,x 1x 2=ac<0,∴ac<0. 综上所述，一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 例3. 已知p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.解： 由题意知：命题：若┒p 是┑q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p : |1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q : x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0，∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1＋m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9310121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞)变式训练3：已知集合{||1||3|8}M x x x =++->和集合2{|(8)80}P x x a x a =+--≤，求a 的一个取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要不充分条件. 解：}53|{>-<=x x x M 或，}0)8)((|{≤-+=x a x x P 由,}85|{时≤<=x x P M ,3,35≤≤≤-a a 此时有}85|{3≤<=≠>≤x x P M a 但所以}85|{3≤<=≤x x P M a 是是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.例4. “函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？解：函数的图象全在x轴上方，若)(x f 是一次函数，则10)1(40542=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+a a a a若函数是二次函数，则：[]⎪⎩⎪⎨⎧<-+--->-+0)54(12)1(4054222a a a a a 191<<⇒a 反之若19|<≤a ，由以上推导，函数的图象在x 轴上方，综上，充要条件是19|<≤a ．变式训练4：已知P ＝{x | |x －1| | >2}，S ＝{x | x2＋}(1)0a x a ++>，P x ∈且的充要条件是S x ∈，求实数a 的取值范围．分析：P x ∈的充要条件是S x ∈，即任取S x P x ∈⇒∈S P ⊆∴，反过来，任取P x S x ∈⇒∈P S P S =∴⊆∴据此可求得a 的值．解： P x ∈的充要条件是S x ∈.S P =∴∵P ＝{x || x －1|＞2}}＝),3()1,(+∞--∞S ＝{x | x2＋(a ＋1)x ＋a ＞0)}＝{x | (x ＋a)(x ＋1)＞0}1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念． 2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．简易逻辑章节测试题一、选择题1．设集合{2},{3},M x x P x x =>=<""x M x P ∈∈那么或""x MP ∈是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（2009·合肥模拟）已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是 （ ）A.a ≥1B.a ≤1C.a ≥-3D.a ≤-34.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是 （ ）7.(2008·浙江理，3)已知a,b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a>b ”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.（2008·北京海淀模拟）若集合A={1，m 2}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A ∩B={4}”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 9.若数列{a n }满足221nn a a +=p （p 为正常数，n ∈N *），则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件10.命题p:若a 、b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=2|1|--x 的定义域是(][)∞+--∞，，31 ，则 （ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 二、填空题11．已知数列}{n a ，那么“对任意的n ∈N*，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的 条件．12.设集合A={5,log 2（a+3）}，集合B={a ，b}，若A ∩B={2}，则A ∪B= .13.已知条件p ：|x+1|>2,条件q:5x-6>x 2，则非p 是非q 的 条件.14.不等式|x|<a 的一个充分条件为0<x<1,则a 的取值范围为 .15.已知下列四个命题： ①a 是正数；②b 是负数；③a+b 是负数；④ab 是非正数.选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 三、解答题16．设命题p ：（4x-3）2≤1;命题q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．求关于x 的方程ax 2-(a 2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.18．设p ：实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a<0；q ：实数x 满足x 2-x-6≤0，或x 2+2x-8＞0，且q p ⌝⌝是 的必要不充分条件，求a 的取值范围.19．(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；（2）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围.20．已知0>c ，设:p 函数x c y =在R 上单调递减，q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．简易逻辑章节测试题答案1．B2.A3.A4.C5.B6.B7. D8.A9.B 10. D11．充分而不必要条件 12.{1，2，5} 13.充分不必要 14.a ≥115.若①③则②（或若①②则④或若①③则④）16．解 设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 易知A={x|21≤x ≤1},B={x|a ≤x ≤a+1}.由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴,1121⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤a a故所求实数a 的取值范围是［0，21］.17．