简谐振动中动能的标准方程
简谐运动的表达式动力学表达式
性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势 能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向 相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相 反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.
3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n) 为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1) T2 (n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置 关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，
图2 3.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能 守恒，振动能量与 振幅 有关， 振幅 越大， 能量越大.
二、简谐运动的两种基本模型
弹簧振子（水 平）
单摆
模型示意图
条件 平衡位置
回复力
忽略弹簧质量、 无摩擦等阻力
细线不可伸长、质量 忽略、无空气等阻力、 摆角很小
弹簧处于原长处
最低点
度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆 球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复
力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg x=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
2. 简谐运动的描述 （1）描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的 有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离， 是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成 一次 全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单 位时间内完成 全振动的次数 ；它们是表示振动 快慢的物理量.二者互为倒数关系.
振动能量计算公式
振动能量计算公式1. 简谐振动能量。
- 对于一个弹簧振子做简谐振动，其动能E_k=(1)/(2)mv^2，其中m是振子的质量，v是振子的速度。
- 根据简谐振动的速度公式v = ω Asin(ω t+φ)（ω是角频率，A是振幅，φ是初相位），则动能E_k=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t + φ)。
- 其势能E_p=(1)/(2)kx^2，对于简谐振动x = Acos(ω t+φ)，所以E_p=(1)/(2)kA^2cos^2(ω t+φ)。
- 弹簧振子的总能量E = E_k+E_p，由于k = mω^2，将E_k和E_p表达式代入可得：- E=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t+φ)+(1)/(2)mω^2A^2cos^2(ω t+φ)- 根据sin^2α+cos^2α = 1，所以E=(1)/(2)mω^2A^2（总能量守恒，与时间t 无关）。
2. 阻尼振动能量。
- 阻尼振动的能量是逐渐减小的。
- 阻尼振动的能量E(t)=E_0e^ - (2β t)/(m)，其中E_0是初始能量，β是阻尼系数，m是振子质量，t是时间。
3. 受迫振动能量。
- 在稳定状态下，受迫振动的能量取决于驱动力的功率。
- 设驱动力F = F_0cos(ω_dt)，振子做受迫振动达到稳定时的振动方程为x = Acos(ω_dt+φ)。
- 驱动力的功率P = Fv，其中v=-Aω_dsin(ω_dt + φ)，则P=-F_0Aω_dcos(ω_dt)sin(ω_dt+φ)。
- 在一个周期T=(2π)/(ω_d)内的平均功率¯P=(1)/(T)∫_0^TPdt，通过计算可得¯P=(1)/(2)F_0Aω_dsinφ。
- 受迫振动系统的能量与平均功率有关，能量E=¯Pt（t为时间），在稳定状态下能量保持稳定。
振动计算力学公式
振动计算力学公式一、简谐振动（Simple Harmonic Motion）简谐振动指的是一个物体在一个平衡位置附近做低幅度的周期性振动。
简谐振动的一些重要的力学公式如下：1. 位移（Displacement）：x = A * cos(ωt + φ)其中，x表示位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位。
2. 速度（Velocity）：v = -A * ω * sin(ωt + φ)其中，v表示速度。
3. 加速度（Acceleration）：a = -A * ω^2 * cos(ωt + φ)其中，a表示加速度。
4. 动能（Kinetic Energy）：K = 0.5 * m * v^2其中，K表示动能，m表示质量。
5. 势能（Potential Energy）：P = 0.5 * k * x^2其中，P表示势能，k表示弹性系数。
