2019年高考数学真题分类汇编-专题15-复数-理科及答案

专题十五 复数
1.【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．
【考点定位】复数的运算．
【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．
2.【2015高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i
-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i
【答案】C
【解析】
32222i i i i i i i i
-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.
【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.
3.【2015高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）
A ．32i -
B ．32i +
C ．23i +
D ．23i -
【答案】D ．
【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．
【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．
4.【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z
+-=i ，则|z|=( )
（A ）1 （B （C （D ）2
【答案】A
【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)
i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.
【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.
5.【2015高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）
A ．12i +
B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
【答案】A
考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.
【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.
6.【2015高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．
为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-
【答案】A
【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．
为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.
【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，
7.【2015高考山东，理2】若复数z 满足1z i i
=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+
【答案】A 【解析】因为1z i i
=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.
【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.
8.【2015高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i
-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2
i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.
【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.
【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数
分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .
9.【2015高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.
【答案】3
【解析】由a bi +=得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.
【考点定位】复数的运算.
【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算
支持．本题首先根据复数模的定义得a bi +=，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-
22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．
10.【2015高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .
【答案】2-
【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.
【考点定位】复数相关概念与复数的运算.
【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.
11.【2015江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.
【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=
【考点定位】复数的模
【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：
2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【2015高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位）
，则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --
【答案】D.
【考点定位】复数的计算.
【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代
数形式四则运
算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行
计算，而复数
的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.
13.【2015高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．
【答案】
1142
i +
【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142
a bi a bi i a
b z i ++-=+⇒==⇒=
+且
【考点定位】复数相等，共轭复数 【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.
【2015高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.
【考点定位】复数概念，充要关系
【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。