解方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a ≠0，则方程至少有一个正根等价于01<+a a 或⎪⎩⎪⎨⎧>++=+01012a a a a 或⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-++=∆>+>++0)1(4)1(0101222a a a a a a a a a -1<a<0或a>0.综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1. 方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0, ∴x=1满足条件；若a ≠0，∵Δ=(a 2+a+1)2-4a(a+1)=(a 2+a)2+2(a 2+a)+1-4a(a+1)=(a 2+a)2-2a(a+1)+1=(a 2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.故而当方程没有正根时，应有,01012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤++aa a a a 解得a ≤-1,∴至少有一正根时应满足a>-1且a ≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1. 18．解 设A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|q}={x|x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0}={x|x 2-x-6≤0}∪{x|x 2+2x-8>0} ={x|-2≤x ≤3}∪{x|x<-4或x>2}={}.24|-≥-<x x x 或方法一 ∵q p ⌝⌝是的必要不充分条件,∴p p q ⌝⌝⇒⌝且,q ⌝. 则{}q x ⌝|{}.|p x ⌝而{}=⌝q x|R B={}{}p x x x ⌝-<≤-|,24|=R A={},0,3|<≥≤a a x a x x 或 ∴{}24|-<≤-xx {},0,3|<≥≤a a x a x x 或 则⎩⎨⎧<-≤⎩⎨⎧<-≥.0,4,0,23a a a a 或综上可得-.4032-≤<≤a a 或方法二 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴a ≤-4或3a ≥-2,又∵a<0, ∴a ≤-4或-32≤a<0. 19．解（1）当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-,4p 故-4p≤-1时， “x<-4p ”⇒“x<-1”⇒“x 2-x-2>0”. ∴p ≥4时，“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件. （2）不存在实数p 满足题设要求. 20．解：函数x c y =在R 上单调递减10<<⇔c 不等式||2|>-+c x x 的解集为⇔R 函数 |2|c x x y -+=，在R 上恒大于1⎩⎨⎧<≥-=-+∴cx c cx c x c x x 2,22,22|2| ∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2 ∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R2112>⇔>⇔c c ，如果p 正确，且q 不正确 则210≤<c ，如果p 不正确，且q 正确，则1≥c ，所以c 的取值范围为[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,121,0．。
《高二数学简易逻辑》课件
规律。
集合论
集合论是数学的基础，它使用逻 辑来定义集合、关系和函数等概
念。
科学中的逻辑应用
实验设计
在科学研究中，逻辑用于设计实验和收集数据。通过合理的设计 ，可以确保实验的有效性和数据的可靠性。
命题的证明
总结词
命题的证明是检验推理过程的重要手段。
详细描述
通过严密的推理过程，证明一个命题的真假性，是逻辑证明的基本要求。在证明 过程中，需要遵循逻辑推理的基本规则，确保推理过程的正确性和可靠性。
03
谓词逻辑
谓词的概念
谓词的定义
谓词是用来描述个体或个体集合 的属性的词，通常由动词或形容
词表示。
谓词的分类
根据其属性是否为真，谓词可以分 为真值函数和非真值函数两类。
谓词逻辑的起源
谓词逻辑是数理逻辑的一个分支， 起源于亚里士多德的形式逻辑。
量词的分类
量词的定义
量词用来表示数量的符号 ，如“所有”、“存在” 等。
全称量词
表示全部个体集合的量词 ，如“所有”、“每一个 ”等。
存在量词
表示存在至少一个个体集 合的量词，如“有些”、 “存在”等。
详细描述
这些练习题包括对复合命题的真假判 断、逻辑推理和证明等，旨在帮助学 生熟悉命题逻辑的基本概念和规则， 提高逻辑推理和分析能力。
谓词逻辑的练习题
总结词
谓词逻辑练习题有助于加深学生对谓词逻辑的理解和应用。
详细描述
这些练习题涉及对量词的约束、推理规则的应用以及复杂命 题的逻辑结构等，通过这些练习，学生可以更好地掌握谓词 逻辑的基本原理和方法。
高中数学总复习四十三讲-第二讲 简易逻辑
第二讲简易逻辑最新命题特点对本部分内容的考查呈现以下特点：1．逻辑是研究思维的方式及规律的基础学科，逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，在高考题中，几乎每一题都要用到逻辑知识；2．高考中多以选择题和填空题出现，在难度上以易题为主，若以函数、数列、立体几何知识为载体，也考查解答题；另外，逻辑推理知识是一个新的命题背景；3．高考中主要考查逻辑连接词及其判断复合命题的真假，命题的四种形式及相互关系；充要条件；反证法．4．预计：典型例题中仍然以真空或选择题形式出现．逻辑推理知识是新的命题背景．应试高分瓶颈1．对某些概念理解不清，有关定义不能熟记，因而不能正确判断命题的真伪而导致丢分；2．不能准确地进行四种命题的转换，导致丢分；3．判断两个命题的充分、必要关系时方向不清．内容命题点1 真假命题及四种命题的概念命题点2 充要条件命题点1 真假命题及四种命题的概念本类考题解答锦囊解答“真假命题及四种命题的概念”一类试题，主要掌握以下几点：1．对数学概念要有准确的记忆和深层次的理解；2．掌握真值表是判断真假的前提；3．判断一个命题真假，可根据定义直接判断，也可利用原命题与其逆否命题的等价关系求解；证明一个结论成立时，也常转化为证明其逆否命题成立．4．解这类问题要弄清逻辑连结词和简单命题及复合命题的构成形式，准确地运用真值表进行判断．Ⅰ高考最新热门题1(2005·上海)设数列{a n }的前n 项和为s n (n ∈N *)，则关于数列{a n }有下列三个命题：(1)若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n =a n+1(n ∈N *)；(2)若s n =an 2+bn(a ，b ∈R)，则{a n }为等差数列；(3)s n =1-(-1)n ，则{a n }是等比数列．这些命题中正确命题的序号是_________命题目的与解题技巧：本题以“命题”为工具，主要考查等差、等比数列的基础知识．解决本题的关键是准确掌握等差、等比数列的定义，a n 和s n 的关系等知识．说明命题为真命题需要证明，说明一个命题为假命题只需单一个反例．[解析] (1)∵{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意a n -d,a n ，a n +d 为等比数列，∴a 2n =(a n -d)(a n +d)，所以d=0正确,∴(1)正确．