6. 总机械能（Total Mechanical Energy）：E = K + P其中，E表示总机械能。
7. 振动周期（Vibration Period）：T = 2π/ω其中，T表示振动周期。
二、阻尼振动（Damped Vibration）阻尼振动指的是振动过程中受到了阻尼力的影响，导致振幅逐渐减小。
阻尼振动的一些重要的力学公式如下：1. 位移（Displacement）：x = A * e^(-βt) * cos(ωdt + φ)其中，x表示位移，A表示振幅，β表示阻尼系数，ωd表示阻尼角频率，t表示时间，φ表示相位。
2. 速度（Velocity）：v = -A * β * e^(-βt) * cos(ωdt + φ) - A * ωd * e^(-βt) * sin(ωdt + φ)其中，v表示速度。
3. 加速度（Acceleration）：a = A * (β^2 * e^(-βt) *cos(ωdt + φ) + 2β * ωd * e^(-βt) * sin(ωdt + φ)) - A *ωd^2 * e^(-βt) * cos(ωdt + φ)其中，a表示加速度。
简谐运动能量
§14—5简谐运动的能量引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹黄发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能長。
一、筒谐运动的能星1.能長表达式（1）推导以弹性振子为例。
假设在/时刻质点的位移为X,速度为V,则x = Acos（cot +（p）系统势能为:肘尹=尹“伽+切因此系统的总能量为考虑到co2=—,则沪尹屆2=尹2弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。
（3）解释由于系统不受外力作用，而且内力为保守力，故在简谐运动的进程中，动能与势能彼此转化，总能量维持不变。
（4）说明1）£^A2,对任何简谐运动皆成立；2）动能与势能都随时间作周期性转变，而总能量维持不变：且总能量与位移无关。
动能E"Ep2 •能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能彼此转化进程。
二、能量平均值概念：一个随时间转变的物理在时间T内的平均值概念为_ 1 T10因此弹簧振子在一个周期内的平均动能为E k =丄］*—sinj血+ 0片/=丄〃川"=—kA1 T o 2 4 4因此弹簧振子在一个周期内的平均势能为£"=丄［―M2cos1（cot +（p）dt = -kA1 = —"T\1'"44结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。
三、应用1.应用1一一记忆振幅公式由能量守恒关系可得：kA2/2= mvo2/2+ kxo2/2 解之即得：A=r+w2.应用2——推导简谐运动相关方程在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和维持不变，因此有暫低+E」=0将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，通过简化后，即可取得简谐运动的微分方程及振动周期和频率。
这种方式在工程实际中有着普遍的应用。
此方式对于研究非机械振动超级方便°例1•用机械能守恒泄律求弹簧振子的运动方程。
6.1 平面简谐波的波动方程
2
1 E kA 2
2
E
EP Ek
1 2 1 2 (1)动能和势 kA或 mv 等于 m 结 能的幅值相等 2 2
(2) 动能和势 相 (3) 动能和势 相 能变化的周期 同 能变化的步调 反 论 一 等于振动周期 (4) 机械能守恒 半
x
t
(5) 总 能 量 与 振 幅 平 方 成 正 比 ， 振 幅 反 映 振 动 强 弱 (6)求振幅的三种方法
A A A 1 2
3.合振动减弱的条件 合振动与分振动同相
2.合振动加强的条件
( 2 k 1 ) ( k 0 , 1 , 2 , ) 2 1
A A A 1 2
合振动初相与 大振幅者相同
第 6 章
机 械 波
振动状 态的传 播过程
两类
波的
不同
之处
变化电场和变化磁 场在空间的传播 传播速度 机 械 波 的 传 播 两类 能量传播 需 要 传 播 波的 振 动 的 媒 质 反 射 共同 电磁波的传播 折 射 特征 不 需 要 媒 质 衍 射
沿着 波的 传播 方向
后一质元的 振动总要重 复相邻前一 质元的振动
在 时 间 (位相) 上 依 次 落 后
演示：横波
在 波 的 传 播 过 程 中 质点的振动和介质的形变 (3) 均以一定的速度向前传播 波动伴随着能量的传播
振动状 态和能 行 量在传 波 播的波
演示：横波
4.波的几何描述 波线 沿波的传播方向画一些带箭头的线段
理 解
一群质点(媒质) 以弹性力相互联系 其中一个质点(波源) 在外力作用下振动 引起邻近质点振动
机 械 波
演示：横波
2.波的两种类型 横 波 质点振动方向与 波的传播方向 相互垂直的波
弹簧振子做简谐振动时,动能、势能以及总能量的数学表达式
弹簧振子做简谐振动时,动能、势能以及总能量的数学表达式弹簧振子是一种简单的物理系统，它经常用于描述物体在弹性力的作用下进行振动的过程。
当一个弹簧振子做简谐振动时，其动能、势能以及总能量可以用数学表达式来表示。
首先，让我们来了解弹簧振子的基本原理。
弹簧振子由一个质点与一个弹簧组成，质点沿着弹簧的直线方向做往复振动。
弹簧振子的振动是由于弹簧的弹性力引起的，当质点偏离平衡位置时，弹簧会施加回复力使质点返回平衡位置。
我们可以通过定义弹簧的弹性势能来描述弹簧振子的势能。