(2)当n=1时，a 1=s 1=a+b ；当n ≥2时，a n =s n -s n-1=2an -a+b ；因n=1适合上式，所以a n =s n -s n-1=2an-a+b 而a n+1-a n =2a(常数)，所以{a n }为等差数列．(3)同(2)得a n = (-1)n-1·2，而 n n a a 1 =-1(常数)．所以{a n }为等比数列． [答案] (1)2(典型例题)在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________答案：② 指导：①中的逆命题是：若四点任何三点都不共线，则这四点不共面．用正方体AC 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三点都不共线，但A 1、B 1、C 1、D 1四点共面，所以①中逆命题不真．②中逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点，所以②中逆命题是真命题．3(典型例题)已知函数y=f(x)(定义域为D ，值城为A)有反函数y=f -1(x)，则f(x)=0有根为a 且f(x)>x(x ∈D)的充要条件是y=f -1(x)满足________答案： f -1(0)=a ，且f -1(x)<x(x ∈A)，或y=f -1(x)图象在直线y=x 的下方，且与y 轴的交点为(0，a)指导：因为y=f(x)有反函数，则y=f(x)必为单调函数，由方程y=f(x)=0有解x=a ，则y=f(a)=0．又y=f(x)>x ，说明在定义域D 内，函数y=f(x)的图象在直线y=x 的上方．而y=f(x)的反函数y=f -1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x 对称．因此，从代数角度回答有y=f -l (0)=a ，且y=f -1(x)<x(x ∈A)；从几何角度回答有y=f -1(x)图象在直线y=x 的下方，且与y 轴的交点为(0，a)．4(典型例题)α,β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线．给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论 断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________答案：指导：以m 上n 作为结论，其余S 个论断作为前提条件，检查命题是否正确：因为ββα⊥⊥n ,所以n//α或n ⊂α.当n ⊂α时,α⊥m 得n m ⊥当n//α时，过作一平面与平面a 相交于直线n’,则由前证知，根据线面平行性质这时n//n’故得n m ⊥..,,n m m n ⊥⇒⊥⊥⊥αββα5(典型例题)命题p ：若a 、b ∈R 则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件．命题q 函数y=2|1|--x 的 定义域是(-∞，-1]∪[3，+∞)．则A ．“P 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．“p 真q 假”D ．“p 假q 真”答案： D 指导：∵|a+b|≤|a|+|b|,∴|a|+|b|>1是|a+b|>1的必要而不充分条件，即p 假；由|x-1|-2≥0，得x ≤-1，或x ≥3，即q 真．∴选D ．Ⅱ 题点经典类型题1(2005·合肥)给出命题：p ：3≥3，命题q ：函数f(x)=⎩⎨⎧-11x ≥0 x<0在R 上是连续函数，则在下列三个复合命题：“p 且q ”“p 或q ”“非p ”中，真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3命题目的与解题技巧：本题主要考查连续函数的概念及复合函数真值表．解决本题的关键是准确连续函数的定义及基本知识．要判断三个复合命题的真假，必须先判断P 与叮的真假，再结合复合函数的真值表进行判断．[解析] 要判断三个复合命题的真假，先必须判断p 与q 的真假，再结合复合命题的真假表作出判断，p:3≥3为真命题，而 q:f(x) 在R 上是连续函数是假命题，则这p 或q 为真，P 且q 为假，p 为假命题．[答案] B2(2005·南开中学)今有命题p 、q ，若命题m 为“p 且q ，则“p 或，q ”是“m ”的A.充分不必要条件 D ．必要而不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案： C 指导：∵“p 且q ”的否定为“┐p 或┐q ∴“┐p 或┐q ”是“┐m ”的充要条件．3(典型例题)定义在R 上且不恒为0的函数f(x)，满足f(x)满足f(x+23)+f(x)=0，且函数f(x-43)为奇函数， 给出下列命题：①函数f(x)的最小正周期是23；②函数y =f(x)的图象关于点(-43，0)对称；③函数y=f(x)的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是A ．3B ．2C ．1D ．0答案： B 指导：∵).()23()2323().()23(x f x f x x f x f =+-=++∴-=+ ∴最小正周期为3；∵y=f )43(-x 为奇函数． ∴函数y=f 对称中心为原点，∴函数y=f(x)以点)0,43(-为对称中心．∵y=f(x 43-)为奇函数． )23()(43).43()43(--=-=---=--∴x f x f y x x f x f 代入得以① 又由)23()23()()23()()23(--=+-==+-==+-x f x f x f x f x f x f比较①②得f(-x)=f(x). ∴y=f(x)为偶数.∴命题②、③正确，①错误 ∴选B ．4(典型例题)已知原命题：“若m>0，则关于x 的方程x 2+x-m=0有实根”，下面结论中正确的是A.原命题和逆否命题都是真命题B ．原命题和逆否命题都是假命题C.原命题是真命题，逆否命题是假命题D ．原命题是假命题，逆否命题是假命题答案： A 指导：对于方程x 2+x-m=0的△=4m+1， 当m>0时△>0，∴方程有实根，即原命题是真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，故选A.Ⅲ 新高考命题探究1已知命题p=不等式|x|+|x-1|>m 的解集为R ，命题q=函数f(x)=-(5-2m)x 是减函数，若p 或q 为真命题、p 且q 为假命题，则实数m 的取值是______．答案：[1，2] 指导：不等式|x|+|x-1|>m 的解集为R ，则m<1，函数f(x)=-(5-2m)x 是减函数，则m<2，又由p 或q 为真命题、p 且q 为假命题，则实数m 的取值1≤m ≤2．2已知函数f(x)=x 2+(a+1)x+1g|a+2|(a ∈R ，且a ≠-2)．(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；(2)命题P ；函数f(x)在区间[(a+1)2，+∞]上是增函数；命题Q ；函数g(x)是减函数，如果命题p 、0有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，比较f(2)与3-lg2的大小．答案：(1)∵y=f(x)=g(x)+h(x)，g(-x)=-g(x)，h(-x)=h(x)，∴f(-x)=-g(x)+h(x)．⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-+++-=+∴|2|lg )1()()(|,2|lg )1()()(22a x a x x h x g a x a x x h x g解得g(x)=(a+1)x ，h(x)=x 2+lg|a+2|．