根据胡克定律，弹簧的弹性力与其伸长（或压缩）的长度成正比。
因此，当弹簧振子的位移为x时，弹簧的劲度系数为k，则弹簧的势能可以表示为U = 1/2 kx^2。
然后，我们可以使用动能的定义来表达弹簧振子的动能。
动能是由于质点的运动而具有的能量。
在弹簧振子的情况下，质点的运动是简谐的，其速度随时间的变化遵循正弦函数。
当弹簧振子的位移为x时，质点的速度可以表示为v = dx/dt，其中t为时间。
根据运动学的原理，动能可以表示为K = 1/2 mv^2，其中m为质点的质量。
代入质点速度的表达式，我们可以得到K = 1/2 m(dx/dt)^2。
接下来，让我们来计算弹簧振子的总能量。
总能量是动能和势能之和，可以表示为E = K + U。
代入动能和势能的表达式，我们可以得到E = 1/2 m(dx/dt)^2 + 1/2 kx^2。
在简谐振动的情况下，质点的位移x可以表示为x = A cos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为相位常数。
这个表达式描述了质点沿着弹簧的方向从平衡位置振动的过程。
代入位移的表达式，我们可以重新写出总能量的表达式。
首先，我们来计算动能的表达式。
根据位移的表达式和速度的定义，我们可以得到v = -Aωsin(ωt + φ)，然后将v代入动能的表达式，我们可以计算出动能的具体形式。
根据动能的定义，我们可以得到：K = 1/2 m(-Aωsin(ωt + φ))^2= 1/2 mA^2 ω^2 sin^2(ωt + φ).接下来，我们计算势能的表达式。
简谐振动
x x1 x 2
x1
v0
O x0
k • 频率 ω M m
2 v A x0 2 02 ω
x
v0 φ0 tg ωx0
1
( M m) g Mg mg x0 k k k
掌握初始条件 的确定方法
14
简谐振动总结
分析振动系统 求动力学方程 求运动学方程
• •
动力学特征
1. 动能
1 1 2 2 2 Ek mv kA sin ( t ) 2 2
1 t T 1 2 Ek Ek dt kA T t 4
2. 势能
1 2 Ek max kA 2 E k min 0
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2
3. 机械能
1 2 E Ek E p kA （简谐振动系统机械能守恒） 2
11
例 物理摆 如图所示, 设刚体对轴的转动惯量为J. 设 t = 0 时摆角向右最大为 0. 求 振动周期和振动方程.
解 M m g h sin J
mgh sin 0 J
5 时 , sin
mgh 0 J
振动方程
mgh J
单 摆
J T 2 mgh
h T 2 g
12
0 cosω t
例
竖直方向的弹簧振子，求振动方程。 解 分析系统受力
线性回复力
l0
k O
f
x
i
mg k (Δl x ) mg k Δ l kx kx
l
m
x
d x k x0 2 dt m
简谐振动的微分方程
dt m 2E
dx 1 kx2
2E
2E dt m
令： x 2E cos
k
则：dx 2E sin d
k
∴
dx
2E sin d
k
2E d
1 kx2
1 cos2
k
2E
∴
∴ 即 其中：
2E d
2E dt
k
m
d
k dt
m
d
k m
dt
k m
t
0
x
2E cos( k
k m
t
0
)
把 代入 x
l
kl
m
y
2mg
mg2l ky0l 0
y0 k
轻杆偏离 时，系统的转动方程为：
m(2l)2 mg 2l cos k( y0 y)l cos
当 角很小时，cos≈1 ，因此
4ml 2 mg 2l k( y0 y)l kyl kl l kl 2
∴ k 0 ∴该系统的运动是简谐运动。
A
x02
2 0
2
②确定初相: 先由 cos x0 确定φ的两个可能值；
A
再由 sin 0 的符号决定φ。 A
各种复杂的振动的振幅和初相位 都由初始条件决定。
[补充例题1] 如图所示，一弹簧振子放置在光滑的水平面上。已知弹簧
的劲度系数 k=1.60N/m，物体的质量m=0.40kg。
将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给
cos x0
A ∴
0.1 2 和 sin 0 0
0.1 2 2
A
x 0.1
2
cos(2t
π )(m)
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简谐振动中动能的标准方程
简谐振动是物理学中的一个重要概念，它描述了一种周期性的运动，
例如弹簧振子和摆钟。
在简谐振动中，物体沿着一个固定轨道来回运动，其运动速度和加速度都是正弦函数。
因此，在简谐振动中，动能
的标准方程可以表示为：
K = (1/2)mv² = (1/2)kA²sin²(ωt + φ)
其中，K表示物体的动能，m表示物体的质量，v表示物体的速度，k 表示弹性系数（也称为劲度系数），A表示振幅（即最大偏离距离），ω表示角频率（即单位时间内的往复次数），t表示时间，而φ则是
相位常数。
从上述方程可以看出，在简谐振动中，物体的动能与其位置有关，并
且随着时间而变化。
当物体通过平衡位置时，它具有最大的速度和最
小的势能。
在这个点上，它具有最小的位移和最大的动能。
此外，在简谐振动中还存在一个重要概念——机械能守恒定律。
机械
能守恒定律指出，在没有外力作用下（例如阻力等），系统总机械能
保持不变。
因此，在简谐振动中，动能和势能之间存在着一种平衡关系，它们的总和始终保持不变。
总之，简谐振动是物理学中一个重要而有趣的概念。
通过对其动能的标准方程的分析，我们可以更好地理解这种运动形式，并且深入了解其机制和特性。