(2)∵函数y=f(x)=|2|lg 4)1()2)1()21(222+++-+-++a a a a x 在区间[(a+2)2，+∞]上是增函数，∴(a+1)2≥21+-a , 解得a ≥-1或a ≤23-且a ≠-2．又由函数g(x)=(a+1)x 是减函数，得a+<0，∴a<-1且a ≠-2．命题Q 为真的条件是：a<-l ，∴命题P 为真的条件是：a ≥-1或a ≤23- 且a ≠-2． 又∵命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，∴a>23- (3)由题意得f(2)=2a+lg|a+2|+6．又∵a>23- ∴f(2)=2a+lg|a+2|+2|+6． 设函数v(a)=2a+18(a+2)+6，∴v'(a)=2+010ln 11>+a∴函数v(a)在区间[23-,+∞]上为增函数．又∵v(23-)=3-lg2，∴当a>23-时，v(a)>(23-)，即f(2)>3-lg2. 命题点2 充要条件本类考题解答锦囊解答“充要条件”类试题主要掌握以下几点：1．判断充要条件要从两方面考虑：一是：解这类问题必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是再看是由条件推出吉论，还是由结论推出条件，应用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义加以征明．2．判断充分条件，必要条件，充要条件，既不充分也不必要条件，最根本的方法是根据定义，运用“⇒”号：若p ⇒q 且p ⇐q ，则p 是q 的充分不必要条件；若p ⇒q 且p ⇐q ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇔ q ，则p 是q 的充要条件；Ⅰ 高考最新热门题1(典型例题)设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0和a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集分别出心裁为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的A.充分非必要条件 B ．必要非充分条件C.充要条件 D ．既非充分又非必要条件命题目的与解题技巧：本题主要考察二次不等式的基本知识和充要条件的判定．二次不等式是高考中的热点问题，解决本题的关键是熟练掌握二次不等式的解法及二次不等式恒成立的问题，熟悉充要条件的判定和方法规律．[解析] 如果212121c c b b a a ==>0 则“M=N ”，如果212121c c b b a a ==<0，则“M ≠N ”．∴R反之若M=N=φ，既说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，“M=N ”“ 212121c c b b a a == ” ．因此，既非充分又非必要条件．[答案] B2(典型例题)已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ，点P n (n ，a n )都在直线y=2x+1上”是“{a n }为等差数列”的A.必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案： B 指导：由P ：“对任意的n ∈N*，点P n (n,a n )都在直线y=2x+1上”，即P ：“a n =2n+l ，n ∈N*”，故a n+1-a n =2，∴{a n }是以a 1=3为首项，d=2为公差的等差数列．q:{a n }为等差数列．故p ⇒q ，而qp,∴选B3(典型例题)函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是A ．a ∈(-∞，1)B ．a ∈[2，+∞]C ．a ∈[1，2]D ．a ∈(-∞，1)∪[2，+∞]答案： D 指导：∵f(x)=x 2-2ax-3的对称轴为x=a,∴y=f(x)在[1，2]上存在反函数的充要条件为[1,2] (-∞,a)或[1，2] [a ，+∞]，既a ≥2或a ≤1．4(典型例题)“cos2α=Z k k ∈+=-,12523ππα是 的A.必要非充分条件 B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件答案： A 指导：∵óZ k k Z k k ∈±=∴∈±=∴-=,2522.,6522,232cos ππαππααⅡ 题点经典类型题1(典型例题)指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件、”“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p:A>B ，q:BC>AC ；(2)对于实数x ，y ，p:x+y ≠8，q:x ≠2或y ≠6；(3)在△ABC 中，p:sinA>sinB ，q:tanA>tanB ；(4)已知x ，y ∈ R ，p ；(x-1)2+(y-2)2=0，q ；(x-1)(y 一2)=0．命题目的与解题技巧：本题主要考查条件的判定，关键是分清条件和结论，条件→ 结论的充分性，结论→条件的必要性．[解析] (1)在△ABC 中，显然有A>B ⇔BC>AC ，∴p 是q 的充要条件．(2)∵逆否命题：x=2且y=6 x+y=8，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)取A=120°，B=30°，p ⇒q ，又取A=30°，B=120°，q ⇒ p ，∴p 是q 的既不充分又不必要条件．(4)∵p={(1，2)}，q={(x ，y)，|x=1或y=2}，pq,∴p 是q 的充分不必要条件．[答案] 略2(典型例题)一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是答案： C 指导：方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为x 1x 2=a 1<0 ∴它的一个充分不必要条件为C 选项．3(2005·河南)给出两个命题：p ：|x|=x 的充要条件是x 为正实数；q ：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中真命题是A.p 且q B ．p 或q C ．p 且q D ．p 或q答案： D 指导：|x|＝x 得x ≥0．∴p 为假命题，q 也为假命题，如：xy1=存在反函数，但不单调．∴选D ．4(2005·西城)已知命题p ：函数y=log(ax+2a)(a>0且a ≠1)的图象必过定点(-1，1)；命题q ：如果函数y=f(x-3)的图象关于原点对称，那么函数y=f(x)的图象关于(3，0)点对称．则A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假 D.P 假q 真答案： C 指导：显然p为真命题，由命题q，得y=f(x)的图象关于(-3，0)点对称．∴选C5(典型例题)设x，y∈R，求证：，|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥O．答案：充分性是证：xy≥0|x+y|=|x|+|y|；必要性是证：|x+y||x|+|y| xy ≥0．先证充分性：如果xy=0，那么①x=0，y≠0；②y=0，x≠0；③x=0，y=0．于是|x+y|=|x|+|y|如果xy>0，即x>0，y>0，或x<0，y<0。
简易逻辑PPT精品课件
但 a= -
1 2
,
∴由关于x 的方程x2+2ax+b=0有实数根, 且两根均小于 2不一定
推得a≥2且|b|≤4.
故关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根, 且两根均小于 2 的充分
但不必要条件是a≥2且|b|≤4.
求偶行为
攻击行为
动物行为的主要类 型
防 御 行 为
2.动物行为的生理基 础
则 a0, 且 △=b2-4ac>b2-4(-a2x02-abx0) =(2ax0+b)2≥0.
∴关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数解.
②必要性: 若关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数解,
设为 x1, x2, 且 x1<x2, 则 a0(否则, 方程 f(x)=0 不会恰有两
远远高于 480pmol/L
从资料中大家可以看出什么？ ？？
• 资料1：淡水三刺鱼,雄鱼到了交配季节腹部表面 变成红色, 此时雄鱼彼此之间出现攻击行为。
◆请大家思考一下，是什么因素引 起了雄三刺鱼之间的攻击行为？
答：雄三刺鱼到了交配季节，腹部表面变成 红色，红色就是一种可引起雄鱼彼此之间猛烈的 攻击行为的信号刺激。
●神经系统
●内分泌系统
●动物的复杂行为需要神经系统和 内分泌系统等共同调控完成。
捕 食 行 为
想 蜘蛛蛛网与人织网 一 想 ？
蜘蛛在织网，人也在织网，两种行为有什么区别呢？
孵
育
卵
雏
生殖行为
一.先天性行为 和 后天性行为
●先天性行为 ：动物生来就有的、由遗传
物质所控制的行为。例如，蜜蜂采蜜、蚂蚁 筑巢、蜘蛛结网、鸟类迁徙、母鸡孵蛋、羚 羊争斗、母猪哺乳等。
高考数学 第二讲 简易逻辑课件 文 新人教版
16.08.2020
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三、命题的否定与否命题的混淆
3．存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0的否定是 ________________________________；否命题是 ________________________________________________．
逆否命题： 若┑q则┑p .
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2．四种命题的关系：
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3．原命题为真，它的逆命题 不一定为真 ； 原命题为真，它的否命题 不一定为真 ； 原命题为真，它的逆否命题 一定为真 ． 4．反证法 欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发， 经过正确的逻辑推理导出 矛盾 ，从而“非q”为假，即原 命题为 真 ，这样的方法称为反证法．
误．解题时一定要注意区分清楚．
答案：D
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四、判断充分必要条件时，因分不清命题的条件和结 论而失误．
5．若p：α＝β，q：tanα＝tanβ，则p是q的 ____________________条件．
答案：既不充分也不必要
五、用反证法证明问题时，结论的反面不能一一列举 出来．
6．用反证法证题命题：“若整数系数一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶 数”，则应假设____________________________．
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2．(20．09(2·江00西9·江，西1)下，列1)下命列题命是题真是命真题命的题为的为( ( ) ) A．若A．1x＝若1y1x，＝则1y，x＝则yx＝y B．若B．x2若＝1x，2＝则1，x＝则1x＝1 C．若C．x＝若yx，＝则y，x则＝ xy＝ Dy．若D．x＜若yx，＜则y，x2则＜yx22＜y2 解析解：析对：于对A于，由A，1x＝由1y1x可＝得1y可x＝得yx，＝因y，此因A此正A确正；确对；对 于 B于，由B，x2由＝1x2不＝能1 不确能定确x＝定1x，＝因1，此因B此不B正不确正；确对；于对C于， C， 由 x＝由yx不＝能y 不得能出得x出＝ xy＝，因y，为因x，为yx可，能y 可取能负取值负，值因，此因C此 C 不正不确正；确对；于对D于，由D，x＜由yx不＜能y 不得能出得x2出＜yx22，＜如y2，－如3＜－23，＜而2，而 (－3)(2－＞32)2，＞因22，此因D此不D正不确正．确综．上综所上述所，述选，A选. A. 答案答：案A ：A
第二讲1.2简易逻辑
典型例题解析
例３.（2009 上海 理） “-2≤a ≤2”是“实系数一元二次 方程 x2+ax+1=0没有实根”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
解析:△＝a2-4<0时，-2＜a<2，因为“-2≤a ≤2”是“2＜a<2”的必要不充分条件，故选A.
q:方程(x-1)(x-2)=0的根是2; P或q是:
方方程程((xx--11))((xx--22))==00的的根根是是11或或方2;程×(x-1)(x-2)=0的根是2; 如2:已知p:四条边相等的四边形是正方形;
q的角四相边等形的是四正边方形形是正方形; × 且四个角相等的四边形是正方形;
注意:命题的否定与否命题的区别
知识点 知 识 要 点 归 纳
3、反证法: 用反证法证明命题的一般步骤: (1)反设:假设命题的结论不成立;
(2)推矛盾:从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；
(3)结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论 正确。
知识点 知 识 要 点 归 纳
4、充要条件:
工人
0
0
0
1
医生
0
1
0
备选例题
这是真值表的另一种使用方法，利用真值 表不仅可以判断复合命题的真假，还可以用来 解决生活中的逻辑问题（0表示命题为假，1表 示命题为真）。
练习
1.下列判断错误的是(B ) A.命题" p且q"的否定命题是"p或q" B.条件 | a | 1且 | b | 2是 | a b | 3的充要条件 C.集合A {a,b, c}, 集合B {0,1},则从集合A到 集合B的不同的映射个数有8个 D.命题p : 若M U N M 则N M ,命题q : 5{2,3}
高中数学简易逻辑知识点
高中数学简易逻辑知识点
摘要：
一、简易逻辑的概念
二、命题与命题联结词
三、逻辑运算规则
四、逻辑表达式的化简
五、逻辑运算的应用
正文：
简易逻辑是高中数学中的一个重要知识点，它主要研究逻辑推理的基本方法和原则。
通过学习简易逻辑，我们可以更好地理解和把握逻辑思维的本质，提高我们的推理能力。
首先，我们需要了解简易逻辑的概念。
简易逻辑，又称直觉逻辑或日常逻辑，是研究人们思维形式和推理规律的逻辑学科。
它以自然语言为载体，通过对命题和命题联结词的分析，探讨推理的基本规律。
命题是简易逻辑的基本概念，它是对事物性质或关系的判断。
命题可以分为肯定命题和否定命题，两者之间的联结词有“且”、“或”、“非”等。
通过命题联结词的组合，我们可以形成复杂的逻辑表达式。
逻辑运算规则是简易逻辑的核心内容。
逻辑运算主要包括合取、析取、蕴含、等价等。
这些运算规则可以帮助我们更好地理解和把握逻辑表达式的意义，从而进行有效的推理。
逻辑表达式的化简是简易逻辑的重要任务之一。
通过对逻辑表达式进行化
简，我们可以简化推理过程，提高推理效率。
化简方法主要包括：去除蕴含符号、否定前提等。
最后，逻辑运算在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在计算机科学中，逻辑运算被用于编程和算法设计；在哲学和人文社会科学中，逻辑运算被用于分析和论证观点。
掌握简易逻辑的知识，可以提高我们的逻辑思维能力，更好地应对生活和工作的挑战。
总之，简易逻辑是高中数学中的一个重要知识点，它主要研究逻辑推理的基本方法和原则。
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第2讲简易逻辑一、命题（一）知识归纳：1．可以判断真假的语句叫命题。
①含有逻辑联结词，如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题称复合命题。
②复合命题的真值表：“非p”形式的复合命题与p的真假相反；“p或q”形式的复合命题当p与q同时为假时为假，其它情况时为真；“p且q“形式的复合命题当p与q同时为真时为真，其它情况时为假。
2．命题的四种形式：①原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q 则p。
②一个命题与它的逆否命题是等价的。
③（p或q）= p且q，（p且q）= （p或q）。
（二）学习要点：1．复合命题真假的判断提学习上的难点，应从“真值表”、“集合”、“逆命题”等多个角度进行分析。
2．由简单命题构成复合命题，不一定是简单地加是“或、且、非”等逻辑联结词，另外应注意含“或、且、非”等词汇的命题也不一定是复合命题，在进行命题的合成或分解时一定要检验是否符合复合命题的“真值表”，如果不符要作语言上的调整。
3．命题的“否定”是学习上的重点，因为这是“反证法”证明的第一步，必须注意，命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题p的否定（即非p）是否定命题p所作的判断，而“否命题”是对“若p则q“形式的命题而言，同时否定它的条件与结论。
但应注意，关于命题的学习只需作一般性的了解，不必过分钻牛角尖，高考基本上没有要求。
【例1】写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。
{解析}由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整。
（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数.（2）p：方程x2－1=0的解是x=1,q：方程x2－1=0的解是x=－1,（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.{解析}（1）p或q：9是144或225的约数；p且q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；非p：9不是144的约数.∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，而“非p”为假.（2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；∵p假，q假，∴“p或q”与，“p且q”均为假，而“非p”为真.（3）p或q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0；p且q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；非p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q”均为假，而“非p”为真.{评析}在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。
【例2】写出下述命题逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若a≤0，则方程x2－2x+a=0有实根.（2）乘积为奇数的两个整数都不是偶数.[解析]如果一个命题不是“若p则q”的形式，则应将它写成“若p则q“的形式.（1）逆命题：若方程x2－2x+a=0有实根，a≤0；否命题：若a>0，则方程x2－2x+a=0无实根；逆否命题：若方程x2－2x+a=0无实根，则a>0 .∵方程x2－2x+a=0有实根的充要条件是△=4－4a≥0，即a≤1，而a≤0⇒a≤1，∴原命题与逆否命题为真命题；∵方程x2－2x+a=0有实根⇔a≤1，而a≤1⇒a≤0；∴逆命题与否命题为假命题.（2）原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数；逆命题：若两个整数的乘积都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数；否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数至少有一个是偶数；逆否命题：若两个整数中至少有一个是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数.上述四种形式的命题都是真命题.[评析]学习命题的四种形式的难点是写出命题的否命题，需要同时否定命题的条件与结论，但对一些特殊的词句的否定需要积累经验，如上面第（2）小题中对“都不”的否定，许多学生都误认为是“不都”，这是错误的，“不都”是对“都”的否定。
二、反证法：（一）知识归纳：1．用反证法证明命题的一般步骤如下：①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.2．反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：①结论本身以否定形式出现；②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.（二）学习要点：1．用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：2．反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：①由假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；②①③ ②由假设结论q 不成立，经过推理论证得到结论q 成立，即由“非q 为真”推出了“q 为真”，形成了自相矛盾；③由假设结论q 不成立，经过推理论证得到一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.【例】用反证法证明下述命题：（Ⅰ）某班有49位学生，证明：至少有5位学生的生日在同一个月. [解析] “至少有5位”的反设是“至多只有4位”.[证明] 假设至多只有4位学生的生日在同一个月，即生日同在1，2，3，…12月的学生人数都不超过4人，∴该班学生总数m ≤4×12=48人，与该班有49个学生的条件矛盾， ∴假设不成立，∴至少有5位学生的生日在同一个月. （Ⅱ）设f (x )=x 2+ax +b,求证：|f (1)|、| f (2)|、| f (3)|、中至少有一个不小于21. [证明] 假设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+<--<+<--<+<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<21732192722921232139212124212112121|)3(|21|)2(|21|)1(|b a b a b a b a b a b a f f f由①、②得,272292321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+<-<--<b a b a 两式相加得－4<a <－2 ④，由②、③得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+<-<--<217321929227b a b a ，两式相加得－6<a <－4 ⑤，显然④与⑤矛盾，∴假设不成立，∴|f(1)|、| f(2)|、| f(3)|、中至少有一个不小于21. （Ⅲ）设三个正实数a 、b 、c 满足条件cb a 111++=2 求证：a 、b 、c 中至少有两上不小于1.[证明]假设a , b, c 中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况： （1）a 、b 、c 三数均小于1， 即0<a <1 , 0<b<1, 0<c<1,则,11,11,11>>>cb a ∴cb a 111++>3与已知条件矛盾； （2）a 、b 、c 中有两数小于1， 设0<a <1, 0<b<1,而c ≥1，则,11,11>>ba ∴c b a 111++>2+c1>2，也与已知条件矛盾； ∴假设不成立，∴a 、b 、c 中至少有两个不小于1.[评析] 象上面的这些例题，要证明的结论是“至多、至少”等，还是比较容易判断需要用反证法，从证明过程可以看出难点是“引出矛盾”，需有一定的能力，因此反证法在高考中很少要求.三、充分条件与必要条件：1．命题“若p 则q ”为真，记作p ⇒q ；“若p 则q ”为假，记作“p ⇒q ”. 2．充分与必要条件：①如果已知p ⇒q ，则称p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件. ②如果既有p ⇒q ，又有q ⇒q ，即p ⇔q,则称p 是q 的充要条件. 3．充分、必要条件与四种命题的关系：①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p 则q ”以及逆否命题“若 p 则 q ”都是真命题.②如果p 是q 的必要条件，则逆命题“若q 则p ”以及否命题“若 p 则 q ”为真命题.③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题。
（二）学习要点：充要条件是数学学习中十分重要的内容，应用很广泛，解决充要条件≠问题可以从下面两个方面入手，1．直接推埋：由条件p 出发进行推理，然后由结论q 出发进行推理.①若p ⇒q ，而q⇒p ，则p 是q 的充分但不必要条件，而q 是p 的必要但不充分条件. ②若p ⇒q ，而q ⇒p ，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）. ③若p ⇒q ，而q ⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.2．从集合思想考虑：如果条件p 与结论q 很容易用集合来描述，则从集合思想考虑比较简单.设P={p}, Q={q},①若P ⊂Q ，则p 是q 的充分但不必要条件，而q 是p 的必要但不充分条件.②若P=Q ，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）. ③若PQ 且QP ， 则p 是q 的既不充分也不必要条件.【例1】判断下述p 是q 的什么条件： （1）p ：x>5 q ：x ≥5 ； （2）p ：;2cos2sin:,sin 1a q a =+=+θθθ（3）p ：D 2=4F q ：圆x 2+y 2+Dx +Ey +F=0与x 轴相切； （4）p ：多面体是正四棱柱，q ：多面体是长方体；（5）p ：△ABC 中，acosB=bcosA , q ：△ABC 为等腰三角形. [解析] 根据命题的特点，准确选择方法. （1）设P={x|x>5} ， Q={x|x ≥5}， ∵ P Q ，∴p 是q 的充分但不必要条件；（2）;2cos 2sin |2cos 2sin|sin 1a a a =+⇒=+⇒=+θθθθθ a a a a =+⇒=+⇒=+⇒=+θθθθθs i n 1||s i n 1s i n12c o s 2s i n 2而； ∴p 是q 的既不充分也不必要条件； （3）圆F E D F x F Ey Dx y x 421|2|02222-+=-⇔=++++轴切与 ⎩⎨⎧≠=-⎩⎨⎧≠=-⇔≠04,004022E F D E F D E 将且形成的值看作集合Q ，而条件.P 形成的集合看作集合P ，显然QP ，∴方程有实数根 ①∴p 是q 的必要但不充分条件；（4）∵正四棱柱是特殊的长方体，∴{正四棱住}， {长方体}，∴p 是q 的必要但不充分条件；（5）∵acosB=bcosA ⇒2RsinA cosB =2R cosA sinB ⇒sin （A －B ）=0 ⇒A=B, ∴p ⇒q ；而q 中没有指明哪两个角相等，显然q ⇒ p ，∴p 是q 的必要但不充分条件；[评析] 从上面的例子可以看出，充分与必要条件问题的正确解答主要还是取决于问题本身所涉及到的具体数学内容的掌握与理解程度.【例2】求证：关于x 的方程x 2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a ≥2且|b| ≤4.[解析] 先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定. 先证明条件的充分性：,2202020)2)(2(0)2()2(,08484444)(2)2)(2(,0844424)()2()2(,44242,0)(4,44221212121212121212122⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧<-<-⇒⎩⎨⎧>--<-+-∴>=++-≥++=++-=--<-=--≤--=-+=-+-∴⎩⎨⎧-≥-≤-⇒⎩⎨⎧-≥≥≥-=∆∴≥≥⇒⎩⎨⎧≤≥x x x x x x x x a b x x x x x x a x x x x b a b a b a b a b a 而①、②知“a ≥2且|b|≤4” ⇒“方程有实数根，且两根均小于2”. 再验证条件不必要：∵方程x 2－x =0的两根为x 1=0, x 2=1，则方程的两根均小于2，而a =－21<2， ∴“方程的两根小于2” ⇒“a ≥2且|b|≤4”.综上，a ≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.[评析] 充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念，在解答任何一个数学问题时都必须准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性，还是充分且必要.对于证明题、计算题等，往往只需满足命题条件的充分性，即由条件进行推理、演绎得出结论；而对于求参数的范围，求不等式的解集，求函数的值域等许多问题，则必需保证推理的充要性.《训练题》一、选择题：1．若命题“p 且q ”为假，且“非p ”为假，则（ ）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假2．设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题3．命题：“若a 2+b 2=0（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是（ ）A ．若a ≠b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠0B ．若a=b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠04．设a ∈R ，则a>1是a1<1 的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一次函数nx n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ） A ．m>1,n<－1 B ．mn<0C ．m>0,n<0D ．m<0,n<06．有下述说法：①a>b>0是a 2>b 2的充要条件. ②a>b>0是ba 11<的充要条件. ③a>b>0是 a 3>b 3的充要条件.则其中正确的说法有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题7．命题：“若a ·b 不为零，则a,b 都不为零”的逆否命题是 8．若用反证法证明命题：“过平面内一点能且只能作一条直线与已知直线垂直”，则所作的 反设是 9．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，则s 是q 的 条件，r 是q 的 条件，p 是s 的 条件. 10．用充分、必要条件填空：①x ≠1且y ≠2是x+y ≠3的 ②x ≠1或y ≠2是x+y ≠3的 三、解答题：11．对于下述命题p ，写出“非p ”形式的命题，并判断“p ”与“非p “的真假： （1）p ：91∈A ∩B （其中全集U=N*，A={质数}，B={正奇数}）. （2）p ：底面是正多边形的棱锥是正棱锥. （3）p ：任意正整数都是质数或合数. （4）p ：三角形有且仅有一个外接圆.12．写出由下述各命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假.（1）p ：连续的三个整数的乘积能被2整除， q ：连续的三个整数的乘积能被3整除. （2）p ：对角线互相垂直的四边形是菱形， q ：对角线互相平分的四边形是菱形.13． 设a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac=2（b+d ）是方程x 2+ax+b=0与方程x 2+cx+d=0中至少有一个有实根的充分但不必要条件. 14．证明：6是无理数. 15．设0<a, b, c<1，求证：（1－a ）b ，（1－b ）c ，（1－c ）a 不同时大于41.《答案与解析》一、1．B （提示：对照真值表）.2．A.（提示：举例：a=1.2，b=0.3，则a+b=1.5<2，∴逆命题为假）. 3．D.（提示：a=b=0的意思是a=0且b=0）. 4．A （提示：100111><⇔>-⇔<a a aa a 或）. 5．B. （提示：∵函数图象经过第一、三、四角限的充要条件是⎩⎨⎧<>⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>-00010n m nnm，这是选择支B 中数集的真子集，故答案为B ）.6．A.（提示：①、②、③中的条件a>b>0均为结论的充分但不必要条件）.二、7．若a,b 至少有一个为零，则a,b 为零 .8．假设过平面内一点不能作或至少能作两条直线与已知直线垂直. 9．必要，充分，必要. （提示：画出箭头图）.10．①既不充分也不必要条件，②必要但不充分条件（提示：画出集合图或考虑逆否命题）. 三、11．（1）非p ：91∈（ U A ）∪（ U B ）（也可写作：91∈A ∩B ）， ∵91=13×7，∴p 为假，非p 为真.（2）∵命题p 中的语句中隐含有“所有”，“一定是”等意思，∴非p ：底面是正多边形的棱锥不一定是正棱锥.（也可写作：存在底面是正多边形的棱锥不是正棱锥）.其中p 为假，而非p 为真.（3）非p ：存在正整数既不是质数也不是合数.其中p 为假，而非p 为真. （4）非p ：存在三角形没有外接圆或至少有两个外接圆. 12．（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除. p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除. 非p ：连续的三个整数的乘积不能被2整除. ∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，∴p 真，q 真，∴p 或q 与p 且q 均为真，▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ① ②③ 而非p 为假.（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.非p ：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. ∵p 假q 假，∴p 或q 与p 且q 均为假，而非p 为真.13．∵△1+△2=（a 2－4b ）+（c 2－4d ）=a 2+c 2－4(b+d)=a 2+c 2－2ac=(a －c)2≥0⇒△1≥0或△2≥0，即两个方程至少有一个有实数解，∴充分性得证；而方程x 2+2x －3=0与x 2－4=0都有实数根，显然它们的系数不满足条件“ac=2(b+d)”，∴条件不必要.14．用反证法，假设6是有理数，则mn =6（其中m 、n 是互质的正整数）， ∴6m 2=n 2， ∵m 、n 互质，∴m 、n 不能同为偶数，即m 、n 中至少有一个是奇数，①若n 为奇数，则n 2为奇数，∴6m 2=n 2左、右奇偶矛盾；②若n 为偶数，则m 必为奇数，设n=2a ，m=2b －1（其中a, b 为正整数），∴6（2b －1）=4a 2⇒3（2b －1）2=2a 2，而左边为奇数，右边为偶数，矛盾；综上，6为无理数.15．用反证法，假设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-21)1(21)1(21)1(41)1(41)1(41)1(a c c b b a a c c b b a ， ①+②+③得：23212121)1()1()1(23=+-++-++-≤-+-+-<a c c b b a a c c b b a ，左右矛盾，故假设不成立，∴（1－a ）b,（1－b ）c ，（1－c ）a 不同时大于41.。